同濟大學-高等數(shù)學(上)課件D9-2二重積分的計算匯編

1、 一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分 且在D上連續(xù)時, 0),(yxf當被積函數(shù) bxa xyx D )()( : 21 D yxyxfdd),( yyxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd 由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X 型區(qū)域 則 )( 1 xy )( 2 xy xbo y D a x 若D為Y 型區(qū)域 dyc yxy D )()( : 21 y )( 1 yx )( 2 yx x d o c y xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd D yxyxfdd),( 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當被積函數(shù)),(y

2、xf 2 ),(),( ),( yxfyxf yxf 2 ),(),(yxfyxf ),( 1 yxf),( 2 yxf均非負均非負 DD yxyxfyxyxfdd),(dd),( 1 在D上變號變號時, 因此上面討論的累次積分法仍然有效 . 由于 D yxyxfdd),( 2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 o x y 說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是Y 型區(qū)域 , D yxyxfdd),( 為計算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以交換積分序交換積分序. )( 2 xy xo y D b a )( 1 yx )( 2 yx d c 則有 x )( 1 xy y y

3、yxf x x d),( )( )( 2 1 b a xd xyxf y y d),( )( )( 2 1 d c yd (2) 若積分域較復雜,可將它分成若干 1 D 2 D 3 D X-型域或Y-型域 , 321 DDDD 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x y 2 1 1 xy o 2 2 1 d y 例例1. 計算,d D yxI其中D 是直線 y1, x2, 及 yx 所圍的閉區(qū)域. x 解法解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則 :D I 2 1 d xyyx d 2 1 d x 2 1 2 1 3 2 1 dxxx 8 9 1 2 2 1 x yx 解法解法2. 將D看作Y型區(qū)

4、域, 則 :D I xyx d 2 1 d y y yx 2 2 2 1 2 1 3 2 1 d2yyy 8 9 y 1 x y 2 xy 1 21 x 2 xy 21 y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計算 ,d D yx其中D 是拋物線xy 2 所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分, :D xyx d D yxd 2 1 dy 2 1 2 2 2 1 d 2 yyx y y 2 1 52 d)2( 2 1 yyyy 1 2 6 1 2 3 4 42 1 623 4 yyy y 8 45 D xy 2 2 xy 2 1 4 o y x y 2 2

5、yxy 21y 2 y 2y 2 xy 及直線 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計算,dd sin D yx x x 其中D 是直線 ,0,yxy 所圍成的閉區(qū)域. ox y D x xy 解解: 由被積函數(shù)可知, 因此取D 為X 型域 : x xy D 0 0 : D yx x x dd sin x y 0 d 0 dsinxx 0 cos x2 0 d sin x x x x 先對 x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 交換下列積分順序 2 2 8 0 22 2 2 0 2 0 d),(d

6、d),(d x x yyxfxyyxfxI 解解: 積分域由兩部分組成: , 20 0 : 2 2 1 1 x xy D 8 22 yx 2 D 22 y xo2 1 D 2 2 1 xy 2 222 80 : 2 2 x xy D 21 DDD將 :D 視為Y型區(qū)域 , 則 2 82yxy 20 y D yxyxfIdd),( 2 8 2 d),( y y xyxf 2 0 dy 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 計算,dd)1ln( 2 yxyyxI D 其中D 由 ,4 2 xy1,3xxy 所圍成. o y x1 2 4xy xy3 2 D 1 D 1x 解解: 令)1ln

7、(),( 2 yyxyxf 21 DDD(如圖所示) 顯然, , 1上 在D),(),(yxfyxf , 2上 在D),(),(yxfyxf yxyyxI D dd)1ln( 1 2 0yxyyx D dd)1ln( 2 2 4 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x y o kkk rr kkkkkk rrsin,cos 對應有 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分 在極坐標系下, 用同心圓 r =常數(shù) 則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積 k kkkkk rrrr)( 2 1 ),2, 1(nk k 在 k ),( kk r k kk k rr k kk r 2 2 1

8、內(nèi)取點 kkk rr 2 2 1 )( 及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為 k r k r k kk r 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kkkkkkk n k rrrrf )sin,cos(lim 1 0 kk n k k f ),(lim 1 0 D yxfd),( ddrr即 D rrf)sin,cos( d r rd dr d 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D o )( 1 r )( 2 r )( 1 r o )( 2 r )( )( 2 1 d)sin,cos( rrrrf 設 , )()( : 21 r D則 D rrrrfdd)sin,cos( d 特別特別, 對 20

9、)(0 : r D D rrrrfdd)sin,cos( )( 0 d)sin,cos( rrrrf 2 0 d )(r o D 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若 f 1 則可求得D 的面積 d)( 2 1 2 0 2 D d 思考思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點,試 答答: ;0) 1 ( )(r D o y x )(r D o y x 問 的變化范圍是什么? (1)(2) 22 )2( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 計算 ,dd 22 D yx yxe其中 .: 222 ayxD 解解: 在極坐標系下 , 20 0 : ar D 原式 D r

10、er a r d 0 2 a r e 0 2 2 1 2 )1( 2 a e 2 x e 的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角 2 r e ddrr 2 0 d 由于 故 坐標計算. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注注:利用例6可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上 非常有用的反常積分公式 2 d 0 2 xe x 事實上, 當D 為 R2 時, D yx yxedd 22 yexe yx dd 22 2 0 d4 2 xe x 利用例6的結(jié)果, 得 )1 (limd4 22 2 0 a a x exe 故式成立 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求球體 2222 4

11、azyx 被圓柱面xayx2 22 )0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設 由對稱性可知 2 0,cos20: arD dd44 22 rrraV D 2 0 d4 cos2 0 22 d4 a rrra d)sin1 ( 3 32 2 0 33 a ) 3 2 2 ( 3 32 3 a o x y z a2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 b a xxfd)() )(tx tttfd)()( 定積分換元法 *三、二重積分換元法三、二重積分換元法 ),( ),( : vuyy vuxx TDDvu ),( 滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階導數(shù)連續(xù);

12、雅可比行列式 上在D)2( ;0 ),( ),( ),( vu yx vuJ (3) 變換 DDT: 則 D yxyxfdd),( D vuyvuxf),(),( 定理定理:,),(上連續(xù)在閉域設Dyxf變換: 是一一對應的 , vuvuJdd),( o v u D o y x D T 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 o y x D o v u D 證證: 根據(jù)定理條件可知變換 T 可逆. 用平行于坐標軸的 ,坐標面上在vo u 直線分割區(qū)域 , D 任取其中一個小矩 T 形, 其頂點為 ),(, ),( 21 vhuMvuM 1 M u 4 M 3 M 2 M hu v kv 通過變換T

13、, 在 xoy 面上得到一個四邊 形, 其對應頂點為)4, 3, 2, 1 (),(iyxM iii 1 M 4 M 3 M 2 M , 22 kh 令 則 12 xx ),(),(vuxvhux ).,(, ),( 43 kvuMkvhuM )( ),( oh vu u x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 14 xx ),(),(vuxkvux)( ),( ok vu v x 12 yy )( ),( oh vu u y 同理得 14 yy )( ),( ok vu v y 當h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為 4121 MMMM 14

14、14 1212 yyxx yyxx kh kh v y v x u y u x hk v y u y v x u x hkvuJ),( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 vuvuJdd),(d因此面積元素的關系為 從而得二重積分的換元公式: D yxyxfdd),( D vuyvuxf),(),(vuvuJdd),( 例如例如, 直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標時, sin,cosryrx ),( ),( r yx J cossinr sincosr r D yxyxfdd),( D rrrrfdd)sin,cos( 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 計算其中D 是 x 軸 y 軸和直線 2

15、 yx 所圍成的閉域. 解解: 令,xyvxyu則 2 , 2 uv y uv x ),( ),( vu yx J yxe D xy xy dd vuev u D dd 2 1 2 0 d 2 1 v vveed)( 2 1 1 2 0 1 ee 2 yx D xo y 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 v v v u ue d xy xy e ,ddyx )(DD D D 2v vu vu uo v 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ybx 2 yax 2 D o y x xqy 2 xpy 2 , 22 y x v x y u 例例9. 計算由, 22 xqyxpyybxyax 2

16、2 , )0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S . 解解: 令 D u v o pq a b 則 bva qup D :D ),( ),( vu yx J ),( ),( 1 yx vu 3 1 D yxSdd b a q p vudd 3 1 vuJ D dd )( 3 1 abpq 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例10. 試計算橢球體1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 解解: yxzV D dd2yxc Db y a x dd12 2 2 2 2 由對稱性, 1: 2 2 2 2 b y a x D取 令,sin,cosrbyrax則D 的原象為 20,1

17、: r D ),( ),( r yx J cossin sincos rbb raa D cV2 rrrcbad1d2 1 0 2 2 0 cba 3 4 rba 2 1r ddrrba 的體積V. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) (1) 二重積分化為累次積分的方法 直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區(qū)域為 )()(,),( 21 xyyxybxayxD 則 )( )( 2 1 d),(dd),( xy xy b aD yyxfxyxf 若積分區(qū)域為 )()(,),( 21 yxxyxdycyxD 則 x y )( 1 yxx D d c )( 2 yxx )( )

18、( 2 1 d),(dd),( yx yx d cD xyxfyyxf )( 1 xyy )( 2 xyy x y b a D 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(,),( 21 rrD DD rrfyxf)sin,cos(d),(則 )( )( 2 1 d)sin,cos(d rrrrf (2) 一般換元公式 ),( ),( vuyy vuxx Dyx),( ,),(Dvu0 ),( ),( vu yx J且 則 DD vuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J 極坐標系情形極坐標系情形: 若積分區(qū)域為 ddrr D o )( 1 r )( 2 r 在變換下 機動 目錄 上

19、頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) 計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便 域邊界應盡量多為坐標線 被積函數(shù)關于坐標變量易分離 積分域分塊要少 累次積好算為妙 圖示法 不等式 ( 先積一條線, 后掃積分域 ) 充分利用對稱性 應用換元公式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習思考與練習 1. 設 , 1 ,0)(Cxf且,d)( 1 0 Axxf 求 .d)()(d 11 0 yyfxfxI x 提示提示: 交換積分順序后, x , y互換 o y x 1 xy 1 y x Ixyfxf y d)()( 0 1 0 d yyyfxf x d)()( 0 1 0 d x I2 yyfxfx x d)()(d 11 0 yyfxf x d)()( 0 1 0 d x 1 0 d xyyfxfd)()( 1 0 1 0 1 0 d)(d)(yyfxxf 2 A 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 交換積分順序 a r arccos cosar o x a )0(d),(d cos 0