通信原理第8章

1、 通信原理通信原理 第第8章章 楊鴻文楊鴻文 1 信道是什么？ n信道定義為發(fā)送裝置和接收裝置之間的一 切環(huán)節(jié) q對于同一個通信系統(tǒng)中不同的研究問題，信源、 信宿、發(fā)送裝置、接收裝置、信道的具體所指 可以完全不同 2 3 n同一個通信系統(tǒng)中，對于不同的研究問題，信道 的所指不同，例如 q對信道編譯碼問題來說，信道指自調制器輸入至解調器 輸出的全部；信源是信源編碼器，信宿是信源譯碼器 q對調制解調問題來說，信道是調制器輸出至解調器輸入 的全部；信源是信道編碼器，信宿是信道譯碼器 本章內容 n信道的分類 q離散信道、波形信道 n信道模型 q離散無記憶信道 q無失真波形信道 q衰落信道 n信道容量

2、q通過某個信道，我們最多能傳多少信息？ 4 信道的分類 n離散信道離散信道 q信道的輸入輸出是序列Xl， Yl， nXl、Yl的取值可能離散，也可能連續(xù) n連續(xù)信道（波形信道）連續(xù)信道（波形信道） q信道的輸入輸出是隨機過程X(t)、Y(t) n在同一個通信系統(tǒng)中，研究的問題不同時， 信道的類型有可能不同 5 6 nAE是二進制離散信道 nAD是時間離散信道，信道輸入是二進制，信道 輸出是連續(xù)取值 nBC是波形信道 信道模型 7 n對于某個特定的發(fā)送/接收裝置的研究 者來說 q信道是一個黑箱 q他只關心信道的模型，也即信道的輸入輸 出關系，也即：送給信道的信號在信道的 輸出端將會變成什么？ 二

3、元對稱信道（BSC） n誤碼率為m的二進制信道 n各個比特是否誤碼是獨立的隨機事件 8 BSC信道的模型 n信道模型： n發(fā)送符號X和接收符號Y都取值于0、1 nZ表示差錯，Z=1表示出錯，Z=0表示無錯 n式中的+是模2加 n信道的差錯率是m，即Z取1的概率 nZ與X獨立 9 YXZ BSC信道例如：從BPSK調制器的輸入 端，到接收端判決輸出 離散時間AWGN信道 nX是信道輸入 nY是信道輸出 nZ是信道噪聲 q加性：指Z與X獨立 q白：指 Zk是獨立序列 q高斯：指Z是零均值高斯 YXZ 10 離散時間AWGN信道例如：從發(fā)送端脈沖成 形的輸入端，到接收機判決器的輸入端 注： n量化噪

4、聲eq也可以表示為與信號相加的形式： y=x+eq，但eq與x是相關的，故不算加性噪聲。 但在一定條件下，量化噪聲可近似看成是加 性噪聲 n對于無ISI系統(tǒng)，白噪聲nw(t)通過匹配濾波器 后，在最佳采樣時刻得到的噪聲樣值是獨立 序列，這是稱序列Zk為白噪聲的原因。但 注意這個白噪聲本身不是nw(t) n如果平穩(wěn)高斯噪聲的均值不為零，譬如是a， 則問題等同于將X變成了X+a。因此，若無 特別說明，默認高斯噪聲的均值為0 11 波形信道 n波形信道的輸入是波形，輸出也是波形，例如 16QAM調制器輸出到接收機輸入 n本課涉及的波形信道大多可以表示為下圖： n本章新要學的知識只在圖中的線性系統(tǒng)部分

5、，故討 論波形信道的模型時，如無另外說明，均忽略噪聲 12 無失真信道 13 n設信道的輸入輸出是實波形，無失真信道定義為 滿足如下關系的信道： q其中幅度增益a是固定的非零實數(shù)、時延t是固定值 n由定義可知，如下系統(tǒng)是無失真系統(tǒng) Y taX tt h tatt 2 Hfa Hff t 沖激響應 傳遞函數(shù) 注： 14 n無失真的意思是：信道的輸出波形是輸入波形的 相似形，除了可以有幅度變化和一定的時延外， 信道不對信號做其他任何改變 n作為一個無失真信道，其傳遞函數(shù)的幅頻特性是 常數(shù)，相頻特性是過原點的直線。 n但注意H(f)只需在信號的有效頻帶內滿足這一點， 在信號帶寬之外，H(f)可以是任

6、意的。因此，對 于限帶信號，無失真系統(tǒng)的沖激響應不一定必須 是沖激形式。 q例如對于理想限帶的基帶信道，其沖激響應是sinc形狀。 復包絡無失真信道 n其中a是任意固定的復數(shù)，XL、YL均指復包絡 n通過等效基帶與頻帶的關系可以得出，頻帶傳遞 函數(shù)應滿足 15 n對于帶通信號，信息都包含在復包絡中，所以我 們只在乎復包絡是否失真，于是，無失真定義為： LL YtaXtt 20 20 Hf faf Hf a a ff t t 注： 16 n這個關系可表述為：在信號的有效頻帶內，信道 傳遞函數(shù)的幅頻特性是常數(shù)，相頻特性的斜率是 常數(shù)。 n相頻特性的斜率體現(xiàn)復包絡的時延，稱為群時延， 故此相頻特性的

7、斜率是常數(shù)可表述為群時延特性 是常數(shù) n注意：復包絡無失真不表示帶通信號自身無失真 q例如：X(t)=m(t)cos2fct經(jīng)過希爾伯特變換后成為 Y(t)= m(t)sin2fct，不能將Y(t)表示為a X(tt)的形式，但 YL(t)=j XL(t)。接收端如果有適當?shù)南喔奢d波，完全可 以從Y(t)中解出m(t) 多徑信道 n發(fā)送x(t)，經(jīng)過無失真信道得到y(tǒng)(t)=ax(tt) n如果發(fā)送信號經(jīng)由L條無失真的路徑到達接收端， 則輸出是 17 1 L ll l y ta x tt n稱這樣的信道為多徑信道，式中 nal是第l徑的幅度增益 ntl是第l徑的時延 多徑無線信道 18 n考慮無

8、線信道，實際的發(fā)送信號x(t)和接收信號y(t) 將是實帶通信號。 n考慮各徑為復包絡無失真，則等效至基帶的輸入 輸出關系可以表述為 n其中al是復系數(shù)，稱為第l徑的復信道增益 LL 1 L ll l yta xtt 發(fā)送單頻信號 19 n考慮發(fā)送x(t) =cos2fct，其復包絡是xL(t)=1 n此信號的時寬是，帶寬是0 n輸出為 n即輸出帶通信號為 n等效基帶信道模型為 L 1 L l l ytah c cos 2y thhf t LL yth xt 20 n這個信道事實上只是一個復數(shù)增益的放大器 n如果h的數(shù)值對接收端明確已知，則該信道仍然是 一個理想（復包絡）無失真信道（考慮噪聲后

9、稱 為AWGN信道） n當h是不為接收端已知的隨機變量時，稱此信道為 衰落信道 n若L充分大，al彼此沒有顯著區(qū)別且無明顯關系， 則中心極限定理說：h 是復高斯隨機變量，于是， 接收信號y(t)的包絡|yL(t)|=|h|服從瑞利分布。于 是，此信道被命名為瑞利衰落信道 n無線通信中有這樣一個傳統(tǒng)：如果某個信道的幅度增 益服從X分布，就稱該信道為X衰落信道 接收機處于運動狀態(tài) 21 n現(xiàn)在假設發(fā)射機、或接收機、或者影響電波的其 他物體在運動?；谶\動的相對性，我們假設只 有接收機在運動 n發(fā)送xL(t)=1，第l徑的接收信號此時將變成 n總輸出為 n即：信道成為時變的復數(shù)放大器 n稱為時變衰落

10、信道 LL yth t xt j2 e l f t l a 2 L j 1 e l L l l f t ytah t Doppler Shift 在時間域觀察時變信道 22 n對任意兩個時刻t1、t2，信道增益h1=h(t1)和 h2=h(t2)是兩個復隨機變量。 n若t2t1，必然h2h1，即它們趨于同一個隨機 變量（完全相關）； n反之，若t2遠離t1，h2也應該與h1趨于獨立（完 全不相關） n一般來說，隨著時間間隔的增加，這兩個信道 增益之間的相似度越來越小 n平穩(wěn)隨機過程h(t)的自相關函數(shù)是時間間隔t2t1 的函數(shù)，一般是單調減函數(shù)（但不是必然）。 相干時間 23 n工程師們有這樣

11、一個習慣：總喜歡用一個單一的 量值來對某個事物做出大致判斷，而無視這個判 斷的嚴密科學性 ne.g. 血壓大于X者是高血壓：X+e是高血壓，Xe不是 n通信工程師繼承了這個優(yōu)良傳統(tǒng)，為了給完全相 關和完全不相關這兩種狀態(tài)給出一個數(shù)量邊界， 引入了一個數(shù)量稱為相干時間Tc nTc只具有定性的意義。用來大致判斷：經(jīng)過一定時間 間隔后，信道是基本不變，還是完全獨立 n萬不可認為：間隔為Tc +e是不相關，間隔為Tc e是信 道不變，除非不得以。 在頻率域觀察時變信道 24 n我們看到，若發(fā)送帶寬為0的信號(復包絡是直流)， 接收到的是h(t)，其功率譜密度帶寬必不是0，即 帶寬被展寬了。此現(xiàn)象稱為多

12、普勒擴展，或頻率 彌散。 n頻域展寬的物理原因是接收機的移動，展寬的程 度可用最大多普勒頻移表述。 n接收機移動速度越快，在時域表現(xiàn)為間隔較短時 間后，信道增益就變得不相關。因此，多普勒擴 展和相干時間成反比關系。 發(fā)送單位沖激 25 n不考慮移動問題，假設發(fā)送xL(t) =(t)， n此信號的時寬是0，帶寬是 n輸出為 n單位沖激激勵下的輸出就是沖激響應，對其做傅 氏變換將得到一個非常數(shù)的傳遞函數(shù)H(f) n若是常數(shù)，說明只有一個沖激，自然不是多徑信道 n稱此信道為頻率選擇性衰落信道 n頻率選擇性即與頻率有關之謂也。如果一定為了術語 的對偶性，完全可以稱其為頻變衰落信道以對應時變 衰落信道

13、L 1 L ll l ytatt 相干帶寬和時延擴展 26 n基于完全相同的邏輯，對于頻變衰落信道，我們可 以建立相干帶寬Bc的概念：反映H(f)上兩個頻率點 的響應之間的關系 n若頻率間隔遠小于Bc ，則這兩個頻率上的響應基本相同 n若頻率間隔遠大于Bc ，則這兩個頻率上的響應完全獨立 n從時域觀察： n時寬為0的信號在信道輸出端變寬，稱此現(xiàn)象為時延擴展 n擴展程度體現(xiàn)頻率選擇性程度：相干帶寬大致是時延擴 展的倒數(shù) n多徑和移動這兩個要素帶來了衰落這個效 果 q信道增益按時間的變化可分為： n時變/時不變 q按頻率的變化可分為： n頻率選擇性衰落/平衰落 q通信工程師們喜歡對同一個概念起許多

14、不同的 名字： n時不變的另一個名字是靜態(tài) n平衰落是頻不變的常所用馬甲 無線信道總結 27 n實際發(fā)送的信號既不可能是時寬為0，也不 可能是帶寬為0。信道模型的選擇要看時寬/ 帶寬和相干時間/相干帶寬相比若何 q帶寬遠小于相干帶寬就是平衰落信道 q通信時間遠小于相干時間就是時不變信道 n這種情形非我們所考慮。我們一般假設通信的持續(xù)時 間是無限的。但對于一個符號的發(fā)送，一般可以認為 信道在碼元間隔時間內是不變的 無線信道總結 28 信道容量 n根據(jù)信道的輸出Y能得到的關于信道輸入 X的信息量不超過互信息IX;Y n互信息由信道轉移概率P(Y|X)和信源概 率P(X)共同確定。只給定P(Y|X)

15、并不能 算出互信息的數(shù)值 n所謂給定信道，意思是給定P(Y|X) n在給定信道的條件下，不同的P(X)對應 有不同的互信息，其中的最大者稱為信 道容量 29 x;ma P X CX YI 注： n如上定義的信道容量的單位是bit/symbol,表 示每個發(fā)送符號可攜帶的信息量 n按信道容量規(guī)定的速率進行傳輸?shù)谋匾獥l 件是 n原始信息序列U經(jīng)過充分長的編碼成為 符號序列X n碼長足以體現(xiàn)大數(shù)定律 n譯碼器采用最大似然譯碼 n編碼器輸出的X的分布符合計算出C的數(shù) 值時所用的P(X) 30 注： n速率的含義是： n單位時間內傳輸?shù)谋忍財?shù) n單位時間可以是 n秒 n對應速率單位是bit/second

16、 n符號間隔 n對應的速率單位是bit/symbol 31 信道編碼定理 n若某個信道的信道容量是C，則一定存 在一種速率為RC，則無論 采用何種編碼方案，無論碼長是多長， 接收端的譯碼錯誤率總存在非零的下界 （即不可能趨于任意?。?32 BSC信道的容量 n互信息 n條件熵： n給定X=0時，Y=Z；給定X=1時，Y是Z取反。 Z取反后熵不變，故 n其中h2(p)是二元熵函數(shù) n容量為 33 ;|X YYY XIHH 2 |Y XZhmHH 22 22 max1 1log1log1 CYhhmm mmmm H 達到最大 值的條件 是：X等概 離散時間AWGN信道的容量微分熵 n對于離散隨機變

17、量，熵是對數(shù)概率的數(shù)學期 望； n對于連續(xù)隨機變量，對應的概念叫微分熵， 定義為對數(shù)概率密度的數(shù)學期望 34 2 2 log logd Y YY Ypy pypyy hE 離散時間AWGN信道的容量 高斯隨機變量熵最大 n可以證明：給定方差為s2，則在所有可能的 概率密度函數(shù)p(y)中，能使微分熵最大的是 高斯分布，其微分熵為 35 22 22 2 22 22 2 2 2 2 e1e logln ln2 22 1ln21 ln2 ln2ln2 log2 e yy Y y ss ss s s s s hEE E 離散時間AWGN信道的容量 n信道是： n其中X是發(fā)送信號，功率為S，Z是高斯噪 聲

18、，功率為N n信道互信息是 36 ;|X YYY XIhh YXZ n給定X時，Y是均值為X的高斯。微分熵與均 值無關，故 n互信息成為 n欲使其最大，必須hY最大，因此Y必須是 高斯。另外：Y的功率是S+N，故 37 2 |log2 eY XNh 2 ;log2 eX YYNIh 2 22 2 maxlog2 e log2 elog2 e 1 log1bit/symbol 2 YN SNN S N C=h 限帶限功率AWGN信道的容量：基帶 n若基帶信道的帶寬是B，信噪比是S/N，其中 S=EX2(t)，N=N0B n按照奈奎斯特極限每秒可傳輸2B個符號 n按照香農(nóng)極限每符號可攜帶0.5log2(1+S/N)比特 n因此該信道的最大傳輸速率為 38 2 bits/seconlog1d S CB N 限帶限功率AWGN信道的容量：頻帶 n若頻帶信道的帶寬是B，信噪比是S/N，其中 S=EX2(t)，N