平行四邊形專題

1、創(chuàng)作編號丄創(chuàng)作肴：鳳嗚大王*第18章平行四邊形專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1：平行四邊形的性質(zhì)1、(2014宇夏)在平行四邊形宓9中，將月應(yīng)沿對折，使點(diǎn)方落在歹 處，AB和G?相交于點(diǎn)0.求證：OA=OC.2、(2015 南通中考)如圖，在口ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在肋，DC上,且EDLDB , FBJBD. (1)求證：AEgCFB. (2)若 Z力二30,ZDEBTS3 ,求證：DA=DF.專訓(xùn)1.判定平行四邊形的五種常用方法名師點(diǎn)金：判定平行四邊形的方法通常有五種,即定義和四種判定定 理，選擇判定方法時(shí)，一定要結(jié)合題LI的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，從而?化解題過程.1.如圖，在口ABCD中，E, F分別為

2、AD, BC上的點(diǎn)，且BF=DE,連接AF,CE, BE, DF, AF與BE相交于H點(diǎn)，DF與CE相交于N點(diǎn).求證：四邊 形FMEN為平行四邊形.2如圖，已知ABD, ABCE, ZkACF都是等邊三角形.求證：四邊形ADEF 是平行四邊形.AE=CF, DFBE求證：四邊形ABCD為平行四邊形.于點(diǎn)F,那么四邊形BFDE是平行四邊形嗎？BC分4如圖，在口ABCD中，BE平分ZABC,交AD于點(diǎn)E, DF平分ZADC,交BC5.如圖，-ABCD中，點(diǎn)0是對角線AC的中點(diǎn)，EF過點(diǎn)0,與AD,別相交于點(diǎn)E，F(xiàn), GH過點(diǎn)0,與AB, CD分別相交于點(diǎn)G, H,連接EG, FG, FH, EH.

3、 （1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）如圖，若EF AB, GHBC,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）6、（2015遂宇）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E, F在對角線BD上，且 BE二DF,求證：（1） AE=CF； （2）四邊形AECF是平行四邊形.7.如圖，以“ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)分別作三個(gè)等邊三角形，即 ABD、乙BCE、MCF,請回答下列問題，并說明理山（1）四邊形ADEF是什么四邊形；（2）當(dāng)“ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形；（3）當(dāng)“ABC滿足什么條件時(shí)，以A, D, E, F為

4、頂點(diǎn)的四邊形不存在8、如圖，在cABCD中，E, F, G, H分別是四條邊上的點(diǎn)，且滿足BE= DF, CG = AH,連接EF, GH.求證：EF與GH互相平分專訓(xùn)2.構(gòu)造中位線的方法名師點(diǎn)金：三角形的中位線具有兩方面的性質(zhì)：一是位置上的平行關(guān) 系，二是數(shù)量上的倍分關(guān)系.因此，當(dāng)題H中給出三角形兩邊的中點(diǎn)時(shí)， 可以直接連出中位線；當(dāng)題口中給出一邊的中點(diǎn)時(shí)，往往需要找另一邊的 中點(diǎn)，作出三角形的中位線.連接兩點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線1、如圖，四邊形月砲中，E、F、G、分別是月萬、CD、AC.助的中點(diǎn)，那 么四邊形期是平行四邊形，為什么？2、如圖，四邊形初中，E、F、M、N分別為仙、CD、BD、的

5、中點(diǎn), 求證：四邊形醐酣為平行四邊形.3、已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連 接EF、FG、GH、HE,得到四邊形EFGH （即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）.（1）四邊形EFGH的形狀是，證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？ 4.如圖，點(diǎn)B為AC上一點(diǎn)，分別以AB, BC為邊在AC同側(cè)作等邊三角形ABD和等邊三角形BCE,點(diǎn)P, M, N分別為AC, AD, CE的中點(diǎn).（1）求證：PM=PN； (2)求ZMPN 的度數(shù).為線段BC, AB上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)B

6、重合），點(diǎn)E, F分別為DH, MN 的中點(diǎn)，則EF長度的最大值為利用角平分線+垂直構(gòu)造中位線6.如圖，在ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，AD為厶艇。的外角平分線，且AD丄BD,若 AB = 12, AC=18,求 DH 的長.DMB7如圖，在厶他。中，已知AB = 6, AC=10, AD平分ZBAC, BD丄AD于點(diǎn)D,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，求DE的長.A倍長法構(gòu)造三角形的中位線& 如圖，在ABC 中，ZABC = 90 ,BA=BC, ABEF為等腰直角三角形,ZBEF = 90 , H 為 AF 的中點(diǎn)，求證：ME=*CFB已知一邊中點(diǎn)，取另一邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線9.已知：如圖，在四邊形A

7、BCD中，AD二BC, H、分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、 BC的延長線交MN于E、F求證：ZDEN=ZF.創(chuàng)作編號上10.如圖，在四邊形ABCD中，M、分別是AD、BC的中點(diǎn)，若AB=10, CD =8,求MN長度的取值范圍.11.點(diǎn),如圖，在AABC 中，ZC = 90 , CA=CB, E,CE = CF, N分別為AF, BE的中點(diǎn)，求證：AE=m已知兩邊中點(diǎn)，取第三邊中點(diǎn)構(gòu)造三角形的中位線12.如圖，在ZiABC中，AB=AC, AD丄BC于點(diǎn)D,點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，延長BP交AC于點(diǎn)N,求證：AN=$C.答案專訓(xùn)11.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，DE = BF, DE狹BF.四

8、邊形BFDE為平行四邊形.BEDF同理，AF/7CE. A四邊形FMEN為平行四 邊形.2. 證明：VAABD, ABCE, AACF都是等邊三角形，BA=BD, BC = BE, ZDBA= ZEBC = 60 . A ZEBC- ZEBA= ZDBA- ZEBA,ZABC = ZDBE. ABC今ZDBE. AF=AC=DE.同理，可證 ABC旦 FEC,AD=AB = EF.四邊形ADEF是平行四邊形.3. 證明：.ABCD, ZBAE=ZDCF. .BEDF, A ZBEF= ZDFE. ZAEB= ZCFD.在ZAEB 和ZXCFD 中，ZBAE=ZDCF,AE=CF,A AAEBA

9、CFD, A AB = CD. 乂 TAB/ZCD,化四邊ZAEB=ZCFD,ABCD是平行四形.4.解：四邊形BFDE是平行四邊形.理由：在口ABCD中，ZABC=Z CD A, ZA=ZC.VBE 平分ZABC, DF 平分ZADC, A ZABE= ZCBE=|zABC, ZCDF = ZADF=|zADC. AZABE=ZCBE=ZCDF=ZADF. V ZDFB= ZC+ZCDF, ZBED=ZABE+ZA, A ZDFB= ZBED. A 四邊形 BFDE 是平行四邊形.5.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC, OA=OC, AZ EAO=ZFCO.rZEAO=ZFCO,在

10、AOAE 與AOCF 中，*OA=OC,A AOAEAOCF, AOE = OF.IZAOE=ZCOF,同理OG=OH,四邊形EGFH是平行四邊形.(2)解：與四邊形AGHD面積相等的平行四邊形有-GBCH, 口ABFE, 口 EFCD, 口EGFH.專訓(xùn)21. (1)證明：如圖，連接CD, AE.由三角形中位線定理可得PM礙CD, PN |aE. V AABD 和ZXBCE 是等邊三角形，AAB=DB, BE=BC, ZABD= ZCBE = 60 , AZABE=ZDBC. AAABEADBC, AAE=DC. APM=PN.B(2)解：如圖，設(shè)PH交AE于F, P?(交CD于G, AE交

11、CD于H 由(1)知厶ABEADBC, ZBAE=ZBDC. ZAHD=ZABD = 60 , AZFHG=120 .易證四邊形PFHG為平行四邊形，ZMPN=120 .2解：如圖，延長BD, CA交于凡在ZkAND和AABD中，ZNAD=ZBAD,AD=AD, AANDAABD (ASA).ZADN=ZADB=90 ,= 15.ADN=DB, AN=ABDM=1nC = 1(AN+AC) =1(AB+AC)3.解：如圖,延長BD交AC于點(diǎn)F, TAD平分ZBAC, ZBAD= ZCAD. VBD丄AD, ZADB= ZADF,乂.AD=AD, AAADBAADF(ASA). .AF=AB=6

12、, BD=FD.VAC=10, Z.CF=AC-AF= 10-6=4.E為BC的中點(diǎn)，DE是ZkBCF的中位線.DE=*CF=*X4=2.4.證明：如圖，延長FE至N,使EN=EF,連接AN易得ME=AN.VEF=EN, ZBEF = 90 , BE 垂直平分 FN ABF=BNAZBNF=ZBFN.BEF為等腰直角三角形，ZBEF=90 ,AZBFN=45 ? ZBNF=45 ,AZFBN = 90 ,即 ZFBA+ZABN = 90 乂 VZFBA+ZCBF = 90 ,BF=BN,ZCBF=ZABN,BC=BA,AABCFABAN/=ANME=2aN=5.解：如圖，取BD的中點(diǎn)匕連接PM, PNTH是AD的中點(diǎn)，P是BD的中點(diǎn)，PM是AABD的中位線，APM=AB = 5.同理可得 PN=h)= 4在ZiPMN 中，VPM-PNMNPM+PN, A1MN9.6.證明：如圖，取AB的中點(diǎn)H,連接MH, NH,則MH=*BF, NH=|aE.CE=CF, CA=CB, AE=BF. MH=NH. I點(diǎn)M, H, N分別為AF,AB, BE的中點(diǎn),MHBF, NHAE. ZAHM =ZABC, ZBHN= ZBAC.A ZMHN=180 -(ZAHM+ZBHN)=180 一 (ZABC+ZBAC)