大學物理(上)習題講解(剛體力學部分)

1、南昌大學南昌大學 陳國云陳國云 2014年年4月月5日日 例題例題5-15-1 求質量為求質量為m、長為、長為 l 的均勻細棒對下面的均勻細棒對下面 三種轉軸的轉動慣量：三種轉軸的轉動慣量： （1 1）轉軸通過棒的中心并和棒垂直；）轉軸通過棒的中心并和棒垂直； （2 2）轉軸通過棒的一端并和棒垂直）轉軸通過棒的一端并和棒垂直； （3 3）轉軸通過棒上距中心為轉軸通過棒上距中心為h的一點的一點 并和棒垂直。并和棒垂直。 x o 解解:(1)建立坐標系，分割質量元建立坐標系，分割質量元 dx x 2d Jxm 2 12 1 ml 2 2 2 d l l m xx l x o h x o dx x

2、2d Jxm 2 0 d l m xx l 2 3 1 ml J 與剛體質量、質量分布、軸的位置有關與剛體質量、質量分布、軸的位置有關 (2)建立坐標系，分割質量元建立坐標系，分割質量元 （3）建立坐標系，分割質量元）建立坐標系，分割質量元 dx x 2d Jxm 22 1 12 mlmh 2 2 2 d lh lh m xx l 例題例題5-25-2 求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉軸的求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉軸的 轉動慣量。設圓盤的半徑為轉動慣量。設圓盤的半徑為R，質量為質量為m，密度均勻。密度均勻。 r R dr 解：解：設圓盤的質量面密度為設圓盤的質量面密度為 ，在圓盤上取

3、一半徑為在圓盤上取一半徑為r、 寬度為寬度為d dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2 rdr，環(huán)的環(huán)的 質量質量dm= 2 rdr ?？傻每傻?4 232 0 1 d2d 22 R R JrmrrmR 例題例題5-35-3 一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩的兩 端分別懸有質量為端分別懸有質量為m1和和m2的物體的物體1 1和和2 2，m1m1，物體物體1 1向上運動，物體向上運動，物體2 2向下運動，滑輪以順向下運動，滑輪以順 時針方向旋轉時針方向旋轉，Mr的指向如圖所示?？闪谐鱿铝蟹匠痰闹赶蛉鐖D所示?？闪谐鱿铝蟹匠?JMrTr

4、T amTG amGT 12 222 111 式中式中 是滑輪的角加速度是滑輪的角加速度，a是物體的加速度?；喪俏矬w的加速度?；?邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等，即邊緣上的切向加速度和物體的加速度相等，即 從以上各式即可解得從以上各式即可解得 ra mmm rMgmm r J mm rMgmm a r 2 1 / 12 12 212 12 mmm rMgmmm agmT 2 1 / 2 1 2 12 12 12 mmm rMgmmm agmT 2 1 / 2 1 2 12 21 11 而而 rmmm rMgmm r a 2 1 / 12 12 當不計滑輪質量及摩擦阻力矩即令當不計滑輪

5、質量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M =0=0時，有時，有 g mm mm TT 12 21 21 2 g mm mm a 12 12 上題中的裝置叫阿特伍德機，是一種可用來測上題中的裝置叫阿特伍德機，是一種可用來測 量重力加速度量重力加速度g g的簡單裝置。因為在已知的簡單裝置。因為在已知m1、 m2 、 r和和J的情況下，能通過實驗測出物體的情況下，能通過實驗測出物體1 1和和2 2的加速度的加速度a， 再通過加速度把再通過加速度把g g算出來。在實驗中可使兩物體的算出來。在實驗中可使兩物體的m1 和和m2相近，從而使它們的加速度相近，從而使它們的加速度a和速度和速度v都較小，都較小， 這樣

6、就能角精確地測出這樣就能角精確地測出a來來。 例題例題5-45-4 一半徑為一半徑為R，質量為質量為m勻質圓盤，平放在粗勻質圓盤，平放在粗 糙的水平桌面上。設盤與桌面間摩擦系數(shù)為糙的水平桌面上。設盤與桌面間摩擦系數(shù)為 ，令令 圓盤最初以角速度圓盤最初以角速度 0 0繞通過中心且垂直盤面的軸旋繞通過中心且垂直盤面的軸旋 轉，問它經(jīng)過多少時間才停止轉動？轉，問它經(jīng)過多少時間才停止轉動？ r R dr d e 解：解：由于摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在 整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分整個圓盤與桌子的接觸面上，力矩的計算要用積分 法。在圖中，

7、把圓盤分成許多環(huán)形質元，每個質元法。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質元，每個質元 的質量的質量dm= rd dre，所受到的阻力矩是所受到的阻力矩是r dmg 。 此處此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是 2 2 00 3 ddd dd 2 3 R Mrmggrrer gerr geR 因因m= e R2，代入得代入得mgRM 3 2 根據(jù)定軸轉動定律，阻力矩使圓盤減速，即根據(jù)定軸轉動定律，阻力矩使圓盤減速，即 獲得負的角加速度獲得負的角加速度. . 2 21d 32d mgRJmR t 設圓盤經(jīng)過時間設圓盤經(jīng)過時間t t停止轉動，則有停止轉動，則有 0 0 0 21

8、 dd 32 t gtR 由此求得由此求得0 4 3 g R t 例題例題5-55-5 一勻質細棒長為一勻質細棒長為l ，質量為，質量為m，可繞通過，可繞通過 其端點其端點O的水平軸轉動，如圖所示。當棒從水平位的水平軸轉動，如圖所示。當棒從水平位 置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物 體相撞。該物體的質量也為體相撞。該物體的質量也為m ，它與地面的摩擦系，它與地面的摩擦系 數(shù)為數(shù)為 。相撞后物體沿地面滑行一距離。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。而停止。 求相撞后棒的質心求相撞后棒的質心C 離地面的最大高度離地面的最大高度h，并說明，并說明

9、 棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。 解：解：這個問題可分為三個階段這個問題可分為三個階段 進行分析。第一階段是棒自由進行分析。第一階段是棒自由 擺落的過程。這時除重力外，擺落的過程。這時除重力外， 其余內力與外力都不作功，所其余內力與外力都不作功，所 以機械能守恒。我們把棒在豎以機械能守恒。我們把棒在豎 直位置時質心所在處取為勢能直位置時質心所在處取為勢能 C O 零點，用零點，用 表示棒這時的角速度表示棒這時的角速度, ,則則 222 3 1 2 1 2 1 2 mlJ l mg （1 1） 第二階段是第二階段是碰撞過程。碰撞過程。因碰撞時間極短，自由因碰

10、撞時間極短，自由 的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以 忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所忽略。這樣，棒與物體相撞時，它們組成的系統(tǒng)所 受的對轉軸受的對轉軸O的外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的對的外力矩為零，所以，這個系統(tǒng)的對O 軸的角動量守恒。我們用軸的角動量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，表示物體碰撞后的速度， 則則 （2 2） 22 3 1 3 1 mlmvlml 式中式中 為為棒在碰撞后的角速度，它可正可負。棒在碰撞后的角速度，它可正可負。 取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右

11、擺。 第三階段是物體在碰撞后的第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。滑行過程。物體作勻減物體作勻減 速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為速直線運動，加速度由牛頓第二定律求得為 mamg （3 3） 由勻減速直線運動的公式得由勻減速直線運動的公式得 asv20 2 gsv 2 2 （4）亦即亦即 由式（由式（1 1）、（）、（2 2）與（）與（4 4）聯(lián)合求解，即得）聯(lián)合求解，即得 l gsgl 233 （5） 亦即亦即l 66 s；當當 取負值，則棒向右擺，其條件 取負值，則棒向右擺，其條件 為為 0233 gsgl 亦即亦即l 6 s 棒的質心棒的質心C上升的最大高度，與第一階段情上升的最大高

12、度，與第一階段情 況相似，也可由機械能守恒定律求得：況相似，也可由機械能守恒定律求得： 22 3 1 2 1 mlmgh 把式（把式（5 5）代入上式，所求結果為）代入上式，所求結果為 sls l h63 2 當當 取正值，則棒向左擺，其條件為取正值，則棒向左擺，其條件為 0233 gsgl (6)(6) 例題例題5-65-6 工程上，常用摩擦嚙合器使兩飛輪以相同的工程上，常用摩擦嚙合器使兩飛輪以相同的 轉速一起轉動。如圖所示，轉速一起轉動。如圖所示，A和和B兩飛輪的軸桿在同一兩飛輪的軸桿在同一 中心線上，中心線上，A輪的轉動慣量為輪的轉動慣量為JA=10kg m2，B的轉動慣的轉動慣 量為量

13、為JB=20kg m2 。開始時。開始時A輪的轉速為輪的轉速為600r/min，B 輪靜止。輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉速；在為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉速；在 嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？嚙合過程中，兩輪的機械能有何變化？ A A C B A C B 或共同轉速為或共同轉速為 200r/ minn 在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機 械能不守恒，部分機械能將轉化為熱量，損械能不守恒，部分機械能將轉化為熱量，損 失的機械能為失的機械能為 222 4 111 222 1.32 10 J AB ABAB EJJJJ 例題例題5-75-7 恒星晚

14、期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆 發(fā)，這時星體中有大量物質噴入星際空間，同時星發(fā)，這時星體中有大量物質噴入星際空間，同時星 的內核卻向內坍縮，成為體積很小的中子星。中子的內核卻向內坍縮，成為體積很小的中子星。中子 星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物體就有 幾億噸質量！設某恒星繞自轉軸每幾億噸質量！設某恒星繞自轉軸每4545天轉一周，它天轉一周，它 的內核半徑的內核半徑R 0約為 約為2 2 1010 7 7 m，坍縮成半徑坍縮成半徑R僅為僅為 6 6 10103 3m的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的中子星

15、。試求中子星的角速度。坍縮前后 的星體內核均看作是勻質圓球。的星體內核均看作是勻質圓球。 解：解：在星際空間中，恒星不會受到顯著的外力矩，因在星際空間中，恒星不會受到顯著的外力矩，因 此恒星的角動量應該守恒，則它的內核在坍縮前后的此恒星的角動量應該守恒，則它的內核在坍縮前后的 角動量角動量J0 0和和J 應相等。因應相等。因 22 0 5 2 5 2 0 mRJmRJ， 代入代入J0 0=J 中，整理后得中，整理后得 2 0 0 3r/s R R 由于中子星的致密性和極快的自轉角速度，在由于中子星的致密性和極快的自轉角速度，在 星體周圍形成極強的磁場，并沿著磁軸的方向發(fā)出星體周圍形成極強的磁場

16、，并沿著磁軸的方向發(fā)出 很強的無線電波、光或很強的無線電波、光或X X射線。當這個輻射束掃過地射線。當這個輻射束掃過地 球時，就能檢測到脈沖信號，由此，中子星又叫脈球時，就能檢測到脈沖信號，由此，中子星又叫脈 沖星。目前已探測到的脈沖星超過沖星。目前已探測到的脈沖星超過300300個。個。 例題例題5-8 圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉動慣量為圖中的宇宙飛船對其中心軸的轉動慣量為 J=2 103kg m2 ，它以它以 =0.2rad/s的角速度繞中心軸旋的角速度繞中心軸旋 轉。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉。轉。宇航員用兩個切向的控制噴管使飛船停止旋轉。 每個噴管的位置與軸線距離都是每

17、個噴管的位置與軸線距離都是r=1.5m。兩噴管的噴兩噴管的噴 氣流量恒定，共是氣流量恒定，共是 =2kg/s 。廢氣的噴射速率（相對廢氣的噴射速率（相對 于飛船周邊）于飛船周邊）u=50m/s，并且恒定。問噴管應噴射多并且恒定。問噴管應噴射多 長時間才能使飛船停止旋轉。長時間才能使飛船停止旋轉。 r dm/2 dm/2 u u L0Lg 解：解：把飛船和排出的把飛船和排出的 廢氣看作一個系統(tǒng)，廢氣看作一個系統(tǒng)， 廢氣質量為廢氣質量為m?？梢浴？梢?認為廢氣質量遠小于認為廢氣質量遠小于 飛船的質量飛船的質量， 所以原來系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等所以原來系統(tǒng)對于飛船中心軸的角動量近似地等 于飛船自身的角動量，即于飛船自身的角動量，即 在噴氣過程中，以在噴氣過程中，以dm表示表示dt時間內噴出的氣時間內噴出的氣 體，這些氣體對中心軸的角動量為體，這些氣體對中心軸的角動量為dmr(u+v)，方方 向與飛船的角動量相同。因向與飛船的角動量相同。因u=50m/s遠大于飛船的遠大于飛船的 速率速率v(= r) ，所以此角動量近似地等于所以此角動量近似地等于dmru。在在 整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量整個噴氣過程中噴出廢氣的總的角動量Lg應為應為 0 d