《復(fù)變函數(shù)與積分變換》期末考試試卷及答案[1]

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試題（A）吉林大學(xué)南嶺校區(qū)2011年12月題號(hào)一二三四五六總分得分得分得分一填空題（每小題3分，共計(jì)15分）1的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. ，（ ）；4是 的（ ）極點(diǎn)；5 ，（ ）；得分二選擇題（每小題3分，共計(jì)15分）1解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（ ）；（A） ； （B）；（C）； （D）.2C是正向圓周，如果函數(shù)（ ），則（A） ； （B）； （C）； （D）.3如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在（A）點(diǎn)條件收斂 ； （B）點(diǎn)絕對(duì)收斂；（C）點(diǎn)絕對(duì)收斂； （D）點(diǎn)一定發(fā)散 下列結(jié)論正確的是( )（A）如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)一定解析；(B) 如果在C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，

2、則（C）如果，則函數(shù)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；（D）函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)5下列結(jié)論不正確的是（ ）(A) (B) (C) (D) 得分三按要求完成下列各題（每小題10分，共計(jì)40分）（1）設(shè)是解析函數(shù)，求（2）計(jì)算其中C是正向圓周：；（3）計(jì)算（4）函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類型的奇點(diǎn)？，如果有極點(diǎn)，請(qǐng)指出它的級(jí).得分四、（本題14分）將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)；（1），（2），（3）得分 五（本題10分）用Laplace變換求解常微分方程定解問題 得分六、（本題6分）求的傅立葉變換，并由此證明：復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試題（A）答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一填空題（

3、每小題3分，共計(jì)15分）1的幅角是（）； 2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ），4是 的（ 一級(jí) ）極點(diǎn)；5 ，（-1 ）；二選擇題（每題4分，共24分）1解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（B ）；（A） ； （B）；（C）； （D）.2C是正向圓周，如果函數(shù)（ D ），則（A） ； （B）； （C）； （D）.3如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在（C）（A）點(diǎn)條件收斂 ； （B）點(diǎn)絕對(duì)收斂；（C）點(diǎn)絕對(duì)收斂； （D）點(diǎn)一定發(fā)散 下列結(jié)論正確的是( B )（A）如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)一定解析；(B) 如果在C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，則（C）如果，則函數(shù)在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；（D）函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件

4、是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)5下列結(jié)論不正確的是（ D ） 三按要求完成下列各題（每小題10分，共40分）（1）設(shè)是解析函數(shù)，求解：因?yàn)榻馕?，由C-R條件 ，給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。（2）計(jì)算其中C是正向圓周：解：本題可以用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗展開計(jì)算，僅給出用前者計(jì)算過程因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)，分別以為圓心畫互不相交互不包含的小圓且位于c內(nèi)無論采用那種方法給出公式至少給一半分，其他酌情給分。（3）解：設(shè)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：內(nèi)，由留數(shù)定理 -（5分） -（8分） -（10分）（4）函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類型的奇點(diǎn)？，如果有極點(diǎn)

5、，請(qǐng)指出它的級(jí).解 ：（1）（2）（3）（4）（5）備注：給出全部奇點(diǎn)給5分 ，其他酌情給分。四、（本題14分）將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)；（1），（2），（3）解：（1）當(dāng)而 -6分（2）當(dāng)= -10分（3）當(dāng) -14分每步可以酌情給分。五（本題10分）用Laplace變換求解常微分方程定解問題：解：對(duì)的Laplace變換記做，依據(jù)Laplace變換性質(zhì)有 （5分）整理得 （7分） （10分）六、（6分）求的傅立葉變換，并由此證明：解： -3分 -4分- -5分， -6分 復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試題（B）吉林大學(xué)南嶺校區(qū)2011年12月題號(hào)一二三四五六總分得分一填空題（每小題3分，共計(jì)

6、15分）1的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. =（ ），在復(fù)平面內(nèi)處處解析4是 的（ ）極點(diǎn)；5 ，（ ）；二選擇題（每小題3分，共計(jì)15分）1解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為（ ）；（A）； （B）；（C）； （D）.2C是正向圓周，如果函數(shù)（ ），則（A） ； （B）； （C）； （D）.3如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在（A）點(diǎn)條件收斂 ； （B）點(diǎn)絕對(duì)收斂；（C）點(diǎn)絕對(duì)收斂； （D）點(diǎn)一定發(fā)散 下列結(jié)論正確的是( )（A）如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)一定解析；(B) 如果,其中C復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線, 則在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；（C）函數(shù)在點(diǎn)解析的充分必要條件是它在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)一定可以展開成為的冪級(jí)

7、數(shù)，而且展開式是唯一的；（D）函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)5下列結(jié)論不正確的是（ ）（A）、是復(fù)平面上的多值函數(shù)； 是無界函數(shù)； 是復(fù)平面上的有界函數(shù)；（D）、是周期函數(shù)得分三按要求完成下列各題（每小題8分，共計(jì)50分）（1）設(shè)是解析函數(shù)，且，求（2）計(jì)算其中C是正向圓周；（3）計(jì)算，其中C是正向圓周；（4）利用留數(shù)計(jì)算其中C是正向圓周；（5）函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類型的奇點(diǎn)？，如果有極點(diǎn)，請(qǐng)指出它的級(jí).得分四、（本題12分）將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)；（1），（2），（3）得分 五（本題10分）用Laplace變換求解常微分方程定解問題 得分六、（本題8分

8、）求的傅立葉變換，并由此證明：復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試題簡(jiǎn)答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（B）吉林大學(xué)南嶺校區(qū)2011年12月題號(hào)一二三四五六總分得分得分得分一填空題（每小題3分，共計(jì)15分）1的幅角是（ ）；2.的主值是（ ）；3. ，（ 0 ）；4 ，（ 0 ） ；5 ，（ 0 ）；得分二選擇題（每小題3分，共計(jì)15分）1是解析函數(shù)的實(shí)部，則（ A ）；（A）； （B）；（C）； （D）.2C是正向圓周，如果函數(shù)（ A ），則（A） ； （B）； （C）； （D）.3如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則級(jí)數(shù)在( C )（A）點(diǎn)條件收斂 ； （B）點(diǎn)絕對(duì)收斂；（C）點(diǎn)絕對(duì)收斂； （D）點(diǎn)一定發(fā)散 下列結(jié)論正確的是( C )（

9、A）如果函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)一定解析；(B) 如果,其中C復(fù)平面內(nèi)正向封閉曲線, 則在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；（C）函數(shù)在點(diǎn)解析的充分必要條件是它在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)一定可以展開成為的冪級(jí)數(shù)，而且展開式是唯一的；（D）函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是、在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)5下列結(jié)論不正確的是（ C ）（A）是復(fù)平面上的多值函數(shù)； （B）是無界函數(shù)；（C） 是復(fù)平面上的有界函數(shù)；（D）是周期函數(shù)得分三按要求完成下列各題（每小題10分，共計(jì)40分）（1）求使是解析函數(shù)， 解：因?yàn)榻馕觯蒀-R條件 ，給出C-R條件6分，正確求導(dǎo)給2分，結(jié)果正確2分。（2）其中C是正向圓周；解：本題可以用柯西公式柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗展開計(jì)算，僅給出用前者計(jì)算過程因?yàn)楹瘮?shù)在復(fù)平面內(nèi)只有兩個(gè)奇點(diǎn)，分別以為圓心畫互不相交互不包含的小圓且位于c內(nèi)（3）計(jì)算，其中C是正向圓周； 解：設(shè)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：內(nèi)，由留數(shù)定理 -（5分） （4）函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上有什么類型的奇點(diǎn)？，如果有極點(diǎn)，請(qǐng)指出它的級(jí). 給出全部奇點(diǎn)給5分。其他酌情給分。得分四、（本題14分）將函數(shù)在以下區(qū)域內(nèi)展開成羅朗級(jí)數(shù)；（1），（2），（3）（1），（2），（3）解：（1）當(dāng)而 -6分（2）