第三版實變函數(shù)論課后答案118頁

1、1. 證明：的充要條件是.證明：若，則，故成立. 反之，若，則，又，若，則，若，則.總有.故，從而有。 證畢2. 證明.證明：，從而，故，從而，所以.另一方面，必有，故，從而，所以.綜合上兩個包含式得. 證畢3. 證明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理9.證明：定理4中的（3）：若（），則.證：若，則對任意的，有，所以（）成立知，故，這說明.定理4中的（4）：.證：若，則有，使 .反過來，若則或者.不妨設(shè)，則有使.故.綜上所述有.定理6中第二式.證：，則，故存在 ，所以從而有.反過來，若，則使，故，從而. 證畢定理9：若集合序列單調(diào)上升，即（相應(yīng)地）對一

2、切都成立，則 （相應(yīng)地）.證明：若對成立，則.故從定理8知另一方面，令，從對成立知.故定理8表明故.4. 證明的充要條件是.證：充分性 若，則必要性 若，而則存在.所以即所以這與矛盾，所以.4. 設(shè),求.又如果,問是什么.解:若,則.若,則從,易知.令.證明: 因為的任何子集.所以有,而,故,又.任取的一子集,且.顯,故只用證的確是一個域.(1) ,且的子集,若,則(是的子集,故)又的子集,.顯然是的子集,所以.又若為的子集或.則.這里是的子集.或.所以.若中除的子集外,還有,則.若中有,不影響.故是域,且.證畢.6.對于的子集，定義的示性函數(shù)為證明：（1）（2）證明：，若則。且只有有限個，使

3、得所以 使得 時 從而有 故若， 則 且有無限個故所以 .故（1）成立.（2）的證明： ，若則.且有無窮個 使得 ， 所以 注意到所以 .若，則且只有有限個使得所以 使得 時 ，所以 .所以（2）也成立.也可以這樣證（2）：注意 .7.設(shè)f(x)是定義于E上的實函數(shù)，a為一常數(shù)，證明（1）（2）.證明：（1） 我們有，故存在 使（因為）所以.從而有；反過來： 若，則所以（1）成立.下證（2） 我們有從而有反過來，若 8.若實函數(shù)序列在上收斂于，則對于任意常數(shù)都有證明：先證第一個等式 由定理8知 我們有 對成立。又條件 ， 有故 對，使得 時，這表明.反過來 ， 我們知對 ，使得 時， . 令

4、， 得 再令 ， 得 ，所以 ，從而 故 （1）成立。下證第二個等式，一樣有 ， 我們有 故 對， ， 時，.反過來 ，我們知對， ，使得 時， ，令 ， ，利用條件 ，有 ， 再令，得 ，所以 ，所以故（2）得證。注意：實際上有：對撒謊能夠任何實函數(shù)列有.習(xí)題二 （p18）1. 用解析式給出和 之間的一個對應(yīng)。解： ，令 ，則，且，故嚴(yán)格單調(diào)于，所以 為和 之間的一個對應(yīng)。2.證明只需就有。證明：，令，則，且顯然為對應(yīng)。2. 證明平面上的任何不帶圓周的圓上的點(diǎn)所作成的點(diǎn)集是和整個平面上的點(diǎn)所作成對等的，進(jìn)而證明平面上的任何非空的開集（開集的定義見數(shù)學(xué)分析或本書第二章）中的點(diǎn)所作成的點(diǎn)集和整個

5、平面上的點(diǎn)所作成的點(diǎn)集對等。證明： 平面上一個開圓第三j節(jié)習(xí)題1. 證明平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)構(gòu)成一可數(shù)集合。證明：將全體有理數(shù)排成一列 ，則平面上的有理點(diǎn)，其中為可列集，故作為可數(shù)個的并為可數(shù)集。（第20頁定理5）。2. 以直線上的互不相交的開區(qū)間為元素的任意集合至多只有可數(shù)多個元素.證明：設(shè)這里為某指標(biāo)集。則我們可在任意這一開區(qū)間中選定一個有理數(shù)，與之對應(yīng)，從而給出一個對應(yīng)，由于互不相交，當(dāng)顯然，故上述對應(yīng)是的.故與有理數(shù)集的一個子集對等，所以的勢最多與的勢相同，不會超過的勢，故要么為有限，要么為可數(shù)集.3. 所有系數(shù)為有理數(shù)的多項式組成一可數(shù)集合.證明：我們稱系數(shù)為有理的多項式為有理多項

6、式任取非負(fù)整數(shù)，全體階有理多項式的集合的勢是.事實上， 階有理數(shù)與之對應(yīng)，這一對應(yīng)顯然是的，即，這是因為由第一題：已知是可數(shù)集，利用歸納法，設(shè)是可數(shù)集，待證是可數(shù)集，.將中的點(diǎn)排成一列，將中的點(diǎn)排成一列，則，其中顯然為可數(shù)集，故也是可數(shù)集，這表明階有理多項式全體是一可數(shù)集，而全體有理多項式作為可數(shù)集的并也是可數(shù)集.4. 如果是上的單調(diào)函數(shù)，則的不連續(xù)點(diǎn)最多有可數(shù)多個.證明：我們在數(shù)學(xué)分析中知道上的單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)，只能是跳躍間斷點(diǎn)，其任取上的單調(diào)函數(shù)，設(shè)其可能的間斷點(diǎn)為 為某指標(biāo)集，在，令則故，有一上的開區(qū)間與之對應(yīng).不妨設(shè)，設(shè)使，有，故，所以.故的間斷點(diǎn)的集合與上的一族互不相交的開區(qū)間對應(yīng)

7、，而后者的勢為，故的間斷點(diǎn)至多為可數(shù)多個.5.設(shè)是一無窮集合，證明必有，使，且可數(shù).證明：若為可數(shù)集，則不妨設(shè)，令，則，且.顯然仍為可數(shù)集，故此時結(jié)論成立.若為無窮集，且不是可數(shù)集，則由P19定理1，中包含一個可數(shù)子集，令，則由于是無窮集，且不是可數(shù)集，是無窮集.由P21定理7和為可數(shù)集知： 證畢6. 若為一可數(shù)集合，則的所有有限子集構(gòu)成的集合也是可數(shù)集.證明：由第一，第三題的證明已知（為有理數(shù)集）.由于是可數(shù)集，故個由全體中的一個元素組成的集合，是可數(shù)集.由全體中的兩個元素組成的集合，是可數(shù)集若，記中的個元素組成的子集全體，則故是可數(shù)集.顯然的所有有限子集構(gòu)成的集合可表示為，為可數(shù)集，故作為

8、可數(shù)個可數(shù)集的并也是可數(shù)集.注意：的全體子集構(gòu)成的集合不是可數(shù)集.7. 若是有非蛻化的（即左，右端點(diǎn)不相等的）開區(qū)間組成的不可數(shù)無窮集合，則有，使中無窮多個區(qū)間的長度大于.證明：設(shè)為一指標(biāo)集，記的長度為.若本題的結(jié)論不成立，則，只有有限個，使，由于中的區(qū)間都是非蛻化的，由于是有限集，故作為可數(shù)個可數(shù)集的并，也是可數(shù)集，這與是不可數(shù)無窮集矛盾.故，使中有無窮多個區(qū)間的長度大于.事實上，中有不可數(shù)無窮多個區(qū)間的長度大于.8. 如果空間中的長方形，中的都是有理數(shù)，則稱為有理長方形，證明全體有理長方形構(gòu)成一可數(shù)集合.證明：由前面題3，6中已知是可數(shù)集（為有理數(shù)組成的集合）設(shè)，任取，記之為.與之對應(yīng)，由

9、于兩有理長方形相等，故上述對應(yīng)是單射，故與這一可數(shù)集的一個子集 對應(yīng).反過來，與顯然對應(yīng)，故與對應(yīng)所以與的一個子集對等.由Berrstein定理 對等所以是可數(shù)集.P25 習(xí)題1. 證明上的全體無理數(shù)構(gòu)成一不可數(shù)無窮集合.證明：記上的全體有理數(shù)的集合為.全體無理數(shù)的集合為，則.由于是一可數(shù)集合，顯然是無窮集合（否則為可數(shù)集，是可數(shù)集，得矛盾）.故從P21定理7得 .所以，為不可數(shù)無窮集合.2. 證明全體代數(shù)數(shù)（即整系數(shù)多項式的零點(diǎn)）構(gòu)成一可數(shù)集合，進(jìn)而證明必存在超越數(shù)（即非代數(shù)數(shù)）.證明：記全體整系數(shù)多項式的全體的集合為，全體有理多項式的集合為.則上節(jié)習(xí)題3，已知是可數(shù)集，而，故至多是可數(shù)集，

10、而顯然為無窮集合，故必為可數(shù)集.任取一有.的不同零點(diǎn)至多有個，故全體的零點(diǎn)的并至多為無數(shù).（至多為可數(shù)集，所以全體代數(shù)數(shù)之集也是至多可數(shù)集.又是可數(shù)集，.帶市數(shù)顯然有無窮個，故全體代數(shù)數(shù)之集為一可數(shù)集.3. 證明如果是可數(shù)基數(shù)，則.證明：一方面對于正整數(shù)的任意子集，考慮的示性函數(shù)令則若，則故（否則）故與的一個子集對等（）另一方面，.令（這里為中的全體有理數(shù)組成的集合）若，則由有理數(shù)的稠密性，是這一與對等的集合的子集.故與的全體子集組成的集合的一個子集對等（的全體子集組成集的勢，即）也就與的一個子集對等.由Berrstein定理所以.4. 證明如果，則中至少一個為.證明：，故不妨認(rèn)為，為的子集.

11、若存在，使得.則由于（顯然）故，而.由Berrsrein 定理.若，則從知所以，則顯然具有勢故易知由Berrsrein 定理證畢5. 設(shè)是上全體實函數(shù)所構(gòu)成的集合，證明證明：的子集，作的示性函數(shù)則映射規(guī)定了的所有子集的集合到上全體實函數(shù)所構(gòu)成的集合的一個對應(yīng)，且若，使得成立則必有所以與的一個子集對等.反過來，任取，是在中的圖象，是中的一個子集.且若，使則，表明使故.所以與的全體子集所組成的集合的一個子集對等，故從知即與的一個子集對等.所以由Berstein定理.第二章習(xí)題1.證明的充要條件是對于任意含有的鄰域（不一定以為中心）中，恒有異于的點(diǎn)屬于（事實上這樣的其實還是有無窮多個）而為的內(nèi)點(diǎn)的充

12、要條件則上有含有的鄰域（同樣，不一定以為中心）存在，使.證明：先設(shè)，則中有無窮多個點(diǎn)。現(xiàn)在設(shè)，這表明，故，有故故有無窮個點(diǎn)，自然有異于的點(diǎn).這就證明了必要性，事實上，是無窮集，故中有無窮多個異于的中的點(diǎn).反過來，若任意含有的鄰域中，恒有異于的點(diǎn)屬于，則，中，有異于的點(diǎn)屬于，記，則顯然由條件中有異于的點(diǎn)，由歸納法易知，有和，這表明中有無窮個中的點(diǎn).由的任意性知，若為的內(nèi)點(diǎn)，則使，故必要性是顯然的.若存在鄰域，使，則從前面的證明知，故為的內(nèi)點(diǎn).2.設(shè)是全體實數(shù)，是上的全部有理點(diǎn)，求.解：，由有理數(shù)的稠密性知，中有無窮個中的點(diǎn)，故，故.而另一方面，必有，使，故故，所以.表明而故.3. 設(shè)是普通的平面

13、，求.解：事實上，若，則由于是上的連續(xù)函數(shù)，必存在，使有.故，故不是中的點(diǎn)矛盾.故時反過來，若則，作上的函數(shù)則是上的連續(xù)函數(shù)，使現(xiàn)在任取，使.由上面的結(jié)論，存在，使.故滿足（1）；（2）.故（3），故所以由習(xí)題1的結(jié)論知，所以.而.4. 設(shè)是普通的平面，是函數(shù)的圖形上的點(diǎn)所作成的集合，求.解：設(shè)函數(shù)的圖形是.下證存在，設(shè)，則存在使若，則（當(dāng)充分大）則所以若，則，所以故反過來： ，若，故存在，使，從而即存在故.若則從知存在使，令.則，所以，故故結(jié)論成立.5. 證明當(dāng)是中的不可數(shù)無窮點(diǎn)集時，不可能是有限集.證明：記為的孤立點(diǎn)集，則所以.若能證明是至多可數(shù)集，則若是有限集或可列集知為至多可數(shù)集，這將

14、與是中的不可數(shù)無窮點(diǎn)集矛盾.故只用證的孤立點(diǎn)集是至多可數(shù)集，使故是到中的一個互不相交的開球鄰域組成的集的對應(yīng).而任一互不相交開球鄰域作成的集合是可數(shù)的，因為任取，取有理點(diǎn)，則從則與對應(yīng)故是至多可數(shù)集.證畢第二章第二節(jié)習(xí)題1.證明點(diǎn)集為閉集的充要條件是.證明：因為，若為閉集，則所以故反過來，若，則必有從而為閉集.2.設(shè)是上的實值連續(xù)函數(shù)，證明對于任意常數(shù)，都是開集，都是閉集.證明：任取常數(shù)，若 ，則，由于連續(xù)，使.這表明是開集.任取常數(shù)，若，且，則從和連續(xù)知故這表明.故是閉集.3.證明任何鄰域都是開集，而且（通常稱為一閉鄰域）證明：，則，故.故是開集得證.且則.令得.故.表明是閉集.又令，則.故

15、這表明而故這表明.4.設(shè)是一有限閉區(qū)間，都是的閉子集，證明如果，則必有正整數(shù)，使.證明：令，則顯知，且為閉集，故也為閉集.下證 ，使.反證，設(shè)，則，由于是有限閉區(qū)間，是有界點(diǎn)列，若為無限集合，則由聚點(diǎn)原理的子列由于故任取充分大時，又為閉集，且由的任意性知，得矛盾.若為有限集合，則，當(dāng)時，故 得矛盾.所以 ，使得.證畢.設(shè)是一族完全覆蓋的開鄰域，則有中的(或有限)多個鄰域，它們也完全覆蓋了（ Lindelof定理）證明：設(shè)為某指標(biāo)集，則. ，使得.由于是開集，使.由有理點(diǎn)在的稠密性易知，存在有理點(diǎn)和有理數(shù)，使，而中全體以有理點(diǎn)為心，有理數(shù)為半徑的球作成集合與的一個子集對等，故這些至多是一個可數(shù)集

16、，從而相應(yīng)的也是至多可數(shù)集.而這些顯然為的一個開覆蓋，因為因為每一個上述包含在某個中，故存在至多可數(shù)個，使成為的一個開覆蓋.6. 證明中任何開集可表成的形式，其中證明：（注意這里并為要求互不相交）設(shè)為中的任意開集，則，由開集的定義，一個球形鄰域，令則顯然，且.故，顯然是開區(qū)間，也是開集，為的一個開覆蓋.由本節(jié)習(xí)題5，中的至多可數(shù)個完全覆蓋了所以.所以，都是開區(qū)間.故本題結(jié)論得證.7. 試根據(jù)有限覆蓋定理證明Bolzano-Weierstrass 定理.證明：反證，設(shè)為有限無窮點(diǎn)集而無聚點(diǎn)，則，從而，故為有界閉集，且任意，都是的孤立點(diǎn).故使 ，所以.形成的一個開覆蓋，由于為有界閉集，由Borel

17、有界覆蓋定理，有限個，使.前已知.故為一有限集合，這與為有界無窮集矛盾.8. 證明中任意非空開集的基數(shù)都是.證明：開集，顯從知.又存在一個點(diǎn)，故.所以Berrstein定理知.證畢9. 證明對任意，都是中包含的最小閉集.證明：任取，設(shè)是包含的人一閉集，則，所以，因為為閉集所以，所以是中包含的最小閉集.10. 對于定義的實函數(shù)，令.證明：對任意的都是閉集.進(jìn)而證明的全體不連續(xù)點(diǎn)作成一集.證明：首先 ，當(dāng)單調(diào)下降趨于時，也單調(diào)下降趨于某極限（有限或無限）而單調(diào)上升地趨于某極限.故是有確切定義的（可為無限值）先證明：在連續(xù).證：先設(shè)，則使時所以滿足時故在處連續(xù).反過來，若在處連續(xù)，則，當(dāng)時，又，且所

18、以不等式相加得 即任意.所以為證為閉集，只用證為開集.必有所以存在使時，由三角不等式，則.故所以這說明故是開集，從而是閉集.由于在不連續(xù)的充要條件是.所以使不連續(xù)的點(diǎn)集為表為.由于是閉集，故為一集.同時我們看出，全體使連續(xù)的點(diǎn)集是這是一個集合.推廣：（1）對有一樣的結(jié)論，只不過在定義時，理解為中的距離，其它完全一樣，因為三角不等式對成立，（2）若是中的開集，到的函數(shù)，則同樣可定義，因為當(dāng)為開集，為閉集.的不連續(xù)點(diǎn)集為而的不連續(xù)點(diǎn)集為.11. 于及實數(shù)，定義.證明當(dāng)為開集，則 ，使開集，故，使.則，則而.故從而這表明，故為開集.若為閉集，則為單點(diǎn)集.當(dāng)然是閉集，若，則，則表明，而為閉集，故，從而

19、.這說明.從而得知為閉集.12. 設(shè)是定義于上的實函數(shù)，證明在上連續(xù)的充要條件是對于中任何開集.都是 中的開集.證明：設(shè)連續(xù)，為任一中開集.，則，由為開集知，使對上述，使當(dāng)時故即.這說明故為開集.現(xiàn)設(shè)對中任意開集，為開集，是中的開集.故是開集，而.故所以.這說明在連續(xù)證畢13. 上的實函數(shù)稱為是下半連續(xù)的，若對任意，都有，證明下半連續(xù)等價于對任意的實數(shù)都是中的閉集，也等價于是中的開集.現(xiàn)若下半連續(xù)，若.則，使所以，有.所以.故為開集.（從而為閉集）在上下半連續(xù)，.當(dāng)時，.反過來，若為開集.則由于是開集.所以使有，即在上下連續(xù)，故一個等價性得證.而在上下連續(xù)是閉集是開集.下證為閉集.先設(shè)為閉集，

20、任意.所以，.所以當(dāng)時.故，這是閉集.而所以，故.這表明是閉集.若是閉集，而則，.因為為閉集，故所以.這說明故為閉集.得證.14. 設(shè)是中的有界閉集，證明有，使為有界閉集.舉例說明當(dāng)無界時，可以不是閉集.證明：有界，故存在 使特別地 .，有使，故.故.所以時，也有界.為證為閉集，設(shè)，則使.由有界， ，由聚點(diǎn)原理，的子列使，有子列使，有子列使從所以，而為閉集，故.從而有這說明是閉集.若不全是有界閉集時，可不為閉集，在上考慮是全由孤立點(diǎn)組成的集合，顯然為閉集，但無界.任取，若，則為有限數(shù)，故從知所以這說明，故為閉集合，顯然時，故無界.但都不是閉集.取則.顯然，但.因為若，則使故得矛盾所以不是閉集.

21、第二章第三章習(xí)題1. 證明由開區(qū)間中的實數(shù)組成的實數(shù)序列的全體作成一基數(shù)為的集合，進(jìn)而證明由任何實數(shù)序列的全體所作成的集合的基數(shù)也是.證明：設(shè)為由實數(shù)所組成的序列，用10進(jìn)為小數(shù)來表示每一個，要求這種表達(dá)式中不準(zhǔn)出現(xiàn)從某一位后各位數(shù)全是零的形式，則這種表示法是唯一的（如 舊書上P24定理4的證明） 對這樣的序列，取與之對應(yīng)，這種對于顯然是對應(yīng)的.即若，則即.反過來任取可用相應(yīng)的方式作出一序列故我們已證明開區(qū)間中的實數(shù)組成的實數(shù)序列的全體與對等，從而具有勢.而與對等，故設(shè)為相應(yīng)的一個對應(yīng)，則與中所組成的序列在下實現(xiàn)對應(yīng).故全體實數(shù)列所作成的集合的勢也是.2. 證明區(qū)間上的全體連續(xù)函數(shù)所作成的集合

22、的基數(shù)是，同樣上的左連續(xù)的單調(diào)函數(shù)的全體所作成的集合的基數(shù)是.證明：記上的常數(shù)函數(shù)的集合為，因為上的常數(shù)函數(shù)都是上的連續(xù)函數(shù)，所以與中的一個子集對等.所以，其次對每個，我們?nèi)∫粋€平面有理點(diǎn)集合中的一個子集對應(yīng)，即作映射如下：易知是從到的一個單設(shè)若，則必有.事實上從若，則存在.不妨設(shè).則由連續(xù)和有理數(shù)的稠密性知，使有.特別，有.取定一個，任取一個，且則但，這與矛盾.故于故是單射而.由習(xí)題第一章第二節(jié)有知，故由定理知.下證：上全體單調(diào)函數(shù)所作成的集合的勢是.證明：上的一個單調(diào)函數(shù)其間斷點(diǎn)至多為可數(shù)個，記為（可為）故可令從而建立了上單調(diào)函數(shù)到全體實數(shù)序列的一個對應(yīng).設(shè)中全體有理數(shù)的集合為上的單調(diào)函數(shù)

23、，設(shè)其至多可列個間斷點(diǎn)為對于這樣一個，當(dāng)時，令當(dāng)時，令若為上兩單調(diào)函數(shù)對應(yīng)之則與的間斷點(diǎn)重合，在間斷點(diǎn)的值也重合，在處的值也重合下證，從而上述對應(yīng)是單射.由于且兩函數(shù)的間斷點(diǎn)重合，且在間斷點(diǎn)的值相等，故兩函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)也重合，又注意兩函數(shù)在有理點(diǎn)的值也重合，故的共同連續(xù)點(diǎn)，必有中的有理數(shù)故這說明于.由此上全體單調(diào)函數(shù)的集合的勢（全體實數(shù)列的集合的勢）另一方面，另于，則是單調(diào)的，故上全體單調(diào)函數(shù)的集合的勢由定理知，可知上全體單調(diào)函數(shù)的集合的勢為.當(dāng)然上全體左連續(xù)的單調(diào)函數(shù)的集合的勢不大于上全體單調(diào)函數(shù)所作成的集合的勢.另一方面，令于知，是連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，故上左連續(xù)的單調(diào)函數(shù)的集合的勢不小于.從而由

24、定理知上左連續(xù)的單調(diào)函數(shù)的集合的勢為.P25第四節(jié)習(xí)題1. 證明全體有理數(shù)所構(gòu)成的集合不是集，即不能表成可數(shù)多個開集的交.證明：設(shè)上全體有理數(shù)為.則一個作為單點(diǎn)集是閉集，所以是集，但要證不是集，則不容易.這里用到：定理，設(shè)是集，即.是閉集，若每個皆無內(nèi)點(diǎn)，則也無內(nèi)點(diǎn)（最后再證之）反證設(shè)為集，即，（為開集，）上的單調(diào)函數(shù)的全體所組成的集合的勢為.證明：任取上的單調(diào)函數(shù)，則其間斷點(diǎn)至多可數(shù)個，設(shè)其無理數(shù)的間斷點(diǎn)，為（可為有限）設(shè)中的有理數(shù)為令.則為中可數(shù)集.若，使，則存在使所以，從而.的無理數(shù)間斷點(diǎn)，也是的無理數(shù)間斷點(diǎn)，且.反過來也是的，的無理間斷點(diǎn)，也是，的無理數(shù)間斷點(diǎn)，且.故表明與在有理點(diǎn)重合

25、，無理間斷點(diǎn)相同，且在無理間斷點(diǎn)的值.所以于，所以是的.利用下面結(jié)論：任何其有連續(xù)勢的集合的全體可數(shù)子集所構(gòu)成的族的勢為連續(xù)勢.知：.另一方面證畢.:設(shè)為兩集合，是一個滿射，則.即存在的一個子集.證明：因為為滿射，且時必有.令，則由選擇公理存在一個集合，它由中每一個集合中恰取一個元素而形成，顯，存在唯一一個，使.所以與是對等的，故.證畢.選擇公理：若是由互不相交的一些非空集合所形成的集合族，則存在集合，它由該族的每一個集合中恰取一個元素而形成.2. 證明上全體無理數(shù)所作成的集合不是集.證明：設(shè)上全體無理數(shù)所作成的集合是，則，（為上全體有理數(shù)的集合）若為集，則存在閉集使.所以為集.，為閉集，無內(nèi)

26、點(diǎn).顯為內(nèi)點(diǎn).所以無內(nèi)點(diǎn).這說明無內(nèi)點(diǎn)（定理）得矛盾.證畢.3. 證明不可能有在上定義的在有理點(diǎn)處都連續(xù)，在無理點(diǎn)處都不連續(xù)的實函數(shù).證明：若存在這樣的上的實函數(shù)，它在有理點(diǎn)都連續(xù)，在無理點(diǎn)都不連續(xù).的全體不連續(xù)點(diǎn)的集合為上的全體無理數(shù)為，由本章第二節(jié)習(xí)題10結(jié)論知為集，這于本節(jié)習(xí)題2的結(jié)論：不是集矛盾.故不存在這樣的上的函數(shù).4. 證明中全體開集構(gòu)成一基數(shù)為的集合，從而中全體閉集也構(gòu)成一基數(shù)為的集合.證明：對任意的上開集合，由開集的構(gòu)造定理，存在使得.下面建立上的開集到全體實數(shù)列集成的集合的一個映射.若，令.若，則.令.這里，若；若；若；若則這個映射是單射.若且.則.故.又若則必有（否則至少

27、有一個分量不等于零）.故是單射，所以上全體開集所作成的集合的勢.令一方面，是一開集，令上全體開集之集合，則“上全體開集之集的勢” ，由定理，上全體開集之集合的勢為.證：記可數(shù)集.顯所以.為單射.所以.由定理 .故是單射，所以上全體開集所作成的集合的勢.另一方面，是一開集令上全體開集的集合則“上全體開集的集合的勢” ，由定理，上全體開集的集合的勢為.第二章第五節(jié)習(xí)題1.證明定理2：設(shè)是一點(diǎn)集，是所有到的距離小于的點(diǎn)作成的點(diǎn)集，即，則是一開集，且.證明：，顯然，故，從而.下證為開集.，令，則，且.取，使得.則.故，從而.這就證明了為開集.2. 證明任何閉集都可表成可數(shù)多個開集的交.證明：設(shè)為任一閉

28、集. 由本節(jié)第一題知為開集，且，從而有.下證，這只用證，.反證設(shè)則，故從為閉集知為開集.故使.從而有（否則矛盾）這說明.另一方面，表明，從而有.令知.這與矛盾.所以，從而得證.3.舉例說明定理1中的，都無界時，結(jié)論不成立.解：令.則顯然是閉集。下證也是閉集.，若，則.故從是的連續(xù)函數(shù)知，.所以.故為閉集，顯然均無界.取，則.故.若存在使.則，設(shè)，則從知.注意，我們得到矛盾.這說明定理1中，之中至少有一個有界，這一條件是必要的.4.取消定理3中有界的限制.證明：我們現(xiàn)在要證明：若為閉集，則開集（不妨非空），在原定理3中假設(shè)有界主要用在.其實只需有一個有界就行了.為此先不妨設(shè)有界，此時由定理1，存

29、在，使若，則.故得矛盾.令則由定理2為開集，（否則使于是，矛盾）一般情形：顯為有界閉集，故由已證前面的結(jié)論， 開集；開集，使.所以.令，則顯，且為開集，證畢.5. 設(shè)，證明是的在上一致連續(xù)的函數(shù).證明：先證，.事實上，下證，是的在上一致連續(xù)的函數(shù).，令，則當(dāng)時從而有.這就證明結(jié)論（事實上連續(xù)的）若無定義.6. 證明對于中任意兩個不相交的非空閉集，都有上的連續(xù)函數(shù)，使，且在上，在上，.證明：令則從上一題知為上的一致連續(xù)函數(shù).又從，可知.因為為閉集，是有界的，故由定理1，使得顯然.若則從知所以.從而得矛盾.故恒有.故是上的連續(xù)函數(shù).又.證畢.第三章第一節(jié)習(xí)題1.證明：若有界，則.證明：若有界，則存

30、在一個開區(qū)間.（充分大）使.故.2.證明任何可數(shù)點(diǎn)集的外測度都是零.證：設(shè)是中的任一可數(shù)集.由于單點(diǎn)集的外測度為零，故.3.證明對于一維空間中任何外測度大于零的有界集合及任意常數(shù)，只要，就有，使.證明：因為有界，設(shè)（有限），令，則.考慮，不妨設(shè)，則由.可知.對，類似得到.故總有.這說明在上連續(xù)，由中介值定理知 ，使得.令，則.若，則取.若，取.證畢.4.證明如果是上的連續(xù)函數(shù)，則中的點(diǎn)集的外測度為零.證明：，將等分，即取分點(diǎn)，.因為在有界閉區(qū)間連續(xù)，從而一致連續(xù)，故，使當(dāng)時.所以存在，使時.令.則均為開區(qū)間，且.事實上，從而.故即而由的任意性，則.若無界。令為無界閉區(qū)間，且.令，.5.對于中的

31、點(diǎn)集，令.證明： .證明：由第二章的習(xí)題11，若為開集， ，則仍為開集，易知，若 為開區(qū)間，則仍為開區(qū)間，且.事實上，設(shè).下面我們證明： （1）若（1）成立，則將得證.故結(jié)合（1），我們就有.下面證明（1）（1） 若，則（1）顯然成立.（2） 若開區(qū)間，使得.顯然，從而有令得. （1）證畢.6.證明只要，就一定有，使得對任意，都有，此處是以為中心，以為半徑的開球.證明：反證 設(shè)結(jié)論不對，則，使得，則成為的一個開覆蓋，由Lindelorf定理習(xí)題5，一定存在至多可數(shù)個使得.故 得矛盾，故結(jié)論成立.7.試就二維空間證明外測度在旋轉(zhuǎn)變換下也是不變的（提示：先證任何長方形的外測度都等于其面積）.證明：

32、因為旋轉(zhuǎn)變換是正交變換，它不改變長度和兩線段的夾角，故它將長為，寬為的長方形仍變?yōu)殚L為，寬為的長方形。如果能證明任何長方形（邊不一定平行于坐標(biāo)軸）的外測度都為該長方形的面積，則開區(qū)間，使得，.任意一個旋轉(zhuǎn)變換正交，這里，.另一方面，正交，也正交，得證.故關(guān)鍵是證明：任何長方形的外測度都等于其面積.下證上的長方形的外測度等于其面積.證明：已知，任何區(qū)間（邊平行于坐標(biāo)平面的外測度等于，在中，邊平行于坐標(biāo)軸的長方形（區(qū)間）的外測度等于其面積）現(xiàn)設(shè)為上任一長方形，設(shè)其長為，寬為，面積，充分小，可作邊平行于的邊的兩開長方形，的長為，寬為，的長為，寬為，且，取充分大，使，則可用邊長為，邊平行于坐標(biāo)軸的半開

33、半閉的，形如：的區(qū)間表示成互不相交的并，且且若，則，否則存在，故得矛盾.存在個邊長為，邊平行于坐標(biāo)軸的區(qū)間，互不相交，同理存在個邊長為，邊平行于坐標(biāo)軸的區(qū)間，使互不相交.分別記表示的面積，表示可求面積的平面圖形的面積，則令，得 故旋轉(zhuǎn)變化下，長方形的外測度不變等于其面積.設(shè)則的面積.故任一長方形，設(shè)其長為，寬為，則存在一個平移和旋轉(zhuǎn)使得，這里故其測度等于其面積.可測正交變換可測.證明：“”取，則可測.“”設(shè)可測，則對正交變換，可測.所以可測.第二節(jié)習(xí)題1. 舉例說明兩個不可測集合的并，交，差即可以是不可測集合也可以是可測集.解：先回憶知：.令是無窮點(diǎn)集，.在每一個中取出一點(diǎn)，令.則我們從書上的

34、論證已知是不可測集，.因此也不可測.（否則可測且應(yīng)可測，得矛盾）但與這兩個不可測集的并卻是可測的.不可測，不可測.注意：可測，可測.這兩個不可測集的交為.不可測，可測，不可測.如同將中全體有理數(shù)排成序列可測，可測.證明：若可測，則取可測為證反面的結(jié)果，須證（1）（2）證明：（1）反過來，使，.（2）反過來，.若可測，則有由的平移不變性故可測.2. 試在二維空間中作出一不可測集合來.解：設(shè)為一不可測集，則必不可測3. 舉例說明定理6的結(jié)果對任的可以不成立.解：令，則而是必需的.4. 證明對任意可測集合和都有 （*）證明：若，則成立.若則（*）等價于注意到且可測可測可測5. 證明：對任意，及任意都

35、有中的開集，使且證明：使令，則為開集，且6. 證明對于任意中的可測集合序列，都有若存在，使，則還有證明：由定理8， 故從定理3，定理4知都是可測的.令，（）令 ，則，由條件滿足由定理47. 設(shè)是中的可測集，證明如果的可測子集的序列，使，則證明：令，則可測（可測）且從，由定理6有.證畢.第三章第三節(jié)習(xí)題1.證明集合的測度為零，并在上作一測度大于零的無處稠密的完備集，進(jìn)而證明存在開集，使.證明：回憶集的產(chǎn)生過程：先從中刪除中間的開區(qū)間，剩下兩個閉區(qū)間，再刪除這兩個區(qū)間的中間的，第一次刪去一個開區(qū)間，其長度為；第二次刪去二個開區(qū)間，其長度為；第三次刪去四個開區(qū)間，其長度為；故集是由刪去了可列個開區(qū)間

36、之并而成，刪去的區(qū)間都互不相交，總長度設(shè)這可列個開區(qū)間之并為，則則.故由定理1知，為可測集.用下面的方法在閉區(qū)間上作集：已給正數(shù)的降序列，使，從中去掉中心在閉區(qū)間中點(diǎn)，而長為的開區(qū)間；其次，從剩下的兩個閉區(qū)間中去掉中心在這些閉區(qū)間中點(diǎn)，而長為的開區(qū)間；再其次從剩下的四個閉區(qū)間中去掉中心在這些閉區(qū)間中點(diǎn)，而長為的開區(qū)間，如此作可數(shù)多次之后，剩下的集記為，則為閉集，這里為去掉那些互不相交的開區(qū)間，如何證明集是完備的無處稠密集一樣，可證是完備的無處稠密集.是自密的，這個證明與證明集是自密的是一致的，只需注意以下的關(guān)鍵：第一次刪去一個長為的開區(qū)間后，剩下兩個閉區(qū)間，總長度為，每個長度為，設(shè)為；第二步在

37、中刪去兩個長為的開區(qū)間后，剩下四個閉區(qū)間，每個長度為；第步后剩下每個長度為的個閉區(qū)間.現(xiàn)設(shè)包含的任一開區(qū)間，令，則，故只要充分大，便有，既然是永遠(yuǎn)刪不去的點(diǎn)，也應(yīng)該屬于刪去次后所余下的某一個閉區(qū)間，則，（），于是它的兩個端點(diǎn)也應(yīng)該在中，但它們都是中的點(diǎn)，所以至少有一異于的點(diǎn)屬于，這說明.無處稠密：由上一步已知， 包含，取充分大，使，則，但第步將刪去一個中的開區(qū)間，刪去的部分不在中，這說明無內(nèi)點(diǎn)，即無處稠密.故是上的無處稠密的完備集.還可以這樣：在中作出總長度為是任意給定的稠密開集令則故用上述方法作出開集而是稠密與的，上面證無處稠密時，證明了，中既有中的點(diǎn)又有中的點(diǎn).故結(jié)論成立2.證明：只要可測

38、，就有開集，閉集合，使，.證明：先設(shè)可測，則由外測度的定義，使而，故.對一般，令，則可測，有（開）注意到.故令，則為開集，且為證第二個結(jié)論，可測，也可測，由第一步結(jié)論，存在開集令，則為閉集注意：證明：反過來，證畢3證明有界集合可測的充要條件是 (1)證明：先證必要性.設(shè)有界可測，由本節(jié)第2題，知 ，開集，閉集，使得 , (2) 由于，從而也有 從（2）可知 故 （這可不用有界，或） 則 由的任意性，知（1）成立，即 現(xiàn)設(shè)（1）成立和有界，我們來證明必可測 若（1）成立，則從閉，開，有 故易知， 就可以推出可測 ，開集， 因有界， 則 （3） 且存在閉集，使， （4）（3）+（4）推出 令， 則

39、 （） 則 （，） 令知 ，（，） 即 則 P60,TH1推出可測，從而 也可測（，作為可測集的交仍可測） 證畢.注：必要性的證明不需要有界.4證明有界集合可測的充要條件是對任意，都有可測集，使，證明：必要性是顯然的，取即可.（從本節(jié)習(xí)題2知，不用有界，甚至可取為閉集，為開集）. 下證充分性，可測集，令，則，都可測，且，如同上題（本節(jié)習(xí)題3）一樣，（）則，令，得由P60,TH1得可測，從而可測注：有界的條件是多余的5證明：對于中任意一串點(diǎn)集，只需，使有 （注意：本題結(jié)論不同于P64Th5,這里不要求可測）證明：由P69,Th3, ,型集合使得， 令，則可測且，且，這是因為，（），則，且（，又，

40、），（由P64,Th5于可測的情形）另一方面，顯然 故6證明：若是中的可測點(diǎn)集，則也是可測的，并且證明：P55習(xí)題5已證，故只用證可測時，也可測即可.先證明對任取，有 （i） （ii） (iii) 證明（i）,且，則，使，因，則， 則反過來，使，則， （ii）， 則,由于，是上的同構(gòu)（）則使，顯然，否則矛盾于，則，從而反過來，使若，則使，又，矛盾則 （iii）,反過來，使，使得 則 證畢下證可測推出可測（）已知（），可測 這說明可測，證畢則若，可測，則可測.7證明：如已知開集都是可測的，則從外測度的基本性質(zhì)（i）（ii）（iii）可推出基本性質(zhì)（iv）,這說明什么？證明：這個題目的意思是：若的

41、非負(fù)函數(shù)滿足（i）（ii）若，則（iii） 且對任意中開集和任意集合有 （此即開集可測的意思?。﹦t必有（iv）若和的距離則下面我們就來證明這個結(jié)論：證明：，且 ， 則，使得 （事實上，即有） ， 為開集，且，從而有 則由為開集從而可測知 故性質(zhì)（iv）的確成立.注意到在定義了外測度后，只是用了外測度的性質(zhì)（i）（ii）（iii）就證明了測度的所有性質(zhì)，而性質(zhì)（iv）僅用在證明“區(qū)間”的可測性（P67,Th1證明），區(qū)間的可測性加上P68引理開集的可測性，上述結(jié)論說明：性質(zhì)（iv）與“開集可測”這一條件是等價的，也就是說，若一個集合函數(shù)滿足性質(zhì)（i）-(iii),加上對開集有則就是一個外測度，這

42、一想法對學(xué)習(xí)抽象測度理論有用.8證明：，即中全體可測子集的類和中全體子集的基數(shù)相同. 證明：可測集，令， 這顯然是到的一個11對應(yīng)。 故 另一方面，0，1區(qū)間上的集滿足, 故 （） 是中滿足 的集合，從而可測， 故是中的可測集（P60Th1） 則 故一個子集構(gòu)成的類與的全體子集構(gòu)成的類對等，故，前已知，故由定理，.9證明對于任何閉集，都可作一完備集，使（提示：考慮，證明） 證明：令，想證 ，使為至多可數(shù)集，故 為的一族開覆蓋，由定理（見P38習(xí)題5）, 開集至多可數(shù)個使得 則從 ， 是至多可數(shù)集，從而知也是至多可數(shù)集，從而有 （P54習(xí)題2） （，） 令，我們來證明是完備集 1）是閉集：，存在

43、， 則，推出， 若，則，為至多可數(shù)集，充分大時，（）則而，故為不可數(shù)無窮集，這就得出矛盾則，即，故為閉集2）為自密集，即，必有 ，則，則，為不可數(shù)無窮集. 若中全是中的點(diǎn)，則由于前已證是可數(shù)集，就會得出矛盾，故從，知中必至少有不可數(shù)無窮個中的點(diǎn)，否則，從可數(shù)，知為可數(shù)集，得矛盾！由此可知即是完備集 ，得證?。ǎ?0設(shè)，是中的兩個有界閉集，,證明：此處，“+”表示兩個點(diǎn)集的向量和（參考第二章2習(xí)題14）證明：由第二章2習(xí)題14（P38）的結(jié)論：，有界閉，則也是有界閉集，從而可測，顯然故由本節(jié)習(xí)題6，也可測顯然，是有界閉集，故同理知，都是可測集.（第二章2習(xí)題14已知若，無界，則不一定閉，故不能保

44、證其可測性?。┫伦C： 事實上，（），則存在，使得，則 注意：若，則，使，注意由，的定義，知，則，這說明，即要么或，故總有 （注意單點(diǎn)集是可測，且測度為0）問題：若，可測，是否一定可測？本題實際上證明了：若，是有界閉集，則；，則11證明：若和都是中有限多個相互沒有公共內(nèi)點(diǎn)的有界閉區(qū)間的并，則 （提示：對于區(qū)間的個數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法，并注意從上題知?。┳C明：事實上，只要是任意兩個上的非空有界閉集，就有 （若有一個是空集，結(jié)論也顯然對?。?證：有界，故, 則從閉知，且從，的定義知， ，令，則 由本節(jié)第10題的結(jié)果，知 事實上，從第10題，第11題證明過程可知：若有上界，有下界，且都是閉集，且可測（一般要

45、求有界才能保證），則12設(shè)都是中的有界閉集，證明對，有（記號的意義見習(xí)題6及上題，提示：先證明任何有界閉集可表成一串下降的上題中所說的那種集合的交）證明：由P38，CH22習(xí)題11知，若為閉集，則， 均為閉集. 若有界閉，則顯然還有，為有界閉集，故有本節(jié)習(xí)題11的改進(jìn)結(jié)論：若是中有界閉集，則知 （這里用到本節(jié)習(xí)題6：可測，則 ，?。┳C畢. 注：從12題的結(jié)論知，若有界閉， ， ，更說明11題對有界閉都對！CH3.4P79習(xí)題1 舉例說明對中的可測集確實有可能存在使不是中的可測集解：令，這里為上的任一不可測集（存在！見 P66）則從知，P72Th1則,區(qū)間可測，故顯然，則 （P72Th1） 即從

46、而有故從P60Th1, 為可測的，然而 不可測.2 試在二維平面中作一開集，使的邊界點(diǎn)所構(gòu)成的測度大于零（提示：參考3習(xí)題1）解：在3習(xí)題1中已知存在中的開集使，且，故 ， 令，則從為中開集，為中開集，易知為著開集 我們來證明 ，從而 之證，則， 故中既有中的點(diǎn)，已有中的點(diǎn)，且使，取，當(dāng)充分小時 則， 故，即因可測于，也可測于（P72Th） 即,證畢.P108: CH4.1.習(xí)題1 證明：上的兩個簡單函數(shù)的和與乘積都還是上的簡單函數(shù)證明：設(shè)，這里互不相交，互不相交 令， ， 則易知先注意：若，互不相交，則 （可為無窮大）（，使，且，則）且同理： 這顯然還是一個簡單函數(shù)，因為若，則，（），（），（），顯然，事實上，若或則 當(dāng)時則也是簡單函數(shù)，顯然仍為簡單函數(shù)2 證明當(dāng)既是上又是上的非負(fù)可測函數(shù)時，也是上的非負(fù)