一次函數(shù)與二元一次方程教案及教案說明

1、一次函數(shù)與二元一次方程(組)教材：人民教育出版社義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書八年級(jí)上冊(cè)教學(xué)目標(biāo)：1理解一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系2通過對(duì)實(shí)際問題的探討和研究，進(jìn)一步學(xué)習(xí)利用函數(shù)、方程(組)、不等式等知識(shí)解決問題的方法3在探究一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系的過程中，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)探究問題，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想4通過現(xiàn)實(shí)化的實(shí)際問題背景，反映祖國科技和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展教學(xué)重點(diǎn)：一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：用函數(shù)觀點(diǎn)看待問題教學(xué)方式：教師啟發(fā)講授和學(xué)生自主探索相結(jié)合教學(xué)手段：計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)教學(xué)過程：一創(chuàng)設(shè)情境，提出問題(一)回顧在七年級(jí)下冊(cè)二

2、元一次方程組一章曾經(jīng)做過的一個(gè)題目，展示學(xué)生的做法題目：根據(jù)一家商店的賬目記錄，某天賣出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同樣的價(jià)格賣出同樣的52支牙刷和28盒牙膏，收入518元這個(gè)記錄是否有誤？為什么？解：設(shè)每支牙刷元，每盒牙膏元，則化簡得因?yàn)閮蓚€(gè)方程等號(hào)左邊相同，而等號(hào)右邊，所以方程組無解所以記錄有誤教師提問：什么是方程組的解？方程組無解應(yīng)該如何理解呢？設(shè)計(jì)意圖：過去學(xué)生遇到的絕大多數(shù)二元一次方程組都有唯一的一個(gè)解，而這個(gè)方程組無解，從而引導(dǎo)學(xué)生思考什么樣的方程組才有解，有解的方程組是否都是唯一解，什么樣的方程組又無解呢？由此使學(xué)生在認(rèn)知上形成沖突，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知的需求(二

3、)活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)任意寫出一個(gè)二元一次方程組，并解這個(gè)方程組，然后考考自己的同桌，看他能否迅速判斷它是否有解接著教師請(qǐng)幾位同學(xué)說出自己寫的方程組，并迅速判斷其解的情況設(shè)計(jì)意圖：激起學(xué)生的好奇心并進(jìn)行個(gè)人嘗試，從而產(chǎn)生探索新知的強(qiáng)烈愿望二循序漸進(jìn)，學(xué)習(xí)新知 (一)通過圖片、視頻介紹京津城際高速鐵路設(shè)計(jì)意圖：既創(chuàng)設(shè)了接下來將貫穿整節(jié)課的問題情景，也讓學(xué)生感受到祖國經(jīng)濟(jì)和科技的發(fā)展 (二)探索一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系題目一：在從北京到天津全長120千米的高速鐵路上，現(xiàn)有一列平均速度為300千米/時(shí)的測試列車從北京開出分鐘后，距離天津千米請(qǐng)問：(1) 列車開出5分鐘，距離天津的路程是多少？(2) 列車

4、開出10分鐘，距離天津的路程是多少？(3) 列車開出20分鐘，距離天津的路程是多少？(4) 列車開出多少分鐘，抵達(dá)天津？(5) 請(qǐng)寫出一個(gè)含有和的等式，并解釋其含義設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)畫演示，讓學(xué)生初步了解和為兩個(gè)變量；通過將第(1)至第(4)問的答案填入表格，直觀反映了對(duì)于在一定范圍內(nèi)的每個(gè)值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，從而說明是的函數(shù)；再由第(5)問得出二元一次方程和一次函數(shù)表示了同一個(gè)等量關(guān)系，同時(shí)可以變形化為，也就是說二元一次方程對(duì)應(yīng)著一次函數(shù)，這個(gè)思考過程也是知識(shí)轉(zhuǎn)化的過程. 請(qǐng)學(xué)生畫出這個(gè)實(shí)際問題中的一次函數(shù)()的圖象，并在圖象上標(biāo)出表示時(shí)，的點(diǎn)P(千米)(分鐘)P教師提問：請(qǐng)以點(diǎn)P(

5、10,70)為例思考，說明一次函數(shù)()圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與二元一次方程的解有什么關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：通過研究圖象上的一個(gè)具體的點(diǎn)P (10,70)，引導(dǎo)學(xué)生討論得出一次函數(shù)()圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)是二元一次方程的解，反之也說明以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在所畫圖象上教師提問：如果不考慮本題實(shí)際的背景，那么一次函數(shù)自變量的取值范圍應(yīng)是一切實(shí)數(shù)，圖象是一條直線，那么直線上任意一點(diǎn)Q的坐標(biāo)與二元一次方程的解有什么關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出二元一次方程對(duì)應(yīng)著一次函數(shù)，也對(duì)應(yīng)著直線教師提問：剛才我們研究了一個(gè)特殊的二元一次方程與一次函數(shù)及其圖象的關(guān)系，那么是否任意一個(gè)二元一次方程(a、b、c為常數(shù)，且)都與一次函

6、數(shù)有上述對(duì)應(yīng)關(guān)系？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系：(1)任意二元一次方程(a、b、c為常數(shù)，且)都可以化為，所以任意一個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，也對(duì)應(yīng)著一條直線(2)以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在一條直線上，這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足這個(gè)二元一次方程(三) 探索一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系(分鐘)(千米)mnO題目二：在京津高速城際列車的某次會(huì)車試驗(yàn)中，有一列平均速度為300千米/時(shí)的A次測試列車從北京開往天津， 4分鐘后，一列時(shí)速相同的B次列車從天津出發(fā)開往北京，設(shè)A次列車出發(fā)后運(yùn)行的時(shí)間為x(單位:分鐘)，則：(1)A次列車距天津的路程y(單位:千米)關(guān)于x

7、的函數(shù)表達(dá)式為_(自變量x的取值范圍是_)；(2)B次列車距天津的路程y(單位:千米)關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為_(自變量x的取值范圍是_)(1)請(qǐng)?jiān)谕粋€(gè)坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象(2)如果兩圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)思考交點(diǎn)坐標(biāo)的含義是什么？設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)特殊圖象交點(diǎn)坐標(biāo)含義的討論，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩方面重新認(rèn)識(shí)二元一次方程組的解nm教師提問：如果不考慮實(shí)際背景，將一次函數(shù)和的自變量取值范圍擴(kuò)展到一切實(shí)數(shù)，圖象延伸為直線，剛才總結(jié)的交點(diǎn)坐標(biāo)的含義還成立嗎？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系：(1)構(gòu)成方程組的兩個(gè)二元一次方程，對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，也對(duì)應(yīng)兩條直線(2)從“形”的

8、角度看，二元一次方程組的解相當(dāng)于兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；從“數(shù)”的角度看，二元一次方程組的解可以理解為當(dāng)兩個(gè)一次函數(shù)的函數(shù)值相等時(shí)自變量的取值，以及這個(gè)相等的函數(shù)值三剖析例題，鞏固新知例題：按計(jì)劃，京津城際鐵路上將同時(shí)開行平均速度為300千米/時(shí)的高速城際列車和途經(jīng)天津的180千米/時(shí)的普通動(dòng)車兩種列車，同時(shí)鐵路部門規(guī)定，高速鐵路上同線同向行駛的兩列車之間的安全距離不小于15千米在某次試運(yùn)行中，有一列普通動(dòng)車從北京開出17分鐘后，另一列高速城際列車才從北京發(fā)車，為了保證兩車間的安全距離，高速城際列車的司機(jī)至多在發(fā)車多少分鐘后應(yīng)制動(dòng)減速(不考慮車長，以及列車速度變化的過程)預(yù)案一：用一元一次方程求解

9、；預(yù)案二：用一元一次不等式求解；預(yù)案三：用函數(shù)觀點(diǎn)，即通過求圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解 教師應(yīng)注意學(xué)生解答的完備性，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生在運(yùn)用熟悉的方程、不等式解法的基礎(chǔ)上嘗試從函數(shù)的角度用新方法解決設(shè)計(jì)意圖：本題依然延續(xù)了京津城際鐵路的大背景，既幫助學(xué)生鞏固對(duì)一次方程(組)、不等式和一次函數(shù)的關(guān)系的理解，又培養(yǎng)學(xué)生從多角度解決問題的能力這個(gè)環(huán)節(jié)由學(xué)生自主探索、合作交流的形式完成，使學(xué)生獲得一些分析和解決問題的方法和經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展其思維能力四解決問題，加深認(rèn)識(shí) 1引導(dǎo)學(xué)生重新思考剛開始上課時(shí)提出的問題如何迅速判斷方程組解的情況設(shè)計(jì)意圖：通過判斷方程組解的情況，更加深了學(xué)生對(duì)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系的理解

10、，同時(shí)體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 2課下探索：(1)探索是否存在一個(gè)二元一次方程組有且只有兩個(gè)解，如果存在，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)這樣的方程組；如果不存在，請(qǐng)說明為什么？(2)探索關(guān)于、的二元一次方程組(A1、A2、B1、B2均不為0)的解有幾種情況，分別應(yīng)滿足什么條件，為什么？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在課下繼續(xù)思考二元一次方程組解的情況與同一平面內(nèi)兩條直線不同位置之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而進(jìn)一步理解方程組解的圖形解釋，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想五歸納小結(jié)，布置作業(yè) 1讓學(xué)生充分討論，積極發(fā)言，引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生梳理所學(xué)內(nèi)容及方法，用框圖的形式加深對(duì)一次函數(shù)和一次方程關(guān)系的理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想二元

11、一次方程二元一次方程的解(無數(shù)個(gè))一次函數(shù)直線直線上的點(diǎn)(無數(shù)個(gè))坐 標(biāo) 2課后作業(yè)必做作業(yè)：教科書習(xí)題14.3第5、9題選做作業(yè)：1教科書習(xí)題14.3第11題2探索是否存在一個(gè)二元一次方程組有且只有兩個(gè)解，如果存在，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)這樣的方程組；如果不存在，請(qǐng)說明為什么3探索關(guān)于、的二元一次方程組(A1、A2、B1、B2均不為0)的解有幾種情況，分別應(yīng)滿足什么條件，為什么？設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了分層教學(xué)的思想必做作業(yè)較為基礎(chǔ)，為使所有同學(xué)能熟練運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決問題；選做作業(yè)有較強(qiáng)的開放性，為學(xué)有余力的同學(xué)提供進(jìn)一步思考的平臺(tái)一次函數(shù)與二元一次方程(組)教案說明一 授課內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)及教學(xué)目標(biāo)的

12、定位義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出：“應(yīng)注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，使數(shù)學(xué)教育面向全體學(xué)生，提高他們的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力。在教學(xué)中，應(yīng)注重讓學(xué)生在實(shí)際背景中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，應(yīng)加強(qiáng)方程、不等式、函數(shù)等內(nèi)容的聯(lián)系，介紹有關(guān)代數(shù)內(nèi)容的幾何背景?！边@部分內(nèi)容建立在學(xué)生對(duì)一元一次方程、二元一次方程組和一元一次不等式等以一次(線性)運(yùn)算為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型的已有認(rèn)識(shí)上，從變化和對(duì)應(yīng)的角度，對(duì)一次運(yùn)算進(jìn)行更深入的討論。從函數(shù)的角度對(duì)一次方程(組)、不等式重新進(jìn)行了分析，這種再認(rèn)識(shí)不是原來水平上的回顧復(fù)習(xí)，而是站在更高起點(diǎn)上的動(dòng)態(tài)分析，是用一次函數(shù)將上述三個(gè)不同的數(shù)學(xué)對(duì)象統(tǒng)

13、一起來認(rèn)識(shí)，發(fā)揮函數(shù)對(duì)相關(guān)內(nèi)容的統(tǒng)領(lǐng)作用。通過學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容，不僅可以加深對(duì)方程(組)、不等式等數(shù)學(xué)對(duì)象的理解，而且可以加大對(duì)相關(guān)內(nèi)容間的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)間橫向與縱向的融會(huì)貫通，提高靈活分析和解決問題的能力。本節(jié)課是在前兩節(jié)課已經(jīng)學(xué)完了一次函數(shù)、一元一次方程與一元一次不等式的聯(lián)系之后，對(duì)一次函數(shù)與二元一次方程(組)關(guān)系的探索，是對(duì)一次函數(shù)及其相關(guān)內(nèi)容更深入更全面的學(xué)習(xí)，也是對(duì)這部分內(nèi)容的一個(gè)提升和總結(jié)?；谝陨蠈?duì)教學(xué)內(nèi)容的理解，結(jié)合我所教學(xué)生的特點(diǎn)和他們已有的知識(shí)水平，我確定了本課的三維教學(xué)目標(biāo)。二 學(xué)習(xí)本內(nèi)容的基礎(chǔ)以及今后的用途在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次

14、方程組、一元一次不等式、一次函數(shù)等內(nèi)容，因?yàn)楸竟?jié)課是這部分內(nèi)容的第三課時(shí)，前兩節(jié)課，已經(jīng)研究了一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)對(duì)一次方程和不等式重新進(jìn)行了認(rèn)識(shí)，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度加深了對(duì)一元一次方程的解和一元一次不等式的解集的理解。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課繼續(xù)探索一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系。通過本課的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生理解一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系，進(jìn)一步掌握利用函數(shù)、方程(組)解決問題的方法，滲透轉(zhuǎn)化意識(shí)。學(xué)完本節(jié)課后，學(xué)生能夠較為初步地從運(yùn)動(dòng)變化的角度，用函數(shù)的觀點(diǎn)加深對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的方程(組)、不等式等內(nèi)容的認(rèn)識(shí)，發(fā)展并完善其相互聯(lián)系的知識(shí)體系。同

15、時(shí)在本課的學(xué)習(xí)過程中，也涉及了對(duì)二元一次方程組解的情況與同一平面內(nèi)兩條直線不同位置之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的討論，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，為高中解析幾何的學(xué)習(xí)做一些鋪墊。三 教學(xué)診斷分析因?yàn)閷W(xué)生對(duì)一元一次方程、二元一次方程組和一元一次不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)非常熟悉，也可以比較靈活地利用它們解決問題，所以部分學(xué)生會(huì)對(duì)函數(shù)解法產(chǎn)生抵觸心理，覺得是舍近求遠(yuǎn)，認(rèn)為沒有必要。再加上對(duì)剛剛學(xué)過的一次函數(shù)理解得還不夠透徹，因而缺乏學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的熱情，或者只是機(jī)械地記憶結(jié)論，而沒有真正理解函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系，所以這就需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)上下功夫，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這部分內(nèi)容并非是在重復(fù)已會(huì)的知識(shí)，而是站在更高的

16、角度去重新認(rèn)識(shí)它們，是為了建立數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而真正產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需求。四 本節(jié)課的教法特點(diǎn)以及教學(xué)效果分析本節(jié)課從情境引入，到對(duì)函數(shù)和方程(組)關(guān)系的探求，直至運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決問題，都立足于學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步發(fā)展提高，努力激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、討論、總結(jié)，最終形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在這個(gè)過程中學(xué)生逐漸理清舊知和新知之間的聯(lián)系和區(qū)別。在學(xué)生逐漸掌握新知后，教師又為其設(shè)置新的思考問題，繼續(xù)推動(dòng)學(xué)生的探索過程。在整節(jié)課的學(xué)習(xí)中，始終安排由特殊到一般的探索活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，仔細(xì)觀察，大膽猜想，敢于創(chuàng)新與應(yīng)用，從多角度進(jìn)行歸納總結(jié)。在引入部分，教師力

17、求能吸引住學(xué)生，通過一個(gè)問題，使學(xué)生形成認(rèn)知沖突，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知的需求；通過一個(gè)活動(dòng)，激起了學(xué)生的好奇心，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知的強(qiáng)烈愿望。在學(xué)習(xí)新知部分，教師又為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)貫穿整節(jié)課的問題情境，使學(xué)生始終在現(xiàn)實(shí)化的環(huán)境中進(jìn)行學(xué)習(xí)，最重要的是本課在探索一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系時(shí)，沒有僅僅停留在形式上的轉(zhuǎn)化，而是通過設(shè)置一個(gè)個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受變量，感受函數(shù)關(guān)系，從而自然實(shí)現(xiàn)了從方程(組)到函數(shù)的轉(zhuǎn)化，突出了函數(shù)思想。在剖析例題部分，教師鼓勵(lì)學(xué)生自主探究、合作交流，并引導(dǎo)其從不同的角度解決問題，使學(xué)生獲得了一些研究問題的方法和經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了思維能力。最后，教師又設(shè)計(jì)了“解決問題，加深認(rèn)識(shí)”的環(huán)節(jié)，既解決了引入部分提出的問題，又引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考二元一次方程組解的情況與同一平面內(nèi)兩條直線不同位置之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而進(jìn)一步加深了對(duì)方程組解的圖形解釋的理解，切身感受到了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，為將來高中解析幾何的學(xué)習(xí)做了一些鋪墊。 本節(jié)課通過設(shè)置問題鏈和探究活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，通過自主探究、合作交流、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納總