曲線坐標(biāo)計算

1、曲線坐標(biāo)計算圓曲線圓曲線要素：a曲線轉(zhuǎn)向角R曲線半徑根據(jù)a及R可以求出以下要素：T切線長L曲線長E夕卜矢距q切曲差（兩切線長與曲線全長之差）各要素的計算公式為:R180（弧長）E= R(sec 1)2(seca =cosa 的倒數(shù))1)E。= R (cos2q = 2T L圓曲線主點(diǎn)里程：ZY=J D TQZ=ZY+ L/2或 QZ=JD q /2Y Z=QZ+ L/2或 YZ=JD + T qJD=QZ+ q/2 （校核用）1基本知識里程：由線路起點(diǎn)算起，沿線路中線到該中線樁的距離表示方法：DK26 + 284.56。+”號前為公里數(shù)，即26km,+ ”后為米數(shù)，即28456m（CK 表示初

2、測導(dǎo)線的里程。DK表示定測中線的里程。K 表示竣工后的連續(xù)里程。鐵路和公路計算方法略有不同。2、曲線點(diǎn)坐標(biāo)計算（偏角法或弦切角法）已知條件：起點(diǎn)、終點(diǎn)及各交點(diǎn)的坐標(biāo)1）計算ZY、YZ點(diǎn)坐標(biāo)通用公式：XzYj = XjDj - Ti * cos 恥1 YzYj = yJd Ti * sin s“,iXYZi = XjDj + Ti x COS a，i + i 丫YZj 二 jDj * sin aw2）計算曲線點(diǎn)坐標(biāo) 計算坐標(biāo)方位角i點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)。li為i點(diǎn)與ZY點(diǎn)里程之差弧長所對的圓心角弦切角aZY-ia+5ZY-JD i弦的方位角當(dāng)曲線左轉(zhuǎn)時用“-”，右轉(zhuǎn)時用“ + ”。 計算弦長C 2

3、 R sin 計算曲線點(diǎn)坐標(biāo) 此時的已知數(shù)據(jù)為:ZY（ xZY，yZY ）、訂丫- i、 C。根據(jù)坐標(biāo)正算原理:XiXzy C cos aY iYiYzy C sin aY-i切線支距法這種方法是以曲線起點(diǎn)ZY或終點(diǎn)YZ為坐標(biāo)原點(diǎn)，以切線為X軸，以過原點(diǎn)的半徑為 Y軸，則圓曲線上任意一點(diǎn)的切線支距坐標(biāo)可通過以下公式求得：Rsiny 二 R(V cos )式中，飛180兀利用坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)，該點(diǎn)在大地平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可由以下 公式求得：(Xi = x/cos a - yisin aYi = Ko x；sin a +cos 口式中：a為ZY(YZ)點(diǎn)沿線路前進(jìn)方向的切線方位角。當(dāng)起點(diǎn)為ZY時

4、，“士”取“ + ”，X0=X(ZY),Y0=Y(ZY),曲線為左偏時應(yīng)以yi=- yi 代入；當(dāng)起點(diǎn)為 YZ 時，“士” 取 “-”，X0=X(YZ), Y0二丫(YZ), 曲線為左偏時應(yīng)以yi=- yi代入；注： 1、同弧所對的圓周角等于圓心角的一半2、切線性質(zhì)圓的切線與過切點(diǎn)的半徑相垂直3、弦切角定理弦切角等于它所夾弧上的圓周角4、弧長公式由 L/ n R=n /180 得 L=n n R/ 180 =nn R/180二、緩和曲線（回旋線）緩和曲線主要有以下幾類：A :對稱完整緩和曲線（基本形） 切線長、Is1與Is2都相等。B:非對稱完整緩和曲線 切線長、Is1與Is2都不相等C:非完

5、整緩和曲線（卵形曲線） 連接兩個同向、半徑不等的圓 的緩和段所組成的卵形曲線D：回頭曲線 回頭曲線是一種半徑小、轉(zhuǎn)彎急、線型標(biāo)準(zhǔn)低的曲線形式，其轉(zhuǎn)角接近、等于或大于180度。1、基本形緩和曲線基本公式：p =A2/IA= V RIsp為緩和曲線上任意點(diǎn)的曲率半徑A為回旋線參數(shù)I為緩和曲線上任意點(diǎn)到起點(diǎn)（ZH ）的距離（弧長）Is為緩和曲線的全長切線角公式：p彳其中2弘 （一緩和曲統(tǒng)全長切線角公式0二二/f緩和曲線長/所對應(yīng)的中心角r180-A /i仇緩和曲線全長所對應(yīng)的中心角亦稱緩和曲線角。緩和曲線直角坐標(biāo)任意一點(diǎn)P處取一微分弧段ds，其所對應(yīng)的中心角為 d B xdx二dscosB xdy=

6、dssinB x 緩和曲線常數(shù)主曲線的內(nèi)移值p及切線增長值q內(nèi)移值：p二丫 s-R（1- cos 也）=1 ssec- R /24R 切線增長值：q=X s-Rsin g=l s/2-ls 曲線長/240R24is240P 二頑一 2688 g _ 2 _ 240護(hù) + 34560/?4 J緩和曲線的總偏角及總弦長總偏角：Bs=i s/2 R ? 180 /n總弦長：Cs=l s-l s3/90R 2緩和曲線要素計算切線長外距Ly -As - 2厶參心2醞切線差圓曲線長5二約一血)切線長虧=(R+p)鎧一十今儀U7T1807曲線長務(wù)二氏-2燉)二；+2/汀其中圓曲線長 = /?-2燉)180外

7、距叭二S+加丐切雌“=2盼卅任意一點(diǎn)的切線支距坐標(biāo)可通過以下公式求得:P 尸40? + 3456屮599040412尸 I1嚴(yán)嚴(yán)6P 336A + 422404 亠 9676800A14-Vi40 A+ 3 456才17I 599 040J12* 17 542 600 J16廠 + 嚴(yán)6a336f6 * 42 240八f9.9 676 800.414 + 3 530 097 000ltf +利用坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)，該點(diǎn)在大地平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可由以下 公式求得：(Xi = ixrcos a - sin aYi = Ko x/sin 口 +cos 口式中：a為ZH(HZ)點(diǎn)沿線路前進(jìn)方向的切線方

8、位角。當(dāng)起點(diǎn)為ZH時，“士”取“ + ”，X0=X(ZH), Y0=Y(ZH),曲線為左偏時應(yīng)以yi=- yi 代入；當(dāng)起點(diǎn)為 HZ 時，“士” 取 “-”,X0=X(HZ),Y0=Y(HZ),曲線為左偏時應(yīng)以yi=- yi代入；曲線上任意點(diǎn)的方位角a (i)= a (ZH或HZ) 士 B B為切線角士為右轉(zhuǎn)“ + ”左轉(zhuǎn)“-當(dāng)點(diǎn)位于圓曲線上，有J x = A sin + 令= A(1 cos 0) + p.l-h 180 口0 = *+其中，/ A,.為點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的曲線長。2、 非對稱完整緩和曲線由于受特殊地形和地物條件限制采用對稱緩和曲線型平曲線難以 與地形條件相結(jié)合，于是引入非對稱緩和

9、曲線型平曲線。 非對稱緩和 曲線在計算時較困難，不能簡單套用對稱緩和曲線的公式。 以下闡述 非對稱緩和曲線幾何要素和任意點(diǎn)坐標(biāo)及方位角的計算原理。(1) 計算原理匪非對稱壤和平曲壩如圖1所示，平曲線由非對稱緩和曲線 Ls1、Ls2及半徑R的圓曲線 組成，JD為平曲線切線交點(diǎn)，轉(zhuǎn)角a。由于平曲線兩端的緩和曲線 不等長，因此在計算平曲線各要素時就不能簡單套用等長緩和曲線的 計算公式。平曲線各要素計算: 180180切線角切線增量”-p.smQP -Plsin o Jp1L2124R內(nèi)移值pL22224RJ辭福“ r2 = (z? + f2 )tg +切線長2曲線長小為+ Z7L = aR或者180

10、 E_R + P、r或 SurMaipcpm外矢距Sm T 2R + P i 5 = arctg- SiirMaQ (1)aTi = Rtg 7 +pi 二 piCOfsirPaRtgyDi -siM+q：z注：第一式最后一項應(yīng)+q1aTi = Rtg sinPa Pi * D?co0心十七防qiq2j比較式與（i）可知;基本型曲線中屈曲線設(shè) 置緩和曲線后切線長較原來分別增長Al和業(yè)值;值。根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)和切線長計算緩和曲線起點(diǎn)(ZH或HZ)坐標(biāo):X(ZH)=X(JD)+T 1 x coaY(ZH)=Y(JD)+T1 x Sin a a 為 JD-ZH方位角X(HZ)=X(JD)+ T 2XCO

11、SY(ZH)=Y(JD)+T2x Sin aa 為 JD- HZ方位角旋轉(zhuǎn)曲線上任意點(diǎn)坐標(biāo)按基本型緩和曲線的切線支距法和坐標(biāo)變換、 來計算求出3、 非完整緩和曲線(卵形曲線)卵形曲線是指在兩個同向、半徑不等的圓曲線間插入一段不完整的緩 和曲線，即卵形曲線是緩和曲線的一段，在插入時去掉了靠近半徑無 窮大方向的一段。首先需要計算出實際并不存在只是在計算過程中起輔助作用的完整 緩和曲線段的起點(diǎn)即ZH或HZ點(diǎn)樁號、坐標(biāo)和切線方位角。這樣卵 形曲線段的計算就轉(zhuǎn)化為完整緩和曲線段的計算。(1) 卵形曲線參數(shù)A 7?大 7?小 /f/ (7?大-小丿(I)式中：R大，R小為卵形曲線相連的兩圓曲線半徑，為非完

12、整緩和曲線段即卵形曲線段長度。(2) 與相對應(yīng)的完整緩和曲線的長度為k = A2/ R小(2丿(3) 卵形曲線的起點(diǎn)Q (接大半徑圓的點(diǎn))至假設(shè)存在的完整緩和曲線起點(diǎn)ZH或HZ點(diǎn)的弧長.為h = A2/ Rq(3)或=-(4) 與對應(yīng)的弦長為/i = h - (h5/90A4)(4)又因為&Q = h2/2A2亠=2燉/3 = h2/ (3AZ)(6)B Q切線角 Q切點(diǎn)Q至假設(shè)起點(diǎn)ZH(HZ)的弦切角故可得，Q點(diǎn)至ZH點(diǎn)的方位角GQ ZH = Oq +180。二 qO)ZH點(diǎn)的切線方位角z/f = % 土A?(8丿土取法左偏取“ + 右偏取紇JQ點(diǎn)至HZ點(diǎn)的方位角aQ- HZ = 口0 編,

13、9丿HZ點(diǎn)的切線方位角Q 譏% 二flO 丿(土取法左偏取I =右偏取“ + J求得卵形曲線起點(diǎn)Q至ZH(HZ)的弦長 和方位角.后，則ZH(HZ)點(diǎn)的坐標(biāo)為III) = Xq + Z| COZH( HZ)(11 丿.YzfffffZ/ = Yq + h SI n aQ- ZH (HZ求出假設(shè)的ZH(HZ)點(diǎn)的坐標(biāo)后，就可以根據(jù)基本形緩和曲線的計算方法來計算曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)。上面的公式(3)到(11)是以不完整緩和曲線的起點(diǎn) Q (接大圓點(diǎn)) 來計算假設(shè)的完整緩和曲線起點(diǎn) ZH(HZ)的坐標(biāo)。也可以以接小圓的 緩和曲線終點(diǎn)YH(HY)來計算起點(diǎn)ZH(HZ)坐標(biāo)。如下： 與相對應(yīng)的完整緩和曲線

14、的長度為/s A / 小 與對應(yīng)的的弦長為總弦長：Cs= I s-l s5/90R 2 ls2= l s-l s3/90R 2 接小圓的YH(HY)點(diǎn)的切線角總偏角：Bs=l s/2 R ? 180 /n.h 180-A /i仇緩和曲線全長所對應(yīng)的中心角亦稱緩和曲線角。 接小圓的YH(HY)點(diǎn)到假設(shè)起點(diǎn)ZH(HZ)的弦切角a ( Z-ZH) =a (Z) + 180 士 b 設(shè)接小圓的YH(HY)點(diǎn)為Z,則Z點(diǎn)至ZH點(diǎn)的方位角 =I s -3 RZH點(diǎn)的切線方位角a ( ZH ) = a(Z) 士 B (Z)(土取法左偏取“ +二右偏取冷Z點(diǎn)至HZ點(diǎn)的方位角a (Z-HZ) =aHZ點(diǎn)的切線方

15、位角a ( HZ) = a(Z) 士 B (Z)(土取法注偏取:右偏取“ + J ZH(HZ)點(diǎn)的坐標(biāo)為(設(shè)接小圓的YH(HY)點(diǎn)為Z)X(ZH 或 HZ)=X(Z)+ Cs cos a z-zh(hz)Y(ZH 或 HZ)二Y(Z)+ Cs Sin a Z-ZH(HZ)Cs 為弦長注：卵形曲線上大圓包含小圓，也就是說接小圓處的曲率半徑為R小，沿大圓方向曲率半徑漸大。假設(shè)的完整緩和曲線的起點(diǎn) ZH(HZ) 在大圓那邊。3) 卵型曲線計算方法定文二卵型曲線是指兩個同向圜曲線由一段緩和曲線連接起來 構(gòu)成的復(fù)曲線。該緩和曲線仍然采用回謹(jǐn)線，但玄的曲辜不是從零開始”而是 截取曲率的一段作為緩和曲線.4

16、、回頭曲線 什么是回頭曲線回頭曲線是一種半徑小、轉(zhuǎn)彎急、線型標(biāo)準(zhǔn)低的曲線形式，其轉(zhuǎn) 角接近、等于或大于180度。在實際中，我們確實經(jīng)常在山區(qū)道路碰到回頭曲線，基本的感覺 就是一個急彎，并且轉(zhuǎn)了一百八十度，跟掉頭差不多，也就是前面描 述的：轉(zhuǎn)角接近、等于或大于180度。下圖是湘西 公路奇觀”的連續(xù) 回頭曲線。這里所討論的回頭曲線，主要是基于其平面坐標(biāo)計算的特殊性而 言的，它只有一個定義，就是：轉(zhuǎn)角大于或等于180度，由于實際使用中很少有轉(zhuǎn)角正好等于180度的情況，所以就是指轉(zhuǎn)角大于180 度這種情況了。為什么這么定義呢，因為一般情況下，交點(diǎn)與曲線的關(guān)系是：交 點(diǎn)在曲線的外側(cè)，即便是轉(zhuǎn)角接近 18

17、0度，它的交點(diǎn)也在曲線外側(cè),如下圖:而當(dāng)轉(zhuǎn)角等于180度時，則成為兩條平行線，沒有交點(diǎn)，或者說無限遠(yuǎn)，其曲線位置不具有唯一性，這種情況實際中幾乎不會采用；而當(dāng)轉(zhuǎn)角大于180度時，貝S交點(diǎn)的位置就比較特殊了，如下圖：這個圖中，JD1和JD3是普通情況下的交點(diǎn)，均在曲線的外側(cè), 而JD2的轉(zhuǎn)角大于180度，其位置在曲線的內(nèi)側(cè)，這種情況，才是 本此討論的回頭曲線?；仡^曲線的計算（1）曲線要素的計算先看一個案例，邵懷高速公路溆浦連接線（二級公路），有一個回頭曲線，其曲線設(shè)計參數(shù)如下：JD5，交點(diǎn)坐標(biāo) X=3046429.812，Y=450083.958，轉(zhuǎn)角 224 08 21.8（左轉(zhuǎn)），半徑60m

18、，緩和曲線長35m ,曲線ZH點(diǎn)樁號K49+302.600 , 切線方位角359 23 17.9 平面圖形如下所示：我們使用T股曲線的計算公式來計算一下回頭曲線，看有什么特點(diǎn)。J24J?26S8J?35:24x60354268SX605= 0.848m汗一丄上-U十燦n2 240 圧2 240x60*/yt40R,21 F,r=(JR + p)tan(-) +5 = (60+0.848) tan(_-_) + 17.450 = -132.62 8m1 I OQRf 1 辭Lv -Z, = 60x x-35 = 199.718m$ - 180L=Ly +2fs =199.718+2x35= 26

19、9,718ma22408r218r, = (.R + p) sec- = (60+0.851) sec-60=-22L952m交點(diǎn)樁號：ZH點(diǎn)樁號K49+302.600加上切線長T,結(jié)果為K49+169.972。從這個計算結(jié)果來看，我們發(fā)現(xiàn)與一般曲線要素不同的地方是:1. 切線長T和外距E為負(fù)值；2. 交點(diǎn)樁號比ZH點(diǎn)樁號小。設(shè)計文件中的直曲表數(shù)據(jù)也表明了這一點(diǎn)：交盒婁標(biāo)交點(diǎn)*4號曲建驀X(X)EQ3*輕me切MtJDS3046423 312450063 9576.KH69 47222* 時 2L *g60355 826-152 26宙 71B2-221 9曲建主點(diǎn)樁號K建心及方向幕一援和曲詵

20、事一煖和曲謹(jǐn)螺曲銭中査第二練加鹹起揮二和鹹KtX&計越點(diǎn)點(diǎn)取卿注起點(diǎn)店壺超刪龍紋瘓蠟點(diǎn)K (id)E(m)K44+302 600K49+337 600K19H3T *59K49+537 318M9*572 31809W9w割n護(hù)(2)中樁坐標(biāo)的計算雖然回頭曲線的曲線要素與普通曲線有一些特別的地方，但現(xiàn)在 我們更關(guān)心的是，按照普通平曲線的中樁坐標(biāo)計算公式， 能否計算出 準(zhǔn)確的結(jié)果。答案肯定是不能的，否則我也不會寫這篇文章，在這里 白費(fèi)神了。中間具體的計算過程我就不展示了，按照普通平曲線的中樁坐標(biāo)計算 公式，能夠計算出各個樁號的坐標(biāo)，只可惜是錯誤的結(jié)果。按照這個 錯誤的結(jié)果，展示該回頭曲線的圖形如

21、下：回頭曲線的處理回頭曲線按照普通曲線中樁坐標(biāo)計算方法不能得到正確的結(jié)果，原因在于它的交點(diǎn)實際在曲線內(nèi)側(cè)，而程序則把它當(dāng)作普通曲線來處理， 從上面那個圖形即可看出。處理的方法很簡單，就是把回頭曲線一分 為二，分成兩個普通曲線，如下圖所示，將 JD5對稱地分為JD5a 和 JD5b。這樣，只要把JD5 a和JD5b當(dāng)作普通曲線交點(diǎn)進(jìn)行計算就行了。首先需要確定JD5 a和JD5b的相關(guān)參數(shù)，先看JD5a。1）計算終點(diǎn)。顯然，JD5a的計算終點(diǎn)就是回頭曲線的曲中點(diǎn)，從設(shè)計文件直曲表上可查得，是 K49+437.459 ；2）本交點(diǎn)樁號。JD5a的樁號嘛，應(yīng)該是回頭曲線的ZH點(diǎn)加上JD5a 曲線的第一

22、切線長。回頭曲線的ZH點(diǎn)在直曲表上有，K49+302.600， 而JD5a曲線的第一切線長，那就需要計算一下了。根據(jù)示意圖，由于圖形的對稱性，JD5a和JD5b的切線長有兩個：T1 和 T2，JD5a的曲線要素為：半徑R=60m，第一緩和曲線Ls仁35m，第二緩和曲線Ls2=0m，交點(diǎn)轉(zhuǎn)角是回頭曲線轉(zhuǎn)角的一半，即224 08 8 21.8 /2=112 0,可計）算得：T1 = 106.865m , T2=89.986m。則 JD5a 的樁號二 49302.600+106.865=49409.4653） 本交點(diǎn)X/Y坐標(biāo)。根據(jù)坐標(biāo)正算原理，按照幾何關(guān)系，已知JD5的坐標(biāo)為 X=3046429.

23、812 , Y=450083.958 , JD5-JD5a 的距離= 106.865+132.628=239.493m, JD5-JD5a 的坐標(biāo)方位角359 23 17.9容易得出 JD5a 的坐標(biāo)為：X=3046669.291 , Y=450081.401。4）交點(diǎn)之前直線方位角，就是JD5-JD5a的坐標(biāo)方位角359 23 17.9 （也是JD5ZH點(diǎn)的方位角）。5）交點(diǎn)轉(zhuǎn)角。交點(diǎn)轉(zhuǎn)角是回頭曲線轉(zhuǎn)角的一半，即224 0821.8 /2=112 0,左 10。6） 平曲線半徑及緩和曲線長度。半徑R=60m，第一緩和曲線Ls仁35m，第二緩和曲線 Ls2=0m。7）交點(diǎn)計算起終點(diǎn)樁號。就是曲線的起終點(diǎn)樁號，49302.60049437.459到此，JD5a數(shù)據(jù)搞定。JD5b的數(shù)據(jù)，計算方法和前面基本一致，結(jié)果如下：計算終點(diǎn)：49572.318 ;交點(diǎn)樁號：49527.445 ;交點(diǎn)坐標(biāo)：X=3046599.893，丫=449915.348 ;交點(diǎn)之前直線方位角：247 19 07交點(diǎn)轉(zhuǎn)角：112 04 10.9 左轉(zhuǎn)；半徑R=60m , Ls1=0m，第二緩