專題01 《平面向量》知識點一遍過（原卷版）-期末挑重點之2020-2021學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)（蘇教版2019）

1、專題01 平面向量一、向量的基本概念1.向量的概念：既有 又有 的量，注意 和 的區(qū)別.向量常用 來表示.注意：不能說向量就是 ，為什么 提示：向量可以平移.2.零向量：長度為 的向量叫零向量，記作： ，規(guī)定：零向量的方向是 的；3.單位向量：長度為 的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是 ）；4.相等向量：長度 等且方向 的兩個向量叫 向量，相等向量有 性；5.平行向量（也叫共線向量）：方向 或 的非零向量、叫做 向量，記作： ，規(guī)定： 和任何向量平行.注：相等向量一定是 向量，但共線向量不一定 ；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量 ，但兩條直線平行不包含

2、兩條直線重合；平行向量無傳遞性！（因為有)；三點共線 共線.6.相反向量：長度 方向 的向量叫做相反向量.的相反向量記作 .二、向量的表示方法1.幾何表示：用帶 的有 表示，如，注意 在前，終點 ；2.符號表示：用一個 來表示，如，等；3.坐標(biāo)表示：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量 為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為 ，稱 為向量的坐標(biāo)， 叫做向量的坐標(biāo)表示.結(jié)論：如果向量的起點在 ，那么向量的坐標(biāo)與 坐標(biāo)相同.三、平面向量的基本定理定理 設(shè)同一平面內(nèi)的一組基底向量，是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實數(shù)對，使 .（1）定理核心：；（2）從左向右看，是對向量的分解，且表達式

3、唯一；反之，是對向量的合成.（3）向量的正交分解：當(dāng)時，就說為對向量的正交分解四、實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度和方向規(guī)定如下：（1）模：；（2）方向：當(dāng) 時，的方向與 的方向 ，當(dāng) 時，的方向與 的方向 ，當(dāng)時， ，注意： .五、平面向量的數(shù)量積1.兩個向量的夾角：對于非零向量，作，則把 稱為向量，的夾角.當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ；當(dāng) 時，垂直.2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量 叫做與的 （或內(nèi)積或點積），記作：，即 .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是 .注：數(shù)量積是一個 ，不再是一個 .3.向量在向量上的投影： ，它是一個實數(shù)，但不一定

4、大于0.4.的幾何意義： 的投影的積.5.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，其夾角為，則：（1） ；（2）當(dāng)、同向時， ，特別地， ； 是、同向的充要分條件；當(dāng)、反向時， ，是、反向的充要分條件；當(dāng)為銳角時， ，且、不同向， 是為銳角的必要不充分條件；當(dāng)為鈍角時， ，且、不反向； 是為鈍角的必要不充分條件.（3）非零向量，夾角的計算公式： ； .六、向量的運算1.幾何運算（1）向量加法運算法則： 法則； 法則.運算形式：若，則向量叫做與的和，即；注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.（2）向量的減法運算法則： 法則.運算形式：若，則，即由 的終點指向 的終點.注：減向量與被減向量的 相同.2

5、.坐標(biāo)運算：設(shè)，則（1）向量的加減法運算： ， .（2）實數(shù)與向量的積： .（3）若，則 ，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的 減去 .（4）平面向量數(shù)量積： .（5）向量的模： .（6）兩點間的距離：若，則 .七、向量的運算律1.交換律：，；2.結(jié)合律：，；3.分配律：，.說明：（1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么八、向量平行(共線)的充要條件 .九、向量垂直的充要條件 .特別地.十、向量中一些常用的結(jié)論1.一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為 ，要注意運用；2.模的性質(zhì)： .（1）右邊等號成立條件：同向或中有 ；（2）左邊等號成立條件：反向或中有 ；（3）當(dāng)不共線 .3.三角形重心公式在中，若，則其重心的坐標(biāo)為