二次函數(shù)復習課件

1、 二次函數(shù)的定義：二次函數(shù)的定義： 形如形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常數(shù)，是常數(shù)， a0) 的函數(shù)叫做二次函數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù) 想一想想一想:函數(shù)的自變量函數(shù)的自變量x是否可以取任何值是否可以取任何值 呢呢? 注意注意:當二次函數(shù)表示某個實際問題時當二次函數(shù)表示某個實際問題時,還必還必 須根據(jù)題意確定自變量的取值范圍須根據(jù)題意確定自變量的取值范圍. 函數(shù)函數(shù)yax2bxc 其中其中a、b、c是常數(shù)是常數(shù) 切記：切記：a0 右邊一個右邊一個x的二次多項式（不能是分式或根式）的二次多項式（不能是分式或根式） 二次函數(shù)的特殊形式：二次函數(shù)的特殊形式： 當當b0時，時， yax2c 當當

2、c0時，時， yax2bx 當當b0，c0時，時， yax2 知識運用知識運用 下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x) 駛向勝 利的彼 岸 當m取何值時，函數(shù)是取何值時，函數(shù)是y= (m+2)x 分別分別 是一次函數(shù)？是一次函數(shù)？ 反比例函數(shù)？反比例函數(shù)？ 知識運用知識運用 m2-2 二次函數(shù)？二次函數(shù)？ （一）形如y = ax 2(a0) 的二次函數(shù) 向上向上 向下向下 直線X=0 (0,0) （二）（二）形如y = ax 2+

3、k(a0) 的二次函數(shù) 直線X=0（0，K） 向上向上 向下向下 直線直線X=h（h，0） （三）、形如（三）、形如y = a (x - h) 2 ( a0 ) 的二次函數(shù)的二次函數(shù) 鞏固練習鞏固練習1： （1）拋物線）拋物線y = x 2的開口向的開口向 ,對稱軸是對稱軸是 , 頂點坐標是頂點坐標是 ,圖象過第圖象過第 象限象限 ； （2)已知已知y = - nx 2 (n0) , 則圖象則圖象 ( ) （填（填“可能可能”或或“不可能不可能”）過點）過點A（-2，3）。）。 上上Y軸軸 (0,0)一、二一、二 不可能不可能 3 2 （3）拋物線）拋物線y = x 2+3的開口向的開口向 ,

4、對稱對稱 軸是軸是 , 頂點坐標是頂點坐標是 ,是由拋物線是由拋物線 y = x 2向向 平移平移 個單位得到的；個單位得到的； 2 1 2 1 上 直線X=0 （0，3） 上 3 （2）已知（如圖）拋物線）已知（如圖）拋物線y = ax 2+k的圖象，的圖象， 則則a 0，k 0；若圖象過；若圖象過A (0,-2) 和和B (2,0) ， 則則a = ,k = ；函數(shù)關(guān)系式是；函數(shù)關(guān)系式是y = 。 0.5-2 0.5x 2-2 X Y A B O (四四) 形如形如y = a (x+h) 2 +k (a 0) 的二次函數(shù)的二次函數(shù) a 0 a 0 直線X=-h （-h，k） 練習鞏固練習鞏

5、固2: （1）拋物線 y = 2 (x ) 2+1 的開口向 , 對稱軸 , 頂點坐標是 （2）若拋物線y = a (x+m) 2+n開口向下，頂 點在第四象限，則a 0, m 0, n 0。 上上 X=（，（，1） 2、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù)y=- x2+bx-5的圖象的的圖象的 頂點在頂點在y軸上，則軸上，則b=_。 1 2 0 -1 -2 -3-4 01234 1 2 3 4 5 6 -1 -2 觀察觀察y=xy=x2 2與與y=xy=x2 2-6x+7-6x+7的函數(shù)圖象，說說的函數(shù)圖象，說說y=xy=x2 2-6x+7-6x+7的的 圖象是怎樣由圖象是怎樣由y=xy=x2 2的圖

6、象平移得到的？的圖象平移得到的？ y=xy=x2 2-6x+7-6x+7 =x=x2 2-6x+9-2-6x+9-2 =(x-3)=(x-3)2 2-2-2 平移規(guī)律：平移規(guī)律： h決定左右決定左右 左正右負左正右負 K決定上下決定上下 上正下負上正下負 基礎(chǔ)練習基礎(chǔ)練習 1.由由y=2x2的圖象向左平移兩個單位的圖象向左平移兩個單位,再向下平再向下平 移三個單位移三個單位,得到的圖象的函數(shù)解析式為得到的圖象的函數(shù)解析式為 _ 2.由函數(shù)由函數(shù)y= -3(x-1)2+2的圖象向右平移的圖象向右平移4個單位個單位, 再向上平移再向上平移3個單位個單位,得到的圖象的函數(shù)解析式得到的圖象的函數(shù)解析式

7、 為為_ y=2(x+2)2-3=2x2+8x+5 y= - 3(x-1-4)2+2+3=-3x=-3x2 2+30 x-70+30 x-70 3.拋物線拋物線y=ax2向左平移一個單位向左平移一個單位,再向下再向下 平移平移8個單位且個單位且y=ax2過點過點(1,2).則平移后則平移后 的解析式為的解析式為_;y=2(x+1)2-8 4.將拋物線將拋物線y=x2-6x+4如何移動才能得到如何移動才能得到y(tǒng)=x2. 逆向思考逆向思考,由由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知知:先向左平移先向左平移3個個 單位單位,再向上平移再向上平移5個單位個單位. 二次二次函數(shù)函數(shù)y=axy=ax2

8、2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì) .頂點坐標與對稱軸頂點坐標與對稱軸 .位置與開口方向位置與開口方向 .增減性與最值增減性與最值 拋物線拋物線 頂點坐標頂點坐標 對稱軸對稱軸 位置位置 開口方向開口方向 增減性增減性 最值最值 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0) y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0 開口向下開口向下 a0 交點在交點在x軸下方軸下方c0 與與x軸有一個交點軸有一個交點b2-4ac=0 與與x軸無交點軸無交點 b2-4ac0； 當當0 x1x22時，時，y1 y2 你認為其中正確的個數(shù)有你認為其中正確的個數(shù)有 （ ） A

9、2 B3 C4 D5 C 練一練：已知練一練：已知y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象如圖所示的圖象如圖所示, , a_0, b_0, c_0, abc_0a_0, b_0, c_0, abc_0 b_2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b_2a, 2a-b_0, 2a+b_0 b b2 2-4ac_0-4ac_0 a+b+c_0, a-b+c_0 a+b+c_0, a-b+c_0 4a-2b+c_0 4a-2b+c_0 0 -11-2 w二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸交點有三種情況軸交點有三種情況: :有兩個交點有兩個交點,

10、, 有一個交點有一個交點, ,沒有交點沒有交點. .當二次函數(shù)當二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的圖象和的圖象和x x軸有交軸有交 點時點時, ,交點的橫坐標就是當交點的橫坐標就是當y=0y=0時自變量時自變量x x的值的值, ,即一元二次方程即一元二次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根. . 有兩個交點有兩個交點 有兩個相異的實數(shù)根有兩個相異的實數(shù)根b b2 2-4ac 0-4ac 0 有一個交點有一個交點有兩個相等的實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根 b b2 2-4ac = 0-4ac = 0 沒有交點沒有交點沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根 b b2 2-4ac 0-

11、4ac 0 選擇選擇 (1)拋物線拋物線y=x2-4x+3的對稱軸是的對稱軸是_. A 直線直線x=1 B直線直線x= -1 C 直線直線x=2 D直線直線x= -2 (2)拋物線拋物線y=3x2-1的的_ A 開口向上開口向上,有最高點有最高點 B 開口向上開口向上,有最低點有最低點 C 開口向下開口向下,有最高點有最高點 D 開口向下開口向下,有最低點有最低點 (3)若若y=ax2+bx+c(a 0)與軸交于點與軸交于點A(2,0), B(4,0), 則對稱軸是則對稱軸是_ A 直線直線x=2 B直線直線x=4 C 直線直線x=3 D直線直線x= -3 (4)若若y=ax2+bx+c(a

12、0)與軸交于點與軸交于點A(2,m), B(4,m), 則對稱軸是則對稱軸是_ A 直線直線x=3 B 直線直線x=4 C 直線直線x= -3 D直線直線x=2 c c B B C A A 2、已知拋物線頂點坐標（、已知拋物線頂點坐標（h, k），通常設(shè)），通常設(shè) 拋物線解析式為拋物線解析式為_ 3、已知拋物線與、已知拋物線與x 軸的兩個交點軸的兩個交點(x1,0)、 (x2,0),通常設(shè)解析式為通常設(shè)解析式為_ 1、已知拋物線上的三點，通常設(shè)解析式為、已知拋物線上的三點，通常設(shè)解析式為 _ y=ax2+bx+c(a0) y=a(x-h)2+k(a0) y=a(x-x1)(x-x2) (a0)

13、 求拋物線解析式的三種方法求拋物線解析式的三種方法 練習根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。練習根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。 (1)、圖象經(jīng)過、圖象經(jīng)過(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三點；三點； (2)、圖象的頂點、圖象的頂點(2，3)， 且經(jīng)過點且經(jīng)過點(3，1) ； (3)、圖象經(jīng)過、圖象經(jīng)過(-2，0)， (3，0) ，且最高點，且最高點 的縱坐標是的縱坐標是3 。 例例1、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最的最 大值是大值是2，圖象頂點在直線，圖象頂點在直線y=x+1上，并上，并 且圖象經(jīng)過點（且圖象經(jīng)過點（3，-6）。求）。求a、b、c。 解：解：二

14、次函數(shù)的最大值是二次函數(shù)的最大值是2 拋物線的頂點縱坐標為拋物線的頂點縱坐標為2 又又拋物線的頂點在直線拋物線的頂點在直線y=x+1上上 當當y=2時，時，x=1 頂點坐標為（頂點坐標為（ 1 ， 2） 設(shè)二次函數(shù)的解析式為設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2 又又圖象經(jīng)過點（圖象經(jīng)過點（3，-6） -6=a (3-1)2+2 a=-2 二次函數(shù)的解析式為二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2 即：即： y=-2x2+4x 綜合創(chuàng)新綜合創(chuàng)新: : 1.1.已知拋物線已知拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的的 形狀

15、相同形狀相同, ,頂點在直線頂點在直線x=1x=1上上, ,且頂點到且頂點到x x軸的距離軸的距離 為為5,5,請寫出滿足此條件的拋物線的解析式請寫出滿足此條件的拋物線的解析式. . 解解: :拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形狀的形狀 相同相同 a=1a=1或或-1-1 又又頂點在直線頂點在直線x=1x=1上上, ,且頂點到且頂點到x x軸的距離為軸的距離為5,5, 頂點為頂點為(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5) 所以其解析式為所以其解析式為: : (1) y=(x-1) (1) y=(x-1)2

16、 2+5 (2) y=(x-1)+5 (2) y=(x-1)2 2-5-5 (3) y=-(x-1) (3) y=-(x-1)2 2+5 (4) y=-(x-1)+5 (4) y=-(x-1)2 2-5-5 2.2.若若a+b+ca+b+c=0,a=0,a 0,0,把拋物線把拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c向下向下 平移平移4 4個單位個單位, ,再向左平移再向左平移5 5個單位所到的新個單位所到的新 拋物線的頂點是拋物線的頂點是(-2,0),(-2,0),求原拋物線的解析式求原拋物線的解析式. . 分析分析: :(1) (1)由由a+b+ca+b+c=0=0可知可知, ,原拋

17、物線的圖象經(jīng)過原拋物線的圖象經(jīng)過(1,0)(1,0) (2) (2) 新拋物線向右平移新拋物線向右平移5 5個單位個單位, , 再向上平移再向上平移4 4個單位即得原拋物線個單位即得原拋物線 答案答案:y=-x:y=-x2 2+6x-5+6x-5 練習練習1、已知拋物線、已知拋物線y=ax2+bx-1的對稱軸是的對稱軸是x=1 ， 最高點在直線最高點在直線y=2x+4上。上。 (1) 求此拋物線的頂點坐標求此拋物線的頂點坐標. （2）求拋物線解析式）求拋物線解析式. （3）求拋物線與直線的交點坐標）求拋物線與直線的交點坐標. 解：解：二次函數(shù)的對稱軸是二次函數(shù)的對稱軸是x=1 圖象的頂點橫坐標

18、為圖象的頂點橫坐標為1 又又圖象的最高點在直線圖象的最高點在直線y=2x+4 上上 當當x=1時，時，y=6 頂點坐標為（頂點坐標為（ 1 ， 6） 例例2 2、已知拋物線、已知拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與與x x軸正、負半軸分軸正、負半軸分 別交于別交于A A、B B兩點，與兩點，與y y軸負半軸交于點軸負半軸交于點C C。若。若OA=4OA=4，OB=1OB=1， ACB=90ACB=90，求拋物線解析式。，求拋物線解析式。 解：解： 點點A在正半軸，點在正半軸，點B在負半軸在負半軸 OA=4，點點A（4，0） OB=1， 點點B（-1，0） ACB=90 CAO=B

19、CO CAO+OCA=90,OCA+BCO=90 BOC=COA, CO OC=2，點，點C（0，-2） 由題意可設(shè)由題意可設(shè)ya（x）（）（x）得：）得： a（）（）（）（） a. y.（x）（）（x） ABx y O C 練習、已知二次函數(shù)練習、已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖。的圖象如圖。 (1)、當、當x為何值時，為何值時，y隨隨x的增大而增大的增大而增大; (2)、當、當x為何值時，為何值時，y0。 y O x (3)、求它的解析式和頂點坐標；、求它的解析式和頂點坐標； 2.5 河北省趙縣的趙州橋的橋拱是拋物線型，建立如圖所河北省趙縣的趙州橋的橋拱是拋物線型，建立如圖所 示

20、的坐標系，其函數(shù)的表達式為示的坐標系，其函數(shù)的表達式為y= - xy= - x2 2 ， ， 當水位線在當水位線在ABAB位位 置時，水面寬置時，水面寬 AB = 30AB = 30米米，這時水面離橋頂?shù)母叨冗@時水面離橋頂?shù)母叨萮 h是（是（ ） A A、5 5米米 B B、6 6米；米； C C、8 8米；米； D D、9 9米米 解：當解：當x=15時時， Y=-1/25 152 =-9 問題1： （3）銷售量可以表示為）銷售量可以表示為 （1）銷售價可以表示為）銷售價可以表示為 （50+x）元）元 個個 （2）一個商品所獲利）一個商品所獲利可以表示為可以表示為（50+x-40）元）元 （

21、4）共獲利）共獲利可以表示為可以表示為 解解： =- 10（x-20）2 +9000 問題問題5:如圖，在一面靠墻的空地上用長為如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔米的籬笆，圍成中間隔 有二道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬有二道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為為x米，面積為米，面積為S平方平方 米。米。 (1)求求S與與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； (2)當當x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？ (3)若墻的最大可用長度為若墻的最大可用長度為8米，則求圍成花圃的最大面積。米，則求圍成花

22、圃的最大面積。 A BC D 解解： (1) AB為為x米、籬笆長為米、籬笆長為24米米 花圃另一邊為（花圃另一邊為（244x）米）米 (3) 墻的可用長度為墻的可用長度為8米米 (2)當x 時，S最大值 36（平方米） 3 2 a b a bac 4 4 2 Sx（244x） 4x224 x （0 x6） 0244x 8 4x6 當當x4m時，時，S最大值 最大值 32 平方米平方米 小試牛刀小試牛刀 如圖，在如圖，在ABC中，中，AB=8cm，BC=6cm，B B9090， 點點P P從點從點A A開始沿開始沿ABAB邊向點邊向點B B以以2 2厘米秒的速度移動，厘米秒的速度移動， 點點Q Q從點從點B B開始沿開始沿BCBC邊向點邊向點C C以以1 1厘米秒的速度厘米秒的速度 移動，如果移動，如果P,QP,Q分別從分別從A,BA,B同時出發(fā)，同時出發(fā)， 幾秒后幾秒后PBQPBQ的面積最大？的面積最大？ 最大面積是多少？最大面積是多少？ A B C P Q 解：根據(jù)題意，設(shè)經(jīng)過解：根據(jù)題意，設(shè)經(jīng)過x秒秒后后PBQPBQ的面積的面積y y最大最大, ,則：則： AP=2x cm PB=（8-2x ） cm QB=x cm 則則 y=1/2 x（8-2x） =-x2 +4x =-（x2 -4