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1、數(shù)列一、知識(shí)梳理1.數(shù)列的定義:按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為該數(shù)列的項(xiàng).2.通項(xiàng)公式:如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間可以用一個(gè)式子表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,即. 3.遞推公式:如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任何一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,即或,那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的遞推公式. 如數(shù)列中,其中是數(shù)列的遞推公式.4.數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式; .5. 數(shù)列的表示方法:解析法、圖像法、列舉法、遞推法.6. 數(shù)列的分類:有窮數(shù)列,無(wú)窮數(shù)列;遞增數(shù)列,遞減數(shù)列,擺動(dòng)數(shù)列,常數(shù)數(shù)列;有界數(shù)列,無(wú)界數(shù)列.遞增數(shù)列:對(duì)于任何,均有.遞減數(shù)列
2、:對(duì)于任何,均有.擺動(dòng)數(shù)列:例如: 常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6,.有界數(shù)列:存在正數(shù)使.無(wú)界數(shù)列:對(duì)于任何正數(shù),總有項(xiàng)使得. 等差數(shù)列1.等差數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列,常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差. 2.通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式,為首項(xiàng),為公差.前項(xiàng)和公式或.3.等差中項(xiàng)如果成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng).即:是與的等差中項(xiàng),成等差數(shù)列.4.等差數(shù)列的判定方法定義法:(,是常數(shù))是等差數(shù)列;中項(xiàng)法:()是等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列是等差數(shù)列,則數(shù)列、(是常數(shù))都是等差數(shù)列;在等差數(shù)列中,等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等
3、差數(shù)列,即為等差數(shù)列,公差為.;(,是常數(shù));(,是常數(shù),)若,則;若等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則是等差數(shù)列;當(dāng)項(xiàng)數(shù)為,則; 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為,則.等比數(shù)列1.等比數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比. 2.通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式通項(xiàng)公式:,為首項(xiàng),為公比 .前項(xiàng)和公式:當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.3.等比中項(xiàng)如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項(xiàng).即:是與的等差中項(xiàng),成等差數(shù)列.4.等比數(shù)列的判定方法定義法:(,是常數(shù))是等比數(shù)列;中項(xiàng)法:()且是等比數(shù)列.5.等比數(shù)列的常用性質(zhì)數(shù)列是等比數(shù)列,則數(shù)列、(是常數(shù))都是等比數(shù)列;在等比數(shù)列中,等距離取
4、出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,即為等比數(shù)列,公比為.若,則;若等比數(shù)列的前項(xiàng)和,則、是等比數(shù)列.二、典型例題A、求值類的計(jì)算題(多關(guān)于等差等比數(shù)列)1)根據(jù)基本量求解(方程的思想)1、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,求;2、等差數(shù)列中,且成等比數(shù)列,求數(shù)列前20項(xiàng)的和3、設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若,求數(shù)列前7項(xiàng)的和.4、已知四個(gè)實(shí)數(shù),前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,首末兩數(shù)之和為,中間兩數(shù)之和為,求這四個(gè)數(shù).2)根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)求解(整體思想)1、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則 ;2、設(shè)、分別是等差數(shù)列、bn的前項(xiàng)和,則 .3、設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,若( )4、等差數(shù)列,的前項(xiàng)和分別為,若,則=(
5、 )5、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則 .6、在正項(xiàng)等比數(shù)列中,則_。7、已知數(shù)列是等差數(shù)列,若 ,且,則_。8、已知為等比數(shù)列前項(xiàng)和,則 .9、在等差數(shù)列中,若,則的值為( )10、在等比數(shù)列中,已知,則 . 11、已知為等差數(shù)列,則 12、等差數(shù)列中,已知B、求數(shù)列通項(xiàng)公式1) 給出前幾項(xiàng),求通項(xiàng)公式3,-33,333,-3333,333332)給出前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式1、; .2、 設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式3)給出遞推公式求通項(xiàng)公式a、已知關(guān)系式,可利用迭加法或迭代法;例:已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;b、已知關(guān)系式,可利用迭乘法.例、已知數(shù)列滿足:,求求數(shù)列的通項(xiàng)公式;c、構(gòu)造新數(shù)列1遞
6、推關(guān)系形如“”,利用待定系數(shù)法求解例、已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2遞推關(guān)系形如“,兩邊同除或待定系數(shù)法求解例、,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3遞推已知數(shù)列中,關(guān)系形如“”,利用待定系數(shù)法求解例、已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.4遞推關(guān)系形如,兩邊同除以例1、已知數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例2、數(shù)列中,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.d、給出關(guān)于和的關(guān)系例1、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式例2、設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,.求的通項(xiàng);設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.C、證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列1)證明數(shù)列等差例1、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,.求證:數(shù)列是等差數(shù)列.例2、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an+2SnSn1=0
7、(n2),a1=.求證:是等差數(shù)列;2)證明數(shù)列等比例1、設(shè)an是等差數(shù)列,bn,求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列;例2、設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知證明:當(dāng)時(shí),是等比數(shù)列;求的通項(xiàng)公式例3、已知數(shù)列滿足證明:數(shù)列是等比數(shù)列;求數(shù)列的通項(xiàng)公式;若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列.D、求數(shù)列的前n項(xiàng)和基本方法:1)公式法,2)拆解求和法.例1、求數(shù)列的前項(xiàng)和.例2、求數(shù)列的前項(xiàng)和.例3、求和:25+36+47+n(n+3)2)裂項(xiàng)相消法,數(shù)列的常見(jiàn)拆項(xiàng)有:;例1、求和:S=1+例2、求和:.3)倒序相加法,例、設(shè),求:;4)錯(cuò)位相減法,例、若數(shù)列的通項(xiàng),求此數(shù)列的前項(xiàng)和.5)對(duì)于數(shù)列等差和等比混合數(shù)列分組求和例、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=12nn2,求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn.E、數(shù)列單調(diào)性最值問(wèn)題例1、數(shù)列中,當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值時(shí), . 例2、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,當(dāng)為何值時(shí),取得最大值;例3、數(shù)列中,求取最小值時(shí)的值.例4、數(shù)列中,求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).例5、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為已知,()設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()若,求的取值范圍例6、已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,.求數(shù)列的通項(xiàng)公式;數(shù)列中是否存在
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