互斥事件的概率加法公式

1、12.4 12.4 概率的加法公式概率的加法公式 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 樣本空間樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)的一切可能一切可能結(jié)果構(gòu)成的集合集合 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 樣本空間的任一任一個子集子集 樣本空間的元素元素 基本事件基本事件 問題問題1:1:拋擲一顆骰子拋擲一顆骰子, ,觀察擲出的點(diǎn)數(shù)觀察擲出的點(diǎn)數(shù). .設(shè)事件設(shè)事件A A 為為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”, ,B B為為“出現(xiàn)出現(xiàn)2 2點(diǎn)點(diǎn)”. .事件事件A A和事和事 件件B B可以同時發(fā)生嗎？可以同時發(fā)生嗎？ 不可能同時發(fā)生不可能同時發(fā)生 1.1互斥事件互斥事件 我們把不可能同時發(fā)生的兩個事件我們把不可能同時發(fā)生的兩個事件A A、B B叫做叫做互斥事

2、互斥事 件件.(.(或或互不相容事件互不相容事件).). 一、基本概念一、基本概念 我們知道任何事件都可以看成是由基本事件為元素構(gòu)我們知道任何事件都可以看成是由基本事件為元素構(gòu) 成的集合成的集合,如果如果A、B互斥互斥,則則_BA 事件A、B互斥集合A、B的交為空集 判斷判斷 如圖中陰影部分所表示的就是如圖中陰影部分所表示的就是ABAB. . 由事件由事件A A和和B B至少有一個至少有一個發(fā)生發(fā)生(A(A發(fā)生發(fā)生, ,或或B B發(fā)生發(fā)生, ,或或A A、B B都都 發(fā)生發(fā)生) )所構(gòu)成的事件所構(gòu)成的事件C,C,稱為事件稱為事件A A與與B B的的并事件并事件( (或或和事件和事件) ) 記作

3、記作C=ABC=AB( (或或C=A+BC=A+B).).事件事件ABAB是由事件是由事件A A或或B B所包含的所包含的 基本事件所組成的集合基本事件所組成的集合. . 1.21.2事件的并事件的并: : 拋擲一顆骰子拋擲一顆骰子, ,觀察擲出的點(diǎn)數(shù)觀察擲出的點(diǎn)數(shù). . 事件事件A A為為“出現(xiàn)出現(xiàn)1 1點(diǎn)點(diǎn)”,B,B為為“出現(xiàn)出現(xiàn)5 5點(diǎn)點(diǎn)”求求ABAB 設(shè)事件設(shè)事件A A為為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”,B,B為為“出現(xiàn)出現(xiàn)2 2點(diǎn)或點(diǎn)或3 3點(diǎn)點(diǎn)”, ,求求 ABAB 練習(xí)2.求下列事件的求下列事件的和事件和事件 事件事件A A表示某地區(qū)的年降水量在表示某地區(qū)的年降水量在100-150 m

4、m100-150 mm范圍內(nèi)范圍內(nèi), , 事件事件B B表示降水量在表示降水量在150-200 mm150-200 mm范圍內(nèi)范圍內(nèi), ,求求ABAB 從不包括大小王的從不包括大小王的5252張撲克牌中隨機(jī)抽取一張張撲克牌中隨機(jī)抽取一張, ,事事 件件A A為為“取到紅桃取到紅桃”, ,事件事件B B為為“取到方片取到方片”, ,求求ABAB 甲、乙甲、乙2 2人下棋人下棋,A,A為為“下成和棋下成和棋”,B,B為為“乙獲勝乙獲勝”求求 ABAB 1.31.3對立事件對立事件: : 例如例如: :拋擲一顆骰子拋擲一顆骰子, ,觀察擲出的點(diǎn)數(shù)觀察擲出的點(diǎn)數(shù). .設(shè)事件設(shè)事件A A為為“出現(xiàn)出現(xiàn)

5、奇數(shù)點(diǎn)奇數(shù)點(diǎn)”, ,事件事件B B為為“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”. . ABAB為不可能事件為不可能事件, ,ABAB為必然事件為必然事件, ,所以事件所以事件A A和和B B互為互為 對立事件對立事件 若若A AB B為為不可能不可能事件事件,A,AB B為為必然必然事件事件, ,那么稱事件那么稱事件A A與與 事件事件B B互為對立互為對立事件事件, ,事件事件A A的對立事件記作的對立事件記作: ,: ,這里這里 A AB 問問: :互為對立的兩個事件一定是互斥事件嗎?是 練習(xí)練習(xí)1 1. .判斷下列給出的每對事件判斷下列給出的每對事件,(1),(1)是否為互斥是否為互斥 事件事件,(2)

6、,(2)是否為對立事件是否為對立事件, ,并說明理由并說明理由. . 從從4040張撲克牌張撲克牌( (紅桃、黑桃、方塊、梅花紅桃、黑桃、方塊、梅花, ,點(diǎn)數(shù)從點(diǎn)數(shù)從1 1到到1010各各4 4張張) ) 中任取中任取1 1張張: : （1 1）“抽出紅桃抽出紅桃”與與“抽出黑桃抽出黑桃”； （2 2）“抽出紅色牌抽出紅色牌”與與“抽出黑色牌抽出黑色牌”； （3 3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5 5的倍數(shù)的倍數(shù)”與與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9 9”. . 所以所以對立對立事件事件一定一定是是互斥互斥事件事件, ,而而互斥互斥事件事件不一定不一定是是對立對立事件事件. . (1)(

7、1)是互斥事件是互斥事件 (2)(2)是互斥事件是互斥事件 (3)(3)不是互斥事件不是互斥事件 解：解：不是對立事件不是對立事件 是對立事件是對立事件 不是對立事件不是對立事件 Back 例例1 1、拋擲一顆骰子拋擲一顆骰子, ,觀察擲出的點(diǎn)數(shù)觀察擲出的點(diǎn)數(shù). .設(shè)事件設(shè)事件A A為為“出現(xiàn)出現(xiàn) 2 2點(diǎn)點(diǎn)”, ,B B為為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”. .已知已知P(A)= ,P(B)= ,P(A)= ,P(B)= ,求求 “出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)或2 2點(diǎn)點(diǎn)”的概率的概率. . 2 11 6 解:A、B是互斥事件.樣本空間6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1= ,5 , 3 , 2 ,

8、 1,5 , 3 , 1,2BABA 的基本事件總數(shù)n=6,事件A、B、AB的基本事件數(shù)分 別為1,3,4. 3 2 6 4 )(, 6 3 )(, 6 1 )(BAPBPAP )()()(BPAPBAP即： 大量實(shí)驗(yàn)證實(shí),上述公式對任意兩個互斥事件A、B都 成立.即: )()()(BPAPBAP 更一般地更一般地, ,如果事件如果事件 兩兩兩兩互斥互斥, ,那么事那么事 件件 發(fā)生的概率發(fā)生的概率, ,等于這等于這n n個事件個事件分別分別 發(fā)生的概率之發(fā)生的概率之和和, ,即即: : n AAA, 21 ”“ n AAA 21 )()()()( 2121nn APAPAPAAAP 該公式叫

9、做互斥事件的概率的該公式叫做互斥事件的概率的加法公式加法公式. 二、互斥事件的概率加法公式二、互斥事件的概率加法公式 下面利用上述公式下面利用上述公式,來看看一個例子來看看一個例子 例例2 2、某地區(qū)的年降水量,在100-150 mm范圍內(nèi)的概率是 0.12,在150-200 mm范圍內(nèi)的概率是0.25,在200-250 mm 范圍內(nèi)的概率是0.16,在250-300 mm范圍內(nèi)的概率是 0.14.計算年降水量在100-200 mm范圍內(nèi)的概率與在 150-300 mm范圍內(nèi)的概率. 解:記這個地區(qū)的年降水量在100-150 mm,150-200 mm,200-250 mm,250-300 m

10、m范圍內(nèi)分別為事件A、B、C、 D.這四個事件是彼此互斥的.根據(jù)公式得 年降水量在100-200 mm范圍內(nèi)的概率是: P(AB)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37P(AB)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37 年降水量在150-300 mm范圍內(nèi)的概率是: P(BCP(BCD)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55 3.3.我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示： 年降水量年降水量 /mm

11、/mm 100100，150150）150150，200200）200200，250250）250250，300300 概率概率0.210.210.160.160.130.130.120.12 則年降水量在則年降水量在200,300(mm)200,300(mm)范圍內(nèi)的概率為多少范圍內(nèi)的概率為多少? ?0.250.25 在求某些較為復(fù)雜事件的概率時在求某些較為復(fù)雜事件的概率時, ,先將它分解先將它分解 為一些較為簡單的、并且概率已知為一些較為簡單的、并且概率已知( (或較容易求或較容易求 出）的彼此互斥的事件出）的彼此互斥的事件, ,然后利用概率的加法公然后利用概率的加法公 式求出概率式求出概

12、率. .因此互斥事件的概率加法公式具有因此互斥事件的概率加法公式具有 “化整為零、化難為易化整為零、化難為易”的功效的功效, ,但需要注意的但需要注意的 是使用該公式時是使用該公式時必須檢驗(yàn)是否滿足必須檢驗(yàn)是否滿足它的前提條它的前提條 件件“彼此互斥彼此互斥”. . 2.1思想方法思想方法 2.22.2反概率公式反概率公式 若事件若事件A A的對立事件為的對立事件為A,A,則則P(A)=1P(A)=1P(A)P(A). . 證明證明: :事件事件A A與與A A是互斥事件是互斥事件, ,所以所以P(AA)=P(A)+P(A),P(AA)=P(A)+P(A), 又又AA=,AA=, 而由必然事件

13、得到而由必然事件得到P()=1,P()=1,故故P(A)=1P(A)=1P(A).P(A). P(A)=1P(A)=1P(A)P(A) 用途用途: :當(dāng)我們求當(dāng)我們求P(A)P(A)有困難時有困難時, ,?？梢赞D(zhuǎn)化為求?？梢赞D(zhuǎn)化為求P(A).P(A). 利用上述公式利用上述公式, ,我們來看看下面的例子我們來看看下面的例子 例例3 3、如果從不包括大小王的如果從不包括大小王的5252張撲克牌中隨機(jī)抽取一張撲克牌中隨機(jī)抽取一 張張, ,那么取到那么取到紅桃紅桃( (事件事件A)A)的概率是的概率是1/4,1/4,取到取到方片方片( (事件事件B)B) 的概率是的概率是1/4.1/4.問問: :

14、(1)(1)取到取到紅紅色牌色牌( (事件事件C)C)的概率是多少的概率是多少? ? (2)(2)取到取到黑黑色牌色牌( (事件事件D)D)的概率是多少的概率是多少? ? 解解: :(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)镃=C=AB,AB,且且A A與與B B不會同時發(fā)生不會同時發(fā)生, ,所以所以A A與與B B是是 互斥事件互斥事件. .根據(jù)概率的加法公式根據(jù)概率的加法公式, ,得得: : P(C)=P(A)+P(B)=1/2 P(C)=P(A)+P(B)=1/2 (2)C(2)C與與D D也是互斥事件也是互斥事件, ,又由于又由于CDCD為必然事件為必然事件, ,所以所以C C 與與D D互為對立事件互為對

15、立事件, ,所以所以 P(D)=1-P(C)=1/2P(D)=1-P(C)=1/2 1.1.甲、乙甲、乙2 2人下棋人下棋, ,下成和棋的概率是下成和棋的概率是 , ,乙獲勝的概率是乙獲勝的概率是 則甲不勝的概率是則甲不勝的概率是( )( ) 1 2 1 3 B 三、鞏固練習(xí)三、鞏固練習(xí) 1 2 5 6 1 6 2 3 A. B. C. D.A. B. C. D. 2.2.抽查抽查1010件產(chǎn)品件產(chǎn)品, ,設(shè)事件設(shè)事件A A: :至少有兩件次品至少有兩件次品, ,則則A A的對立事件為的對立事件為 （ ） A.A.至多兩件次品至多兩件次品 B.B.至多一件次品至多一件次品 C.C.至多兩件正品

16、至多兩件正品 D.D.至少兩件正品至少兩件正品 B 3.3.某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級, ,其中乙、丙兩級均屬次品其中乙、丙兩級均屬次品, ,若生產(chǎn)中若生產(chǎn)中 出現(xiàn)乙級品的概率為出現(xiàn)乙級品的概率為0.030.03、丙級品的概率為、丙級品的概率為0.01,0.01,則對成品抽查則對成品抽查 一件抽得正品的概率為一件抽得正品的概率為( )( ) A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96 D 4.4.某射手射擊一次擊中某射手射擊一次擊中1010環(huán)、環(huán)、9 9環(huán)、環(huán)、8 8環(huán)的概率分別環(huán)的概率分別0.3,0.3,0.2,0.3,0.3,0.2, 那么他射擊一次不夠那么他射擊一次不夠8 8環(huán)的概率是環(huán)的概率是 。 0.20.2 5.5.某射手在一次射擊中射中某射手在一次射擊中射中1010環(huán)、環(huán)、9 9環(huán)、環(huán)、8 8環(huán)、環(huán)、7 7環(huán)、環(huán)、7 7環(huán)以下的概環(huán)以下的概 率分別為率分別為0.240.24、0.280.28、0.190.19、0.160.16、0.13.0.13.計算這個射手在一次計算這個射手在一次 射擊中射擊中: : (1)(1)射中射中1010環(huán)或環(huán)或9 9環(huán)的概率環(huán)的概率; ; (2)(2)至少射中至少射中7 7環(huán)的概率環(huán)的概率; ;