材料力學(xué)第五版第三章

1、 3-1 工程實(shí)際中的扭工程實(shí)際中的扭 轉(zhuǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)問(wèn)題 汽車傳動(dòng)軸汽車傳動(dòng)軸 3-1 工程實(shí)際中的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題工程實(shí)際中的扭轉(zhuǎn)問(wèn)題 汽車方向盤汽車方向盤 3-1 工程實(shí)際中的扭轉(zhuǎn)問(wèn)工程實(shí)際中的扭轉(zhuǎn)問(wèn) 題題 A B O mm O B A 變形特點(diǎn)：各橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，任意變形特點(diǎn)：各橫截面繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，任意 兩橫截面間產(chǎn)生相對(duì)的角位移兩橫截面間產(chǎn)生相對(duì)的角位移 桿件受到大小相等桿件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平面垂直作用平面垂直 于桿件軸線的力偶作用于桿件軸線的力偶作用, , 桿件的橫截面繞軸線產(chǎn)桿件的橫截面繞軸線產(chǎn) 生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。 受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，

2、其橫截面大都受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都 是圓形的。所以本章主要介紹是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)。 扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn)扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn) 及變形特點(diǎn)及變形特點(diǎn): : 壁厚壁厚 0 10 1 rt （r0：為平均半徑）為平均半徑） T 0 A dA rT 000 2 A rdArr tT 2 00 22 TT rtA t a cd dx b dy t z y x 0 z m ()()t dy dxt dx dy a cd dx b dy t z y x G 2(1) E G 3-3 扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力 1、外力偶矩( Torsion couple )的計(jì)算 m （弧度）牛頓米） （弧度

3、）牛頓米） nm mW 2( ( （秒）秒）牛頓米 （秒）千瓦） 60/1000( 60( k P PW k 牛頓米）(9550 2 60000 n P n N m k 解解: 從扭矩看從扭矩看 從電機(jī)看從電機(jī)看 兩式得扭矩兩式得扭矩 m 可以看出，軸所承受的力偶矩與傳遞的功率可以看出，軸所承受的力偶矩與傳遞的功率 成正比，與軸的轉(zhuǎn)速成反比。因此，在傳遞同成正比，與軸的轉(zhuǎn)速成反比。因此，在傳遞同 樣的功率時(shí)，低速軸所受的力偶矩比高速軸大。樣的功率時(shí)，低速軸所受的力偶矩比高速軸大。 所以在一個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)中，低速軸的直徑要比高所以在一個(gè)傳動(dòng)系統(tǒng)中，低速軸的直徑要比高 速軸的直徑粗一些速軸的直徑粗一些

4、 9550(N m) e P M n 其中：P 功率，千瓦（kW） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm） 7024(N m) e P M n 其中：P 功率，馬力（PS） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm） 2、扭矩、扭矩( Torsion torque ) 右手螺旋法則右手螺旋法則 右手拇指指向外法線方向?yàn)橛沂帜粗钢赶蛲夥ň€方向?yàn)檎?+),(+),反之為反之為負(fù)負(fù)(-)(-) 注意：當(dāng)軸上同時(shí)有幾個(gè)外力偶矩作用時(shí)，一 般而言，各段截面上的扭矩是不同的，必須分段 求出，其一般步驟為：“假截留半，內(nèi)力代換，假截留半，內(nèi)力代換， 內(nèi)外平衡內(nèi)外平衡”。例： mNMTTMM AAx 3000, 0, 0 11 mNM

5、MTTMMM BABAx 1200, 0, 0 22 當(dāng)軸上同時(shí)作用有幾個(gè)外力偶矩時(shí)，各截面上的扭矩是不同的， 為了確定最大扭矩的所在位置，以便找出危險(xiǎn)截面，在工程實(shí)際中 常用一個(gè)圖形來(lái)表示各橫截面上的扭矩沿軸線隨橫截面位置變化的 規(guī)律，這種圖形稱為扭矩圖。扭矩圖。 畫圖方法：畫圖方法： 取一直角坐標(biāo)系，令橫坐標(biāo)平 行于軸的軸線，表示橫截面的位置， 縱坐標(biāo)表示扭矩的代數(shù)值，然后將 各橫截面的扭矩按代數(shù)值標(biāo)注于坐 標(biāo)上，即得此軸的扭矩圖。 由圖可以看出：在集中力偶的作用面，扭矩發(fā)生突變，其突變值 等于集中力偶值的大小。 附例：附例：一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速 ；主動(dòng)輪輸 入的功率P1= 500 kW，三

6、個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為： P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。試作軸的扭矩圖。 min r 300n 解解：1. 計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩 mkN9 .15mN 109 .15mN) 300 500 1055. 9( 33 1 M mkN78. 4mN1078. 4mN) 300 150 1055. 9( 33 32 MM mkN37. 6mN1037. 6mN) 300 200 1055. 9( 33 4 M 2. 計(jì)算各段的扭矩 BC段內(nèi)： mkN78. 4 21 MT AD段內(nèi)： mkN37. 6 43 MT CA段內(nèi)： mkN9.56 322 MMT(

7、負(fù)) 3. 作扭矩圖 由扭矩圖可見(jiàn)，傳動(dòng)軸的最大扭矩Tmax在CA段內(nèi)，其 值為9.56 kNm。 思考：如果將從動(dòng)輪D與C的位置對(duì)調(diào)，試作該傳動(dòng)軸的扭 矩圖。這樣的布置是否合理？ 15.94.786.37 4.78 思考題：思考題： 已知：一傳動(dòng)軸， n =300r/min，主動(dòng)輪輸入 P1=500kW， 從動(dòng)輪輸出 P2=P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖并找出危險(xiǎn)截 面。 解：計(jì)算外力偶矩 m)15.9(kN 300 500 95509550 1 1 n P M m)(kN 78. 4 300 150 95509550 2 32 n P MM m)(kN 37. 6 300

8、 200 95509550 4 4 n P M 求扭矩（扭矩按正方向設(shè)） mkN78. 4 21 MT mkN56. 9)78. 478. 4( 322 MMT mkN37. 6 43 MT 繪制扭矩圖 mkN 569 max .T BC段為危險(xiǎn)截面。 2 試?yán)L制扭矩圖，說(shuō)明圖中軸上3個(gè)輪子如何布置比較合理？ 解：把3個(gè)輪子可能的布置情況都畫出 來(lái)，然后分別畫出其扭矩圖，比較哪種布 置時(shí)Tmax為最小，則哪種布置就合理。 1.5kNm 0.5kNm 0.5kNm 1kNm 1.5kNm 1kNm 0.5kNm 1kNm 0.5kNm 1.5kNm 1.5kNm 1kNm 例例 畫出圖示桿的扭矩

9、圖畫出圖示桿的扭矩圖 2m2m1m3m 4kNm 6kNm 8kNm6kNm 解：解： 截面截面0m 1 40T 1 4kN mT 截面截面0m 2 640T 2 2kN mT 截面截面0m 3 60T 3 6kN mT 4kNm 2kNm 6kNm dx A D C B O1O2 C B dx R O1O2 ab cd D BA C b c B C d bbd dxdx d dx G GG dA O2 b dA T 2 2 AA P A TdAGdA GdAG I 2 P A IdA P T GI P T I O D d 2 2 2 0 4 2 32 P A D IdA d D D d 44

10、 () 32 P IDd m4 T T max max P T I max max P T I max P t I W 3 m max t T W 3 16 t D W 343 4 4 (1)(1) 1616 t DdD W D 例題例題1 1 已知空心圓截面的扭矩已知空心圓截面的扭矩T=1kNm，D=40mm，d=20mm，求，求 最大、最小切應(yīng)力。最大、最小切應(yīng)力。 解：解： T D d max min max4 3 4 4 3 (1) 16 16 1000 84.9MPa 1 4 1 2 t TT dW D D minmax 1 84.942.45MPa 2 d D max t T W

11、一軸一軸ABAB傳遞的功率為傳遞的功率為P Pk k=7.5kW=7.5kW，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速n=360r/minn=360r/min。軸的。軸的ACAC 段為實(shí)心圓截面，段為實(shí)心圓截面，CBCB段為空心圓截面。已知段為空心圓截面。已知D=3cmD=3cm，d=2cmd=2cm， 試計(jì)算試計(jì)算ACAC段橫截面邊緣處的切應(yīng)力和段橫截面邊緣處的切應(yīng)力和CBCB段橫截面上外邊緣和段橫截面上外邊緣和 內(nèi)邊緣處的切應(yīng)力。內(nèi)邊緣處的切應(yīng)力。 mN n P m k 199 360 5 . 7 95509550 mNmT199 4 44 1 95. 7 32 314. 3 32 cm D I P 44444 2 3

12、8. 623 32 14. 3 32 cmdDI P MPa D I T P AC 5 .37015. 0 1095. 7 199 2 8 1 外 MPa D I T MPa d I T P CB P CB 8 .46015. 0 1038. 6 199 2 2 .3101. 0 1038. 6 199 2 8 2 8 2 外 內(nèi) 已知解放牌汽車主傳動(dòng)軸傳遞的最大扭矩已知解放牌汽車主傳動(dòng)軸傳遞的最大扭矩T=1930N.mT=1930N.m，傳動(dòng)軸，傳動(dòng)軸 用外徑用外徑D=89mmD=89mm，壁厚，壁厚=2.5mm=2.5mm的鋼管做成。材料為的鋼管做成。材料為2020號(hào)鋼，號(hào)鋼， 其許用應(yīng)力

13、其許用應(yīng)力=70MPa=70MPa。校核此軸的強(qiáng)度。校核此軸的強(qiáng)度。 解：（解：（1）計(jì)算抗扭截面系數(shù)）計(jì)算抗扭截面系數(shù) 343 2912 . 0cmDWt （2）強(qiáng)度校核）強(qiáng)度校核 MPaMPa W T t 707 .66 1029 1930 6 max 故軸滿足強(qiáng)度條件故軸滿足強(qiáng)度條件 303. 0 2 .28 5 . 8 3 . 5 107 .662 . 0 1930 2 . 0 2 . 0 3 6 3 max 3 max 實(shí) 空 兩者橫截面面積之比為 可得 A A cm T d d T W T t 保證焊接質(zhì)量 可見(jiàn)，采用鋼管時(shí)，其重量只有實(shí)心圓軸的約30，耗費(fèi) 的材料要少得多。為什么

14、扭轉(zhuǎn)構(gòu)件采用空心圓截面時(shí)能節(jié)約 大量材料呢?從圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分布不難說(shuō)明這 個(gè)問(wèn)題。 Me Me P dT dxGI 0 l P T dx GI P Tl GI P dT dxGI max (rad/m) P dT dxGI o max 180 ( /m) P T GI 附題附題1 1 圖示傳動(dòng)軸系鋼制實(shí)心截面軸。已知：圖示傳動(dòng)軸系鋼制實(shí)心截面軸。已知：m m1 1=1592N.m=1592N.m， m m2 2=955N.m=955N.m，m m3 3=637N.m=637N.m。截面。截面A A與截面與截面B B、C C間的距離分別為間的距離分別為 lAB AB=300mm =

15、300mm和和lAC AC=500mm =500mm。軸的直徑。軸的直徑d=70mmd=70mm，鋼的剪切模量，鋼的剪切模量 G=80GPaG=80GPa。試求截面。試求截面C C對(duì)對(duì)B B的扭轉(zhuǎn)角。的扭轉(zhuǎn)角。 m2 m1 m3 B A C III lABlAC ABAC m2 m1 m3 B A C III lABlAC ABAC 4 44 1 6 .235 32 714. 3 32 cm d I P rad GI lT P ABI AB 3 89 1052. 1 106 .2351080 3 . 0955 rad GI lT P ACII AC 3 89 1069. 1 106 .2351

16、080 5 . 0637 m2 m1 m3 B A C III lABlAC ABAC rad ABACBC 4 107 . 1 例題例題1 1 圖示圓軸，已知：圖示圓軸，已知：mA=1kNm， mB=3kNm， mC=2kNm； l1=0.7m， l2=0.3m，=60MPa, , =0.3o/m, ,G=80GPa。試選擇該。試選擇該 軸的直徑。軸的直徑。 mAmBmC ABC l1 l2 解：解： 1kNm 2kNm 扭矩圖扭矩圖 （1 1）按強(qiáng)度條件）按強(qiáng)度條件 max 3 16 C t mT Wd 33 33 1616 2000 60 10 C m d d 55.4mm mAmBmC

17、 ABC l1 l2 （2 2）按剛度條件）按剛度條件 o max 180 ( /m) P T GI 4 max 180 32 P Td I G 3 max 4 4 292 3218032 2000 180 1083.5mm 80 100.3 T d G 該圓軸直徑應(yīng)選擇：該圓軸直徑應(yīng)選擇：83.5mmd 例題例題2 圖示圓軸，已知：圖示圓軸，已知：mA=1.4kNm， mB=0.6kNm， mC=0.8kNm；d1=40mm，d2=70mm；l1=0.2m， l2=0.4m， =60MPa, , =1o/m, ,G=80GPa。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度，并計(jì)。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度，并計(jì) 算兩

18、端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。算兩端面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。 mCmAmB CAB l2 l1 d1 d2 解：解： 扭矩圖扭矩圖 0.8kNm 0.6kNm 1 1 3 11 3 16 16 600 47.7MPa 4 B t Tm Wd （1 1）按強(qiáng)度校核）按強(qiáng)度校核 2 2 33 22 1616 800 11.9MPa 7 C t mT Wd 滿足強(qiáng)度條件滿足強(qiáng)度條件 （2 2）按剛度校核）按剛度校核 o 1 1 9412 1 18032 600180 1.71 /m 80 104010 P T GI o 2 2 9412 2 18032 800180 0.24 /m 80 107010 P T GI o

19、 max1 1.71 /m 不滿足剛度條件不滿足剛度條件 （3 3）兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角）兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角 2 21 12 21 1 21 44 2121 94412 o 32 32800 0.4600 0.21180 80 10704010 0.245 CB PP T lTlT lTl GIGIGdd 例題例題2 長(zhǎng)為長(zhǎng)為l=2m的圓桿受均布力偶，的圓桿受均布力偶，m=20Nm/m的作用，如圖，的作用，如圖， 若桿的內(nèi)外徑之比為若桿的內(nèi)外徑之比為=0.8，G=80GPa，許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力=30MPa, ,試試 設(shè)計(jì)桿的外徑；設(shè)計(jì)桿的外徑； =2o/m。試校核此桿的剛度，并求右端面的扭轉(zhuǎn)。試校核此

20、桿的剛度，并求右端面的扭轉(zhuǎn) 角。角。 20Nm/m 解：解：（1 1）設(shè)計(jì)圓桿的外徑）設(shè)計(jì)圓桿的外徑 max t T W 3 4 1 16 t D W max 3 4 16 (1) T D 2m 20Nm/m 2m 20T xmxx max 40N mTml 3 max 33 446 1616 40 10 (1) (1 0.8 ) 30 10 22.57mm T D （2 2）剛度校核）剛度校核 max max o 9244 180 32 40 180 1.89 /m 80 10(1) P T GI D （3 3）右端面扭轉(zhuǎn)角）右端面扭轉(zhuǎn)角 ( ) = l P T x dx GI 2 0 20

21、 P xdx GI 2 2 10 0 P x GI 40 P GI 94124 32 40 0.033rad 80 1022.610(1 0.8 ) 例題例題3 圖示圓軸，圖示圓軸，BC段為空心，已知：段為空心，已知：D=50mm， d=25mm， a=250mm；G=80GPa。試求該桿的最大切應(yīng)力和自由端的扭轉(zhuǎn)角。試求該桿的最大切應(yīng)力和自由端的扭轉(zhuǎn)角。 0.5kNm 0.3kNm 0.8kNm ABC abab D d 1 1 2 2 3 3 4 4 解：解： 本題應(yīng)分本題應(yīng)分4 4段考慮段考慮 32 4 21 D II PP )( 32 44 43 dDII PP 16 3 21 D W

22、W tt )1 ( 16 4 43 43 D dD WW tt abab 0.5kNm 0.3kNm 0.8kNm ABC D d 1 1 2 2 3 3 4 4 扭矩圖扭矩圖 1kNm 0.5kNm 0.8kNm MPa D T W T P 74.40 5 100016 16 3 3 1 1 1 1 44 4 34 4 34 16 1 16 800 34 76 5 1 0 5 P TT WD () .MPa (.) MPa74.40 1max 3124 1234 1224 444444 1224 4 32323232 11 3216 0 01260 72 15 PPPP T bTaT bT a GIGIGIGI TaT bT bT a G DG DG D ()G D () TaT b(T bT a).rad. G D abab 0.5kNm 0.3kNm 0.8kNm ABC D d 1 1 2 2 3 3 4 4 例例3-4 53-4 5噸單梁吊車，大梁的行走機(jī)構(gòu)如圖示。已知電動(dòng)機(jī)噸單梁吊車，大梁的行走機(jī)構(gòu)如圖示。已知電動(dòng)機(jī) 功率功率P Pk k=3.7kW, =3.7kW, 經(jīng)減速后車軸的轉(zhuǎn)速為經(jīng)減速后車軸的轉(zhuǎn)速為n=32.6r/minn=32.6r/min。試選。試選 擇傳動(dòng)軸擇傳動(dòng)軸