直角三角形在二次函數(shù)中的存在性問題

1、復習課 二次函數(shù)與幾何圖形存在性問題直角三角形的存在性問題教學設計普定縣第二中學 孫家坤二次函數(shù)與幾何圖形存在性問題課題 學科 數(shù)學直角三角形的存在性問題教材背景及學情分析本節(jié)課的內(nèi)容是人教版義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學九年級（上）二次函數(shù)的復習綜合內(nèi)容。 本節(jié)課主要是研究拋物線與直角三角形存在性的綜合問題， 是在學生了解了拋物線及其性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行的， 它是前面所學知識的應用。因此，本節(jié)課的學習將對今后的學習和培養(yǎng)學生能力有重要的作用。1. 知識與技能通過探索理解并掌握 :（1）在平面直角坐標系表示線段的長。教學（2）探究直角三角形在拋物線中的存在性問題。2. 過程與方法 目標重難 通過動

2、手操作、觀察、歸納，經(jīng)歷探索新知的過程，培養(yǎng)學生實驗、觀察、點分發(fā)現(xiàn)新問題，探究和解決問題的能力。析3. 情感態(tài)度與價值觀（1）通過引導學生動手操作，對圖形的觀察發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學生的學習興趣。（2）在師生之間、 生生之間的合作交流中進一步樹立合作意識， 培養(yǎng)合作能力，體驗學習的快樂。（3）在運用數(shù)學知識解答問題的活動中獲取成功的體驗，建立學習的自信心。4. 教學重點：探索直角三角形在拋物線中的存在性問題， 并利用其解決相關(guān)問題。5. 教學難點： 在拋物線中探究直角三角形的存在。教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖媒體使用例2如圖，已知拋物線 y12x bxc 經(jīng)過點觀察B(4，0)和點 C(0，2)，

3、與 x 軸的另一個交點為思考，點A，其對稱軸 l 與 x 軸交于點 E，過點 C且平行帶著問題 x 軸的直線交拋物線于點 D，連接 A D。進入 多媒學習。 體展示課件學 生 能夠 根 據(jù)已 知 條活動 1：典 例 精講(1) 求該拋物線的解析式；【思路點撥】件 求 出二 次 函數(shù) 的 解析式。解：略(2) 判斷ABD的形狀；【思路點撥】能 夠 由點 的 坐 判斷三角形形狀， 一般為特殊三角形， 若兩邊相等， 則為等腰三角形； 若三邊相等， 則為等邊三 標 求 出角形；若兩條邊的平方和等于第三邊的平方， 則為 三 角 形直角三角形。解：略(3)P 為線段 AD上一點，連接 P E，若APE是直

4、角三角形，求點 P的坐標；的邊長，再 由 三邊 滿 足勾 股 定【思路點撥】理 的 逆定 理 判斷 三 角 電子形 的 形 白板狀。 書寫學生 解答書寫 過程。求解過程。會 分 類討論，求出 滿 足條 件 的 解：略點 的 坐標。(4) 拋物線的對稱軸上是否存在一點 P，使APD是直角三角形，若存在，求出 P 點坐標；若不存在，請說明理由【思路點撥】會 利 用兩 點 間的 距 離公 式 表示 處 三角 形 的分別利用勾股定理， 列出方程求解 若有解， 則存在；若無解，則不存在解：略邊長，能熟 練 進行 分 類討論，從而 求 出滿 足 條件 的 點的坐標?；顒?2：歸 納 總結(jié)（滿分讓 學 生經(jīng)

5、 歷 從總結(jié)生 活 中技法） 對于拋物線與直角三角形的綜合問題， 解題時， 一 般需做好以下幾點：歸納，抽 象 出得出數(shù) 學 知1利用坐標系中兩點距離公式，得到所求三角形 三邊平方的代數(shù)式；解決識 的 過多媒體展示。這類程，使他 2確定三角形中的銳角，若存在銳角，則只需使問題們 體 會得另外兩個角中任意一個角為直角，并利用的方到 學 習 勾股定理列方程求解；若無法確定哪個角是法。數(shù) 學 的 銳角，則需要討論三個角；3根據(jù)勾股定理得到方程，并解方程即可，若方樂趣。程有解，此點存在；否則不存在；4有時也可以考慮運用所求三角形與已知的直角三角形相似， 利用比例關(guān)系求出對應的參數(shù)1. 如圖，已知拋物線

6、 yax2bxc(a 0)的對稱軸為直線 x1，且拋物線經(jīng)過 A(1，0)，C(0，3)兩點，與 x 軸交于點 B. 通 過 練 白學 生(1) 若直線 ymxn 經(jīng)過 B、C兩點，求直線分 析習，進一 板書B C和拋物線的解析式；題意，步 鞏 固 寫解(2) 設點 P為拋物線的對稱軸 x1上的一個動點，求使 BPC為直角三角形的點 P的坐標探 究思路，并 完成 解學 生 解決 此 類問 題 的答過程。投 熟 練 程 影儀答 過活動 3：程。 度，提高 展示針對分 析 問 學生演練題、解決 的解問 題 的 答結(jié) 第 1 題圖能力。 果。解：(1) 依題意得b12a，解得abc0c3a1b2，c

7、3拋物線解析式為 yx22x3，對稱軸為 x1，拋物線經(jīng)過 A(1，0)，B(3，0) ，把B(3，0) ，C(0，3)分別代入 ymxn 得，3mn0n3，解得m1n3，直線 BC的解析式為 yx3；第 1 題解圖(2) 設 P(1，t) ，B(3，0) ，C(0，3) ，2BC18，PB2( 13) 2t 24t 2，PC2( 1) 2(t 3)2t 26t 10，2 2 2若PBC90 ，則 BCPBPC，即184t 12， 2t 26t 10，解得 t2t 26t 10，解得 t點P 的坐標為( 1，2)；2 2 2若PCB90 ，則 BCPCPB，即18t 24，點 26t 104t

8、 2，解得 t26t 104t 2，解得 tP的坐標為( 1，4)；2 2 2若BPC90 ，則 PBPCBC，即4t2t 26t 1018. 解得 t 3 173 ， 23 17t 4 ，點 P的坐標為( 1，32 3 171， ) 217) 或( 2綜上所述，滿足條件的點 P共有四個，分別為：( 1，2)，3 17 3 17( 1，4) ，( 1， ) ，( 1， ) (102 2分)2. 如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線 yx2bxc 過 A，B，C三點，點 A的坐標是 (3，0)，點 C的坐標是(0 ，3) ，動點 P在拋物線上(1) 求拋物線的解析式及點 B的坐標；(2) 是否存

9、在點 P，使得ACP是以 A C為直角邊的直角三角形？若存在， 求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；解：(1) 把點 A(3，0) 、C(0，3)的坐標分別代入拋物線的解析式 yx2bxc 得出方程組93bc0 b2，解得 ，c3 c3拋物線的解析式是 yx22x3，令 x22x30，解得 x11，x23，點 A的坐標為 (3，0) ，第 2 題解圖點 B 的坐標是( 1，0); (2) 存在如解圖， 過點 C作 AC的垂線與拋物線交于點 P，與 x 軸交于點 N，OCO A3，ONOC3，N(3，0)，直線 CN經(jīng)過 C(0，3)，N(3，0)，直線 CN的解析式是 yx3，拋物線與直線 CN交于一點，x 11，x20，22x3x3，解得 x當x0 時，點 P 與點 C重合，不合題意，當x1 時，y4，此時點 P 的坐標是 (1，4).過點 A作AC的垂線，交 y 軸于點 M，點 M 的坐標為(0，3) ，直線 A M經(jīng)過 A(3，0)，M(0，3) ，直線 A M的解析式是 yx3，拋物線