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1、制作:雅橋九年一貫制學(xué)校制作:雅橋九年一貫制學(xué)校 田宏波田宏波 1 1、我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形呢?、我們所學(xué)的圓是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形呢? 圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形,經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形,經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都 是它們的對(duì)稱(chēng)軸是它們的對(duì)稱(chēng)軸 . 2 2、我們所學(xué)的圓是不是中心對(duì)稱(chēng)圖形呢?、我們所學(xué)的圓是不是中心對(duì)稱(chēng)圖形呢? 圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形,圓心是對(duì)稱(chēng)中心圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形,圓心是對(duì)稱(chēng)中心 3 3、填空:、填空: (1 1)根據(jù)圓的定義,)根據(jù)圓的定義,“圓圓”指的是指的是“ ”,是,是 線(xiàn),而線(xiàn),而 不是不是“圓面圓面”。 (2 2)圓心和半徑是確定一個(gè)圓的兩個(gè)必需條件,圓心決定圓)圓心

2、和半徑是確定一個(gè)圓的兩個(gè)必需條件,圓心決定圓 的的 ,半徑?jīng)Q定圓的,半徑?jīng)Q定圓的 ,二者缺一不可。,二者缺一不可。 (3 3)同一個(gè)圓的半徑同一個(gè)圓的半徑 相等。相等。 圓周圓周 位置位置 大小大小 曲曲 處處處處 問(wèn)題問(wèn)題 :你知道趙州橋嗎:你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國(guó)隋代建造的石多年前我國(guó)隋代建造的石 拱橋拱橋, , 是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧 形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)) )為為37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弧的中點(diǎn)到 弦的距離弦的距離) )為

3、為7.27.2m m,你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎?你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎? 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少? 1.理解圓的對(duì)稱(chēng)性;理解圓的對(duì)稱(chēng)性; 2.理解掌握?qǐng)A的垂徑定理,能靈活運(yùn)用。理解掌握?qǐng)A的垂徑定理,能靈活運(yùn)用。 重點(diǎn):重點(diǎn):理解掌握垂徑定理理解掌握垂徑定理 難點(diǎn):難點(diǎn): 靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓問(wèn)題靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓問(wèn)題 培養(yǎng)探索、推理、歸納、證明的能培養(yǎng)探索、推理、歸納、證明的能 力及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力力及用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力. 培養(yǎng)獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑、善于表達(dá)培養(yǎng)獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑、善于表達(dá) 的習(xí)慣;學(xué)會(huì)互助、合作、交流的習(xí)慣

4、;學(xué)會(huì)互助、合作、交流. 閱讀課本閱讀課本P80-82,完成以下問(wèn)題:,完成以下問(wèn)題: 1.圓的垂徑定理是什么?圓的垂徑定理是什么? 2.垂徑定理的推論是什么?你能用一句話(huà)概括這垂徑定理的推論是什么?你能用一句話(huà)概括這 些推論嗎?些推論嗎? 如圖,如圖,AB是是 O的一條弦,做直徑的一條弦,做直徑CD,使,使CDAB,垂足為,垂足為E (1)這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?如果是,它的對(duì)稱(chēng)軸是什么?)這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?如果是,它的對(duì)稱(chēng)軸是什么? (2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線(xiàn)段和???為什么?)你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線(xiàn)段和?。繛槭裁?? O A B C D E 活活 動(dòng)動(dòng) 一一 (1)是軸對(duì)稱(chēng)圖

5、形直徑)是軸對(duì)稱(chēng)圖形直徑CD所在的所在的 直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸 (2) 線(xiàn)段:線(xiàn)段: AE=BE ?。?,弧:, 把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時(shí),折疊時(shí),CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合,兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合, 點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合,重合,AE與與BE重合,重合,和和 重合,重合,和和重合重合 直徑平分弦,并且直徑平分弦,并且 平分及平分及 O A B C D E 垂徑定理:垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,垂直于弦的直徑平分弦, 并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧 思考:思考:平分弦(不是直徑)的直徑有什么性質(zhì)?平分弦(不是直徑)的直徑有什么性質(zhì)? 即即 , 如圖如圖: ABAB是

6、是OO的一條弦的一條弦,直徑,直徑CDCD交交ABAB于于MM,AM=BMAM=BM 垂徑定理的推論 O AB C D M 連接連接OA,OB,OA,OB,則則OA=OB. 在在OAM和和OBM中中, OA=OB,OM=OM,AM=BM OAM OBM. AMO= BMO. CDAB O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng), 當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)對(duì)折時(shí),點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合, AC和和BC重合重合, AD和和BD重合重合. AC =BC, AD =BD. 平分平分弦(不是直徑)的直徑弦(不是直徑)的直徑垂直垂直于于 弦弦, ,并且并且平分平分弦所對(duì)的兩條弦所對(duì)的兩條弧弧. . AM=

7、BM, n由由 CD是直徑是直徑 CDAB 可推得可推得 AD=BD. AC=BC, CDAB, n由由 CD是直徑是直徑 AM=BM AC=BC, AD=BD. 可推得可推得 M 垂徑定理:垂徑定理:垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分 弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧 推論:推論:平分平分弦(不是直徑)的直徑弦(不是直徑)的直徑垂垂 直直于弦于弦, ,并且并且平分平分弦所對(duì)的兩條弦所對(duì)的兩條弧弧. . 根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和 一條直線(xiàn)來(lái)說(shuō)。如果具備一條直線(xiàn)來(lái)說(shuō)。如果具備 (1)過(guò)圓心)過(guò)圓心 (2)垂直于弦)垂直于弦 (3)

8、平分弦)平分弦 (4)平分弦所對(duì)的優(yōu)?。┢椒窒宜鶎?duì)的優(yōu)弧 (5)平分弦所對(duì)的劣?。┢椒窒宜鶎?duì)的劣弧 上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以 推出其他三個(gè)結(jié)論推出其他三個(gè)結(jié)論 結(jié)論結(jié)論 你學(xué)會(huì)了你學(xué)會(huì)了 嗎?嗎? 一、判斷下列說(shuō)法的正誤一、判斷下列說(shuō)法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦 平分弦的直線(xiàn)必垂直弦平分弦的直線(xiàn)必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線(xiàn)是圓的直徑弦的垂直平分線(xiàn)是圓的直徑 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必

9、垂直這條弦 在圓中,如果一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心且平分弦,在圓中,如果一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心且平分弦, 必平分此弦所對(duì)的弧必平分此弦所對(duì)的弧 分別過(guò)弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線(xiàn),將弦所對(duì)分別過(guò)弦的三等分點(diǎn)作弦的垂線(xiàn),將弦所對(duì) 的兩條弧分別三等分的兩條弧分別三等分 O AB C D M 3 3半徑為半徑為2cm2cm的圓中,過(guò)半徑中點(diǎn)且的圓中,過(guò)半徑中點(diǎn)且 垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是 。 cm32 cm32 8cm A AB B O O E E A A B B O O E E O O A AB B E E 1 1半徑為半徑為4cm4cm的的OO中,弦中,弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圓心那么

10、圓心O O到弦到弦ABAB的距離是的距離是 。 2 O的直徑為的直徑為10cm,圓心,圓心O到弦到弦AB的的 距離為距離為3cm,則弦,則弦AB的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是 。 二、填空:二、填空: O AB CD 1.兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的同側(cè) O AB CD 2.兩條弦在圓心的兩側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè) 4 4、OO的半徑為的半徑為10cm10cm,弦,弦ABCDABCD, AB=16AB=16,CD=12CD=12,則,則ABAB、CDCD間的間的 距離是距離是_ _ . . 2cm或或14cm 1如圖,在如圖,在 O中,弦中,弦AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8cm,圓心,圓心O 到到AB的距離為的距離為3cm

11、,求,求 O的半徑的半徑 O AB E 在來(lái)!你行嗎?在來(lái)!你行嗎? 解:解: OEAB 222 AOOEAE 2222 = 3 +4 =5cmAOOEAE 答:答: O的半徑為的半徑為5cm. 11 84 22 AEAB 在在Rt AOE 中中 2:已知:如圖,在以:已知:如圖,在以O(shè)為圓心的兩為圓心的兩 個(gè)同心圓中,大圓的弦個(gè)同心圓中,大圓的弦AB交小圓于交小圓于 C,D兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。 求證:求證:ACBD。 證明:過(guò)證明:過(guò)O作作OEAB,垂足為,垂足為E, 則則AEBE,CEDE。 AECEBEDE。 所以,所以,ACBD E . A CD B O 實(shí)際上,往往只需從圓心作一條與弦垂直的

12、實(shí)際上,往往只需從圓心作一條與弦垂直的 線(xiàn)段線(xiàn)段.就可以利用垂徑定理來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題了就可以利用垂徑定理來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題了. 3、已知:、已知: O中弦中弦ABCD。 求證:求證:ACBD 證明:作直徑證明:作直徑MNAB。 ABCD,MNCD。 則則AMBM,CMDM(垂直平分(垂直平分 弦的直徑平分弦所對(duì)的弦)弦的直徑平分弦所對(duì)的弦) AMCMBMDM ACBD . M CD AB O N 你能講解你能講解 嗎?嗎? 夾在兩條平行弦間的弧相等夾在兩條平行弦間的弧相等. 你能有一句話(huà)概括一下嗎?你能有一句話(huà)概括一下嗎? 小結(jié)小結(jié): 解決有關(guān)弦的問(wèn)題,經(jīng)常是過(guò)圓心作解決有關(guān)弦的問(wèn)題,經(jīng)常是過(guò)圓心作

13、 弦的垂線(xiàn),或作垂直于弦的直徑,連結(jié)半弦的垂線(xiàn),或作垂直于弦的直徑,連結(jié)半 徑等輔助線(xiàn),為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。徑等輔助線(xiàn),為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。 . CD AB O M N E . A CD B O . AB O 解得:解得:R279(m) B O D A C R 解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題 在在RtOAD中,由勾股定理,得中,由勾股定理,得 即即 R2=18.72+(R7.2)2 趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m. OA2=AD2+OD2 ,7.184.37 2 1 2 1 ABAD AB=37.4,CD=7.2, OD=OCCD=R7.2 解

14、:因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?如圖,用如圖,用 表示主橋拱,設(shè)表示主橋拱,設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O, 半徑為半徑為R經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O 作弦作弦AB 的垂線(xiàn)的垂線(xiàn)OC,D為垂足,為垂足,OC 與與AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D,根據(jù)前面的結(jié)論,根據(jù)前面的結(jié)論,D 是是AB 的中點(diǎn),的中點(diǎn),C是是 的中點(diǎn),的中點(diǎn),CD 就是拱高就是拱高 7.2 18.7 說(shuō)出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn),讓大家說(shuō)出你這節(jié)課的收獲和體驗(yàn),讓大家 與你一起分享!與你一起分享! 圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形, ,經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸. . 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦

15、, ,并且平分弦所對(duì)的兩條弧并且平分弦所對(duì)的兩條弧. . 垂徑定理垂徑定理: : 在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí),可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化在解決有關(guān)圓的問(wèn)題時(shí),可以利用垂徑定理將其轉(zhuǎn)化 為為解直角三角形解直角三角形的問(wèn)題的問(wèn)題 。 根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線(xiàn)來(lái)根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線(xiàn)來(lái) 說(shuō)。如果具備說(shuō)。如果具備 (1)過(guò)圓心)過(guò)圓心 (2)垂直于弦)垂直于弦 (3)平分弦)平分弦 (4)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧)平分弦所對(duì)的優(yōu)弧 (5)平分弦所對(duì)的劣?。┢椒窒宜鶎?duì)的劣弧 上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論 別忘記

16、還有我喲!別忘記還有我喲! 1、P82練習(xí)練習(xí) 1、2題題 2、教材、教材88頁(yè)習(xí)題頁(yè)習(xí)題24.1 8、9; 3、練習(xí)冊(cè)同步、練習(xí)冊(cè)同步 作業(yè):作業(yè): 2如圖,在如圖,在 O中,中,AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且相等的 兩條弦,兩條弦,ODAB于于D,OEAC于于E,求證四邊形,求證四邊形 ADOE是正方形是正方形 D O A B C E 證明:證明: OEAC ODAB ABAC 90 90 90OEAEADODA 四邊形四邊形ADOE為矩形,為矩形, 又又AC=AB 11 22 AEACADAB, AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形. 某地有一座圓弧形拱橋圓心為,橋

17、下水面寬度為、某地有一座圓弧形拱橋圓心為,橋下水面寬度為、2 m , 過(guò)過(guò)O 作作OC AB 于于D, 交圓弧于交圓弧于C,CD=2、4m, 現(xiàn)有一艘現(xiàn)有一艘 寬寬3m,船艙頂部為方形并高出水面(,船艙頂部為方形并高出水面(AB)2m的貨船要經(jīng)過(guò)拱的貨船要經(jīng)過(guò)拱 橋,此貨船能否順利通過(guò)這座拱橋?橋,此貨船能否順利通過(guò)這座拱橋? C NM A E H F B D O 結(jié)束寄語(yǔ)結(jié)束寄語(yǔ) 不學(xué)自知不學(xué)自知, ,不問(wèn)自曉不問(wèn)自曉, ,古今古今 行事行事, ,未之有也未之有也. . 下課了! 學(xué)生練習(xí)學(xué)生練習(xí) 已知:已知:AB是是 O直徑,直徑,CD 是弦,是弦,AECD,BFCD 求證:求證:ECDF

18、 . A O B ECDF AB O E )( 2 650 mmOB D )( 2 600 mmEB 油的最大深度油的最大深度ED=ODOE=200(mm) 或者油的最大深度或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm). (1) 在直徑為在直徑為650mm650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些 油后油后, ,油面寬油面寬AB=600mm,AB=600mm,求油的最大深度。求油的最大深度。 22 EBOBOE OE=125(mm) (2) BA O E D 解:解: 例例1 如圖,已知在如圖,已知在 O中,弦中,弦 AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為8厘米,圓心厘米,圓心O到到AB 的距離為的距離為3厘米,求厘米,求 O的半徑的半徑. 解:連結(jié)解:連結(jié)OA。過(guò)。過(guò)O作作OEAB,垂足為,垂足為E, 則則OE3厘米,厘米,AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在RtAOE中,根據(jù)勾股定理有中,根據(jù)勾股定理有OA5厘米厘米 O的半徑為的半徑為5厘米。厘米。 . A E B O 講解講解 判斷判斷 (1)垂直于弦的直線(xiàn)平分弦,并且平分弦所對(duì)的)垂直于弦的直線(xiàn)平分弦,并且平分弦所對(duì)的 弧弧.( ) (2)弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線(xiàn),垂直于弦,并且)弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線(xiàn),垂直于弦,并且 經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心.(

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