(完整word版)等比數(shù)列前n項和的公式(word文檔良心出品).doc

1、等比數(shù)列前n 項和的公式北京市五十五中韓亦軍教學(xué)目標1掌握求等比數(shù)列前n 項和的公式及其推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維2初步掌握公式的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力教學(xué)重點與難點等比數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)教學(xué)過程設(shè)計an=a1qn- 1，這個公式的推導(dǎo)使用了迭乘法(復(fù)習(xí)一下舊知識，為下面推導(dǎo)出前n 項和公式作準備，并提供了類比)師：今天我們研究已知等比數(shù)列的首項a1，公比 q，項數(shù) n(或 n 項 an)，求它的前 n項和 Sn 的計算公式(給足夠的時間鼓勵學(xué)生對問題自由思考，積極解決)生：能不能像推導(dǎo)等比數(shù)列通項公式的方法，列出一些等式，然后迭乘或迭加？師：可以試試生 a1=a1，a2=a1q

2、，a3=a2q，an- 1 =an- 2q，an=an- 1q將上面 n 個等式的等號兩邊分別相加，得a1a2 a3 an- 1 an=a1 a1q a2q an- 2q an- 1q等號左邊就是Sn，右邊是(誘導(dǎo)一下 )師：可將右邊適當變形，再觀察它與Sn 的關(guān)系，注意上式對n2 時成立生： Sn=a1 q(a1a2 an- 2 an- 1)師：等號右邊括號里是數(shù)列 a nn的關(guān)系 若干項的和， 可以用什么符號來表示？與S又是什么？(及時點拔，可加深學(xué)生對符號Sn 的理解，最后一個問題也是推導(dǎo)公式的關(guān)鍵一步 )生：等號右邊的括號里就是Sn- 1，上面等式可以寫成Sn=a1 qSn- 1 =a

3、1 q(Sn an) 以下只需解出Sn 即可(“方程”在中學(xué)代數(shù)課程里占有重要的地位，方程思想是應(yīng)用十分廣泛的一種數(shù)學(xué)思想，利用方程思想，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使問題得到解決)師： (糾錯 )能否在等號兩端同除(1q)？生：應(yīng)分 q=1 和 q1 討論(分類討論也是重要的數(shù)學(xué)思想方法)師：因為 S1=a1，所以此式對n=1 也成立 (幫助學(xué)生完善證明過程)生：當 q=1 時，數(shù)列 a n 為常數(shù)列 a1， a1， Sn=na1(及時歸納小結(jié) )師：我們根據(jù)等比數(shù)列的定義，用迭加的方法推導(dǎo)出了等比數(shù)列an的前n 項和公式(板書 )如果已知 a1， n， q，則當 q 1 時， Sn 的公

4、式是什么；(學(xué)生演算、口答，教師板書)生：將 an=a1qn- 1 代入，得生：老師，我還有一種證法師：你是如何證明的？(學(xué)生口述，教師板書)當 q=1 時， Sn=na1師：非常好！這位同學(xué)圍繞等比數(shù)列的基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運用等比定理，導(dǎo)出了公式(公式雖已導(dǎo)出，還可以再引導(dǎo)學(xué)生把思維發(fā)散開)師：還有沒有其他的推導(dǎo)方法？(板書 )Sn=a1 a2 an- 1an=a1a1q a1qn- 2a1qn- 1 觀察等號右端，若每一項乘以公比 q，就得到它后面相鄰的一項，能否設(shè)法消去一些項？同學(xué)們可以討論一下生： (學(xué)生口述，教師板書)在等號兩邊乘以q，得qSn=a1qa1q2 a1qn

5、- 1 a1qn將兩式的兩端分別相減，就可消去這些共同項，(1q)Sn=a1 a1qn得到前面的求和公式師：這種求和方法也很重要，由于設(shè)法消去了一些中間項，使帶有省略號的含任意有限項的式子變成僅含有幾項的式子，從而使問題得到解決(用這種方法求和，對培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析能力是有好處的)這種求和方法稱為“錯位相減法”，是研究數(shù)列求和的一個重要方法(板書 )(這種求和的思路在解決某些求和問題時經(jīng)常用到，應(yīng)使學(xué)生掌握)(以上三種推導(dǎo)方法， 可以看出利用“發(fā)散思維”進行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從多條途徑，用多種方法推導(dǎo)公式，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維)師：在求等比數(shù)列(q 1)的前 n 項和時，如果已知首項a1，公

6、比 q 以及項數(shù) n，師：與等差數(shù)列相似等比數(shù)列的前n 項和公式 (1)和(2) ，及通項公式 an=a1qn- 1，其中涉及 a1nn這五個量，而它們又通過通項公式及前n 項和的公式聯(lián)系著，q，n， a和 S因此只要已知其中的任何三個量，即可得到以其余兩個量為未知數(shù)的方程組，從而可以求出其余兩個量(類比的方法是認識事物的重要方法，提示學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，注意用類比的方法記憶知識、解決問題 )師：下面舉例說明公式(1)、(2) 的一些應(yīng)用(利用投影片投影出例題)例 1 口答下列各題：(3)請利用第 (2)題的數(shù)據(jù)，自己編題，改求a1 或求 q，并求解(自己擬題能鞏固和深化所學(xué)的知識)生： (口答

7、 )(3)生甲：已知： q=3，S3=26求 a1生乙：已知： a1=2，S3=26求 q師：這一題是利用Sn 求 q，為什么可以用公式(2)？生：因為 a1=2，若 q=1，則 S3=6 ，而已知 S3 =26，故 q1所以可以選用公式(2)(這一追問為下一題做了鋪墊)例 2 已知 an為等比數(shù)列，且Sn=a， S2n=b，(ab 0)，求 S3n師：要求 S3n，需知 a1，q，而已知條件為 Sn 和 S2n能否進一步挖掘題目的條件，使已知和未知溝通起來？以下再化簡即可師：這位同學(xué)處理問題很巧妙他沒有分別求得a1 與 q 的值，而改為求qn 與生乙：我認為第式就有問題，他附加了條件 q 1

8、，而對 q=1 情況沒有考慮師：對！使用等比數(shù)列前 n 項和公式時，要特別注意適用條件，即 q=1 時， Sn=na1；(含字母已知數(shù)的等比數(shù)列求和題目，學(xué)生常忽略q=1 情況，要引起足夠重視，以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性)(學(xué)生演算習(xí)題，教師投影出正確答案)解：設(shè)數(shù)列的公比為q若 q=1(此時數(shù)列為常數(shù)列)，則 Sn=na1=a，S2n=2na1=b，由已知師： (小結(jié) )這節(jié)課我們從已有的知識出發(fā)，用多種方法 (迭加法、運用等比性質(zhì)、錯位相減法 )推導(dǎo)出了等比數(shù)列的前 n 項和公式，并在應(yīng)用中加深了對公式的認識如已知 a1，n， q，則選擇已知 a1， q， an，則選擇對含字母的題目一般要分別

9、考慮q=1 和 q1 兩種情況，不能附加條件，統(tǒng)一按n， an， Sn 五個量中，知道任意三個，可求其余兩個布置作業(yè)1在等比數(shù)列 an中， a1=1 ，an=512，Sn= 341，求公比 q 和項數(shù) n(q=2，n=10)2在等比數(shù)列 a n 中 (1)已知 n， q，an，求 a1 與 Sn； (2)已知 n，q， Sn求3求和：得(2)Sn=x 3x2 5x3 (2n 1)x n，xSn=x 2 3x3 5x4 (2n 1)xn1 得(1x)Sn=x 2(x 2x3 xn) (2n1)x n 1則當 x 1 時，當 x=1 時， Sn=n2)課堂教學(xué)設(shè)計說明本課知識與前面的知識等差數(shù)列求

10、和公式，教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系緊密只要學(xué)生掌握好舊知識，再經(jīng)過分析、綜合、歸納、推理，就能導(dǎo)出所學(xué)內(nèi)容采用這種教學(xué)方法，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高，因而教學(xué)效率高、效果好，同時，對完善學(xué)生的認知過程，提高他們分析問題、解決問題的能力大有裨益本節(jié)課教學(xué)過程可概括如下：(1)復(fù)習(xí)舊知識，引出新課題；(2)推導(dǎo)公式，弄清條件，認識新知識；(3)運用公式，鞏固新知識；(4)小結(jié)，布置作業(yè)對全課作了如此設(shè)計，主要基于以下幾點：(1)對公式的教學(xué)， 要充分揭示公式之間的內(nèi)在聯(lián)系， 掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的導(dǎo)出方法， 理解公式的成立條件 也就是讓學(xué)生對本課要學(xué)習(xí)的新知識有一個清晰的、完整的認識、 忽視公式的推導(dǎo)和條件， 直接記憶公式的結(jié)論是降低教學(xué)要求，違背教學(xué)規(guī)律的做法(2)本課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的教學(xué)方法，既發(fā)揮了教師的主導(dǎo)作用，又體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位， 學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己的一系列思維活動來