2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復(fù)賽參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)（加試）（定稿）

1、2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)復(fù)賽參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)加 試一、（本題滿分40分）ABCDEFRK如圖，E、F分別是ABC，ACD的內(nèi)心，AC平分BAD，AC2ABAD，延長EC交CDF的外接圓于點(diǎn)K，延長FC交BCE的外接圓于點(diǎn)R若RKEF，求證：點(diǎn)A是BCD的外心證明：如圖，連接ER，F(xiàn)K因?yàn)锽ACCAD，AC2ABAD，所以ABCADC，ABCACDABCDEFRK又EBCABC，ACFACD，所以EBCACF.由EBCERC得，ERCACF，所以ERAC同理FKAC，于是ERFK 20分又因?yàn)镽KEF，所以四邊形EFKR為平行四邊形，從而ERFK因?yàn)镋RAC，所以RECECAECB又

2、因?yàn)镋BCERC，ECEC，所以BECECR，從而BCER同理，CDFK，所以 BCCD由1，得ABCADC，于是ABACAD，即A為BCD外接圓的外心 40分二、（本題滿分40分）求所有的正整數(shù)n，使得對于任意正實(shí)數(shù)a、b、c滿足abc1，有abc(anbncn)解：（1）當(dāng)n3時(shí)，取a，bc，則abc(anbncn)(2n1)所以n3不滿足題意 10分（2）當(dāng)n1時(shí)，abc(abc)abc()3，所以n1時(shí)，滿足題意 20分（3）當(dāng)n2時(shí)，原不等式也成立令xabbcca，則a2b2c212x，由(abbcca)23abc(abc)，得3abcx2于是，abc(a2b2c2)x2(12x)因

3、此 0x，從而x2(12x)()3即abc(a2b2c2)x2(12x) 40分 三、（本題滿分50分）設(shè)n為正整數(shù)，求滿足以下條件的三元正整數(shù)組a，b，c的個(gè)數(shù)：（1）abn；（2）1cb；（3）a、b、c的最大公約數(shù)為1解：用(a，b，c)表示a、b、c的最大公約數(shù)令Sna，b，c| a、b、c為正整數(shù)，abn，1cb，(a，b，c)1，記Sn中元素的個(gè)數(shù)為 f(n) (nN*)顯然f(1)1如果np，其中p為素?cái)?shù)，1設(shè)a，b，cSn，若b1，則ap，c1；若bpt，1t1，則apt，(c，p)1，1cb；若bp，則a1，1cb因此，f(p)1(pt) pp1p(這里(x)為Euler函數(shù)

4、) 20分下證：如果m，n為互素的正整數(shù)，那么f(mn)f(m)f(n)首先，對每個(gè)a，b，cSmn由于abmn令b1(b，n)，b2(b，m)，那么(b1，b2)1，再令a1(a，n)，a2(a，m)， 那么(a1，a2)1，而且a1b1n，a2b2m因?yàn)?(a，b，c)(a1a2，b1b2，c)(a1a2，b1b2)，c)(a1，a2)(b1，b2)，c)那么 (a1，b1，c)1，(a2，b2，c)1，令cic(modbi)，1cibi，i1，2那么(a1，b1，c1)1，(a2，b2，c2)1，因此，a1，b1，c1Sn，a2，b2，c2Sm 30分其次，若a1，b1，c1Sn，a2，

5、b2，c2Sm令aa1a2，bb1b2由于(m，n)1，從而(b1，b2)1由中國剩余定理，存在唯一的整數(shù)c，1cb，滿足 40分顯然(a1，b1，c)(a1，b1，c1)1，(a2，b2，c)(a2，b2，c2)1，從而(a，b，c)(a，b)，c)(a1，b1)(a2，b2)，c)(a1，b1，c) (a2，b2，c)1因此，a，b，cSmn所以，f(mn)f(m)f(n)利用可知，f(n)n(1) 50分四、（本題滿分50分）設(shè)a、b、c、d、e為正實(shí)數(shù)，且a2b2c2d2e22若5個(gè)正三角形的面積分別為a2，b2，c2，d2，e2求證：這五個(gè)三角形中存在四個(gè)能覆蓋面積為1的正三角形AB

6、C證明：不妨設(shè)abcde0若a1，則面積為a2的三角形可覆蓋ABC 10分若a1，則必有bc1，這是因?yàn)楫?dāng)c時(shí)，由于bc，則bc1；當(dāng)c時(shí)，又a1，則b22a2c2d2e213c2(1c)2，所以bc1，從而ac1，ab1 20分用面積為a2，b2，c2的三個(gè)三角形覆蓋的ABC，使得每個(gè)三角形都分別有一個(gè)頂點(diǎn)與ABC的一個(gè)頂點(diǎn)重合，且有兩條邊在ABC的兩條邊上于是，這三個(gè)三角形兩兩相交若這三個(gè)三角形能覆蓋ABC，則結(jié)論成立否則有(ab1)(bc1)(ca1)1，得2abc0 30分令中間不能被a2，b2，c2的三個(gè)三角形所覆蓋的正三角形面積為f 2，則f 21(a2b2c2)(ab1)2(bc1)2(ca1)2(2abc)2，得f2abc 40分下證：d f