dvd租賃優(yōu)化數(shù)學(xué)建模論文

1、dvd租賃優(yōu)化模型高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽的題目是： 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚?/p>

2、完整的全名）： 參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）： dvd租賃優(yōu)化模型摘要dvd在線租賃問題是涉及到網(wǎng)站經(jīng)營商和對網(wǎng)站會員的服務(wù)雙方利益的典型商業(yè)問題。本文針對租賃過程中可能出現(xiàn)的幾種情況給出了較為合理的網(wǎng)站購買和分配dvd的方案，最后還給出了會員滿

3、意度與網(wǎng)站dvd購買量的關(guān)系曲線，并得出了兩者關(guān)系符合經(jīng)濟(jì)學(xué)中“邊際效應(yīng)”的結(jié)論。對已知會員需求，要求給出網(wǎng)站各類dvd購買量決策的問題，會員歸還量與購買量之和需要滿足題目給定的滿足一定比例會員需求的條件。通過假設(shè)會員dvd的歸還量符合二項分布，并利用概率論中大數(shù)定律，可以求得歸一化的dvd歸還量這一隨機(jī)變量滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。此時，不同的購買量會影響滿足題目條件的概率。于是我們求得了在不同概率下，dvd所需的購買量。由數(shù)據(jù)看出，不同概率下dvd的購買量相差不多，但由此造成的風(fēng)險與利潤都是相當(dāng)大的。由此論證了網(wǎng)站經(jīng)營商追求利潤與保守經(jīng)營的根本原因。其中，置信概率為0.99時，滿足一個月內(nèi)50%的

4、會員看到想看的dvd，則dvd1至dvd5的購買量如下：6199、3089、1538、764、302。滿足一(三)個月內(nèi)95%的會員看到想看的dvd的購買方案如下：3935、1963、978、487、193。對網(wǎng)站已有dvd數(shù)量和已知會員需求的條件下，通過調(diào)整dvd分配使會員滿意度達(dá)到最大的問題。采用了運(yùn)籌學(xué)中目標(biāo)規(guī)劃的知識，列出了以會員平均標(biāo)準(zhǔn)滿意度為目標(biāo)函數(shù)的規(guī)劃模型，并分別運(yùn)用lingo和matlab兩種數(shù)學(xué)工具求得最大平均標(biāo)準(zhǔn)滿意度為0.889和0.8943。表明了在已有dvd數(shù)量的條件下，通過適當(dāng)?shù)姆峙洌梢曰緷M足會員要求。對已知會員需求，要求通過購買最少量的dvd來使95%會員滿

5、意度最大的問題，通過分析表明了屬于多目標(biāo)規(guī)劃問題。利用第二問的規(guī)劃模型，采用雙目標(biāo)規(guī)劃，同時以購買量和滿意度為目標(biāo)函數(shù)。并采用將滿意度目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為軟約束的方法將其轉(zhuǎn)化為但目標(biāo)函數(shù)，并分別利用lingo和matlab兩大軟件求的的各dvd的最小購買量和最大滿意度，其中最大滿意度分別為對dvd租賃中關(guān)于需求預(yù)測、購買和分配中的其他問題還有很多，本文提出了預(yù)測中常用的簡單隨機(jī)抽樣、分類預(yù)測、關(guān)聯(lián)預(yù)測等三種方法；購買dvd的分段購買策略及建立專門的配送中心等方法，用于強(qiáng)化網(wǎng)站經(jīng)營管理，提高網(wǎng)站收益。關(guān)鍵詞: 滿意度 熱門指數(shù) 多目標(biāo)規(guī)劃 01整數(shù)規(guī)劃 邊際效應(yīng)一、問題重述為在線租賃dvd，顧客需繳納

6、一定數(shù)量的月費成為會員，訂購dvd租賃服務(wù)。會員通過在線提交訂單的方式來滿足自己的要求；會員提交的訂單包括10張想看的dvd，并按照其偏愛程度排序，網(wǎng)站將根據(jù)訂單和擁有的dvd數(shù)目進(jìn)行dvd的分配。每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張dvd?？赐旰蠓旁谥付ㄠ]箱便算歸還了dvd?？紤]以下四問：1）網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的dvd，通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了愿意觀看這些dvd的人數(shù)（表1給出了其中5種dvd的數(shù)據(jù)）。此外，歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃dvd兩次，而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對表1中的每種dvd來說，應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該d

7、vd的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該dvd？如果要求保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該dvd呢？2）表2中列出了網(wǎng)站手上100種dvd的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會員的在線訂單（表2的數(shù)據(jù)格式示例如下表2，具體數(shù)據(jù)請從3）繼續(xù)考慮表2，并假設(shè)表2中dvd的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種dvd的購買量，以及如何對這些dvd進(jìn)行分配，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的dvd，并且滿意度最大？4）如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在dvd的需求預(yù)測、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。二、問題分析dvd

8、在線租賃涉及到網(wǎng)站與網(wǎng)站會員會員雙方的利益，既要考慮網(wǎng)站經(jīng)營租賃業(yè)務(wù)需購買一定量各種dvd的成本，又要考慮到滿足會員的訂單要求。影響dvd租賃的因素有網(wǎng)站的知名度、信譽(yù)度，網(wǎng)站dvd的持有量，網(wǎng)站會員的人數(shù)，網(wǎng)站對dvd的借還機(jī)制，dvd的質(zhì)量，會員的偏好，、經(jīng)濟(jì)狀況、年齡階層、社會階層、知識水平等等。經(jīng)過初步分析及查閱大量相關(guān)資料，剔除了一些無關(guān)緊要和相同影響的因素，僅考慮網(wǎng)站對dvd的持有量，借還機(jī)制，并用會員的訂單涵蓋會員的一切因素1。基于我們對問題的前期分析，網(wǎng)站對dvd的分配是可控的決策變量。而會員的訂單要求、dvd的借還機(jī)制，即借還規(guī)則，是不可控的因素。通過對1000個會員的問卷調(diào)

9、查，得到了會員想觀看各種dvd的數(shù)據(jù)，由此我們可以得到10萬名會員想觀看各種dvd的比例。又歷史數(shù)據(jù)顯示60%的會員每月租賃兩次，40%的會員每月租賃一次，由此可知我們可以在單位月內(nèi)考慮問題。經(jīng)過查閱大量資料可以假設(shè)每月僅在1號和15號對dvd進(jìn)行分配，即考慮借還周期為15天2。又由于所還dvd數(shù)量是一個隨機(jī)變量，利用概率論知識可知各類dvd歸還數(shù)量服從概率為0.6冪值為什么是這個概率值？為網(wǎng)站擁有dvd數(shù)量的二項分布。根據(jù)題意，歸還dvd數(shù)量與網(wǎng)站原有dvd數(shù)量之和若能滿足想看該類dvd的一定比例人數(shù)的需求，則此時dvd數(shù)量為所需dvd的最少量。又由大數(shù)定律可以求得滿足不同置信度的各類dvd

10、數(shù)量。至此可以求得不同置信概率下的dvd數(shù)量。當(dāng)給出100種dvd的1000名會員的訂單時，若已知網(wǎng)站對各類dvd的持有量，要求一種最佳的分配方案，是的會員的滿意度為最大，只需考慮提出一種衡量會員滿意度的標(biāo)準(zhǔn)，即某一會員借到某一種dvd的滿意程度。這樣便能確定任意一種分配方案下會員的滿意度。經(jīng)過分析及查閱資料可知會員的滿意度可以采用會員對各類dvd的偏愛程度的倒數(shù)的加和來表示3。每個會員對各類dvd的偏愛程度由題目附表2給出，并注意偏愛程度為0的滿意度也置為0。由以上所述，可以建立一個以標(biāo)準(zhǔn)滿意度為目標(biāo)函數(shù)、會員借用dvd數(shù)限制和dvd總數(shù)限制等其他條件為約束的規(guī)劃模型。通過lingo以及設(shè)計

11、matlab貪婪算法可以解得此模型。若網(wǎng)站的各類dvd數(shù)量都為0，要求通過購買各類dvd來滿足會員需求，并要求購買最少的dvd，來滿足95%的會員最想看的要求并使?jié)M意度最大。則該問題變成了多目標(biāo)規(guī)劃的問題。既要使購買dvd數(shù)量最少，又要使會員滿意度最大，通過調(diào)整決策變量，在相關(guān)借還機(jī)制的約束條件下，建立了多目標(biāo)的規(guī)劃模型。而對多目標(biāo)規(guī)劃問題的處理一般可以分為兩種方法：一種為將其中一個目標(biāo)指定一個限值，將其轉(zhuǎn)化為另一個目標(biāo)的軟約束條件；另一種為給兩個目標(biāo)設(shè)定一個系數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為單一目標(biāo)規(guī)劃問題4。本文中采取后者，并通過設(shè)定不同程度的軟約束，比較所得目標(biāo)值的關(guān)系。實際操作時，將滿意度目標(biāo)轉(zhuǎn)化為軟約

12、束條件，來求解dvd購買量的最小值。同理可以采用lingo以及設(shè)計matlab貪婪算法。對于站在網(wǎng)站經(jīng)營管理人員的角度，對dvd的需求預(yù)測、購買和分配中其他重要問題值得研究，屬開放性題目。就需求預(yù)測而言，其主要因素在于市場的供求預(yù)測問題，購買dvd主要從網(wǎng)站經(jīng)營者考慮，可以依據(jù)需求預(yù)測結(jié)果制定分段購買方案；分配主要存在方案與郵費問題。三、名詞解釋和變量符號說明3.1 名詞解釋標(biāo)準(zhǔn)滿意度：標(biāo)準(zhǔn)化的滿意度，即除以了最大滿意度，使得最單滿意度為13.2 符號、變量說明：網(wǎng)站第j種dvd的持有量：第i個會員對第j種dvd的偏愛程度：第i個會員對第j種dvd的滿意度：會員總?cè)藬?shù)10萬：每月借兩次的人數(shù)的

13、概率0.6，即任意一張dvd被歸還的概率四、基本假設(shè)1、 dvd的租賃周期是一個月，每月均為30天;2、每位會員每月最多可以借兩次，且第二次租借需歸還前一次的dvd，并重新提交訂單；3、dvd歸還數(shù)量近似服從二項分布；4、dvd租賃過程中無損壞；5、dvd偏好程度同時表示該種dvd的熱門程度，具體數(shù)值可用倒數(shù)和表示。五、建模前的準(zhǔn)備5.1 數(shù)據(jù)準(zhǔn)備（1）第一問中各類dvd想看人數(shù)在總?cè)藬?shù)中所占比例表1 對1000個會員調(diào)查的部分結(jié)果dvd名稱dvd1dvd2dvd3dvd4dvd5愿意觀看的人數(shù)200100502510愿意觀看的人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例0.20.10.050.0250.01（2）滿意度

14、的衡量指標(biāo)滿意度主要與會員等待時間和會員對dvd的偏好程度有關(guān)。顯然，會員的等待時間越長，并且對所等的dvd偏好程度越高，越不滿意。為減少會員等待時間，應(yīng)盡可能在收到會員訂單時，立刻做出回應(yīng)，并寄出dvd。否則，在等待多天后，即使顧客收到想要dvd也不完全滿意，應(yīng)乘上一個衰減系數(shù)。在會員等待時間相等的情況下，滿意度主要會員對dvd的偏好程度有關(guān)通過參考文獻(xiàn)3和深入的分析，我們可以確定滿意度具有以下性質(zhì)：1）附表2中的數(shù)字越?。?除外），偏愛程度越高，滿意度越高。為0時，滿意度為02）偏愛程度與滿意度程度是非線性的關(guān)系，且偏愛程度越高，滿意度增長率越小。通過大量的模擬，我們可以找到一個簡單的函數(shù)

15、表示：標(biāo)準(zhǔn)滿意度就是歸一化了的滿意度，即上式除以最大滿意度。根據(jù)題意，最大滿意度為會員獲得偏好程度為1、2、3時的滿意度。假設(shè)第i會員獲得的dvd滿意度為、，則第i會員標(biāo)準(zhǔn)滿意度為5.2 dvd的一次分配貪婪算法初始化（導(dǎo)入相關(guān)數(shù)據(jù)，當(dāng)前滿意度=10）當(dāng)前滿意度0開始將各種dvd依次分給對此dvd是當(dāng)前滿意度的顧客y計算dvd分配矩陣及總滿意度給沒有得到3張dvd的顧客任意沒分配完的 dvd（這些dvd不在他們訂單中） 計算總滿意度n當(dāng)前滿意度-結(jié)束圖1 dvd的一次分配貪婪算法流程圖5.3 dvd熱門系數(shù)計算通過對每一種dvd的所有會員的滿意度求和，得到每種dvd的熱門系數(shù)。下表列出，dvd

16、1-dvd9的熱門系數(shù)。表2 dvd1-dvd9的熱門系數(shù)dvd序號dvd1dvd2dvd3dvd4dvd5dvd6dvd7dvd8dvd9熱門系數(shù)21.230.428.230.723.126.827.931.428.6表中可得dvd1的熱門系數(shù)明顯小于dvd2，因而一般來說，同樣購買一張dvd，dvd1所能帶來的會員滿意度小于dvd2。在確定dvd購買方案時，可通過dvd熱門系數(shù)的比例得到參考方案。六、模型建立與求解：6.1問題一dvd購買數(shù)量求解根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)1000會員中第j種dvd想看的人數(shù)： 第j種dvd被歸還的數(shù)量是一個隨機(jī)變量，由歷年數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到每類dvd都有0.6的概率被歸還備用

17、于第二次借用。故對每一種dvd來說，其歸還的量是服從二項分布的。設(shè)第j種dvd被歸還的數(shù)量為，則有。其中，表示第j種dvd需要購買的數(shù)量，為0.6即任意一張dvd被歸還的概率。(1)一個月內(nèi)滿足50%的人看到他想看的dvd （1）的期望和方差分別為和對（1）式歸一化有由大數(shù)定律，上式左邊的隨機(jī)變量滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。即只要使上式成立的概率在某一置信概率范圍內(nèi)，就可以求得該置信概率下的dvd購買量。（2）三個月內(nèi)滿足95%的人看到他想看的dvd有基本假設(shè)1可知，每個月內(nèi)網(wǎng)站持有的各類dvd的數(shù)量都是相同的，即最初網(wǎng)站購買的總量。由此可知，三個月內(nèi)每個月dvd歸還的量分別滿足相同參數(shù)的二項分布。基于

18、對假設(shè)1、2的考慮，可知三個月的dvd歸還量是相互獨立的。利用概率論的知識，二項分布具有可加性，可以得到。采用（1）中的方法同樣可以得到使“三個月內(nèi)滿足95%的人看到想看的dvd”這一事件在一定置信概率下發(fā)生所需要購買的dvd的數(shù)量。通過計算，分別求得了置信概率在0.99、0.8、0.5三種情況下dvd購買量，計算結(jié)果以如下表格形式給出 表3 一個月50%人看到想看的dvd的各類dvd購買量 dvd購買量置信度dvd1dvd2dvd3dvd3dvd50.996199308915387643020.86232311215547753090.5625031251563782313表4 三個月95%

19、人看到想看的dvd的各類dvd購買量 dvd購買量置信度dvd1dvd2dvd3dvd3dvd50.99393519639784871930.8395019749864921970.539591980990495198 有上述兩表可知，隨著dvd的購買量的增加，置信度的增加量會逐漸減小，即在保證會員能夠看到dvd的概率有一定差別時，dvd的購買量不會相差很多，由此可以導(dǎo)致網(wǎng)站經(jīng)營者利潤的差別。于是，可以把網(wǎng)站經(jīng)營商分為保守型、一般型、冒險型三類，以供網(wǎng)站經(jīng)營商參考。6.2問題二分配方案的確定6.2.1 變量、符號說明：第k次分配dvd的方案下，會員的平均標(biāo)準(zhǔn)滿意度：第k次分配dvd的方案下，第

20、i會員的標(biāo)準(zhǔn)滿意度：第k次分配dvd的方案下，第i會員對第j種dvd的滿意度：第k次分配dvd的方案下，第i會員對第j種dvd的偏好程度，其中，第一次的由附表二給出；第二次原題未給出數(shù)據(jù)，題中給出有60%的會員會借第二次，為不失一般性，我們?nèi)〉谝淮螖?shù)據(jù)的前60%作為第二次的訂單，只需將這些會員第一次所借dvd的偏愛程度置為0即可6.2.2 模型的建立 由歷史統(tǒng)計可知，有60%的會員每月會借用dvd兩次，于是會員的滿意度還要考慮第二次借dvd的情況，最小滿意度可設(shè)為兩次平均標(biāo)準(zhǔn)滿意度的平均值。原題中給出了每次會員獲得三張dvd，是基于網(wǎng)站的角度，對郵費考慮作出的決策，實際情況我們可以看到，由于總

21、dvd數(shù)量可能不是3的整數(shù)倍，基于對滿足會員要求和留住會員的角度考慮，可能會出現(xiàn)某個會員得到一張或兩張dvd的情況。通過數(shù)據(jù)準(zhǔn)備中滿意度、標(biāo)準(zhǔn)滿意度的定義不難理解以下模型：為什么不分步說明模型中的各個部分？其中，注意理解的表達(dá)：第二次分配時，是對還回dvd的會員進(jìn)行進(jìn)行重新分配，每位會員對已看過的dvd的滿意度不再是原來的值，故因置為0。故標(biāo)準(zhǔn)滿意度為滿意度除以剩余未租用的dvd滿意度組合中最高的三種之和。通過計算得知，利用貪婪算法求得的分配結(jié)果可以保證前六百位會員租賃到他們最想看的dvd，故把偏好程度最高的1、2、3置為0，標(biāo)準(zhǔn)滿意度為會員滿意度之和除以1/4、1/5、1/6之和；第二次借用

22、dvd時，網(wǎng)站持有的dvd數(shù)量為原有的各類dvd數(shù)量減去第一次租賃后未歸還的dvd數(shù)量。6.2.3 模型的求解模型為目標(biāo)規(guī)劃模型，可以采用lingo程序來求解，但lingo只在求解數(shù)據(jù)量較小的時候會得到較為優(yōu)化的結(jié)果；大數(shù)據(jù)量的模型，可以采用matlab編程來實現(xiàn)，本文采用貪婪算法來求去最優(yōu)分配方案，其算法復(fù)雜度遠(yuǎn)小于lingo程序。貪婪算法的具體流程圖在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備部分已給出。由算法可知，具體求解時，我們是分別考慮兩次分配的，將求解結(jié)果以表格的形式展現(xiàn)如下：表5 不同工具求解的平均標(biāo)準(zhǔn)滿意度求解工具lingomatlab標(biāo)準(zhǔn)滿意度0.88890.8943對上述結(jié)果分析可知，lingo程序求解的結(jié)

23、果略小于matlab求解的結(jié)果，原因在于lingo軟件采用的是單純形法求解，其算法復(fù)雜度較高，適用于數(shù)據(jù)量較小時求取全局最優(yōu)解，而matlab采用的貪婪算法復(fù)雜度相對較小，適用于姐數(shù)據(jù)量較大時的情況，該題中數(shù)據(jù)量相對較大，lingo求得的時局部最優(yōu)解，而matlab貪婪算法求得的解相對較優(yōu)。利用貪婪算法得到的分配方案中，前30位會員的分配方式如下：表6 前30位會員dvd分配方案會員前30位會員第一次分配獲得的dvd序號c000184198c000264462c0003325080c000471841c0005116668c0006195366c000782681c0008313571c000

24、95378100c0010556085c0011596366c001223141c0013217896c0014235289c0015136685c0016558497c0017475167c0018416078c0019668486c0020456189c0021455053c0022385557c0023298195c0024374176c002596981c0026226895c0027505878c002883478c0029263055c0030376298 通過上述結(jié)果可知，前30名會員的租賃dvd基本上都是他們各自最想得到的三種dvd。而且基本上上可以保證會員的前60%都得到各自

25、最想要的dvd。6.3 問題三中購買方案和分配方案的確定6.3.1 符號、變量說明：第k次分配前，第j種dvd需要購買的數(shù)量其他同問題二中的說明6.3.2 模型的建立當(dāng)網(wǎng)站的dvd持有量為0時，需要通過購買一定量的dvd來滿足會員的需求，顯然購買量足夠多時，可以滿足所有會員的需求，但由此會帶來成本上的增加。有第一問我們可以知道，隨著購買量的增加，會員滿意度的增加量是逐漸減小的。這就是我們稱之為的“邊際效應(yīng)”。于是，我們有必要考慮滿意度達(dá)到一定程度時候同時使總購買量最小。由此構(gòu)成了一個雙目標(biāo)規(guī)劃問題：即以兩次租賃的平均滿意度最小，兩次購買的dvd總量最大為目標(biāo)函數(shù)，借還機(jī)制和使95%的會員得到他

26、們想看的dvd為約束，建立規(guī)劃模型：其中，要注意的理解以及與第二問不同的約束條件，由于第二次購買量不僅受到訂單的約束還受到第一次還回dvd數(shù)量的限制，當(dāng)訂單數(shù)量小于dvd還回數(shù)量時，不需要再購買dvd就能對會員進(jìn)行分配；否則，必須購買所差dvd來滿足會員需求。又題目中指明要滿足至少95%的得到他想看的dvd，故每次的購買量有一個下界，即不小于所需dvd數(shù)量的95%。6.3.3 模型的求解由于多目標(biāo)規(guī)劃問題無法用lingo直接求解，我們一般有兩種處理方式，其一是給定其中一個目標(biāo)的限制，將其轉(zhuǎn)化為軟約束條件，從而轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)規(guī)劃問題，其二是統(tǒng)一各目標(biāo)函數(shù)數(shù)量級后，賦予各目標(biāo)函數(shù)一個影響因子轉(zhuǎn)化為單

27、目標(biāo)函數(shù)。本文選擇前者。當(dāng)考慮matlab算法時，要比第二問復(fù)雜得多，單靠貪婪算法不能求解。于是，我們考慮各種dvd的熱門系數(shù)對dvd數(shù)量的影響。通過繪制的三張滿意度、dvd數(shù)、擁有3張dvd人數(shù)所占比例三者之間的關(guān)系圖圖 2 得到三張想要dvd的比例、滿意度與dvd購買數(shù)關(guān)系如圖，可以大致確定滿足95%會員獲得想要dvd，需要購買dvd的總數(shù)量，然后根據(jù)dvd的熱門系數(shù)初步得到需要購買各類dvd的數(shù)量，然后讓各dvd數(shù)量在一定幅度范圍內(nèi)上下取值來求取最優(yōu)解。matlab求得的各類dvd最小購買數(shù)量如下表所示：表7 dvd的最小購買方案dvd序號購買量dvd序號購買量dvd序號購買量dvd序號

28、購買量dvd序號購買量d00119d02129d04153d06129d08127d00232d02233d04233d06230d08219d00328d02335d04326d06335d08318d00432d02424d04432d06439d08421d00521d02531d04534d06537d08527d00626d02630d04624d06631d08618d00728d02724d04732d06725d08730d00833d02818d04823d06835d08822d00929d02924d04932d06934d08926d01026d03039d05031d

29、07025d09024d01130d03135d05138d07134d09137d01232d03229d05224d07232d09230d01327d03329d05335d07323d09327d01427d03426d05427d07427d09424d01525d03539d05530d07531d09534d01631d03635d05633d07626d09620d01731d03722d05731d07720d09732d01830d03829d05827d07829d09832d01935d03925d05930d07927d09916d02041d04027d06038d

30、08030d10019圖 8 對比網(wǎng)站的原dvd購買方案 問題二原方案二次購買方案比原方案改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)滿意度89.45%98.14%9.7%會員獲得想要dvd比例74%96%29%購買dvd總數(shù)30073008-0.03%在購買dvd總數(shù)差不多的情況下，二次購買方案的的標(biāo)準(zhǔn)滿意度，和會員獲得想要dvd比例明顯比原方案提升。這主要是由于二次購買方案，6.4 問題四需求預(yù)測、購買、分配中的其他問題對于市場的需求，可以采用簡單隨機(jī)抽樣、分類預(yù)測、關(guān)聯(lián)預(yù)測等多種方法的到一段時期內(nèi)的供求結(jié)果5；通過分析供求結(jié)果，可對dvd進(jìn)行分類，分為熱門影片，冷門影片，長期需求影片，短期需求影片。對于熱門影片，初次決策時

31、，可以相對大量購買該類dvd，而長期需求影片，則需保持一定的庫存。并根據(jù)市場需求的時間段，對dvd也進(jìn)行分段購買在滿足顧客需求的前提下，減少成本。另一方面，通過市場需求分析，可以利用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際效應(yīng)調(diào)整購買量的決策。分配時，遇到的郵費問題可以考慮選擇一定影片可以在線觀看與下載的方式服務(wù)會員。七、模型的評價與改進(jìn)方向7.1、模型的評價1)對題目中的數(shù)據(jù)的深入挖掘，得到了dvd的熱門系數(shù)，并依此得到了購買dvd方案的初始解，減少了求解最優(yōu)解的難度。2）在滿意度的表示上，綜合考慮了會員偏好程度和會員等待時間等因素，使得滿意度的描述比較合理。3）通過對dvd分配機(jī)制的分析，自然地得出二次購買方案，在

32、保證會員滿意度的前提下，進(jìn)一步優(yōu)化dvd的購買方案。4）綜合分析dvd購買量，會員滿意度，會員收到想看dvd的百分比的關(guān)系，得到了各指標(biāo)合理的下限。7.2 模型的改進(jìn)方向1在描述會員的行為上，可以通過市場調(diào)查，準(zhǔn)確描述會員租賃和歸還dvd的時間分布。2由于在求解雙目標(biāo)規(guī)劃時，求得的局部最優(yōu)解，可以尋找更好的算法求得全局最優(yōu)解。八、參考文獻(xiàn)1田錚 肖華勇，隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，北京：高等教育出版社，2005年；2劉金蘭 朱曉楊,顧客滿意度指標(biāo)重要性測量的主成分分析與多元回歸方法，天津大學(xué)學(xué)報，16卷，2期，p159-163，2004年4月；3姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2004

33、年；4吳祈宗，運(yùn)籌學(xué)與最優(yōu)化方法 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003年；5李繼成，數(shù)學(xué)實驗，西安：西安交通大學(xué)出版社，2003年；6 錢頌迪等，運(yùn)籌學(xué)，北京：清華大學(xué)出版社，1990年1月第2版7徐全智、楊晉浩，數(shù)學(xué)建模，北京：高等教育出版社，2007九、附件清單附件1 matlab、lingo源程序代碼一matlab程序1. fenpei.m1.1 功能：對dvd分配1.2 輸入?yún)?shù)： 2個，顧客偏好程度，dvd數(shù)目向量1.3 輸出參數(shù)： 2個，未得到3張想要dvd的人數(shù)，顧客的分配矩陣1.4 程序簡要說明：這是一個dvd分配的貪婪算法，它使用顧客偏好程度，dvd數(shù)目向量作為函數(shù)接口，可以方便的

34、求出關(guān)于不同顧客及dvd數(shù)目的較優(yōu)分配方案復(fù)雜度與顧客偏好程度矩陣相同（如顧客偏好程度矩陣大小為，算法復(fù)雜度為）1.5 程序中重要變量說明1.6 重要源程序代碼function u_get,c_get=fenpei(data,dvd_n)u_get=0;bumanyidu=1;%當(dāng)前搜索的不滿意度kejieshu=3*ones(1,1000);c_get=zeros(3,1000);%顧客得到的dvdtotal=0;%總不滿意度while sum(dvd_n)&sum(kejieshu)&bumanyidudvd_n(ii) index=index(1:dvd_n(ii); endif len

35、gth(index)for jj=1:length(index) kejieshu(index(jj)=kejieshu(index(jj)-1; if kejieshu(index(jj)=0;%第index(jj)個顧客租滿了 data(index(jj),:)=0;%清除第index(jj)個顧客資料 end if c_get(1,index(jj)=0 c_get(1,index(jj)=ii; elseif c_get(2,index(jj)=0 c_get(2,index(jj)=ii; else c_get(3,index(jj)=ii; endendend if sum(nee

36、d)dvd_n(ii) total=total+dvd_n(ii)*bumanyidu; dvd_n(ii)=0; else total=total+sum(need)*bumanyidu; dvd_n(ii)=dvd_n(ii)-sum(need); endendbumanyidu=bumanyidu+1;end% % total=sum(sum(c_get=0)*9+total;% fprintf(最大滿意度為:%d,length(data)*27-total)%總滿意度%計算未得到dvd的人數(shù) for ii=1:length(data) for jj=1:3 if c_get(jj,ii

37、)=0 u_get= u_get+1; break; end endend %對未被分配到dvd的顧客進(jìn)行分配 remain=dvd_n; for ii=1:length(data) for jj=1:3 remain_index=find(remain0); remain=remain(remain_index); if isempty(remain_index)&c_get(jj,ii)=0 c_get(jj,ii)=remain_index(1); remain(1)= remain(1)-1; endendend2. dvd.m 2.1 功能：顯示出第2聞所給的數(shù)據(jù)下的標(biāo)準(zhǔn)滿意度 2.

38、2 文件簡要說明：此文件通過調(diào)用fenpei.m對dvd進(jìn)行了一個周期內(nèi)的兩次分配第一次對全部顧客，第二次對會接兩次dvd的前600為顧客進(jìn)行分配，并求出了加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)滿意度2.3 程序源代碼load data.txtload dvd_n.txtu_get1,c_get1=fenpei(data,dvd_n);%計算第一次分配后的標(biāo)準(zhǔn)滿意度manidu=0;for ii=1:1000 for jj=1:3 if c_get1(jj,ii)&data(ii,c_get1(jj,ii) manidu=manidu+1/data(ii,c_get1(jj,ii); endendendbiaozhunm

39、anyidu1=manidu/(1000*(1+1/2+1/3)*100/160;%計算第二次分配后的標(biāo)準(zhǔn)滿意度manidu=0;data=data(1:600,:);for ii=1:600 for jj=1:3 if c_get1(jj,ii) data(ii,c_get1(jj,ii)=0; end endendfor ii=601:1000 for jj=1:3 if c_get1(jj,ii) dvd_n(c_get1(jj,ii)=dvd_n(c_get1(jj,ii)-1; end endendu_get2,c_get2=fenpei(data,dvd_n);for ii=1:6

40、00 for jj=1:3 if c_get2(jj,ii)&data(ii,c_get2(jj,ii) manidu=manidu+1/data(ii,c_get2(jj,ii); endendendbiaozhunmanyidu2=manidu/(600*(1/4+1/5+1/6)*60/160;biaozhunmanyidu=biaozhunmanyidu1+biaozhunmanyidu23ppm3.1 文件功能：繪出標(biāo)準(zhǔn)滿意度與dvd購買量及dvd熱門程度分配偏移量關(guān)系圖繪出顧客得到3張想要的dvd率與dvd購買量及dvd熱門程度分配偏移量關(guān)系圖3.2 文件簡要說明：文件通過計算相關(guān)

41、條件下的dvd數(shù)目并在給出的偏愛程度的情況下求出了標(biāo)準(zhǔn)滿意度及3張想要的dvd率并依此繪圖3.3程序源代碼load data.txtload dvd_rmcd.txtget_rate=zeros(50,50);bzmyd=zeros(50,50);index_i=1;index_j=1;for m=-9:40for n=2906:6:3200 u_get=0;dvd_n=round(n/sum(dvd_rmcd+m)*(dvd_rmcd+m);u_get1,c_get1=fenpei(data,dvd_n);%計算第一次分配后的標(biāo)準(zhǔn)滿意度manidu=0;for ii=1:1000 for j

42、j=1:3 if c_get1(jj,ii)&data(ii,c_get1(jj,ii) manidu=manidu+1/data(ii,c_get1(jj,ii); endendendbiaozhunmanyidu1=manidu/(1000*(1+1/2+1/3)*100/160;%計算第二次分配后的標(biāo)準(zhǔn)滿意度manidu=0;data1=data(1:600,:);for ii=1:600 for jj=1:3 if c_get1(jj,ii) data1(ii,c_get1(jj,ii)=0; endend endfor ii=601:1000 for jj=1:3 if c_get1