第一講向量的線性運(yùn)算專題講解.doc

1、芋+護(hù)故選B第一講向量的概念和線性運(yùn)算內(nèi)容復(fù)習(xí)1、向戢的有關(guān)概念：2、向量的表示方法：有三種3、向量的加法和減法：三角形法則或平行四邊形法則4、實(shí)數(shù)與向量的積：5、兩個(gè)向量共線圧理：6、平而向量的坐標(biāo)運(yùn)算：應(yīng)用舉例題型一平而向量的基本概念例1、 判斷下列各命題是否正確（1）零向量沒(méi)有方向：（錯(cuò)誤）（2）若a =b,則 a = b；（錯(cuò)誤）（3）單位向量都相等：（錯(cuò)誤）（4）向量就是有向線段：（錯(cuò)誤）解法 1: AO = -a, AD= AO+OD = -a + -h,rIII A. E、F三點(diǎn)共線，知喬=幾疋21 而滿足此條件的選擇支只有B,故選B.解法2:如圖，分別過(guò)點(diǎn)D. 0作直線AO、A

2、D的平行 線，兩平行線相交于G點(diǎn)，顯然F是ADOG的重心，EF = LeG = Lae9 所以=山解法 1 知,變式1、D, E, F分別是 ABC的邊AB, BC, CA的中點(diǎn)，則【A】A. AD + BE + CF = 6C AD + CE-CF = O 解：刁萬(wàn)=麗,刁萬(wàn)+短=麗+麗=呢=死，得AD + BE + CF = O,故選A.Ab + BE + CF = AD + DF + CF = AF + CF = O.變式2、設(shè)D、E. F分別是ZVIBC的三邊BC、CA. AB h的點(diǎn)，且PC = 2BD. CE = 2E4,AF = 2FB.則刁萬(wàn)+就+喬與就 （A）A.反向平行B.

3、同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直變式3、在4BC中，AB=c. AC = b若點(diǎn)D滿足BD = 2DC.則AD= ( A )變式4、已知O是/XABC所在平而內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn),R2OA + OB + OC = 0,那么（A）A, AO = ODBf AO = 2ODCt Ad = 3ODDt 2Ad = OD變式5、在4BC中，已知D是43邊上一點(diǎn),211-B一C. 333變式6、在直角ZXABC中，CD是斜邊A3上的高,= AC. ABA.A.C. |5|： = AC CD若AD = 2DB,CD = -CA + ACB ,則2= (A)23則下列等式不成立的是(C )|BC|

4、2 = BA.BC|2_(AC.AB)x(BA.BC)D.B.D.（不IVII、Ilk變式7、如圖，平面內(nèi)的兩條相交直線O片和OP?將該平面分割成四個(gè)部分I、包括邊界).OP = aOP+bOP且點(diǎn)P落在第【II部分.則實(shí)數(shù)小滿足B(A) a0,(C) d0(B) a0, bb0,(D) avO. /?n Im / iv/變式8.已知O, N, P在AABC所在平而內(nèi)，且|鬲| = |而| = |況I，麗+麗+疋=0 ,且PA PB = PB PC = PC PA ,則點(diǎn) O, N, P 依次是 AABC的（C）（A）重心外心垂心 （B）重心外心內(nèi)心 （C）外心重心垂心 （D）外心重心內(nèi)心 （

5、注：三角形的三條髙線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）解析：山網(wǎng) =|廻=匹|知,O為AA3C勺夕卜心而図+麗+疋 =0知，O為ABC的重心;vPAPB = PBePC,.(PA-PC)PB = O,:.CAPB = 0.:.CA 丄丙、 同理，AP丄BC,:. PAABC的垂心，選C. 變式9、已知。是MBC所在平而內(nèi)淀點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足頁(yè)=刃+ 2（需+筆皿0,+”則P點(diǎn)的軌跡一立通過(guò)AABC的（B）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心例3、已知點(diǎn)P在AB上，O是AB外任意一點(diǎn)，求證：OP = AOA + jl/OB ,且2 + /= l（2,/z e 7?）.變式1 已知向量牛勺不共線，實(shí)數(shù)

6、x?滿足（3x4刃匂+（2x3刃勺=幺+%2，則2x-y的值是9變式2、設(shè)竹,勺不共線的非零向量，且“=弓一2勺上=+3勺（1）求證：匕乙可作為一組基底;用幣表示向fic = 3ej e2:A當(dāng)X = -|時(shí)，V的取值范圍是_（3）若4勺一毘=兄+ /7，求入“的值.變式3、如圖，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB, AC于不同的兩點(diǎn)M, N ,若AB = mAM , AC = nAN ,則m+n的值為, 變式4.如圖，OM/AB,點(diǎn)P在由射線OM,線段03及48的延長(zhǎng)線困成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且OP = xOA + yOB，則x的取值范圍是（一0）變式5、題型三向

7、量的代數(shù)運(yùn)算 例2、 在正六邊形ABCDEF中，AB = a, AF = k求向MAC AD, AE .答案:例3、對(duì)于向雖:乩b. 0和實(shí)數(shù)2,下列命題中真命題是(B )A.若ab = 0 則 = 0或方=6B. 若歷=6,則兄=0或7 = 0AC = 2a + b,AD = 2(a + b), AE = a+ 21)C. 若疋=滬,則a =b 或a =D.若ab =dc 9 則b = c題型三平而向量的坐標(biāo)運(yùn)算例4、已知a = (-),OA = a-b,OB = a+b.ABO是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求乙解: OA 丄 OB. :.OA-OB = 0,即才-/?2=0又I “ 1

8、=1= 1x2 + y2 = J a-b 1=1 a + b I,a = 0設(shè) 5 = (a y),則$1_x +2Ty = 0解得5 = (f,/)，Sc =x(y/)2 T題型四深化與綜合例5、已知五邊形ABCDE, M、N、P、Q分別是AB. CD、BC、DE的中點(diǎn)，K、H分別是MN和PQ 的中點(diǎn)，求證：KH平行且等于-AE.4 1 . 1 OA + OB OC + OD解：取平而內(nèi)一點(diǎn)。，則飛（皿仆）右（=+r-）= W(OA + OB + OC + OD)oS=l(op+oe)=丄(12+212)=丄(ob+oc+od+oe).22224II KH = OHOK = (OE-OA)

9、= - AE.:. KH 平行且等于一 AE.444例6、已知A (4, 0), B (4, 4), C (2, 6),求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)P(x, y則OP = (x, yl OB = (4,4),.莎與西共線,4x - 4y = 0即x = y 又 vCP = (x _ 2, y _ 6) = (2, -6)且可與C5共線,z. -6(x _ 2) _ 2(y _ 6) = 0 O由解得x=y = 3,. P(3,3)例 7、已知 A (2, 3), B (5, 4), C (7, 10),若 AT = AB + AAC(A e R).（1）試求兄為何值時(shí)，P點(diǎn)在直線y =

10、x上：（2）求2為何值時(shí)，P點(diǎn)在第三象限內(nèi).解：（1）設(shè) P（x,y）,貝I喬=（ 2,，一3）,麗 + 幾疋=（3 + 5入1 + 7久）x=5+52y=4+72又P點(diǎn)在直線y = x上，從而(X2,y 3) = (3 + 5Q, 1 + 7幾),.JA_2 = 3 + 5/ty-3=l+72.-.5 + 52 = 4+72得幾=丄，即A =-時(shí)，P點(diǎn)在直線y = x上.2 2（2）若P點(diǎn)在第三象限內(nèi)，則5 + 5204 + 721 b I,則 bB、若 I “ 1=1 力，則 a = bC、若a=b.則方與厶共線2、下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（B）A、零向量長(zhǎng)度為零C、零向量與任何向量平行D、若U則

11、方一定不與厶共線B、零向量是沒(méi)有方向的D、零向量的方向是任意的3、如果乙是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（D）(A) a =1(B) a b = (C) ab1解：由單位向量的泄義即得a = b = 9故選（D）4、在四邊形ABCD中，若AC = AB + AD,則四邊形ABCD的形狀一泄是(A)(A)平行四邊形(B)菱形(C)矩形(D)正方形解：由于AC = AB + AD, :.ACAB = AD.即BC = AD .:.線段BC與線段AD平行且相等，:.ABCD為平行四邊形，選(A).5、若平行四邊形的3個(gè)頂點(diǎn)分別是(4, 2), (5, 7), (-3, 4),則第4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)不

12、可能是(C ) (A) (12, 5)(B) (-2, 9)(C) (3, 7)(D) (-4, -1)解：估算：畫草圖知符合條件的點(diǎn)有三個(gè)，這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形三邊的中點(diǎn)分別為已知的三點(diǎn).由于 符合條件的三點(diǎn)分別位于第一象限、第二象限和第三象限，則排除(B)、(D),而符合條件的點(diǎn)第一象 限只有一個(gè)點(diǎn)，且位于點(diǎn)(5, 7)的右側(cè)，則該點(diǎn)的橫坐標(biāo)要大于5, 排除(A),選(C).6、已知點(diǎn)6八B不在同-條直線上，點(diǎn)P為該平面上-點(diǎn)，且麗=型嚴(yán)，則()(B)點(diǎn)P在線段的反向延長(zhǎng)線上(D)點(diǎn)P不在直線AB上點(diǎn)P在線段AB上點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上(A)(C)III 解：由于 2OP = 3OA-OB,

13、 ：.2OP-2OA = OA-OB ,即 2AP = BA. :.AP = -BA,則點(diǎn) P 在線 段AB的反向延長(zhǎng)線上，選(B).7、已知6 E、F分別是三角形ABC的邊長(zhǎng)的邊CA.AB的中點(diǎn)，且BC = a 1 1 1.1 1，.則EF = _cb.BE = u + b、CF = a + b, AD + BE + CF = 0中正 確的等式2 2 2 2 2的個(gè)數(shù)為()(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4解:-EF = -CB=-,又a+b+c=0 :. EF =- = -c + -b ,即是錯(cuò)誤的；2 2 2 2 2由于BE = BC + CE = BC + -CA =a + -b

14、,即是正確的：同理喬 = +丄c,而a+b+c=09則2 2 2a亦卜中，即是正確的；同理+!8、在平行四邊形ABCD中，AB = aAD + BE + CF =-(a+b+c) = 0t 即是正確的.選(C). 2CB = bf O為AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)M任BD上,BM =-OD 3則向用s方表示為； AA/用a,方表示為皿跖施甲解甌氣師而H押,朗=丄麗=丄(麗一麗)=丄(說(shuō)一而)=士6 6 6 69. (07安徽文13)在四而體O ABC中，OA = a. OB = b, OC = c9 D為3C的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則丟皿，b, c表示答案：卯弓+護(hù)10、三個(gè)力F2,代的大小相等，且它們的

15、合力為0,則力佗與佗的夾角為解：過(guò)點(diǎn)0作向量西、OB. oc使之分別與力耳，F(xiàn).厲相等，由于F八F1 血的合力為0,則以O(shè) C、OB為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線OD與Q4的長(zhǎng)度相等,均BF2, F.的大小相等,A |o4| = |og| = |oc| ,則三角形OCD和三角形OBD為正三角形，ZCOB = 120 即任總兩個(gè)力的夾角均為120D11已知分別是三角形ABC的邊長(zhǎng)的邊BC. CA.AB的中點(diǎn)，且BC = a , CA = b 9 AB = c .一 1 1 一 1 1 1 ，, 一則EF = -c一一b ,BE = a + b, CF = 一一a + -b.AD + BE + CF

16、= 0中正確的等式的2 2 2 2 2個(gè)數(shù)為.解：VEF = -CB=又a+b+c=0. :.EF =- = -c + -b,即是錯(cuò)誤的；2 2 2 2 2由于BE = BC + CE = BC + -CA =a + -b,即是正確的：同理喬 = +丄c,而“+c=0,則2 2 2c=Tb , CF= -a+-b ，即是正確的：同理 AD= c + -a , A2 2 2AD + BE + CF =-(a+b+c) = 0；即是正確的.212、已知OA=a9 OB = b.點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S,點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)8的對(duì)稱點(diǎn)為N,則向量顧 用解：由于A為SM中點(diǎn)，B為SN中點(diǎn)，：.OA = -(OS + OM), OB = -(OS + ON),兩式相減得 2 2 I I OB_OA = _(ON_OM), MN = 2(OB-OA),:MN = 2b 2a 2也可直接根據(jù)中位線左理顧 =2AB=2b 一加13、用向量方法證明：三角形的中位線泄理.證明：解：由于 DE = CE CD,而C = CB CD = -CA2 2：/DE = -CB-CA = -(CBCA) = -AB.2 2 2 2則DE/AB,且DE = A