概率與數(shù)理統(tǒng)計 課件 第2章 隨機變量統(tǒng)計學(xué)經(jīng)典】

1、應(yīng)用數(shù)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)理學(xué)院 第二章 隨機變量 第一節(jié) 隨機變量 一、隨機變量概念的產(chǎn)生一、隨機變量概念的產(chǎn)生 在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù)在實際問題中，隨機試驗的結(jié)果可以用數(shù) 量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機變量的概念. 1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身 就是一個數(shù)）就是一個數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)； 七月份北京的最高溫度；七月份北京的最高溫度； 每天從北京下火車的人數(shù)；每天從北京下火車的人數(shù)； 昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)； 2、在有些試驗中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無、在有些試驗

2、中，試驗結(jié)果看來與數(shù)值無 關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各關(guān)，但我們可以引進一個變量來表示它的各 種結(jié)果種結(jié)果.也就是說，也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化把試驗結(jié)果數(shù)值化. 正如裁判員在運動正如裁判員在運動 場上不叫運動員的場上不叫運動員的 名字而叫號碼一樣，名字而叫號碼一樣， 二者建立了一種對二者建立了一種對 應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系. 這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種 實值函數(shù)實值函數(shù). e. X(e) R 這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到 的函數(shù)一樣嗎？的函數(shù)一樣嗎？ （1）它隨試驗結(jié)果的不同而取不同的值，）它隨試驗結(jié)果

3、的不同而取不同的值， 因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍， 而不能預(yù)先肯定它將取哪個值而不能預(yù)先肯定它將取哪個值. （2）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概）由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概 率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確率，于是這種實值函數(shù)取每個值和每個確 定范圍內(nèi)的值也有一定的概率定范圍內(nèi)的值也有一定的概率. 稱這種定義在樣本空間上的實值函數(shù)為稱這種定義在樣本空間上的實值函數(shù)為 隨隨 量量 機機變變 簡記為簡記為 r.v.(random variable) 而表示隨機變量所取的值而表示隨機變量所取的值 時時,一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z

4、等等. 隨機變量通常用大寫字母隨機變量通常用大寫字母 X,Y,Z或希臘字母或希臘字母,等表示等表示 例如，從某一學(xué)校隨機選一例如，從某一學(xué)校隨機選一 學(xué)生，測量他的身高學(xué)生，測量他的身高. 我們可以把可能的我們可以把可能的 身高看作隨機變量身高看作隨機變量X, 然后我們可以提出關(guān)于然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題的各種問題. 如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=? P(1.5X1.7)=? 有了隨機變量有了隨機變量,隨機試驗中的各種事件，隨機試驗中的各種事件， 就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達(dá)出來就可以通過隨機變量的關(guān)系式表達(dá)出來. 二、引入隨機變量的意義二、引入隨機變量的意義 如：單位時

5、間內(nèi)某電話交換臺收到的呼如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼 叫次數(shù)用叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機變量表示，它是一個隨機變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X= 0 隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展 史上的重大事件史上的重大事件. 引入隨機變量后，對引入隨機變量后，對 隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件 及事件概率的研究擴大為對隨機變量及及事件概率的研究擴大為對隨機變量及 其取值規(guī)律的研究其取值規(guī)律的研究. 事件及事件及 事件概率事件概率 隨機變量及其隨機變量及其 取值規(guī)律取值規(guī)律 四

6、、隨機變量的分類四、隨機變量的分類 通常分為兩類：通常分為兩類： 如如“取到次品的個數(shù)取到次品的個數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)收到的呼叫數(shù)”等等. 隨隨 機機 變變 量量 離散型隨機變量離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 所有取值可以逐個所有取值可以逐個 一一列舉一一列舉 例如，例如，“電視機的壽命電視機的壽命”，實，實 際中常遇到的際中常遇到的“測量誤差測量誤差”等等. 全部可能取值不僅全部可能取值不僅 無窮多，而且還不能無窮多，而且還不能 一一列舉，而是充滿一一列舉，而是充滿 一個區(qū)間一個區(qū)間. 這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變這兩種類型的隨機變量因為都是隨機變 量，自然有很多相同或

7、相似之處；但因其取量，自然有很多相同或相似之處；但因其取 值方式不同，又有其各自的特點值方式不同，又有其各自的特點. 隨隨 機機 變變 量量 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 離散型隨機變量離散型隨機變量 學(xué)習(xí)時請注意它們各自的特點和描述方法學(xué)習(xí)時請注意它們各自的特點和描述方法. 設(shè)設(shè)X是一個離散型隨機變量，它可能取是一個離散型隨機變量，它可能取 的值是的值是 x1, x2 , . 為了描述隨機變量為了描述隨機變量 X ，我們不僅需，我們不僅需 要知道隨機變量要知道隨機變量X的取值，而且還應(yīng)知道的取值，而且還應(yīng)知道 X取每個值的概率取每個值的概率. 第二章第二章 第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機變量離散型

8、隨機變量 這樣，我們就掌握了這樣，我們就掌握了X這個這個 隨機變量取值的概率規(guī)律隨機變量取值的概率規(guī)律. 從中任取從中任取3 個球個球 取到的白球數(shù)取到的白球數(shù)X是一個隨機變量是一個隨機變量 X可能取的值是可能取的值是0,1,2 取每個值的概率為取每個值的概率為 10 1 ) 0( 3 5 3 3 C C XP 10 6 ) 1( 3 5 1 2 2 3 C CC XP 10 3 )2( 3 5 2 2 1 3 C CC XP 例例1 且且 3 1 1 i iXP)( 其中其中 (k=1,2, ) 滿足：滿足：k p , 0 k p k=1,2, （1） k k p1 （2） 定義定義1 ：設(shè)

9、：設(shè)xk(k=1,2, )是離散型隨是離散型隨 機變量機變量X所取的一切可能值，稱所取的一切可能值，稱 k=1,2, ,)( kk pxXP 為離散型隨機變量為離散型隨機變量X的概率分布或分布的概率分布或分布 律，有的書上也稱概率函數(shù)律，有的書上也稱概率函數(shù). 用這兩條性質(zhì)判斷用這兩條性質(zhì)判斷 一個函數(shù)是否是一個函數(shù)是否是 概率概率分布分布 一、離散型隨機變量概率分布的定義一、離散型隨機變量概率分布的定義 解解: 依據(jù)概率分布的性質(zhì)依據(jù)概率分布的性質(zhì): k kXP1)( P(X =k)0, 1 ! 0 ae k a k k a0 從中解得從中解得 欲使上述函數(shù)為概率分布欲使上述函數(shù)為概率分布

10、應(yīng)有應(yīng)有 ea 0k k k e ! 這里用到了常見的這里用到了常見的 冪級數(shù)展開式冪級數(shù)展開式 例例2. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率分布為：的概率分布為： , ! )( k akXP k k =0,1,2, , 試確定常數(shù)試確定常數(shù)a . 0 二、表示方法二、表示方法 （1）列表法：）列表法： （2）公式法）公式法 10 3 10 6 10 1 210 X 2 , 1 , 0,)( 3 5 2 3 3 k C CC kXP kk 再看例再看例1 任取任取3 個球個球 X為取到的白球數(shù)為取到的白球數(shù) X可能取的值可能取的值 是是0,1,2 三、舉例三、舉例 例例3. 某籃球運動員投中籃圈概率

11、是某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求，求 他兩次獨立投籃投中次數(shù)他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布的概率分布. 解：解： X可取可取0、1、2為值為值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1 常常表示為：常常表示為： 81. 018. 001. 0 210 X 這就是這就是X的概率分布的概率分布. 例例 4 4 如上圖所示如上圖所示. .電子線路中裝有兩個并聯(lián)的電子線路中裝有兩個并聯(lián)的 繼電器繼電器. .假設(shè)這兩個繼電器是

12、否接通具有隨機假設(shè)這兩個繼電器是否接通具有隨機 性性, ,且彼此獨立且彼此獨立. .已知每個電器接通的概率為已知每個電器接通的概率為 0.8,0.8,記記X X為線路中接通的繼電器的個數(shù)為線路中接通的繼電器的個數(shù). . 求求:(1)X:(1)X的分布律的分布律. . (2) (2)線路接通的概率線路接通的概率. . 解解: ( (1).1).記記A Ai i=第第i i個繼電器接通個繼電器接通,i=1,2.,i=1,2. 兩個繼電器是否接通是相互獨立的兩個繼電器是否接通是相互獨立的, , A A1 1和和A A2 2相互獨立相互獨立, ,另外另外P(AP(A1 1)=P(A)=P(A2 2)=

13、0.8.)=0.8.下面下面 求求X X的分布律的分布律. . 首先首先: :X X可能取可能取0,1,2,0,1,2,三個值三個值. . PX=0=P PX=0=P表示兩個繼電器都沒接通表示兩個繼電器都沒接通 04. 02 . 02 . 0)()()( 2121 APAPAAP 轉(zhuǎn)下頁 32. 08 . 02 . 02 . 08 . 0 )()()()( )()()()( 2121 21212121 APAPAPAP AAPAAPAAAAP PX=1=PPX=1=P恰有一個繼電器接通恰有一個繼電器接通 64. 08 . 08 . 0)()()( 2121 APAPAAP PX=2=PPX=2

14、=P兩個繼電器都接通兩個繼電器都接通 , , X X的分布律為的分布律為 X 0 01 12 2 p p k k 0 . 0 40 . 3 20 . 6 4 2) 2) 是并聯(lián)電路是并聯(lián)電路 P( P(線路接通線路接通) ) =P( =P(只要一個繼電器接通只要一個繼電器接通)=PX1)=PX1 =PX=1+PX=2=0.32+0.64=0.96. =PX=1+PX=2=0.32+0.64=0.96. ( (二二) )常見的離散型隨機變量的概率分布常見的離散型隨機變量的概率分布 (I) (I) 兩點分布兩點分布 設(shè)設(shè)E E是一個只有兩種可能結(jié)果的是一個只有兩種可能結(jié)果的 隨機試驗隨機試驗, ,

15、用用= 1 1, , 2 2 表示其樣本空間表示其樣本空間. . P( P( 1 1)=p , P()=p , P( 2 2)=1-p)=1-p l來源來源 X()= 1, = 1 0, = 2 200200件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中, ,有有196196件是正品件是正品,4,4 件是次品件是次品, ,今從中隨機地抽取一件今從中隨機地抽取一件, ,若規(guī)若規(guī) 定定 例例 5 5 X()= 1, 取到合格品 0, 取到不合格品 則則 PX=1=196/200=0.98, PX=1=196/200=0.98, PX=0=4/200=0.02 PX=0=4/200=0.02 故故 X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為0.

16、980.98的兩點分布的兩點分布 . . 即即 X X B(1,0.98). B(1,0.98). 例例6 設(shè)生男孩的概率為設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為生女孩的概率為 q=1-p，令令X表示隨機抽查出生的表示隨機抽查出生的4 4個嬰兒個嬰兒 中中“男孩男孩”的個數(shù)的個數(shù). . 貝努里概型貝努里概型 和和 二項分布二項分布(II) 我們來求我們來求X的概率分布的概率分布. . 4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 ( 4 4 kppCkXP kkk X的概率分布是：的概率分布是： 男男 女女 X表示隨機抽查的表示隨機抽查的4 4個嬰兒中男孩的個數(shù)，個嬰兒中男孩的個數(shù)， 生男孩的概率為生

17、男孩的概率為 p. X=0 X =1X =2X =3X =4 X可取值可取值0,1,2,3,4. 例例7 將將一枚均勻骰子拋擲一枚均勻骰子拋擲3次，次， 令令X 表示表示3 3次中出現(xiàn)次中出現(xiàn)“4”4”點的次數(shù)點的次數(shù) 3 , 2 , 1 , 0,) 6 5 () 6 1 ( 3 3 kCkXP kkk X的概率分布是：的概率分布是： 不難求得，不難求得， 擲骰子：擲骰子：“擲出擲出4 4點點”，“未擲出未擲出4 4點點” 一般地，一般地，設(shè)在一次試驗中我們只考慮兩個設(shè)在一次試驗中我們只考慮兩個 互逆的結(jié)果：互逆的結(jié)果：A或或 ， 或者形象地把兩個互或者形象地把兩個互 逆結(jié)果叫做逆結(jié)果叫做“成

18、功成功”和和“失敗失敗”. . A 新生兒：新生兒：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩” 抽驗產(chǎn)品：抽驗產(chǎn)品：“是正品是正品”，“是次品是次品” 再設(shè)我們重復(fù)地進行再設(shè)我們重復(fù)地進行n次獨立試驗次獨立試驗 ( “( “重復(fù)重復(fù)”是指這次試驗中各次試驗條件是指這次試驗中各次試驗條件 相同相同 ) ) 這樣的這樣的n次獨立重復(fù)試驗稱作次獨立重復(fù)試驗稱作n重貝努里重貝努里 試驗，簡稱貝努里試驗或試驗，簡稱貝努里試驗或貝努里概型貝努里概型. . 每次試驗成功的概率都是每次試驗成功的概率都是p，失敗的概率，失敗的概率 都是都是q=1-=1-p. . 用用X表示表示n重貝努里試驗中事件重貝努里試驗中事件A（

19、成成 功功）出現(xiàn)的次數(shù)，則）出現(xiàn)的次數(shù)，則 nkppCkXP knkk n , 1 , 0,)1 ()( 稱稱r.v.r.v.X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n和和p的二項分布，記作的二項分布，記作 XB(n,p) B來自于來自于binomial(二項式二項式)的第一個字母的第一個字母 注注: 貝努里概型對試驗結(jié)果沒有等可能貝努里概型對試驗結(jié)果沒有等可能 的要求，但有下述要求：的要求，但有下述要求： （1）每次試驗條件相同；）每次試驗條件相同； 二項分布描述的是二項分布描述的是n重貝努里試驗中出現(xiàn)重貝努里試驗中出現(xiàn) “成功成功”次數(shù)次數(shù)X的概率分布的概率分布. （2）每次試驗只考慮兩個互逆結(jié)果）每次試驗

20、只考慮兩個互逆結(jié)果A或或 ， A 且且P(A)=p ， ； pAP1)( （3）各次試驗相互獨立）各次試驗相互獨立. . 例例8 某類燈泡使用時數(shù)在某類燈泡使用時數(shù)在2000小時以上視為正小時以上視為正 品品. .已知有已知有一大批一大批這類的燈泡這類的燈泡, ,其次品率是其次品率是0.2. . 隨機抽出隨機抽出2020只燈泡做壽命試驗只燈泡做壽命試驗, ,求這求這2020只燈泡只燈泡 中恰有中恰有3 3只是次品的概率只是次品的概率. . 解解: : 設(shè)設(shè)X為為2020只燈泡中次品的個只燈泡中次品的個數(shù)數(shù) ,則則. X B (20, 0.2)， (見新版書上見新版書上P34,舊版書舊版書P36

21、表表) ,)8 . 0()2 . 0()( 20 20 kkk CkXP .20,.,1 ,0k 下面我們研究二項分布下面我們研究二項分布B(n,p)B(n,p)和兩和兩 點分布點分布B(1,p)B(1,p)之間的一個重要關(guān)系之間的一個重要關(guān)系. . 說明說明 設(shè)試驗設(shè)試驗E E只有兩個結(jié)果只有兩個結(jié)果:A:A和和 . . 記記p=P(A),p=P(A),則則P( )= 1- p ,0p1,P( )= 1- p ,0p0 是常數(shù)是常數(shù),則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的 泊松分布泊松分布,記作記作XP( ). (III) 泊松分布 易見易見 0 1 ! ,2,1,00 k k e k k

22、kXP 例例9 9 某一無線尋呼臺某一無線尋呼臺, ,每分鐘收到尋呼的次每分鐘收到尋呼的次 數(shù)數(shù)X X服從參數(shù)服從參數(shù) =3=3的泊松分布的泊松分布. . 求求:(1):(1)一分鐘內(nèi)恰好收到一分鐘內(nèi)恰好收到3 3次尋呼的概率次尋呼的概率. . (2) (2)一分鐘內(nèi)收到一分鐘內(nèi)收到2 2至至5 5次尋呼的概率次尋呼的概率. 解解: (1)PX=3=p(3;3)=(3 (1)PX=3=p(3;3)=(33 3/3!)e/3!)e-3 -30.2240 0.2240 (2) P2X5 (2) P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(3 =

23、(32 2/2!)+(3/2!)+(33 3/3!)+(3/3!)+(34 4/4!)+(3/4!)+(35 5/5!)e/5!)e-3 -3 0.7169 0.7169 解解: 例例 1010 某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X X服從參數(shù)服從參數(shù) 為為0.80.8的泊松分布的泊松分布. . 求求: :該城市一天內(nèi)發(fā)生該城市一天內(nèi)發(fā)生3 3次以上火災(zāi)的概率次以上火災(zāi)的概率. . PX3=1- PX3PX3=1- PX0， 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. (Normal) (II)、正態(tài)分布、正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點),( 2 N 正態(tài)分

24、布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對對 稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線. . 特點是特點是“兩頭小，中間大，左右對稱兩頭小，中間大，左右對稱”. . 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形 中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點),( 2 N 故故f(x)以以為對稱軸，并在為對稱軸，并在x=處達(dá)到最大值處達(dá)到最大值: : xexf x ,)( )( 2 2 2 2 1 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分別代入分別代入f (x), 可得可得 f (+ +c)=f (- -c) 且且 f (+ +c) f (

25、), f (- -c)f () 2 1 )(f 當(dāng)當(dāng)x 時，時，f(x) 0, , 這說明這說明f (x)以以x軸為漸近線。軸為漸近線。 用求導(dǎo)的方法可以證明，用求導(dǎo)的方法可以證明， xexf x ,)( )( 2 2 2 2 1 為為f (x)的兩個拐點的橫坐標(biāo)。的兩個拐點的橫坐標(biāo)。 x = 這是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如果忘記了，課下這是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如果忘記了，課下 再復(fù)習(xí)一下。再復(fù)習(xí)一下。 實例實例 年降雨量問題，我們用上海年降雨量問題，我們用上海99年年 年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。 從直方圖，我們可以初步看出，年降從直方圖，我們可以初步看出，年降 雨量

26、近似服從正態(tài)分布。雨量近似服從正態(tài)分布。 下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的 數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。 紅線紅線是擬是擬 合的正態(tài)合的正態(tài) 密度曲線密度曲線 可見，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)可見，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng) 服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。 人的身高高低不等，但中等身材的占大人的身高高低不等，但中等身材的占大 多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較 高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方 面反映了服從正態(tài)分布的隨機變量的特面反映了服從正態(tài)分布的隨機變量的特 點。點。 除了我們在前面遇到

27、過的年降雨量和除了我們在前面遇到過的年降雨量和 身高外身高外, ,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)， 如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作 物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差， 射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號噪聲等射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號噪聲等 等，都服從或近似服從正態(tài)分布等，都服從或近似服從正態(tài)分布. . (III) 、設(shè)、設(shè)X , ),( 2 N 定義函數(shù)是定義函數(shù)是 xdtexF x t ,)( )( 2 2 2 2 1 dtex x t 2 2 2 1 )( (IV)(IV)

28、、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 1, 0的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . xex x , 2 1 )( 2 2 其密度函數(shù)和相應(yīng)函數(shù)常用其密度函數(shù)和相應(yīng)函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x )(x )(x 它的依據(jù)是下面的定理：它的依據(jù)是下面的定理： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個任何一個 一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布 函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概函數(shù)制成表，就可以解決一般正

29、態(tài)分布的概 率計算問題率計算問題. . ),( 2 NX X Y , ,則則 N(0,1) 設(shè)設(shè) 定理定理1 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了 它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表. . （V V）、正態(tài)分布表）、正態(tài)分布表 )(1)(xx dtex x t 2 2 2 1 )( 表中給的是表中給的是x0時時, (x)的值的值. 當(dāng)當(dāng)-x175的概率為 P X175=1751XP )65. 0(1) 69. 7 170175 (1 =0.2578 解解: (2) : (2) 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按

30、設(shè)計要求按設(shè)計要求 P(X h)0.01 或或 P(X h) 0.99， 下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的 h. . （2 2）公共汽車車門的高度是按成年）公共汽車車門的高度是按成年 男性與車門頂頭碰頭機會在男性與車門頂頭碰頭機會在0.01以下以下 來設(shè)計的，問車門高度應(yīng)如何確定來設(shè)計的，問車門高度應(yīng)如何確定? ? 因為因為XN( (170,7.,7.692),), ) 1 , 0( 69. 7 170 N X ) 69. 7 170 ( h 故故 P(X0.99 69. 7 170h 所以所以 = =2.33, , 即即 h=170+17.92 188 設(shè)計車門高度為

31、設(shè)計車門高度為 188厘米時，可使厘米時，可使 男子與車門碰頭男子與車門碰頭 機會不超過機會不超過0.01. . P(X h ) 0.99求滿足求滿足的最小的的最小的h . 若若 r.v. X的概率密度為：的概率密度為： 則稱則稱X服從區(qū)間服從區(qū)間 a, b上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作： X Ua, b )(xf a b 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf 二、均勻分布二、均勻分布(Uniform) （注：（注：X U（a, b） 均勻分布常見于下列情形：均勻分布常見于下列情形： 如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù) 點后某一位小數(shù)引入的誤差

32、，例如對小數(shù)點點后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對小數(shù)點 后第一位進行四舍五后第一位進行四舍五 入時，那么一般認(rèn)為誤入時，那么一般認(rèn)為誤 差服從（差服從（-0.5, 0.5）上的均勻分布。）上的均勻分布。 若X Ua, b，則對于滿足，則對于滿足bdca 的c,d, 總有 ab cd dxxfdXcP d c )( 則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究 中，如元件的壽命中，如元件的壽命. 三、指數(shù)分布：三、指數(shù)分布：若若 r.v X具有概率密度具有概率密度 00 0 )( x xe xf x 0 常簡記為常簡記為 XE

33、( ) . （三）、隨機變量的分布函數(shù)（三）、隨機變量的分布函數(shù) 設(shè)設(shè)X(X( ) )是一個隨機變量是一個隨機變量. . 稱函數(shù)稱函數(shù) F(x):= PXx,-x F(x):= PXx,-x 為隨機變量為隨機變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù). . l分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì) （1 1） ab,ab,總有總有F(a)F(b)(F(a)F(b)(單調(diào)非減性單調(diào)非減性) ) （2 2）F(x)F(x)是一個右連續(xù)的函數(shù)是一個右連續(xù)的函數(shù) （3 3） x x R R1 1 , ,總有總有0F(x)1(0F(x)1(有界性有界性),),且且 l定義定義 1)(lim0)(lim xFxF xx )()

34、(lim)()(lim FxFFxF xx 為記為記 證明證明: 僅證僅證(1) aXb=XbaaXa =Xb-Xa, =Xb-Xa,而而XaXa Xb. Xb. PaXb= PXb- PXa PaXb= PXb- PXa =F(b)- F(a). =F(b)- F(a). 又又PaXb0, PaXb0, F(a)F(b).F(a)F(b). 上述證明中我們得到一個重要公式上述證明中我們得到一個重要公式: : Pa PaXb=F(b)- F(a).Xb=F(b)- F(a). 它表明隨機變量落在區(qū)間它表明隨機變量落在區(qū)間(a,b(a,b上的概上的概 率可以通過它的分布函數(shù)來計算率可以通過它的分

35、布函數(shù)來計算. . 注意注意 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X X的分布律為的分布律為 p pk k:= PX=x:= PX=xk k , k=1,2, , k=1,2, X X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 離散型隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量的分布函數(shù) xx k k xXPxXPxF)( xx k xx k kk pxXPxF)( 分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)F(x)是一個右連續(xù)的函數(shù)是一個右連續(xù)的函數(shù), ,在在 x=xx=xk k(k=1,2)(k=1,2)處有跳躍值處有跳躍值 p pk k=PX=x=PX=xk k,如下如下 圖圖( (圖圖2.2.1)2.2.1)所示所示 P29,P29,例例2

36、.2.1 X2.2.1 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F(x)=F(x)= 0 x00 x0 0.04 00.04 0X1X1 0.36 10.36 1X2X2 1 2X1 2X 連續(xù)型連續(xù)型 r.v.的分布函數(shù)的分布函數(shù) 即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限 的的 定積分定積分. 若若 X 是連續(xù)型是連續(xù)型r.v.， X f (x) , 則則 F(x) = P(X x) = x dttf)( 由上式可得，由上式可得，在在 f (x)的連續(xù)點的連續(xù)點， )( )( xf dx xdF 下面我們來求一個連續(xù)型下面我們來求一個連續(xù)型 r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 例例 設(shè)設(shè)r

37、.v X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f (x) 其它0, 11,1 2 )( 2 xx xf 求求 F(x). F(x) = P(X x) = x dttf)( 解：解： 對對x 1， F (x) = 1 1, 1 11, 2 1 arcsin 1 1 1, 0 )( 2 x xxx x x xF 即即 注注: 掌握正態(tài)分布掌握正態(tài)分布, 均勻分布均勻分布,指數(shù)分指數(shù)分 布的分布函數(shù)布的分布函數(shù) (書或黑板演示書或黑板演示) 這一講，我們介紹了連續(xù)型隨機變量、這一講，我們介紹了連續(xù)型隨機變量、 概率密度函數(shù)及性質(zhì)。概率密度函數(shù)及性質(zhì)。 還介紹了正態(tài)分布，還介紹了正態(tài)分布，它的應(yīng)用極為廣它的應(yīng)用

38、極為廣 泛，在本課程中我們一直要和它打交道泛，在本課程中我們一直要和它打交道. 后面第五章中，我們還將介紹為什么后面第五章中，我們還將介紹為什么 這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布;還要還要 給出德莫佛極限定理的證明給出德莫佛極限定理的證明. 另外我們簡單介紹了均勻分布和指另外我們簡單介紹了均勻分布和指 數(shù)分布數(shù)分布 一、問題的提出一、問題的提出 在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù) 更感興趣更感興趣. 例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布， 4 2 d 求截面面積求截面面積 A= 的分布的分布. 第二章

39、第四節(jié) 隨機變量函數(shù)的分布 又如：已知又如：已知t=t0 時刻噪聲電壓時刻噪聲電壓 V的分布，的分布， 求功率求功率 W=V2/R (R為電阻）的分布等為電阻）的分布等. t 0 t 0 一般地、設(shè)隨機變量一般地、設(shè)隨機變量X 的分布已知，的分布已知， Y=g (X) (設(shè)設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的的 分布求出分布求出 Y 的分布？的分布？ 這個問題無論在實踐中還是在理論這個問題無論在實踐中還是在理論 上都是重要的上都是重要的. 二、離散型隨機變量函數(shù)的分布二、離散型隨機變量函數(shù)的分布 解：解： 當(dāng)當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時，時， Y 取對應(yīng)值取對應(yīng)值 5，7，

40、13， 例例1設(shè)設(shè)X 3 . 0 5 5 . 02 . 0 21 求求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù)的概率函數(shù). 30 13 5020 75 . Y 而且而且X取某值與取某值與Y取其對應(yīng)值是相同的事件取其對應(yīng)值是相同的事件， 兩者具有相同的概率兩者具有相同的概率. 故故 如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng) 并項即可并項即可. 一般，若一般，若X是離散型是離散型 r.v ，X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為 X n n ppp xxx 21 21 則則 Y=g(X) n n ppp xgxgxg 21 21 )()()( 如：如： X 1 . 0 1 6 .

41、 03 . 0 01 則則 Y=X2 的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為： 4060 10 . Y 三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 解：設(shè)解：設(shè)Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)， 例例2 設(shè)設(shè) X 其它, 0 40, 8/ )( xx xfX 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度. FY(y)=P Y y = P 2X+8 y =P X = FX( ) 2 8y 2 8y 于是于是Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù) 2 1 ) 2 8 ( )( )( y f dy ydF yf X Y Y 0 )28( yfX 16 8) 2 8( yyf X 故故 其它, 0 168, 3

42、2 8 )( y y yfY 2 1 ) 2 8 ( )( )( y f dy ydF yf X Y Y 注意到注意到 0 x 4 時，時， 0)( xf X 即即 8 y 0 時時,)(yYPyF Y 2 yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故當(dāng)，故當(dāng) y 0時，時， 0)(yF Y )(xFX)(yF Y解：解： 設(shè)設(shè)Y和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 和和 ， )()(yFyF XX 若若 e x xfX 2 2 2 1 )( 則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為： 0, 0 0, 2 1 )( 2 2 1 y y yf e y y Y 0, 0 0, )()( 2 1 )(

43、 )( y yyfyf y dy ydF yf XX Y Y x 從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求P(Yy) 的過的過 程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從從 g(X) y 中解出中解出X, 從而得到與從而得到與 g(X) y 等價的等價的X的不等式的不等式 . 例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 2 8y 用用 代替代替 X2 y yXy 這樣做是為了利用已知的這樣做是為了利用已知的 X的分布，從的分布，從 而求出相應(yīng)的概率而求出相應(yīng)的概率. 這是求這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法的函數(shù)的分布的一種常用方法. 例例4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率

44、密度為的概率密度為 其它0 0 2 )( 2 x x xf 求求Y=sinX的概率密度的概率密度. , 0)(yF Y 當(dāng)當(dāng) y 0時時, 當(dāng)當(dāng) y 1時時, 1)(yF Y 10 y x0當(dāng)當(dāng)時時 故故 解：注意到解：注意到, )(yYPyF Y sinyXP =P0 X arcsiny+P - arcsiny X y dx x arcsin 0 2 2 y dx x arcsin 2 2 當(dāng)當(dāng)0y1, G(y)=1;對對y0 , G(y)=0; 10 y由于由于 對對0y1,G(y)=P(Y y) =P(F(X) y) =P(X (y) 1 F 1 F=F( (y)= y 1, 1 10, 0, 0 )( y yy y yG 即即Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 其它, 0 10, 1 )( y yg 求導(dǎo)得求導(dǎo)得Y的密度函數(shù)的密度函數(shù) 可見可見, Y 服從服從0，1上的均勻分布上的均勻分布. 本例的結(jié)論在計算機模擬中有重要的應(yīng)用本例的結(jié)論在計算機模擬中有重要的應(yīng)用. 其它, 0 , )( )( )( bya dy ydh yhf yfY 其