概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 課件 第2章 隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)學(xué)經(jīng)典】

1、應(yīng)用數(shù)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)理學(xué)院 第二章 隨機(jī)變量 第一節(jié) 隨機(jī)變量 一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生 在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù) 量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念量來(lái)表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念. 1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身 就是一個(gè)數(shù)）就是一個(gè)數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； 七月份北京的最高溫度；七月份北京的最高溫度； 每天從北京下火車的人數(shù)；每天從北京下火車的人數(shù)； 昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)； 2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú)、在有些試驗(yàn)

2、中，試驗(yàn)結(jié)果看來(lái)與數(shù)值無(wú) 關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來(lái)表示它的各 種結(jié)果種結(jié)果.也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化. 正如裁判員在運(yùn)動(dòng)正如裁判員在運(yùn)動(dòng) 場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的 名字而叫號(hào)碼一樣，名字而叫號(hào)碼一樣， 二者建立了一種對(duì)二者建立了一種對(duì) 應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系. 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種 實(shí)值函數(shù)實(shí)值函數(shù). e. X(e) R 這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到 的函數(shù)一樣嗎？的函數(shù)一樣嗎？ （1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，）它隨試驗(yàn)結(jié)果

3、的不同而取不同的值， 因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍， 而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值. （2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概 率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確 定范圍內(nèi)的值也有一定的概率定范圍內(nèi)的值也有一定的概率. 稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)為稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)為 隨隨 量量 機(jī)機(jī)變變 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 r.v.(random variable) 而表示隨機(jī)變量所取的值而表示隨機(jī)變量所取的值 時(shí)時(shí),一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z

4、等等. 隨機(jī)變量通常用大寫字母隨機(jī)變量通常用大寫字母 X,Y,Z或希臘字母或希臘字母,等表示等表示 例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一例如，從某一學(xué)校隨機(jī)選一 學(xué)生，測(cè)量他的身高學(xué)生，測(cè)量他的身高. 我們可以把可能的我們可以把可能的 身高看作隨機(jī)變量身高看作隨機(jī)變量X, 然后我們可以提出關(guān)于然后我們可以提出關(guān)于X的各種問題的各種問題. 如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=? P(1.5X1.7)=? 有了隨機(jī)變量有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件， 就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái). 二、引入隨機(jī)變量的意義二、引入隨機(jī)變量的意義 如：?jiǎn)挝粫r(shí)

5、間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼 叫次數(shù)用叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X= 0 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展 史上的重大事件史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后，對(duì)引入隨機(jī)變量后，對(duì) 隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件 及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及 其取值規(guī)律的研究其取值規(guī)律的研究. 事件及事件及 事件概率事件概率 隨機(jī)變量及其隨機(jī)變量及其 取值規(guī)律取值規(guī)律 四

6、、隨機(jī)變量的分類四、隨機(jī)變量的分類 通常分為兩類：通常分為兩類： 如如“取到次品的個(gè)數(shù)取到次品的個(gè)數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)收到的呼叫數(shù)”等等. 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 所有取值可以逐個(gè)所有取值可以逐個(gè) 一一列舉一一列舉 例如，例如，“電視機(jī)的壽命電視機(jī)的壽命”，實(shí)，實(shí) 際中常遇到的際中常遇到的“測(cè)量誤差測(cè)量誤差”等等. 全部可能取值不僅全部可能取值不僅 無(wú)窮多，而且還不能無(wú)窮多，而且還不能 一一列舉，而是充滿一一列舉，而是充滿 一個(gè)區(qū)間一個(gè)區(qū)間. 這兩種類型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變這兩種類型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變 量，自然有很多相同或

7、相似之處；但因其取量，自然有很多相同或相似之處；但因其取 值方式不同，又有其各自的特點(diǎn)值方式不同，又有其各自的特點(diǎn). 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 學(xué)習(xí)時(shí)請(qǐng)注意它們各自的特點(diǎn)和描述方法學(xué)習(xí)時(shí)請(qǐng)注意它們各自的特點(diǎn)和描述方法. 設(shè)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取 的值是的值是 x1, x2 , . 為了描述隨機(jī)變量為了描述隨機(jī)變量 X ，我們不僅需，我們不僅需 要知道隨機(jī)變量要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道的取值，而且還應(yīng)知道 X取每個(gè)值的概率取每個(gè)值的概率. 第二章第二章 第二節(jié)第二節(jié) 離散型隨機(jī)變量離散型

8、隨機(jī)變量 這樣，我們就掌握了這樣，我們就掌握了X這個(gè)這個(gè) 隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律. 從中任取從中任取3 個(gè)球個(gè)球 取到的白球數(shù)取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量 X可能取的值是可能取的值是0,1,2 取每個(gè)值的概率為取每個(gè)值的概率為 10 1 ) 0( 3 5 3 3 C C XP 10 6 ) 1( 3 5 1 2 2 3 C CC XP 10 3 )2( 3 5 2 2 1 3 C CC XP 例例1 且且 3 1 1 i iXP)( 其中其中 (k=1,2, ) 滿足：滿足：k p , 0 k p k=1,2, （1） k k p1 （2） 定義定義1 ：設(shè)

9、：設(shè)xk(k=1,2, )是離散型隨是離散型隨 機(jī)變量機(jī)變量X所取的一切可能值，稱所取的一切可能值，稱 k=1,2, ,)( kk pxXP 為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布的概率分布或分布 律，有的書上也稱概率函數(shù)律，有的書上也稱概率函數(shù). 用這兩條性質(zhì)判斷用這兩條性質(zhì)判斷 一個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)函數(shù)是否是 概率概率分布分布 一、離散型隨機(jī)變量概率分布的定義一、離散型隨機(jī)變量概率分布的定義 解解: 依據(jù)概率分布的性質(zhì)依據(jù)概率分布的性質(zhì): k kXP1)( P(X =k)0, 1 ! 0 ae k a k k a0 從中解得從中解得 欲使上述函數(shù)為概率分布欲使上述函數(shù)為概率分布

10、應(yīng)有應(yīng)有 ea 0k k k e ! 這里用到了常見的這里用到了常見的 冪級(jí)數(shù)展開式冪級(jí)數(shù)展開式 例例2. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為：的概率分布為： , ! )( k akXP k k =0,1,2, , 試確定常數(shù)試確定常數(shù)a . 0 二、表示方法二、表示方法 （1）列表法：）列表法： （2）公式法）公式法 10 3 10 6 10 1 210 X 2 , 1 , 0,)( 3 5 2 3 3 k C CC kXP kk 再看例再看例1 任取任取3 個(gè)球個(gè)球 X為取到的白球數(shù)為取到的白球數(shù) X可能取的值可能取的值 是是0,1,2 三、舉例三、舉例 例例3. 某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率

11、是某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求，求 他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布的概率分布. 解：解： X可取可取0、1、2為值為值 P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1 常常表示為：常常表示為： 81. 018. 001. 0 210 X 這就是這就是X的概率分布的概率分布. 例例 4 4 如上圖所示如上圖所示. .電子線路中裝有兩個(gè)并聯(lián)的電子線路中裝有兩個(gè)并聯(lián)的 繼電器繼電器. .假設(shè)這兩個(gè)繼電器是

12、否接通具有隨機(jī)假設(shè)這兩個(gè)繼電器是否接通具有隨機(jī) 性性, ,且彼此獨(dú)立且彼此獨(dú)立. .已知每個(gè)電器接通的概率為已知每個(gè)電器接通的概率為 0.8,0.8,記記X X為線路中接通的繼電器的個(gè)數(shù)為線路中接通的繼電器的個(gè)數(shù). . 求求:(1)X:(1)X的分布律的分布律. . (2) (2)線路接通的概率線路接通的概率. . 解解: ( (1).1).記記A Ai i=第第i i個(gè)繼電器接通個(gè)繼電器接通,i=1,2.,i=1,2. 兩個(gè)繼電器是否接通是相互獨(dú)立的兩個(gè)繼電器是否接通是相互獨(dú)立的, , A A1 1和和A A2 2相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,另外另外P(AP(A1 1)=P(A)=P(A2 2)=

13、0.8.)=0.8.下面下面 求求X X的分布律的分布律. . 首先首先: :X X可能取可能取0,1,2,0,1,2,三個(gè)值三個(gè)值. . PX=0=P PX=0=P表示兩個(gè)繼電器都沒接通表示兩個(gè)繼電器都沒接通 04. 02 . 02 . 0)()()( 2121 APAPAAP 轉(zhuǎn)下頁(yè) 32. 08 . 02 . 02 . 08 . 0 )()()()( )()()()( 2121 21212121 APAPAPAP AAPAAPAAAAP PX=1=PPX=1=P恰有一個(gè)繼電器接通恰有一個(gè)繼電器接通 64. 08 . 08 . 0)()()( 2121 APAPAAP PX=2=PPX=2

14、=P兩個(gè)繼電器都接通兩個(gè)繼電器都接通 , , X X的分布律為的分布律為 X 0 01 12 2 p p k k 0 . 0 40 . 3 20 . 6 4 2) 2) 是并聯(lián)電路是并聯(lián)電路 P( P(線路接通線路接通) ) =P( =P(只要一個(gè)繼電器接通只要一個(gè)繼電器接通)=PX1)=PX1 =PX=1+PX=2=0.32+0.64=0.96. =PX=1+PX=2=0.32+0.64=0.96. ( (二二) )常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布 (I) (I) 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 設(shè)設(shè)E E是一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的是一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn), ,

15、用用= 1 1, , 2 2 表示其樣本空間表示其樣本空間. . P( P( 1 1)=p , P()=p , P( 2 2)=1-p)=1-p l來(lái)源來(lái)源 X()= 1, = 1 0, = 2 200200件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中, ,有有196196件是正品件是正品,4,4 件是次品件是次品, ,今從中隨機(jī)地抽取一件今從中隨機(jī)地抽取一件, ,若規(guī)若規(guī) 定定 例例 5 5 X()= 1, 取到合格品 0, 取到不合格品 則則 PX=1=196/200=0.98, PX=1=196/200=0.98, PX=0=4/200=0.02 PX=0=4/200=0.02 故故 X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為0.

16、980.98的兩點(diǎn)分布的兩點(diǎn)分布 . . 即即 X X B(1,0.98). B(1,0.98). 例例6 設(shè)生男孩的概率為設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為生女孩的概率為 q=1-p，令令X表示隨機(jī)抽查出生的表示隨機(jī)抽查出生的4 4個(gè)嬰兒個(gè)嬰兒 中中“男孩男孩”的個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù). . 貝努里概型貝努里概型 和和 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布(II) 我們來(lái)求我們來(lái)求X的概率分布的概率分布. . 4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 ( 4 4 kppCkXP kkk X的概率分布是：的概率分布是： 男男 女女 X表示隨機(jī)抽查的表示隨機(jī)抽查的4 4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)， 生男孩的概率為生

17、男孩的概率為 p. X=0 X =1X =2X =3X =4 X可取值可取值0,1,2,3,4. 例例7 將將一枚均勻骰子拋擲一枚均勻骰子拋擲3次，次， 令令X 表示表示3 3次中出現(xiàn)次中出現(xiàn)“4”4”點(diǎn)的次數(shù)點(diǎn)的次數(shù) 3 , 2 , 1 , 0,) 6 5 () 6 1 ( 3 3 kCkXP kkk X的概率分布是：的概率分布是： 不難求得，不難求得， 擲骰子：擲骰子：“擲出擲出4 4點(diǎn)點(diǎn)”，“未擲出未擲出4 4點(diǎn)點(diǎn)” 一般地，一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè) 互逆的結(jié)果：互逆的結(jié)果：A或或 ， 或者形象地把兩個(gè)互或者形象地把兩個(gè)互 逆結(jié)果叫做逆結(jié)果叫做“成

18、功成功”和和“失敗失敗”. . A 新生兒：新生兒：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩” 抽驗(yàn)產(chǎn)品：抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品是正品”，“是次品是次品” 再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)次獨(dú)立試驗(yàn) ( “( “重復(fù)重復(fù)”是指這次試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件是指這次試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件 相同相同 ) ) 這樣的這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作n重貝努里重貝努里 試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努里試驗(yàn)或試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努里試驗(yàn)或貝努里概型貝努里概型. . 每次試驗(yàn)成功的概率都是每次試驗(yàn)成功的概率都是p，失敗的概率，失敗的概率 都是都是q=1-=1-p. . 用用X表示表示n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A（

19、成成 功功）出現(xiàn)的次數(shù)，則）出現(xiàn)的次數(shù)，則 nkppCkXP knkk n , 1 , 0,)1 ()( 稱稱r.v.r.v.X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n和和p的二項(xiàng)分布，記作的二項(xiàng)分布，記作 XB(n,p) B來(lái)自于來(lái)自于binomial(二項(xiàng)式二項(xiàng)式)的第一個(gè)字母的第一個(gè)字母 注注: 貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能 的要求，但有下述要求：的要求，但有下述要求： （1）每次試驗(yàn)條件相同；）每次試驗(yàn)條件相同； 二項(xiàng)分布描述的是二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn) “成功成功”次數(shù)次數(shù)X的概率分布的概率分布. （2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果）每次試驗(yàn)

20、只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或或 ， A 且且P(A)=p ， ； pAP1)( （3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立. . 例例8 某類燈泡使用時(shí)數(shù)在某類燈泡使用時(shí)數(shù)在2000小時(shí)以上視為正小時(shí)以上視為正 品品. .已知有已知有一大批一大批這類的燈泡這類的燈泡, ,其次品率是其次品率是0.2. . 隨機(jī)抽出隨機(jī)抽出2020只燈泡做壽命試驗(yàn)只燈泡做壽命試驗(yàn), ,求這求這2020只燈泡只燈泡 中恰有中恰有3 3只是次品的概率只是次品的概率. . 解解: : 設(shè)設(shè)X為為2020只燈泡中次品的個(gè)只燈泡中次品的個(gè)數(shù)數(shù) ,則則. X B (20, 0.2)， (見新版書上見新版書上P34,舊版書舊版書P36

21、表表) ,)8 . 0()2 . 0()( 20 20 kkk CkXP .20,.,1 ,0k 下面我們研究二項(xiàng)分布下面我們研究二項(xiàng)分布B(n,p)B(n,p)和兩和兩 點(diǎn)分布點(diǎn)分布B(1,p)B(1,p)之間的一個(gè)重要關(guān)系之間的一個(gè)重要關(guān)系. . 說(shuō)明說(shuō)明 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E E只有兩個(gè)結(jié)果只有兩個(gè)結(jié)果:A:A和和 . . 記記p=P(A),p=P(A),則則P( )= 1- p ,0p1,P( )= 1- p ,0p0 是常數(shù)是常數(shù),則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的 泊松分布泊松分布,記作記作XP( ). (III) 泊松分布 易見易見 0 1 ! ,2,1,00 k k e k k

22、kXP 例例9 9 某一無(wú)線尋呼臺(tái)某一無(wú)線尋呼臺(tái), ,每分鐘收到尋呼的次每分鐘收到尋呼的次 數(shù)數(shù)X X服從參數(shù)服從參數(shù) =3=3的泊松分布的泊松分布. . 求求:(1):(1)一分鐘內(nèi)恰好收到一分鐘內(nèi)恰好收到3 3次尋呼的概率次尋呼的概率. . (2) (2)一分鐘內(nèi)收到一分鐘內(nèi)收到2 2至至5 5次尋呼的概率次尋呼的概率. 解解: (1)PX=3=p(3;3)=(3 (1)PX=3=p(3;3)=(33 3/3!)e/3!)e-3 -30.2240 0.2240 (2) P2X5 (2) P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(3 =

23、(32 2/2!)+(3/2!)+(33 3/3!)+(3/3!)+(34 4/4!)+(3/4!)+(35 5/5!)e/5!)e-3 -3 0.7169 0.7169 解解: 例例 1010 某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X X服從參數(shù)服從參數(shù) 為為0.80.8的泊松分布的泊松分布. . 求求: :該城市一天內(nèi)發(fā)生該城市一天內(nèi)發(fā)生3 3次以上火災(zāi)的概率次以上火災(zāi)的概率. . PX3=1- PX3PX3=1- PX0， 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. (Normal) (II)、正態(tài)分布、正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),( 2 N 正態(tài)分

24、布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對(duì)對(duì) 稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線. . 特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”. . 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形 中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),( 2 N 故故f(x)以以為對(duì)稱軸，并在為對(duì)稱軸，并在x=處達(dá)到最大值處達(dá)到最大值: : xexf x ,)( )( 2 2 2 2 1 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分別代入分別代入f (x), 可得可得 f (+ +c)=f (- -c) 且且 f (+ +c) f (

25、), f (- -c)f () 2 1 )(f 當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，f(x) 0, , 這說(shuō)明這說(shuō)明f (x)以以x軸為漸近線。軸為漸近線。 用求導(dǎo)的方法可以證明，用求導(dǎo)的方法可以證明， xexf x ,)( )( 2 2 2 2 1 為為f (x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 x = 這是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如果忘記了，課下這是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如果忘記了，課下 再?gòu)?fù)習(xí)一下。再?gòu)?fù)習(xí)一下。 實(shí)例實(shí)例 年降雨量問題，我們用上海年降雨量問題，我們用上海99年年 年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。 從直方圖，我們可以初步看出，年降從直方圖，我們可以初步看出，年降 雨量

26、近似服從正態(tài)分布。雨量近似服從正態(tài)分布。 下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的 數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。 紅線紅線是擬是擬 合的正態(tài)合的正態(tài) 密度曲線密度曲線 可見，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng)可見，某大學(xué)大學(xué)生的身高應(yīng) 服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。 人的身高高低不等，但中等身材的占大人的身高高低不等，但中等身材的占大 多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較 高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個(gè)方高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個(gè)方 面反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特面反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特 點(diǎn)。點(diǎn)。 除了我們?cè)谇懊嬗龅?/p>

27、過(guò)的年降雨量和除了我們?cè)谇懊嬗龅竭^(guò)的年降雨量和 身高外身高外, ,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)， 如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作 物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差， 射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等 等，都服從或近似服從正態(tài)分布等，都服從或近似服從正態(tài)分布. . (III) 、設(shè)、設(shè)X , ),( 2 N 定義函數(shù)是定義函數(shù)是 xdtexF x t ,)( )( 2 2 2 2 1 dtex x t 2 2 2 1 )( (IV)(IV)

28、、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 1, 0的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . xex x , 2 1 )( 2 2 其密度函數(shù)和相應(yīng)函數(shù)常用其密度函數(shù)和相應(yīng)函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x )(x )(x 它的依據(jù)是下面的定理：它的依據(jù)是下面的定理： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)任何一個(gè) 一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. . 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布 函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概函數(shù)制成表，就可以解決一般正

29、態(tài)分布的概 率計(jì)算問題率計(jì)算問題. . ),( 2 NX X Y , ,則則 N(0,1) 設(shè)設(shè) 定理定理1 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了 它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表. . （V V）、正態(tài)分布表）、正態(tài)分布表 )(1)(xx dtex x t 2 2 2 1 )( 表中給的是表中給的是x0時(shí)時(shí), (x)的值的值. 當(dāng)當(dāng)-x175的概率為 P X175=1751XP )65. 0(1) 69. 7 170175 (1 =0.2578 解解: (2) : (2) 設(shè)車門高度為設(shè)車門高度為h cm, ,按

30、設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求 P(X h)0.01 或或 P(X h) 0.99， 下面我們來(lái)求滿足上式的最小的下面我們來(lái)求滿足上式的最小的 h. . （2 2）公共汽車車門的高度是按成年）公共汽車車門的高度是按成年 男性與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在男性與車門頂頭碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下以下 來(lái)設(shè)計(jì)的，問車門高度應(yīng)如何確定來(lái)設(shè)計(jì)的，問車門高度應(yīng)如何確定? ? 因?yàn)橐驗(yàn)閄N( (170,7.,7.692),), ) 1 , 0( 69. 7 170 N X ) 69. 7 170 ( h 故故 P(X0.99 69. 7 170h 所以所以 = =2.33, , 即即 h=170+17.92 188 設(shè)計(jì)車門高度為

31、設(shè)計(jì)車門高度為 188厘米時(shí)，可使厘米時(shí)，可使 男子與車門碰頭男子與車門碰頭 機(jī)會(huì)不超過(guò)機(jī)會(huì)不超過(guò)0.01. . P(X h ) 0.99求滿足求滿足的最小的的最小的h . 若若 r.v. X的概率密度為：的概率密度為： 則稱則稱X服從區(qū)間服從區(qū)間 a, b上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作： X Ua, b )(xf a b 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf 二、均勻分布二、均勻分布(Uniform) （注：（注：X U（a, b） 均勻分布常見于下列情形：均勻分布常見于下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù) 點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差

32、，例如對(duì)小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差，例如對(duì)小數(shù)點(diǎn) 后第一位進(jìn)行四舍五后第一位進(jìn)行四舍五 入時(shí)，那么一般認(rèn)為誤入時(shí)，那么一般認(rèn)為誤 差服從（差服從（-0.5, 0.5）上的均勻分布。）上的均勻分布。 若X Ua, b，則對(duì)于滿足，則對(duì)于滿足bdca 的c,d, 總有 ab cd dxxfdXcP d c )( 則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布. 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究 中，如元件的壽命中，如元件的壽命. 三、指數(shù)分布：三、指數(shù)分布：若若 r.v X具有概率密度具有概率密度 00 0 )( x xe xf x 0 常簡(jiǎn)記為常簡(jiǎn)記為 XE

33、( ) . （三）、隨機(jī)變量的分布函數(shù)（三）、隨機(jī)變量的分布函數(shù) 設(shè)設(shè)X(X( ) )是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. . 稱函數(shù)稱函數(shù) F(x):= PXx,-x F(x):= PXx,-x 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)的分布函數(shù). . l分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì) （1 1） ab,ab,總有總有F(a)F(b)(F(a)F(b)(單調(diào)非減性單調(diào)非減性) ) （2 2）F(x)F(x)是一個(gè)右連續(xù)的函數(shù)是一個(gè)右連續(xù)的函數(shù) （3 3） x x R R1 1 , ,總有總有0F(x)1(0F(x)1(有界性有界性),),且且 l定義定義 1)(lim0)(lim xFxF xx )()

34、(lim)()(lim FxFFxF xx 為記為記 證明證明: 僅證僅證(1) aXb=XbaaXa =Xb-Xa, =Xb-Xa,而而XaXa Xb. Xb. PaXb= PXb- PXa PaXb= PXb- PXa =F(b)- F(a). =F(b)- F(a). 又又PaXb0, PaXb0, F(a)F(b).F(a)F(b). 上述證明中我們得到一個(gè)重要公式上述證明中我們得到一個(gè)重要公式: : Pa PaXb=F(b)- F(a).Xb=F(b)- F(a). 它表明隨機(jī)變量落在區(qū)間它表明隨機(jī)變量落在區(qū)間(a,b(a,b上的概上的概 率可以通過(guò)它的分布函數(shù)來(lái)計(jì)算率可以通過(guò)它的分

35、布函數(shù)來(lái)計(jì)算. . 注意注意 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X X的分布律為的分布律為 p pk k:= PX=x:= PX=xk k , k=1,2, , k=1,2, X X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) xx k k xXPxXPxF)( xx k xx k kk pxXPxF)( 分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)F(x)是一個(gè)右連續(xù)的函數(shù)是一個(gè)右連續(xù)的函數(shù), ,在在 x=xx=xk k(k=1,2)(k=1,2)處有跳躍值處有跳躍值 p pk k=PX=x=PX=xk k,如下如下 圖圖( (圖圖2.2.1)2.2.1)所示所示 P29,P29,例例2

36、.2.1 X2.2.1 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F(x)=F(x)= 0 x00 x0 0.04 00.04 0X1X1 0.36 10.36 1X2X2 1 2X1 2X 連續(xù)型連續(xù)型 r.v.的分布函數(shù)的分布函數(shù) 即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限即分布函數(shù)是密度函數(shù)的可變上限 的的 定積分定積分. 若若 X 是連續(xù)型是連續(xù)型r.v.， X f (x) , 則則 F(x) = P(X x) = x dttf)( 由上式可得，由上式可得，在在 f (x)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)， )( )( xf dx xdF 下面我們來(lái)求一個(gè)連續(xù)型下面我們來(lái)求一個(gè)連續(xù)型 r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 例例 設(shè)設(shè)r

37、.v X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f (x) 其它0, 11,1 2 )( 2 xx xf 求求 F(x). F(x) = P(X x) = x dttf)( 解：解： 對(duì)對(duì)x 1， F (x) = 1 1, 1 11, 2 1 arcsin 1 1 1, 0 )( 2 x xxx x x xF 即即 注注: 掌握正態(tài)分布掌握正態(tài)分布, 均勻分布均勻分布,指數(shù)分指數(shù)分 布的分布函數(shù)布的分布函數(shù) (書或黑板演示書或黑板演示) 這一講，我們介紹了連續(xù)型隨機(jī)變量、這一講，我們介紹了連續(xù)型隨機(jī)變量、 概率密度函數(shù)及性質(zhì)。概率密度函數(shù)及性質(zhì)。 還介紹了正態(tài)分布，還介紹了正態(tài)分布，它的應(yīng)用極為廣它的應(yīng)用

38、極為廣 泛，在本課程中我們一直要和它打交道泛，在本課程中我們一直要和它打交道. 后面第五章中，我們還將介紹為什么后面第五章中，我們還將介紹為什么 這么多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布這么多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布;還要還要 給出德莫佛極限定理的證明給出德莫佛極限定理的證明. 另外我們簡(jiǎn)單介紹了均勻分布和指另外我們簡(jiǎn)單介紹了均勻分布和指 數(shù)分布數(shù)分布 一、問題的提出一、問題的提出 在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù) 更感興趣更感興趣. 例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布， 4 2 d 求截面面積求截面面積 A= 的分布的分布. 第二章

39、第四節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 又如：已知又如：已知t=t0 時(shí)刻噪聲電壓時(shí)刻噪聲電壓 V的分布，的分布， 求功率求功率 W=V2/R (R為電阻）的分布等為電阻）的分布等. t 0 t 0 一般地、設(shè)隨機(jī)變量一般地、設(shè)隨機(jī)變量X 的分布已知，的分布已知， Y=g (X) (設(shè)設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的的 分布求出分布求出 Y 的分布？的分布？ 這個(gè)問題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論這個(gè)問題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論 上都是重要的上都是重要的. 二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 解：解： 當(dāng)當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時(shí)，時(shí)， Y 取對(duì)應(yīng)值取對(duì)應(yīng)值 5，7，

40、13， 例例1設(shè)設(shè)X 3 . 0 5 5 . 02 . 0 21 求求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù)的概率函數(shù). 30 13 5020 75 . Y 而且而且X取某值與取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是相同的事件取其對(duì)應(yīng)值是相同的事件， 兩者具有相同的概率兩者具有相同的概率. 故故 如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng) 并項(xiàng)即可并項(xiàng)即可. 一般，若一般，若X是離散型是離散型 r.v ，X的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為 X n n ppp xxx 21 21 則則 Y=g(X) n n ppp xgxgxg 21 21 )()()( 如：如： X 1 . 0 1 6 .

41、 03 . 0 01 則則 Y=X2 的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為： 4060 10 . Y 三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 解：設(shè)解：設(shè)Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)， 例例2 設(shè)設(shè) X 其它, 0 40, 8/ )( xx xfX 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度. FY(y)=P Y y = P 2X+8 y =P X = FX( ) 2 8y 2 8y 于是于是Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù) 2 1 ) 2 8 ( )( )( y f dy ydF yf X Y Y 0 )28( yfX 16 8) 2 8( yyf X 故故 其它, 0 168, 3

42、2 8 )( y y yfY 2 1 ) 2 8 ( )( )( y f dy ydF yf X Y Y 注意到注意到 0 x 4 時(shí)，時(shí)， 0)( xf X 即即 8 y 0 時(shí)時(shí),)(yYPyF Y 2 yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故當(dāng)，故當(dāng) y 0時(shí)，時(shí)， 0)(yF Y )(xFX)(yF Y解：解： 設(shè)設(shè)Y和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 和和 ， )()(yFyF XX 若若 e x xfX 2 2 2 1 )( 則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為： 0, 0 0, 2 1 )( 2 2 1 y y yf e y y Y 0, 0 0, )()( 2 1 )(

43、 )( y yyfyf y dy ydF yf XX Y Y x 從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求P(Yy) 的過(guò)的過(guò) 程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從從 g(X) y 中解出中解出X, 從而得到與從而得到與 g(X) y 等價(jià)的等價(jià)的X的不等式的不等式 . 例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 2 8y 用用 代替代替 X2 y yXy 這樣做是為了利用已知的這樣做是為了利用已知的 X的分布，從的分布，從 而求出相應(yīng)的概率而求出相應(yīng)的概率. 這是求這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法的函數(shù)的分布的一種常用方法. 例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率

44、密度為的概率密度為 其它0 0 2 )( 2 x x xf 求求Y=sinX的概率密度的概率密度. , 0)(yF Y 當(dāng)當(dāng) y 0時(shí)時(shí), 當(dāng)當(dāng) y 1時(shí)時(shí), 1)(yF Y 10 y x0當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 故故 解：注意到解：注意到, )(yYPyF Y sinyXP =P0 X arcsiny+P - arcsiny X y dx x arcsin 0 2 2 y dx x arcsin 2 2 當(dāng)當(dāng)0y1, G(y)=1;對(duì)對(duì)y0 , G(y)=0; 10 y由于由于 對(duì)對(duì)0y1,G(y)=P(Y y) =P(F(X) y) =P(X (y) 1 F 1 F=F( (y)= y 1, 1 10, 0, 0 )( y yy y yG 即即Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 其它, 0 10, 1 )( y yg 求導(dǎo)得求導(dǎo)得Y的密度函數(shù)的密度函數(shù) 可見可見, Y 服從服從0，1上的均勻分布上的均勻分布. 本例的結(jié)論在計(jì)算機(jī)模擬中有重要的應(yīng)用本例的結(jié)論在計(jì)算機(jī)模擬中有重要的應(yīng)用. 其它, 0 , )( )( )( bya dy ydh yhf yfY 其