高一數(shù)學(xué)（121-2任意角的三角函數(shù)）

1、1.2 1.2 任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) 1.2.1 1.2.1 任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù) 第二課時(shí)第二課時(shí) 問(wèn)題提出問(wèn)題提出 1.1.設(shè)設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位是一個(gè)任意角，它的終邊與單位 圓交于點(diǎn)圓交于點(diǎn)P P（x x，y y），角），角的三角函數(shù)的三角函數(shù) 是怎樣定義的？是怎樣定義的？ siny cosxcosx cosxtan(0) y x x 2.2.三角函數(shù)在各象限的函數(shù)值符號(hào)分別三角函數(shù)在各象限的函數(shù)值符號(hào)分別 如何？如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. . 3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其數(shù)學(xué)意義如何？其數(shù)學(xué)意

2、義如何？ sin(2)sinkcos(2)cosk tan(2)tank tan(2)tankkZ 4.4.角是一個(gè)幾何概念，同時(shí)角的大小也角是一個(gè)幾何概念，同時(shí)角的大小也 具有數(shù)量特征具有數(shù)量特征. .我們從數(shù)的觀點(diǎn)定義了我們從數(shù)的觀點(diǎn)定義了 三角函數(shù)，如果能從圖形上找出三角函三角函數(shù)，如果能從圖形上找出三角函 數(shù)的幾何意義，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美數(shù)的幾何意義，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美 統(tǒng)一統(tǒng)一. . 終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等. . 知識(shí)探究（一）：知識(shí)探究（一）：正弦線和余弦線正弦線和余弦線 思考思考1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其為第一象限角

3、，其 終邊與單位圓的交點(diǎn)為終邊與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 ， 都是正數(shù)，你能分都是正數(shù)，你能分 別用一條線段表示角別用一條線段表示角的正弦值和余弦的正弦值和余弦 值嗎？值嗎？ sinycosx P P（x x，y y） O O x x y y M |sinMPy |cosOMx 思考思考2 2：若角若角為第三象限角，其終邊為第三象限角，其終邊 與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 ， 都是負(fù)數(shù)，此時(shí)都是負(fù)數(shù)，此時(shí) 角角的正弦值和余弦值分別用哪條線的正弦值和余弦值分別用哪條線 段表示？段表示？ sinycosx |sinMPy |sinMPy

4、 |cosOMxP P（x x，y y） O Ox x y y M M 思考思考3 3：為了簡(jiǎn)化上述表示，我們?cè)O(shè)想為了簡(jiǎn)化上述表示，我們?cè)O(shè)想 將線段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)為始點(diǎn)，另將線段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)為始點(diǎn)，另 一個(gè)為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶一個(gè)為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶 有正負(fù)值符號(hào)有正負(fù)值符號(hào). .根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何 規(guī)定線段的正方向和負(fù)方向？規(guī)定線段的正方向和負(fù)方向？ 規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向 時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向. . 思考思考4 4：規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)，帶有方向的線規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)

5、，帶有方向的線 段，叫做段，叫做有向線段有向線段. .由上分析可知，當(dāng)角由上分析可知，當(dāng)角 為第一、三象限角時(shí)，為第一、三象限角時(shí)，sinsin、coscos可分可分 別用有向線段別用有向線段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin， OM=cosOM=cos，那么當(dāng)角，那么當(dāng)角為第二、四象限角為第二、四象限角 時(shí)，你能檢驗(yàn)這個(gè)表示正確嗎？時(shí)，你能檢驗(yàn)這個(gè)表示正確嗎？ P P（x x，y y） O Ox x y y M M P P（x x，y y） O Ox x y y M M 思考思考5 5：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的終邊與單位圓的交點(diǎn) 為為P P，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P P

6、作作x x軸的垂線，垂足為軸的垂線，垂足為M M，稱，稱 有向線段有向線段MPMP，OMOM分別為角分別為角的的正弦線正弦線和和 余弦線余弦線. .當(dāng)角當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)， 角角的正弦線和余弦線的含義如何？的正弦線和余弦線的含義如何？ P P O Ox x y y M M O Ox x y y P P P P 思考思考6 6：設(shè)設(shè)為銳角，你能根據(jù)正弦線和為銳角，你能根據(jù)正弦線和 余弦線說(shuō)明余弦線說(shuō)明sinsincoscos1 1嗎？嗎？ P P O O x x y y M MPMPOMOMOP=1OP=1 知識(shí)探究（二）：知識(shí)探究（二）：正切線正切線 A A T T 思

7、考思考1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其為第一象限角，其 終邊與單位圓的交點(diǎn)為終邊與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，用哪條有向線段表示是正數(shù)，用哪條有向線段表示 角角的正切值最合適？的正切值最合適？ tan y x P P O Ox x y y M M tan y AT x A T T 思考思考2 2：若角若角為第四象限角，其終邊為第四象限角，其終邊 與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角 的正切值最合適？的正切值最合適？ tan y x P P O O x x y

8、 y M M tan y AT x A A T T A A T T P P O Ox x y y M M 思考思考3 3：若角若角為第二象限角，其終邊為第二象限角，其終邊 與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角 的正切值最合適？的正切值最合適？ tan y x tan y AT x tan y x 思考思考4 4：若角若角為第三象限角，其終邊為第三象限角，其終邊 與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角是正數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角 的正切

9、值最合適？的正切值最合適？ P P O O x x y y M MA A T T A A T T tan y AT x 思考思考5 5：根據(jù)上述分析，你能描述正切線根據(jù)上述分析，你能描述正切線 的幾何特征嗎？的幾何特征嗎？ 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A（1 1，0 0）作單位圓的切線，與角）作單位圓的切線，與角 的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T T，則，則 AT=tanAT=tan. . A A T T O Ox x y y P P A A T T O Ox x y y P P 思考思考6 6：當(dāng)角當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角 的正切線的含義如何？的正切線的含義

10、如何？ si ntan 444 ppp si ntan 444 ppp si ntan 444 ppp si ntan 444 ppp si ntan 444 ppp O Ox x y y P P P P 當(dāng)角當(dāng)角的終邊在的終邊在x x軸上時(shí)，角軸上時(shí)，角的正切線的正切線 是一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角是一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角的終邊在的終邊在y y軸上時(shí)，角軸上時(shí)，角 的正切線不存在的正切線不存在. . 思考7：觀察下列各式 你有什么猜想？ sin 思考思考8 8：對(duì)于不等式對(duì)于不等式 （其中（其中為銳角），你能用數(shù)形結(jié)合為銳角），你能用數(shù)形結(jié)合 思想證明嗎？思想證明嗎？ si ntanaaa O O x x y y

11、P P M M P P1 1P P2 23 2 y= ( )2cos1f aa=-( )2cos1f aa=- 例例3 3 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .( )2cos1f aa=- 1 2 x= O Ox x y y P P2 2 M M P P1 1 1 2 x= P P 小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè) 1.1.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示，三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示， 即用有向線段表示三角函數(shù)值，是今后進(jìn)一即用有向線段表示三角函數(shù)值，是今后進(jìn)一 步研究三角函數(shù)圖象的有效工具步研究三角函數(shù)圖象的有效工具. . 2.2.正弦線的始點(diǎn)隨角的終邊位置的變化而正弦線的始點(diǎn)隨角的終邊位置的變化而 變化，余弦線和正切線的始點(diǎn)都是定點(diǎn)，變化，余弦線和正切線的始點(diǎn)都是定點(diǎn)， 分別是原點(diǎn)分別是原點(diǎn)O