第3章 線性控制系統(tǒng)的

1、第3章 線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的重要性 系統(tǒng)仿真分析必須已知數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)設(shè)計(jì)必須已知數(shù)學(xué)模型 本課程數(shù)學(xué)模型是基礎(chǔ) 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的獲取 建模方法：從已知的物理規(guī)律出發(fā)，用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式建 立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 辨識(shí)方法：由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 本章主要內(nèi)容 線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLABMATLAB表示 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 線性系統(tǒng)的模型降階 線性系統(tǒng)的模型辨識(shí) 本章要點(diǎn)簡介 回顧：傳遞函數(shù) 零初始條件下，線性系統(tǒng)響應(yīng)（即輸出）量的拉普拉斯變換 與激勵(lì)（即輸入）量的拉普拉斯變換之比。記作G（s）Y （s）U（s），其中

2、Y（s）、U（s)分別為輸出量和輸入量 的拉普拉斯變換。 傳遞函數(shù)是描述線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的基本數(shù)學(xué)工具之一，經(jīng) 典控制理論的主要研究方法，頻率響應(yīng)法和根軌跡法，都是 建立在傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)之上。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與描述其運(yùn)動(dòng) 規(guī)律的微分方程是對(duì)應(yīng)的。 可根據(jù)組成系統(tǒng)各單元的傳遞函數(shù)和它們之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系導(dǎo) 出整體系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并用它分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性、穩(wěn)定 性，或根據(jù)給定要求綜合控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)滿意的控制器。以 傳遞函數(shù)為工具分析和綜合控制系統(tǒng)的方法稱為頻域法。它 不但是經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)，而且在以時(shí)域方法為基礎(chǔ)的現(xiàn) 代控制理論發(fā)展過程中，也不斷發(fā)展形成了多變量頻域控制 理論，成為研究多變量控制系統(tǒng)的

3、有力工具。傳遞函數(shù)中的 復(fù)變量s在實(shí)部為零、虛部為角頻率時(shí)就是頻率響應(yīng)。 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示 -傳遞函數(shù)模型 (1) 線性系統(tǒng)的微分方程 Laplace變換 MATLAB： num=b1, b2, , bm , bm+1; den=a1, a2, , an , an+1; G=tf (num, den); 1 121 1 121 ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) nn nn nn mm mm mm d y tdy tdy t aaaay t dtdtdt d u tdu tdu t bbbbu t dtdtdt 1 121 1 121 ( )

4、 mm mm nn nn b sb sb sb G s a sa sa sa 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示 -傳遞函數(shù)模型 (2) 例31 傳遞函數(shù)模型 num=12 24 12 20; den=2 4 6 2 2; G=tf(num,den); 還可以： s=tf(s); G=(12*s3+24*s2+12*s+20)/(2*s4+4*s3+6*s2+2*s+2); 32 432 12241220 ( ) 24622 sss G s ssss 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示 -傳遞函數(shù)模型 (3) 例32 傳遞函數(shù) s=tf(s); G=3*(s2+3)

5、/(s+2)3/(s2+2*s+1)/(s2+5) 例33 傳遞函數(shù) s=tf(s); G=(s3+2*s2+3*s+4)/(s3*(s+2)*(s+5)2+5) 應(yīng)該根據(jù)給出傳遞函數(shù)形式選擇輸入方法 2 322 3(3) ( ) (2) (21)(5) s G s ssss 32 32 234 ( ) (2)(5)5 sss G s sss 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示 -傳遞函數(shù)模型 (4) MATLAB的tf對(duì)象還允許攜帶其他屬性，set(tf)命令列 出 例33-4 延遲傳遞函數(shù) G.ioDelay=3 或者 set(G,ioDelay,3) 假設(shè)復(fù)域變量為p,則

6、G.Variable=p 或者 set(G,Variable,p) 傳遞函數(shù)參數(shù)提?。?num, den=tfdata(G,v) 或者 num=G.numi,j; den=G.deni,j;%第i輸入對(duì)第j輸出間的 傳函 3 ( ) s G s e 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示 -線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型 (1) 狀態(tài)方程模型 p路輸入、q路輸出、n個(gè)狀態(tài)量、fi(.)和gi(.)可以是線 性或非線性函數(shù) 時(shí)變模型： 線性時(shí)不變模型： 121 121 (,),1, (,),1, iinp iinp xf x xx uuin yg x xx uuiq ( )( ) ( )( )

7、 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) x tA t x tB t u t y tC t x tD t u t ( )( )( ) ( )( )( ) x tAx tBu t y tCx tDu t 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示 -線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型 (2) 線性時(shí)不變模型的MATLAB描述 G=ss(A,B,C,D); A矩陣為nn方陣，B為np矩陣，C為qn矩陣，D為qp矩 陣 例3-5 1217.216.811.91.50.2 68.68.4610.3 ( )( )( ) 68.78.4621 5.98.68.3600.5 20.500.8 ( )( ) 0

8、.30.30.21 x tx tu t y tx t 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示 -線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型 (3) A=-12, -17.2, -16.8, -11.9; 6.8, 6, 8.4, 6; 6, 8.7, 8.4, 6; - 5.9, -8.6, -8.3, -6 ; B=1.5, 0.2; 1, 0.3; 2, 1; 0, 0.5; C=2, 0.5, 0, 0.8; 0.3, 0.3, 0.2, 1; D=zeros(2, 2); G=ss (A, B, C, D); 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與 MATLAB 表示 -線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型 (4)

9、 帶時(shí)間延遲的狀態(tài)方程 數(shù)學(xué)模型 MATLAB輸入語句： ( )( )() ( )( )(),( )() i io x tAx tBu t z tCx tDu ty tz t io =ss( , , , , InputDelay,OutputDelay, ) GA B C D 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與 MATLAB 表示 -線性系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型(1) 零極點(diǎn)模型 是因式型傳遞函數(shù)模型 MATLAB表示: z=z1;z2;zm; p=p1;p2;pn; G=zpk(z,p,k); 12 12 ()()() ( ) ()()() m n szszsz G sK spspsp 3.1 連續(xù)線

10、性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與 MATLAB 表示 -線性系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型(2) 例3-5 零極點(diǎn)模型 MATLAB輸入方法 P=-1;-2;-3;-4; Z=-5;-2+2i;-2+2i; G=zpk(Z,P,6); 另一種輸入方法 s=zpk(s,); G=6*(s+5)*(s+2+2i)*(s+2-2i)/ (s+1)*(s+2)*(s+3)*(s+4) 6(5)(22 )(22 ) ( ) (4)(3)(2)(1) ssj sj G s ssss +- = + 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示 -多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣模型(1) 傳遞函數(shù)矩陣 為第i輸出對(duì)第j輸入的傳遞函數(shù) 可以先

11、定義子傳遞函數(shù)，再由矩陣定義G(s) 11121 21222 12 ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) p p qqqp gsgsgs gsgsgs G s gsgsgs 輊 犏 犏 犏 = 犏 犏 犏 犏 臌 L L MMOM L ( ) ij gs 3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示 -多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣模型(2) 例37 多變量模型 方法1： g11=tf(0.1134,1.78 4.48 1,ioDelay,0.72);g12=tf(0.924, 2.07 1); g21=tf(0.3378, 0.361 1.09 1,ioDelay,

12、 0.3); g22=tf(-0.318,2.93 1,ioDealy, 1.29);G=g11, g12; g21,g22; 方法2： G=tf(0.1134,1.78 4.48 1), tf(0.924, 2.07 1); tf(0.3378, 0.361 1.09 1), tf(-0.318,2.93 1); G.ioDelay=0.72 0; 0.3 1.29; 0.72 2 0.31.29 2 0.11340.924 2.0711.784.481 ( ) 0.33780.318 2.9310.3611.091 s ss e sss G s ee sss Z變換（Z-transform

13、ation），是對(duì)離散序列進(jìn)行 的一種數(shù)學(xué)變換。常用以求線性時(shí)不變差分方程的 解。 它在離散時(shí)間系統(tǒng)中的地位，如同拉普拉斯變換在 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的地位。 離散時(shí)間信號(hào)的Z變換已成為分析線性時(shí)不變離散 時(shí)間系統(tǒng)問題的重要工具。在數(shù)字信號(hào)處理、計(jì)算 機(jī)控制系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。 3.2 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 -離散傳遞函數(shù)模型(1) 一般單變量離散系統(tǒng) 差分方程： Z變換代替Laplace變換： MATLAB表示：num=b0,b1, ,bn-1,bn; (采樣周期T) den=a1,a2, ,an,an+1; H=tf(num, den, Ts,T); 算子輸入方法：z=tf(z, T)

14、 121 011 ()(1) (1) () ()(1) (1) () nn nn a y kTa y kTa y knTay kn T b u kTbu kTbu knTb u kn T 1 01 1 121 ( ) nn n nn n b zb zb H z a za za 3.2 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 -離散傳遞函數(shù)模型(2) 例 38 離散傳遞函數(shù)，采樣周期T=0.1秒 輸入方法1： z=tf(z,0.1); H=(6*z2-0.6*z-0.12)/(z4-z3+0.25*z-0.125); 輸入方法2： num=6 -0.6 -0.12; den=1 -1 0.25 0.25 -

15、0.125; H=tf(num, den, Ts,0.1); 2 432 60.60.12 ( ) 0.250.250.125 zz H z zzzz 3.2 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 -離散傳遞函數(shù)模型(3) 離散系統(tǒng)的時(shí)間延遲模型 延遲是采樣周期的整數(shù)倍 MATLAB輸入方法： H.ioDelay=m 或者 set(H, ioDelay,m) 1 01 1 121 ( ) nn mn nn n b zb zb H zz a za za 3.2 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 -離散傳遞函數(shù)模型(4) 濾波器型離散模型 記 ，則 MATLAB表示方法： num=bn, bn-1, , b1,

16、b0; den=an+1, an, an-1 , , a1; H=tf(num, den, Ts,T,Variable, q); 11 1110 11 121 () nn nn nn nn b zbzb zb H z aza za za 1 qz 11 110 11 121 ( ) nn nn nn nn b qbqb zb H q aza za za 3.2 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 -離散傳遞函數(shù)模型(5) 例 39 離線系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型 采樣周期T=0.1秒 z=1/2;1/2+j/2;1/2-j/2; p=-1/2;-1/3;-1/4;-1/5; H=zpk(z,p,1/20,Ts,

17、0.1) (1/2)(1/2/2)(1/2/2) ( ) 120(1/2)(1/3)(1/4)(1/5) zzjzj H z zzzz 3.2 線性離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 -離散狀態(tài)方程模型 一般的離散狀態(tài)方程 MATLAB表示： H=ss(F, G, C, D, Ts,T); 帶有延遲的離散系統(tǒng)狀態(tài)方程 MATLAB表示：H=ss(F, G, C, D, Ts, T, ioDelay, m); (1) ()() ()()() x kTFx kTGu kT y kTCx kTDu kT (1) ()() ()()() x kTFx kTGu km T y kTCx kTDu km T 3.3

18、方框圖描述系統(tǒng)的化簡 浙江大學(xué)電氣學(xué)院系統(tǒng)系 包哲靜 前面介紹的傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程等都是單環(huán)節(jié)模型 實(shí)際系統(tǒng)為若干個(gè)子模型互連的 如何通過等效變化進(jìn)行化簡 主要內(nèi)容 控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu) 節(jié)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)的等效變換 復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(1) 系統(tǒng)串、并聯(lián) 串聯(lián)傳遞函數(shù)： 并聯(lián)傳遞函數(shù)： 21 ( )( )( )G sG s G s G1(s)G2(s) u(t)y(t) G1(s) G2(s) u(t)y(t) (a) 串聯(lián)結(jié)構(gòu)(b) 并聯(lián)結(jié)構(gòu) 12 ( )( )( )G sG sG s 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)

19、(2) 串聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 并聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 1111 2212221 1 21221 2 0 xAxB u xB CAxB D x yD CCD Du x 1111 2222 1 1212 2 0 0 () xAxB u xAxB x yCCDD u x 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(3) 若一個(gè)模型為傳遞函數(shù)、另一個(gè)為狀態(tài)方程，如何 處理？ 【將二者變換成同樣結(jié)構(gòu)再計(jì)算！】 基于MATLAB的計(jì)算方法 串聯(lián) G=G2*G1 (多變量系統(tǒng)注意次序) 并聯(lián) G=G2+G1 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(4) 反饋連接 正反饋 負(fù)反饋 1

20、 12 ( ) ( ) 1( )( ) G s G s G s G s 1 12 ( ) ( ) 1( )( ) G s G s G s G s G1(s) G2(s) u(t)y(t) G1(s) G2(s) u(t)y(t) (a) 正反饋結(jié)構(gòu) (a) 負(fù)反饋結(jié)構(gòu) 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(5) 負(fù)反饋連接的數(shù)學(xué)模型： 其中， 若 ，則簡化為 111211211 2212212221 1 1121 2 ,() xAB ZD CB ZCxB Z u xB ZCAB D ZCxB D Z x yZCD ZCD Z u x 1 12 ()ZID D 12 0DD 1

21、11211 22122 1 1 2 0 , 0 xAB CxB u xB CAx x yC x 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(6) 反饋連接的MATLAB求解： G=feedback(G1,G2); %負(fù)反饋 G=feedback(G1,G2,1); %正反饋 feedback()函數(shù)僅能用于G1,G2為具體參數(shù)指定的模型，通過 適當(dāng)擴(kuò)展，可以處理符號(hào)運(yùn)算(置于sym目錄下)： function H=feedback(G1,G2,key) if nargin=2 key=-1 end H=G1/(sym(1)-key*G1*G2); H=simple(H); 3.3

22、方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(7) 例3-10 s=tf(s); G=(12*s3+24*s2+12*s+20)/(2*s4+4*s3+6*s2+2*s+2); Gc=(5*s+3)/s; H=1000/(s+1000); GG=feedback(G*Gc,H) 32 432 12241220 ( ) 24622 sss G s ssss 53 ( ) c s G s s Gc(s) H(s) R(s) Y(s) G(s) 1000 ( ) 1000 H s s 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(8) 例3-11 受控對(duì)象狀態(tài)方程 控制器為對(duì)角陣 A=-

23、12,-17.2,-16.8,-11.9; 6,8.6,8.4,6;6,8.7,8.4,6;-5.9 -8.6 -8.3 - 6; B=-1.5,0.2;1,0.3;2,1;0,0.5; C=2,0.5,0,0.8;0.3,0.3,0.2,1; D=zeros(2,2);G=ss(A,B,C,D); s=tf(s); g11=(2*s+1)/s; g22=(5*s+2)/s; Gc=g11 0;0 g22; H=eye(2); GG=feedback(G*Gc,H) 1217.216.811.91.52 68.68.4610.3 ( )( )( ) 68.78.4621 5.98.68.360

24、0.5 20.500.8 ( )( ) 030.30.21 x tx tu t y tx t (21)/0 ( ) 0(52)/ c ss G s ss 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -結(jié)點(diǎn)移動(dòng)的等效變換(1) 考慮模型 需要將A點(diǎn)等效移至輸出端Y(s) G1(s) H(s) R(s) Y(s) G2(s)G3(s)G4(s) H2(s) H3(s) A 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -結(jié)點(diǎn)移動(dòng)的等效變換(2) 節(jié)點(diǎn)移動(dòng)等效變換 G1(s) G2(s)/G1(s) BA G1(s) G2(s) G1(s) BA G1(s) G2(s) BA G1(s) G2(s) BA 節(jié)點(diǎn)前移 節(jié)點(diǎn)后移 3

25、.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化(1) 例3-12 原系統(tǒng)等效變換為 syms G1 G2 G3 G4 H1 H2 H3 %定義各個(gè)子模塊為符號(hào)變量 c1=feedback(G4*G3,H3); %最內(nèi)層閉環(huán) c2=feedback(c1*G2, H2/G4); %第二層閉環(huán) G=feedback(c2*G1,H1); pretty(G) %總系統(tǒng)模型 G1(s) H(s) R(s) Y(s) G2(s)G3(s)G4(s) H2(s)/ G4(s) H3(s) 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化(2) 例3-13 電機(jī)拖動(dòng)模型 輸入r(t)單獨(dú)激勵(lì) syms

26、Ka Kr c1 c2 c Ra T1 T2 Km Kb s Ga=feedback(1/Ra/(T1*s+1)*Km*1/c/(T2*s+1),Kb); G1=c1*feedback(Ka*Kr*Ga/s,c2); G1=collect(G1,s); a 1 1/ 1 R T s 2 1/ 1 c T skr c2 r(t)n(t) 1/s kb c1ka km M(t) 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡 -復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化(3) M(t)單獨(dú)輸入 G2=-feedback(1/c/(T2*s+1)/s,Km/Ra/(T1*s+1)*(Kb*s+c2*Ka*Kr); G2=collect(si

27、mplify(G2),s); G=G1 G2; kr n(t) ka M(t) 1/s 2 1/ 1 c T s skbkm a 1 1/ 1 R T s c2 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 前面介紹的各種模型之間的相互等效變換 主要內(nèi)容 連續(xù)模型和離散模型的相互轉(zhuǎn)換 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取 控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn) 狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn) 傳遞函數(shù)與符號(hào)表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)換 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -連續(xù)模型與離散模型的相互轉(zhuǎn)換(1) 連續(xù)模型離散化 連續(xù)狀態(tài)方程的解析解： 采樣周期T，選擇 得到離散模型 記 則離散狀態(tài)方程模型 0 0 ()() ( )(0)( ) t A t tA t t x tex

28、eBud 0 ,(1)tkT tkT (1) (1) (1)()( ) kT ATAkT kT xkTex kTeBud 0 (1)()() T ATA xkTex kTedBu kT 0 , T ATA FeGedB (1) ()()x kTFx kTGu kT 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -連續(xù)模型與離散模型的相互轉(zhuǎn)換(2) MATLAB函數(shù)直接求解： 還可采用Tustin變換(雙線性變換)： 例314 雙輸入模型，T=0.1 2(1)/ (1)szT z 1217.216.811.91.50.2 68.68.4610.3 ( )( )( ) 68.78.4621 5.98.68.3600

29、.5 20.500.8 ( ) 0.30.30.21 k x tx tu t yx t 1 c2d(,)GG T G:傳遞函數(shù)或狀 態(tài)方程模型，還 可處理延遲環(huán)節(jié) 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -連續(xù)模型與離散模型的相互轉(zhuǎn)換(3) A=-12, -17.2,-16.8,-11.9;6,8.6,8.4,6;6,8.7,8.4,6;-5.9,-8.6,-8.3,-6; B=1.5,0.2;1,0.3;2,1;0,0.5; C=2,0.5,0,0.8;0.3,0.3,0.2,1; D=zeros(2,2); G=ss(A,B,C,D); T=0.1; Gd=c2d(G,T); 得到模型： 1 0.14

30、9961.64811.60761.140.184230.12723 0.573541.8820.80180.573540.266840.10362 0.576450.836151.80590.576450.36790.17401 0.566450.82610.795870.42360.165650.023263 kk xx 20.500.8 0.30.30.21 k kk u yx 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -連續(xù)模型與離散模型的相互轉(zhuǎn)換(4) 例315 時(shí)間延遲系統(tǒng)的離散化(采樣周期T=0.1秒) s=tf(s); G=1/(s+2)3; G.ioDelay=2; 分別用零階保持器和Tus

31、tin算法進(jìn)行離散化 G1=c2d(G,0.1) 零階保持器變換 G2=c2d(G,0.1,tustin) %Tustin變換 2 3 1 ( ) (2) s G se s 2 20 32 0.00014360.00049460.0001064 ( ) 2.4562.0110.5488 ZOH zz Gzz zzz 5325 20 32 9.391*100.00028170.00028179.391*10 ( ) 2.4552.0080.5477 ZOH zzz Gzz zzz 僅從數(shù)值 結(jié)果無法 判斷兩個(gè) 模型好壞 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -連續(xù)模型與離散模型的相互轉(zhuǎn)換(5) 離散模型連

32、續(xù)化 對(duì)變換 ，進(jìn)行逆變換 Tustin反變換： MATLAB求解： 例316 對(duì)前面的連續(xù)狀態(tài)方程模型離散化，對(duì)結(jié)果再連續(xù)化 A=-12, -17.2,-16.8,-11.9;6,8.6,8.4,6;6,8.7,8.4,6;-5.9,-8.6,-8.3,-6; B=1.5,0.2;1,0.3;2,1;0,0.5; C=2,0.5,0,0.8;0.3,0.3,0.2,1; D=zeros(2,2); G=ss(A,B,C,D); T=0.1; Gd=c2d(G,T); G1=d2c(Gd) 0 , T ATA FeGe d B 1 1 ln,()AF BFIAG T (1/2)(1/2)zsT

33、sT 1 d2c()GG 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取(1) 已知狀態(tài)方程 兩端Laplace變換 則 得到傳遞函數(shù) 難點(diǎn)是求取 ，基于Fadeev-Fadeeva算法能得到較為精 確的解 由零極點(diǎn)模型，直接展開分子分母，得到傳遞函數(shù)模型 用MATLAB求解： ( )( )( ) ( )( )( ) x tAx tBu t y tCx tDu t ( )( )( ) ( )( )( ) sIX sAX sBU s Y sCX sDU s 1 ( )()( )X ssIABU s 11 ( )( )( )()G sY s UsC sIABD 1 ()sIA 1 tf ()GG

34、 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取(2) 例3-17 多變量模型，求傳遞函數(shù)矩陣 A=-12, -17.2,-16.8,-11.9;6,8.6,8.4,6;6,8.7,8.4,6;-5.9,-8.6,-8.3,-6; B=1.5,0.2;1,0.3;2,1;0,0.5; C=2,0.5,0,0.8;0.3,0.3,0.2,1; D=zeros(2,2); G=ss(A,B,C,D); G1=tf(G); 得到傳遞函數(shù)矩陣 3232 432432 3232 43243 3.5144.120.690.83720.9564.139.1610.374 0.350.050.00240.3

35、50.050.0024 ( ) 1.1536.326.2250.13390.8515.712.6190.04559 0.350.050.00240.3 ssssss ssssssss G s ssssss ssssss 2 50.050.0024ss 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)(1) 由傳遞函數(shù)到狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換 不同狀態(tài)變量的選擇，結(jié)果不唯一 默認(rèn)狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)，MATLAB函數(shù)： G1=ss(G) 適用于有時(shí)間延遲的、離散的、多變量的系統(tǒng) 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)(2) 例3-18 連續(xù)多變量模型 g11=tf(0.1134,1.78 4.

36、48 1, ioDelay,0.72); g12=tf(0.924,2.07 1); g22=tf(-0.318,2.93 1, ioDelay, 1.29); g21=tf(0.3378,0.361 1.09 1, ioDelay, 0.3); G=g11, g12;g21, g22; G1=ss(G); 0.72 2 0.31.29 2 0.11340.924 2.0711.784.481 ( ) 0.33780.318 2.9310.3611.091 s ss e sss G s ee sss 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)(3) 得到狀態(tài)方程模型 ioDelay矩

37、陣 1 2 2.51690.280900000.250 20000000 (0.3)003.01940.69252000.250 ( )( ) ( )00400000 00000.48309001 000000.341300.25 00.12742000.446380 ( ) 0000.935730 u t x tx t u t z t 1 2 (0.42) ( ),( ) (1.29)0.43413 z t x ty t z t 0.420 01.29 T 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)(4) 該模型可以轉(zhuǎn)換回傳遞函數(shù)矩陣 得出的轉(zhuǎn)換結(jié)果 21 tf()GG 0.72

38、2 2 0.31.29 2 0.063710.4464 0.48312.5170.5618 0.93750.1085 0.34133.0192.77 s ss e sss G ee sss 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)(5) 均衡實(shí)現(xiàn) 為了將各個(gè)狀態(tài)變量在整個(gè)控制系統(tǒng)中的重要程度表示出 來，需要進(jìn)一步變換 用MATLAB求解： 得出均衡實(shí)現(xiàn)的模型 得出排序的Gram矩陣 b , , balreal( )Gg TG 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn)(1) 例319 觀察單變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型 若不進(jìn)行變換，則不能發(fā)現(xiàn)該模型有哪些特點(diǎn) 求取零極點(diǎn)模型： G=

39、tf(5 50 155 150,1 11 41 61 30); zpk(G) %得到零極點(diǎn)模型 零極點(diǎn)模型 32 432 550155150 ( ) 11416130 sss G s ssss 5(3)(2)(5) ( ) (5)(3)(2)(1) sss G s ssss 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn)(2) 零極點(diǎn)對(duì)消后，得到一階模型 完全對(duì)消相同零極點(diǎn)后的模型，又稱為最小實(shí)現(xiàn) 問題：若系統(tǒng)模型為多變量模型，如何獲得最小實(shí)現(xiàn)？ MATLAB中最小實(shí)現(xiàn)的方法： 5 ( ) 1 r G s s m minreal( )GG 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn)(3

40、) 例3-20多變量模型 不能直接看出是否是最小實(shí)現(xiàn) 61.5249.564 62.52512.555 ( )( )( )50.250.53.59.7534 10.5011.502 2112331 20.750.51.52.75 ( )( ) 01.251.51.52.25 x tx tu t y tx t 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn)(4) A=-6,-1.5,2,4,9.5;-6,-2.5,2,5,12.5;-5,0.25,-0.5,3.5,9.75;-1,0.5,0,- 1,1.5;-2,-1,1,2,3 ; B=6,4;5,5;3,4;0,2;3,1; C=2,0.

41、75,-0.5,-1.5,-2.75;0,-1.25,1.5,1.5,2.25; D=zeros(2,2); G=ss(A,B,C,D); G1=minreal(G) 2.41251.17290.170226.48434.0942 ( )0.739460.123330.37256( )5.15173.7888( ) 0.650671.67661.71083.2275.5572 0.842350.0737980.048876 ( )( ) 0.250850.361290.46861 x tx tu t y tx t 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換 -傳遞函數(shù)與符號(hào)表達(dá)式相互轉(zhuǎn)換 傳遞函數(shù)到符號(hào)表達(dá)式

42、 function P=tf2sym(G) P=poly2sym(G.num1,s)/poly2sym(G.den1,s); 表達(dá)式到傳遞函數(shù) function G=sym2tf(P) n,d=numden(P); G=tf(sym2poly(n),sym2poly(d); 置于sym目錄下 符號(hào)表達(dá)式必須是系數(shù) 已知的有理函數(shù)形式 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 與最小實(shí)現(xiàn)不同 用低階模型近似高階模型 最早由Edward J. Davison提出(1966) 本節(jié)主要內(nèi)容 Pad與Routh降階算法 時(shí)間延遲模型的Pad近似 帶有延遲的最優(yōu)降階算法 狀態(tài)空間的降階算法 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -

43、Pad與Routh降階算法(1) 原始模型： 尋求降階模尋求降階模 型型： ，其中 假設(shè) 展開原模型 其中時(shí)間矩量 可以遞推求出 1 121 / 1 121 ( ) rr r r k kk kk ss Gs sss 1 121 1 121 ( ) mm mm nn nn bsb sb sb G s a sa sa sa 1 1 k kn 2 012 ( )G scc sc s i c 1 01,11 0 ,1,2, i kikijnij j cbcbc ai 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -Pad與Routh降階算法(2) 若已知狀態(tài)方程模型，則 時(shí)間距量的MATLAB求解： function M

44、=timmomt(G,k) G=ss(G); C=G.c; B=G.b; iA=inv(G.a); iA1=iA; M=zeros(1,k); for i=1:k, M(i)=-C*iA1*B; iA1=iA*iA1; end Pad降階思想：保留前r+k+1時(shí)間距量 ! (1) ! 0 1( ) ,0,1, ! i i s d G s cCABi ids i ii i i i s c s s iii ii i c sss G(s)=C(SI-A)-1B+D 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -Pad與Routh降階算法(3) 對(duì)比系數(shù)，則 10 10 111 0 10 211 0 1211 0 0

45、0 r rk rkrk r rkrk r rkrk r k rkk rrr c cc ccc ccc ccc cccc 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -Pad與Routh降階算法(4) 這樣可以得出 11 121 121 . . rrrk rrrk k rk rrr k ccc ccc cccc 01 10 1011 001 0 r kr rrk r c cc ccc 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -Pad與Routh降階算法(5) Pad降階求解函數(shù) function G_r=pademod(G_Sys,r,k) c=timmomt(G_Sys,r+k+1); G_r=pade_app(c,r,k)

46、; function Gr=pade_app(c,r,k) w=-c(r+2:r+k+1); vv=c(r+1:-1:1);zeros(k-1-r,1); W=rot90(hankel(c(r+k:-1:r+1),vv); V=rot90(hankel(c(r:-1:1); x=1 (Ww); dred=x(k+1:-1:1)/x(k+1); y=c(1) x(2:r+1)*V+c(2:r+1); nred=y(r+1:-1:1)/x(k+1); Gr=tf(nred,dred); 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -Pad與Routh降階算法(6) 例3-21原始模型 Pad近似 G=tf(1 7

47、11 5,1 7 21 37 30); Gr=pademod(G,1,2); 得到結(jié)果 32 432 7115 ( ) 7213730 sss G s ssss 2 0.85440.6957 ( ) 1.0914.174 s G s ss 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -Pad與Routh降階算法(7) Pad降階算法并不能保持原系統(tǒng)的穩(wěn)定性 例3-22 原始模型 求取零極點(diǎn)模型 num=0.067 0.6 1.5 2.016 1.55 0.6; den=0.067 0.7 3 6.67 7.93 4.63 1; G=tf(num,den);zpk(G) 得到穩(wěn)定的零極點(diǎn)模型 5432 65432

48、 0.0670.61.52.0161.550.6 ( ) 0.0670.736.677.934.631 sssss G s ssssss 2 2 (5.92)(1.221)(0.897)(0.91711.381) ( ) (2.805)(1.856)(1.025)(0.501)(4.2615.582) sssss G s ssssss 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -Pad與Routh降階算法(8) Pad近似 Gr=pademod(G,1,3); zpk(Gr) 得到不穩(wěn)定的降階模型 Pad降階方法不能保證降階模型的穩(wěn)定性 2 0.6328(0.7695) ( ) (2.598)(1.1080.

49、3123) r s G s sss 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -Pad與Routh降階算法(9) Routh算法(Hutton提出的)（較煩瑣，從略） function G_r=routhmod(G_Sys,nr) num=G_Sys.num1;den=G_Sys.den1;n0=length(den);n1=length(num); a1=den(end:-1:1);b1=num(end:-1:1) zeros(1,n0-n1-1); for k=1:n0-1, k1=k+2;alpha(k)=a1(k)/a1(k+1);beta(k)=b1(k)/a1(k+1); for i=k1:2:n

50、0-1 a1(i)=a1(i)-alpha(k)*a1(i+1);b1(i)=b1(i)-beta(k)*a1(i+1); end,end nn=;dd=1;nn1=beta(1);dd1=alpha(1),1;nred=nn1;nred=dd1; for i=2:nr, nred=alpha(i)*nn1,beta(i);dred=alpha(i)*dd1,0; n0=length(dd); n1=length(dred); nred=nred+zeros(1,n1-n0),nn; dred=dred+zeros(1,n1-n0),dd; nn=nn1; dd=dd1;nn1=nred;dd

51、1=dred; End G_r=tf(nred(nr:-1:1),dred(end:-1:1); 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -Pad與Routh降階算法(10) Routh算法中由于利用了Routh因子的近似方法 對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)總能得到漸進(jìn)穩(wěn)定的降階模型 例3-23 仍考慮穩(wěn)定模型 num=0.067 0.6 1.5 2.016 1.55 0.6; den=0.067 0.7 3 6.67 7.93 4.63 1; G=tf(num,den);Gr=zpk(routhmod(G,3) 得到穩(wěn)定的降階模型： 5432 65432 0.0670.61.52.0161.550.6 ( ) 0.0670

52、.736.677.934.631 sssss G s ssssss 2 r 2 0.37792(0.94720.3423) ( ) (0.4658)(1.150.463) ss G s sss Routh算法得出的降 階模型分子階次總是 比分母階次少1 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -時(shí)間延遲模型的Pad近似(1) 假設(shè)，純時(shí)間延遲項(xiàng) 的k階傳遞函數(shù)矩陣為 MATLAB近似函數(shù) s e 231 23 , 23 23 1/2()()( 1)() ( ) 1/2()()() nk n k k n spspsps Ps spspsps , pade( , )n dk 缺點(diǎn)：分子和分 母的階次相同 3.5

53、 線性系統(tǒng)模型降階 -時(shí)間延遲模型的Pad近似(2) 純時(shí)間延遲項(xiàng)可用Maclaurin級(jí)數(shù)近似： 編寫MATLAB函數(shù) function n,d=paderm(tau,r,k) c(1)=1; for i=2:r+k+1, c(i)=-c(i-1)*tau/(i-1);end Gr=pade_app(c,r,k); n=Gr.num1(k-r+1:end); d=Gr.den1; 其中r/k任意選擇 2233 111 1 1!2!3! s esss 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -時(shí)間延遲模型的Pad近似(3) 例3-24 純延遲模型 MATLAB求解 tau=1; n1,d1=pade(tau

54、,3);G1=tf(n1,d1) n2,d2=paderm(tau,1,3);G2=tf(n2,d2) 兩種方法得到結(jié)果 ( ) s G se 32 1 32 1260120 ( ) 1260120 sss G s sss 1 32 624 ( ) 61824 s G s sss 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -時(shí)間延遲模型的Pad近似(4) 例3-25 已知帶有延遲的線性模型 通過以下命令得到近似模型 cd=1;tau=2; for i=1:5, cd(i+1)=-tau*cd(i)/i; end; cd G=tf(3 1,1,3,3,1); c=timmomt(G,5); c_hat=conv

55、(c,cd); Gr=zpk(pade_app(c_hat,1,3); 2 3 31 ( ) (1) s s G se s 2 0.20122(0.04545) ( ) (0.04546)(0.40270.2012) s G s sss 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -帶有時(shí)間延遲的次最優(yōu)降階算法(1) 降階模型的降階效果 誤差定義 ISE準(zhǔn)則 ( ) Ts G s e / ( ) s r m Gs e ( )r t( )e t 2222 00 ( )( )( ) h h t dtw t e t dt 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -帶有時(shí)間延遲的次最優(yōu)降階算法(2) 原模型 降階模型 降階誤差定義

56、1 11 1 11 ( ) n TsTsnn nn nn b sbsb G s ee sa sasa 11 / 1 11 ( ) r ssrr r m mm mm ss Gs ee sss / ( ) ( )( ) ( ) Tss r m E sG s eGs eR s 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -帶有時(shí)間延遲的次最優(yōu)降階算法(3) 參數(shù)向量 誤差 MATLAB實(shí)現(xiàn)（略） 調(diào)用格式 111 (, ) mr 22 0 min( )( , )Jw t e tdt 0 opt_app( , ,key,) r GG r mG 若降階模型或原模型中有延遲環(huán) 節(jié)，要對(duì)延遲采用Pad 3.5 線性系統(tǒng)模型降

57、階 -帶有時(shí)間延遲的次最優(yōu)降階算法(4) 例3-26 對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行降階 num=68.6131,80.3787,67.087,29.9339,8.8818,1; den=0.0462,3.5338,16.5609,28.4472,21.7611,7.6194,1; Gr=zpk(opt_app(tf(num,den),2,3,0) 得出降階模型為 2345 23456 1 8.881829.933967.08780.378768.6131 ( ) 1 7.619421.761128.447216.56093.53380.0462 sssss G s ssssss 2 2 1523.6536(

58、0.34920.2482) ( ) (74.85)(3.8715.052) r ss G s sss 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -帶有時(shí)間延遲的次最優(yōu)降階算法(5) 例3-27 已知高階模型 den=conv(conv(conv(conv(5,1,2,1),0.7,1),1,1),0.4,1); G=tf(432,den);Gr=zpk(opt_app(G,0,2,1) 得到降階模型 432 ( ) (51)(21)(0.71)(1)(0.41) G s sssss 1.5 r 31.4907 ( ) (0.3283)(0.222) s G se ss 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -狀態(tài)方程模型

59、的降階算法(1) 均衡實(shí)現(xiàn)模型的降階算法 MATLAB求解函數(shù) Gr=modred(G,elim) 11112111 12 22122222 , xAAxBx uyCCDu xAAxBx 11 1111222211112222 11 12222112222 ()() ()() xAA A AxBA A B u yCC A AxDC A B u 銷去狀態(tài)變量x2 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -狀態(tài)方程模型的降階算法(2) 例3-28 G=tf(1,7,24,24),1,10,35,50,24); G_b,g=balreal(ss(G) 得到Gram向量g=0.5179,0.0309,0.0124,

60、0.0006T 銷去第3，4狀態(tài)變量 G_r=modred(G_b,3，4)；zpk(G_r) 得到 r 0.025974(4.307)(22.36) ( ) (1.078)(2.319) ss G s ss 3.5 線性系統(tǒng)模型降階 -狀態(tài)方程模型的降階算法(2) 基于Schur均衡實(shí)現(xiàn)模型的降階算法 MATLAB求解函數(shù)：Gr=schmr(G, 1, k) 例3-29 高階傳遞函數(shù) 思路：先轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程，再降階 num=68.6131,80.3787,67.087,29.9339,8.8818,1; den=0.0462,3.5338,16.5609,28.4472,21.7611,7.