第四章--傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析-考研試卷49頁(yè)

1、81第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析一、單項(xiàng)選擇題X4.1（北京航空航天大學(xué)2001年考研題）下列敘述正確的是_。（A）f(t)為周期偶函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)只有偶次諧波。（B）f(t)為周期偶函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)只有余弦偶次諧波分量。（C）f(t)為周期奇函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)只有奇次諧波。（D）f(t)為周期奇函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)只有正弦分量。X4.2（浙江大學(xué)2004年考研題）離散周期信號(hào)的傅氏變換（級(jí)數(shù)）是_。（A）離散的 （B）非周期性的 （C）連續(xù)的 （D）與單周期的相同X4.3（浙江大學(xué)2004年考研題）如f(t)是實(shí)信號(hào)，下列說(shuō)法不正確的是_。（

2、A）該信號(hào)的幅度譜是偶函數(shù)（B）該信號(hào)的幅度譜是奇函數(shù)（C）該信號(hào)的頻譜是實(shí)偶函數(shù)（D）該信號(hào)的頻譜的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)X4.4（浙江大學(xué)2004年考研題）已知，它的傅氏變換是_。（A）2p （B）2ejw （C）2e-jw （D）-2X4.5（浙江大學(xué)2004年考研題）連續(xù)周期信號(hào)的傅氏變換（級(jí)數(shù)）是_。（A）連續(xù)的 （B）周期性的 （C）離散的 （D）與單周期的相同X4.6（浙江大學(xué)2003年考研題）已知f(t)=ej2td(t)，它的傅氏變換是_。（A）1 （B）j(w-2) （C）0 （D）-j(w-2)X4.7（浙江大學(xué)2003年考研題） sin(w0t)e(t)的傅氏變換為

3、_。（A）（B）（C）（D）X4.8（浙江大學(xué)2002年考研題）離散信號(hào)的傅氏變換為_(kāi)。（A） （B）（C） （D）X4.9（浙江大學(xué)2002年考研題）離散時(shí)間非周期信號(hào)的傅氏變換是_。（A）離散的 （B）連續(xù)的 （C）非周期性的 （D）與連續(xù)時(shí)間非周期性信號(hào)的傅氏變換相同X4.10（浙江大學(xué)2002年考研題）某二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為，則該系統(tǒng)具有以下微分方程形式_。（A） （B）（C） （D）X4.11（浙江大學(xué)2002年考研題）周期信號(hào)的傅里葉變換是_。 （A） （B）（C） （D）X4.12（北京郵電大學(xué)2004年考研題）求信號(hào)的傅里葉變換_。（A） （B）（C） （D）X4.13（北京郵

4、電大學(xué)2004年考研題）如圖X4.13（a）所示的信號(hào)f1(t)的傅里葉變換F1(jw)已知，求如圖X4.13（b）所示的信號(hào)f2(t)的傅里葉變換為_(kāi)。 （A） （B）（C） （D）圖X4.13X4.14（北京郵電大學(xué)2004年考研題）連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)的最高頻率wm=104p rad/s；若對(duì)其取樣，并從取樣后的信號(hào)中恢復(fù)原信號(hào)f(t)，則奈奎斯特間隔和所需低通濾波器的截止頻率分別為_(kāi)。（A）10-4s，104Hz （B）10-4s，5103Hz （C）510-3s，5103Hz （D）510-3s， 104HzX4.15（北京郵電大學(xué)2003年考研題）設(shè)f(t)的頻譜函數(shù)為F(jw),

5、則f(-0.5t+3) 的頻率函數(shù)等于_。（A） （B）（C） （D）X4.16（東南大學(xué)2002年考研題）脈沖信號(hào)f(t)與2f(2t)之間具有相同的_。（A）頻帶寬度 （B）脈沖寬度 （C）直流分量 （D）能量 （E）以上全錯(cuò)X4.17（東南大學(xué)2002年考研題）假設(shè)信號(hào)f1(t)的奈奎斯特取樣頻率為w1，f2(t)的奈奎斯特取樣頻率為w2，則信號(hào)f(t)=f1(t+2)f2(t+1)的奈奎斯特取樣頻率為_(kāi)。（A）w1 （B）w2 （C）w1+w2（D）w1w2 （E）以上全錯(cuò)X4.18（東南大學(xué)2001年考研題）已知f(t)是周期為T(mén)的函數(shù)，則f(t)- f(t+2.5T)的傅里葉級(jí)數(shù)中

6、_。（A）只可能有正弦分量 （B）只可能有余弦分量（C）只可能有奇次諧波分量 （D）只可能有偶次諧波分量（E）以上全錯(cuò)X4.19（東南大學(xué)2001年考研題）已知某序列f(k)的離散傅里葉變換F(n)=1，2，3，4，5，6，7，8，n=0，1，2，3，4，5，6，7，則將f(k)循環(huán)位移4位后的序列的離散傅里葉變換為_(kāi)。（A）5，6，7，8，1，2，3，4，（B）-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，（C）1，-2，3，-4，5，-6，7，-8（D）-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8X4.20（東南大學(xué)1999年考研題）已知信號(hào)f(t)的波形如圖X4.20所示，如其頻譜函數(shù)表達(dá)式

7、為，則j(w)等于_。圖X4.20（A）4w （B）2w （C）-2w （D）以上全錯(cuò)X4.21（北京航空航天大學(xué)2000年考研題）信號(hào)，當(dāng)取樣頻率至少為下列何值時(shí)，f(t)就唯一地由取樣值f(kT)，k=0,1,2確定_。（A）4w （B）0.5w （C）2w （D）wX4.22（北京航空航天大學(xué)2000年考研題）信號(hào)，現(xiàn)在用取樣頻率ws=50p對(duì)f(t)進(jìn)行沖激取樣，以得一個(gè)信號(hào)g(t)，其傅里葉變換為G(jw)。為確保G(jw)=75 F(jw)，則w0的最大值是_。(這里的F(jw)是f(t)的傅里葉變換。)（A）50p （B）100p (C) 150p (D) 25pX4.23（北京

8、航空航天大學(xué)2000年考研題）判斷下列三種說(shuō)法哪一種是錯(cuò)誤的_。（A）只要取樣周期T2T0，信號(hào)f(t)=e(t+T0)-e(t-T0)的沖激串取樣不會(huì)有混疊。（B）只要取樣周期Tp /w0，傅里葉變換為的信號(hào)f(t)的沖激串取樣不會(huì)有混疊。（C）只要取樣周期Tp /w0，傅里葉變換為的信號(hào) f(t)的沖激串取樣不會(huì)有混疊。X4.24（南京理工大學(xué)2000年考研題）圖X4.24所示信號(hào)f(t)，其傅里葉變換為，其實(shí)部的表達(dá)式為_(kāi)。圖X4.24（A）3Sa(2w) （B）3Sa(w) （C）3Sa(w/2) （D）2Sa(w)X4.25（西安電子科技大學(xué)2005年考研題）信號(hào)f(t)的傅里葉變換

9、為F(jw)，則 ej4t f(t-2)的傅里葉變換為_(kāi)。（A）F(jw-4) e-2(jw- 4) （B）Fj(w-4) e-j2(w- 4)（C）Fj(w+4) ej2(w+4) （D）Fj(w+4) e-j2(w+4)X4.26（西安電子科技大學(xué)2005年考研題）已知f(t)=Sa2(t)，對(duì)f(t)進(jìn)想沖激取樣，則使頻譜不發(fā)生混疊的奈奎斯特間隔Ts為_(kāi)。（A） （B） （C） （D）X4.27（西安電子科技大學(xué)2004年考研題）系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性f(w)如圖X4.27(a)、(b)所示，則下列信號(hào)通過(guò)該系統(tǒng)時(shí)，不會(huì)產(chǎn)生失真的是_。圖X4.27（A） （B）（C） （D）X4.28

10、（西安電子科技大學(xué)2004年考研題）信號(hào)的傅里葉變換F(jw)等于_。（A） （B） （C） （D）X4.29（浙江大學(xué)2004年考研題）已知如圖X4.29所示，則的值為_(kāi)。圖X4.29（A）2p （B）3p （C）4p （D）6p X4.30（洽爾濱工業(yè)大學(xué)2002年考研題）周期信號(hào)的頻譜一定是 。（A）離散譜 （B）連續(xù)譜 （C）有限連續(xù)譜 （D）無(wú)限離散譜X4.31（哈爾濱工業(yè)大學(xué)2002年考研題）周期奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中，只可能含有 。（A）正弦項(xiàng) （B）直流項(xiàng)和余弦項(xiàng) （C）直流項(xiàng)和正弦項(xiàng) （D）余弦項(xiàng)X4.32（東南大學(xué)2000年考研題）如圖X4.32的信號(hào) f(t)通過(guò)一截止頻率

11、為50p rad/s，通帶內(nèi)傳輸幅值為1，相移為0的理想低通濾波器，則輸出的頻率分量為 。圖X4.32（A） （B） （C） （D）X4.33（東南大學(xué)2000年考研題）信號(hào)的頻譜是周期的離散譜，則原時(shí)間信號(hào)為 。（A）連續(xù)的周期信號(hào) （B）離散的周期信號(hào)（C）連續(xù)的非周期信號(hào) （D）離散的非周期信號(hào)X4.34（北京交通大學(xué)2004年考研題）已知實(shí)信號(hào)f(t)的傅里葉變換F(jw)=R(w)+jX(w)，則信號(hào)的傅里葉變換Y(jw)等于 。（A）R(w) （B）2R(w) （C）2R(2w) （D）R(0.5w)X4.35（北京交通大學(xué)2004年考研題）如圖X4.35所示周期信號(hào)f(t)，其直

12、流分量等于 。（A）0 （B）2 （C）4 （D）6圖X4.35答案：X4.1D X4.2A X4.3C X4.4C X4.5C X4.6A X4.7CX4.8D X4.9B X4.10C X4.11 C X4.12B X4.13A X4.14BX4.15D X4.16C X4.17C X4.18C X4.19C X4.20C X4.21DX4.22A X4.23A X4.24B X4.25B X4.26A X4.27B X4.28A X4.29C X4.30A X4.31A X4.32B X4.33B X4.34A X4.35C 二、判斷和填空題T4.1（北京郵電大學(xué)2004年考研題）兩個(gè)時(shí)

13、間函數(shù)f1(t)、f2(t)在t1，t2區(qū)間內(nèi)相互正交的條件是 。T4.2（北京郵電大學(xué)2004年考研題）已知沖激序列，其指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為 。T4.3 判斷以下說(shuō)法是否正確，正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”。（1）（國(guó)防科技大學(xué)2002年考研題）所有連續(xù)的周期信號(hào)的頻譜都有收斂性。 （2）（國(guó)防科技大學(xué)2002年考研題）沒(méi)有信號(hào)可以既是有限時(shí)長(zhǎng)的同時(shí)又有帶限的頻譜。 （3）（北京航空航天大學(xué)2002年考研題）一個(gè)奇的且為純虛數(shù)的信號(hào)總是有一個(gè)奇的且為純虛數(shù)的傅里葉變換。 T4.4 判斷下列敘述的正誤，正確的在括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)打“”。（1）（華中科技大學(xué)2004年考研題）長(zhǎng)度為N的有

14、限長(zhǎng)序列f(k)的DFT，等于其z變換F(z)在單位圓上N個(gè)等間隔點(diǎn)的取樣值 ；等于其傅里葉變換F(ejw)在一個(gè)周期(2p)內(nèi)等間距點(diǎn)的取樣值 ；序列在單位圓上的z變換即為序列的頻譜，頻譜與z變換是一個(gè)符號(hào)代換 ；單位圓上的z變換即為序列的傅里葉變換 。（2）（華中科技大學(xué)2003年考研題）離散信號(hào)（序列）的傅里葉變換，就是序列的離散傅里葉變換DFT ，快速計(jì)算DFT的算法簡(jiǎn)稱FFT 。（3）（華中科技大學(xué)2003年考研題）周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜是離散頻率的非周期函數(shù) ；非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜是連續(xù)頻率的非周期函數(shù) 。（4）（華中科技大學(xué)2002年考研題）兩個(gè)有限長(zhǎng)序列，第一個(gè)序列的長(zhǎng)度為

15、5點(diǎn)，第二個(gè)為6點(diǎn)，為使兩個(gè)序列的線性卷積與循環(huán)卷積相等，則第一個(gè)序列最少應(yīng)補(bǔ)6個(gè)零點(diǎn) ；第二個(gè)序列最少應(yīng)補(bǔ)4個(gè)零點(diǎn) 。（5）（北京航空航天大學(xué)2001年考研題）f(t)為周期偶函數(shù)，則其傅里葉級(jí)數(shù)只有偶次諧波 。T4.5（浙江大學(xué)2002年考研題）多選題，圖T4.5所示信號(hào)的傅里葉變換為 。（A） （B） （C） （D）圖T4.5T4.6（北京郵電大學(xué)2004年考研題）若連續(xù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入為f(t)，輸出為y(t)，則系統(tǒng)無(wú)畸變傳輸?shù)臅r(shí)域表達(dá)式為y(t)= 。T4.7（北京郵電大學(xué)2003年考研題）已知沖激序列，其三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)an= ，bn= 。T4.8（華南理工大學(xué)2004年

16、考研題）連續(xù)周期信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)an= ，bn= 。T4.9（華南理工大學(xué)2004年考研題）設(shè)f(t)為一帶限信號(hào)，其截止頻率wm=8 rad/s?，F(xiàn)對(duì)f(4t)取樣，則不發(fā)生頻譜混疊時(shí)的最大間隔Tmax= 。T4.10（華南理工大學(xué)2000年考研題）= 。T4.11（電子科技大學(xué)2000年考研題）對(duì)帶通信號(hào)進(jìn)行取樣，要求取樣后頻譜不發(fā)生混疊失真，所有可能的取樣頻率ws的取值為 。T4.12（南京理工大學(xué)2000年考研題）圖T4.12所示周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的頻譜在0150kHz的頻率范圍內(nèi)共有 根譜線。圖T4.12T4.13（西安電子科技大學(xué)2005年考研題）頻譜函數(shù)的傅里葉逆變

17、換f(t)等于_。T4.14（西安電子科技大學(xué)2005年考研題）如圖T4.14所示信號(hào)f(t) 的傅里葉變換記為F(jw)，試求F(0)=_，=_。圖T4.14T4.15（西安電子科技大學(xué)2004年考研題）已知f(t) 的頻譜函數(shù)，則對(duì)f(2t-1)進(jìn)行均勻取樣的奈奎斯特(Nyquist)取樣間隔Ts為 。T4.16（西安電子科技大學(xué)2004年考研題）頻譜函數(shù)的傅里葉逆變換f(t)=_。T4.17（西安電子科技大學(xué)2002年考研題）頻譜函數(shù)的傅里葉逆變換f(t)=_。T4.18（哈爾濱工業(yè)大學(xué)2002年考研題）若f(t) 的奈奎斯特角頻率為w0，則f(t)+ f(t-t0) 的奈奎斯特角頻率為

18、_，f(t)cos(w0t) 的奈奎斯特角頻率為_(kāi)。T4.19（北京交通大學(xué)2001年考研題）周期信號(hào)f(t)雙邊頻譜Fn如圖T4.19所示，W=1 rad/s，則f(t)的三角函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)。圖T4.19T4.20（西安電子科技大學(xué)2004年考研題）信號(hào)的能量為_(kāi)。 T4.21（國(guó)防科技大學(xué)2002年考研題）=_。T4.22（北交通大學(xué)2004年考研題）已知一連續(xù)LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，該系統(tǒng)的幅頻特性=_，相頻特性j(w)_，是否無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)_。T4.23（北交通大學(xué)2002年考研題）某理想低通濾波器的頻率特性，計(jì)算其時(shí)域特性h(t)= _。答案：T4.1 T4.2 T4.3 （1） （2

19、） （3） T4.4 （1）, （2）， （3）， （4）， （5）T4.5 A，DT4.6 T4.7 an=2/T，bn=0T4.8 ，bn=0T4.9 T4.10 T4.11 T4.12 31T4.13 T4.14 T4.15 0.25sT4.16 T4.17 T4.18 T4.19 T4.20 4pT4.21 T4.22 T4.23 三、畫(huà)圖、證明與分析計(jì)算題J4.1（浙江大學(xué)2004年考研題）已知頻譜F(jw)如圖J4.1-1所示，求f(t)。解：利用傅里葉變換的頻域微分性質(zhì)： （J4.1-1） 對(duì)F(jw)求微分，如圖J4.1-2所示。對(duì)求傅里葉逆變換， （J4.1-2）由式（J4.

20、1-1）和式（J4.1-2）可得即 J4.2（浙江大學(xué)2004年考研題）圖J4.2-1所示為一幅度調(diào)制系統(tǒng)，f(t)為帶限信號(hào)，其最高角頻率為wm，p(t)為沖激串序列，求y(t)。圖J4.2-1解：設(shè)f(t)的傅里葉變換F (jw)如圖J4.2-2(a)所示。令則p(t)傅里葉變換為，P(jw)如圖J4.2-2(b)所示。S(jw)如圖J4.2-2(c)所示。圖J4.2-2X(jw)如圖J4.2-3(a)所示。圖J4.2-3H(jw)如圖J4.2-3( b)所示。據(jù)圖J4.2-3(a)、( b)，則可得圖J4.2-3(c)，即則 J4.3（浙江大學(xué)2003年考研題）設(shè)f(t)的傅里葉變換F(

21、jw)滿足以下條件：（1）f(t)為實(shí)值信號(hào)，且；（2）。解： （J4.2-1）因f(t)為實(shí)值信號(hào)，則 （J4.2-2）由式（J4.2-1）和式（J4.2-2）可得即 （J4.2-3）由條件（2）可知 （J4.2-4）由式（J4.2-3）和式（J4.2-4）可得 （J4.2-5）因，f(t)和f(-t)分別出現(xiàn)在正負(fù)時(shí)域，即 （J4.2-6）由式（J4.2-5）和式（J4.2-6）可得由上式可得J4.4（浙江大學(xué)2003年考研題）某一系統(tǒng)如圖J4.4-1所示，已知T為取樣周期，取樣角頻率，問(wèn)：（1）當(dāng)T=0.2時(shí)，信號(hào)x(t)不發(fā)生頻譜混疊，試確定M的最大值；（2）當(dāng)T=0.1時(shí)，M=6，y

22、(t)的傅里葉級(jí)數(shù)表示。圖J4.4-1解： F(jw)、X(jw)如圖J4.4-2(a)、(b)所示。由圖可見(jiàn)，f(t)的最高頻率分量為wm=Mp(rad/s)。（1）根據(jù)取樣定理，要使x(t)中不發(fā)生頻譜混疊，則要求取樣頻率（2）T=0.1時(shí)，M=6時(shí)，根據(jù)取樣定理， x(t)中不會(huì)發(fā)生頻譜混疊，由圖J4.4-2(b)、(c)，可得圖J4.4-2由此可知，則y(t)的傅里葉級(jí)數(shù)為J4.5（北京郵電大學(xué)2004年考研題）周期信號(hào)（1）畫(huà)出單邊幅度譜和相位譜；（2）計(jì)算并畫(huà)出信號(hào)的功率譜。解：將f(t)的表示式變換為余弦函數(shù)形式，并與其三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)相對(duì)比，可得（c）圖J4.5-1則f(t

23、)的單邊幅度譜和相位譜如圖J4.5-1(a)、(b)所示。f(t)的功率譜為f(t)的功率譜如圖J4.5-1(c)所示。J4.6（北京郵電大學(xué)2004年考研題）圖J4.6-1所示系統(tǒng)，已知（n為整數(shù)），系統(tǒng)函數(shù)。試畫(huà)出A、B、C各點(diǎn)信號(hào)的頻譜圖。圖J4.6-1解：據(jù)傅氏變換對(duì)：，可得則A點(diǎn)信號(hào)f(t)的頻譜F(jw)如圖J4.6-2（a）所示。圖J4.6-2則B點(diǎn)信號(hào)x(t)的頻譜X(jw)如圖J4.6-2（b）所示。則C點(diǎn)信號(hào)y(t)的頻譜Y(jw)如圖J4.6-2（d）所示。對(duì)Y(jw)求傅氏逆變換可得J4.7（北京郵電大學(xué)2004年考研題）利用傅里葉變換性質(zhì)證明：證明：利用能量等式：可以

24、證明。因存在傅氏變換對(duì)：，則J4.8（北京郵電大學(xué)2003年考研題）已知上連續(xù)因果LTI系統(tǒng)的頻響特性為，證明：如果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)在原點(diǎn)無(wú)沖激，那么和滿足以下方程：。證明：由于是因果系統(tǒng)，故在t 0時(shí)，令t=a，代入式（J4.10-2）可得 （J4.10-3）（2）a0時(shí)，令t=-a，代入式（J4.10-2）可得（J4.10-4）綜合式（J4.10-3）和式（J4.10-4）可得J4.11（北京郵電大學(xué)2002年考研題）圖J4.11-1(a)所示為頻譜壓縮系統(tǒng)，已知，求證該系統(tǒng)的輸出為y(t)=K f(at)，并確定K和壓縮比a值。圖J4.11-1 解：f(t)的傅里葉變換為f(t)的

25、頻譜F(jw)如圖J4.11-2(a)所示。圖J4.11-2X(jw)如圖J4.11-2(b)所示（其中，）。由圖J4.11-1和圖J4.11-2(b)可以得到如下結(jié)果，則輸出信號(hào)的頻譜為求Y(jw)的傅氏逆變換得可見(jiàn)，系數(shù)K=1，壓縮比a=0.025J4.12（華南理工大學(xué)2004年考研題）圖J4.12-1(a)所示系統(tǒng)中，若f(t)的頻譜F(jw)和H1(jw)如圖J4.12-1(b) 所示，若使輸出y(t)= f(t)，（1）畫(huà)出f2(t)的頻譜F2(jw)；（2）確定w2的值；（3）求H3(jw)，并畫(huà)出其波形圖。圖J4.12-1解：由系統(tǒng)框圖可得F1(jw)、F2(jw)、F3(jw

26、)分別如圖J4.12-2(a)、(b)、(c)所示。對(duì)照F(jw)、F3(jw)，并考慮，欲使y(t)=f(t)，即Y(jw)=F(jw)，應(yīng)取。Y(jw)= F2(jw) H2(jw)H3(jw)考慮H2(jw)的特性，欲使Y(jw)=F(jw)y(t)=f(t)，即y(t)=f(t)，應(yīng)滿足：其中，K為常數(shù)。則Y(jw)= F2(jw) H2(jw)H3(jw)=0.25K F(jw)由此可得：0.25K=1，即K =4，則圖J4.12-2J4.13（華南理工大學(xué)2000年考研題）信號(hào)f(t)的傅里葉變換F(jw)，設(shè)給出以下條件：（1）f(t)是實(shí)值且非負(fù)的；（2），A與t無(wú)關(guān)；（3）求

27、f(t)的閉合表達(dá)式。解：由條件（2）可得，求傅氏逆變換， （J4.13-1）據(jù)帕斯瓦爾方程以及條件（3）可得， （J4.13-2）由式（J4.13-1）可得對(duì)照式（J4.13-2）可得J4.14（電子科技大學(xué)2000年考研題）今有表示希爾伯特運(yùn)算，h(t)為希爾伯特變換器的單位沖激響應(yīng)，即 ，若h(t) 的傅里葉變換為H (jw)=jsgn(w)，f(t)為實(shí)值信號(hào)。（1）求h(t)；（2）證明：；（3）證明：解：（1）據(jù)傅氏變換對(duì)：，可得（2）證明：因，則對(duì)上式求傅氏變換，對(duì)上式求傅氏逆變換，即 得證。（3）證明：上式中根據(jù)以上，可得J4.15（上海交通大學(xué)2000年考研題）已知，試借助傅

28、里葉變換的性質(zhì)求：（1）；（2）解：（1）利用傅里葉變換的頻域微分性質(zhì)：（2）利用傅里葉變換的對(duì)稱性：由（1）的分析結(jié)果，J4.16（華中科技大學(xué)2002年考研題）電路如圖J4.16-1所示，R1=1W, L=1H，激勵(lì)電壓，求。圖J4.16-1解：先列出電路的微分方程，設(shè)電流、電壓如圖。列出回路電壓方程：對(duì)以上微分方程求傅氏變換求傅里葉逆變換可得J4.17（電子科技大學(xué)2002年考研題）兩信號(hào)f1(t)、f2(t)的相關(guān)函數(shù)定義為。已知，求f2(t)。解：可以推證：由已知條件，不難得出求傅里葉逆變換，得 J4.18（電子科技大學(xué)2002年考研題）有實(shí)信號(hào)f(t)e(t)，其傅里葉變換，已知，

29、要求：（1）計(jì)算；（2）求f(t)e(t)，并畫(huà)出波形。解：因f(t)e(t)是實(shí)信號(hào)，故有，且則 即 因f(t)e(t)、f(-t)e(-t)分別處于正負(fù)時(shí)域，故對(duì)f(t)e(t)求傅里葉變換，則得因此，圖J4.18-1J4.19（電子科技大學(xué)2002年考研題）已知信號(hào)f1(t)，其傅里葉變換為F 1(jw)，如圖J4.19-1所示。試求復(fù)函數(shù)y(t)= f1(t)+j f2(t)的傅里葉變換Y(jw)與F1(jw)的關(guān)系式，并畫(huà)出Y(jw) 圖形。（其中，稱為f1(t)的希爾伯特變換）。解：先求f2(t)的傅里葉變換F2(jw)再求y (t)的傅里葉變換Y(jw) J4.20（西安交通大學(xué)

30、2002年考研題）某連續(xù)時(shí)間LTI互聯(lián)系統(tǒng)如圖J4.20-1所示，其中：。（1）確定H1(jw)，并粗略畫(huà)出其圖形；（2）求整個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)；（3）判斷系統(tǒng)的下列性質(zhì)，并說(shuō)明理由：A、記憶或無(wú)記憶；B、因果性；C、穩(wěn)定性。（4）當(dāng)系統(tǒng)輸入時(shí)，求系統(tǒng)的輸出y(t)。圖J4.20-1解：（1）據(jù)傅氏變換對(duì)： 圖J4.20-2對(duì)h1(t)求傅里葉變換，可得：H1(jw)如圖J4.20-2所示。（2）分析圖J4.20-1，可得整個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)對(duì)上式求傅里葉變換，可得：求傅里葉逆變換，可得：（3）系統(tǒng)具有記憶性質(zhì)因?yàn)橄到y(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)H(jw)存在相位延遲，說(shuō)明沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)在

31、前一時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，故該系統(tǒng)具有記憶性；由系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的表達(dá)式可知，t0時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)y(t)。解：（1）對(duì)H(jw)作部分分式展開(kāi)，然后求傅氏逆變換（2）由圖J4.24-1可知，f(t)一直作用于系統(tǒng)（從開(kāi)始），若設(shè)，即有f(t)=1的直流信號(hào)一直作用于系統(tǒng)，則系統(tǒng)的初始狀態(tài)（t=0_）就是系統(tǒng)在t=0_時(shí)零狀態(tài)響應(yīng)?？梢?jiàn)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)（t=0_）為：（3）t0時(shí)，由系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)H(jw)可知，系統(tǒng)的微分方程為對(duì)微分方程求傅氏變換得求傅氏逆變換，可得因系統(tǒng)的初始狀態(tài)，故 則 J4.25（重慶大學(xué)2002年考研題）系統(tǒng)函數(shù)H(jw)和激勵(lì)f(t)如圖J4.25-1(a)、(b)所示

32、，求系統(tǒng)響應(yīng)y(t)。解：f0 (t)為f (t)的第一個(gè)周期，如圖J4.25-2所示。則周期信號(hào)f(t)的傅氏變換為考慮H(jw)的特性，可得求傅氏逆變換，可得J4.26（西安交通大學(xué)2002年考研題）f(k)是一個(gè)6點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，其中f(4)的值未知，用b表示，。若代表f(k)的DTFT，是在每隔處的樣本，即由作4點(diǎn)IDFT，得到4點(diǎn)序列。試問(wèn)能否根據(jù)f1(k)確定f(k)中的b值，若能，請(qǐng)求出b值。解：據(jù)f1(k)與f(k)的關(guān)系，可得對(duì)f1(k)求DFT：對(duì)比以上的兩個(gè)表達(dá)式，不難得到：1+b=4b=3J4.27（清華大學(xué)2002年考研題）線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率特性如圖J4.27-1(b

33、)所示，系統(tǒng)輸入f(t)如圖J4.27-1(a)所示，請(qǐng)給出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)波形圖或解析表示。圖J4.27-1解：由圖J4.27-1(b)可得圖J4.27-2令，其波形如圖J4.27-2(a)所示，則 由上式可知，其波形如圖J4.27-2(b)所示。J4.28（西安電子科技大學(xué)2002年考研題）如圖J4.28-1所示線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)，已知。圖J4.28-1（1）求復(fù)合系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jw)和沖激響應(yīng)h(t)；（2）若輸入，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)；（3）求響應(yīng)yzs(t)的功率。解：（1）據(jù)傅氏變換對(duì)：，以及傅氏變換的時(shí)域微分性質(zhì)：，可得求傅氏逆變換，可得（2）（3）yz

34、s(t)是周期信號(hào)，其周期為T(mén)=2p。yzs(t)的歸一化平均功率為圖J4.29-1J4.29（西安電子科技大學(xué)2004年考研題）已知信號(hào)f(t)如圖J4.29-1所示，其傅里葉變換。求：（1）F(j0)的值；（2）積分；（3）信號(hào)的能量。解：（1）據(jù)傅氏變換定義式：令上式中的w=0，則得（2）由傅氏逆變換定義式：令上式中t=0，則得由此可得（3）J4.30（北京理工大學(xué)2000年考研題）已知系統(tǒng)框圖如圖J4.30-1(a)、(b)所示，其中。圖J4.30-1（1）畫(huà)出x1(t)、 x2(t)頻譜圖；（2）在如圖J4.30-1(a)所示系統(tǒng)中，若要求，試確定x2(t)的周期T及框圖中H(jw)

35、；（3）在如圖J4.30-1(b)所示系統(tǒng)中，若要求，試確定x2(t)的周期T及框圖中H(jw)。解：（1）對(duì)x1(t)、 x2(t)求傅里葉變換，x1(t)、 x2(t)的頻譜分別如圖J4.30-2(a)、(b)所示。圖J4.30-2（2）在圖J4.30-1(a)系統(tǒng)中，頻譜函數(shù)S(jw)如圖J4.30-3(a)所示。 （J4.30-1）因，則 （J4.30-2）由圖J4.30-3(a)可知，要使S(jw)中不出現(xiàn)頻譜混疊，則要求，即。對(duì)比式（J4.30-1）和式（J4.30-2）可知，H(jw)應(yīng)具有如圖J4.30-3(b)所示頻譜特性，即，而且。圖J4.30-3（3）在圖J4.30-1(

36、b)系統(tǒng)中，頻譜函數(shù)S(jw)與（2）相同，如圖J4.30-3(a)所示。 （J4.30-3）因，則 （J4.30-4）由圖J4.30-3(a)可知，要使S(jw)中不出現(xiàn)頻譜混疊，則要求，即。對(duì)比式（J4.30-3）和式（J4.30-4）可知，H(jw)應(yīng)滿足：，即，H(jw)的頻譜特性如圖J4.30-3(c)所示。J4.31（北京理工大學(xué)2000年考研題）一連續(xù)時(shí)間理想低通濾波S，其頻率響應(yīng)是，當(dāng)基波周期為，其傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的信號(hào)f(t)輸入到濾波器時(shí)，濾波器的輸出為y(t)，且y(t)= f(t)。問(wèn)對(duì)于什么樣的n值，才能？圖J4.31-1解：將濾波器系統(tǒng)及其頻率響應(yīng)畫(huà)于圖J4.31-1

37、 (a)、(b)。周期信號(hào)f(t)基波角頻率：周期信號(hào)f(t)的傅里葉變換：周期信號(hào)f(t)的頻譜是離散譜，據(jù)理想低通濾波S的頻率特性可知，輸入信號(hào)中的頻率分量均可無(wú)衰減地通過(guò)理想低通濾波S；而對(duì)于輸入信號(hào)中的頻率分量將被理想低通濾波S所濾除。為使y(t)= f(t)，則f(t)的所有頻率分量均應(yīng)處于理想低通濾波S的通帶之內(nèi)，即f(t)只能包含角頻率為的諧波分量；對(duì)于的諧波分量，。圖J4.32-1J4.32（北京理工大學(xué)2001年考研題）考濾圖J4.32-1所示系統(tǒng)，其中，f(t)是周期的實(shí)周期信號(hào)，其傅里葉級(jí)數(shù)為，已知，。（1）求系統(tǒng)的輸出y(t)；（2）若把p(t)改為，重新求y(t)；（3）基于（1）、（2）的結(jié)果，請(qǐng)回答：如果要求分別確定一個(gè)周期信號(hào)f(t)任一個(gè)傅里葉系數(shù)的實(shí)部和虛部，應(yīng)如何選擇p(t)？解：H(jw)、F(jw)分別如圖J4.32-2 (a)、(b)所示。因f(t)是實(shí)周期信號(hào)，則。（1）圖J4.32-2X(jw)如圖J4.32-2 (c)所示。求傅氏逆變換可得，（2）X(jw)如圖J4.32-2 (d)所示。求