大學物理第五章西安交通大學出版社PPT優(yōu)秀課件

1、第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 1 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 2 一、剛體的概念一、剛體的概念 在力的作用下在力的作用下, 物體的大小和形狀都保持不物體的大小和形狀都保持不 變，稱為變，稱為剛體剛體。 剛體是特殊的質點系剛體是特殊的質點系, 是理想化物理模型。是理想化物理模型。 二、二、剛體的平動和定軸轉動剛體的平動和定軸轉動 1. 剛體的平動剛體的平動 剛體運動時剛體運動時,在剛體內所作的任一條直線都在剛體內所作的任一條直線都 始終保持和自身平行。始終保持和自身平行。 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 3 各點運動狀態(tài)一樣，如：

2、各點運動狀態(tài)一樣，如： 都相同。都相同。a 、 v 剛體的平動可歸結為質點運動。剛體的平動可歸結為質點運動。 剛體的平面運動剛體的平面運動 特點特點: 剛體的一般運動可看作：剛體的一般運動可看作： 隨質心的平動隨質心的平動 + 繞質心的轉動的合成。繞質心的轉動的合成。 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 4 轉動：分定軸轉動和非定軸轉動轉動：分定軸轉動和非定軸轉動. 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 5 2. 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 )(t角坐標角坐標 描述剛體繞定軸轉動的角量描述剛體繞定軸轉動的角量 剛體內各點都繞同一直線剛體內各點都繞同一直線 (轉軸

3、轉軸)作圓周運動作圓周運動,而剛體轉動而剛體轉動 時時, 轉軸固定不動。轉軸固定不動。 td d 角速度角速度 2 2 d d d d tt 角加速度角加速度 z P 角位移角位移 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 6 剛體定軸轉動的特點：剛體定軸轉動的特點： rv 2 ra n r t a d dv a , v 離轉軸不同距離質點的線量離轉軸不同距離質點的線量 不同。不同。 由于由于 z P (1)剛體上每一質點均作圓周剛體上每一質點均作圓周 運動，運動圓面為轉動平面；運動，運動圓面為轉動平面； (2) 任一質點運動的角量任一質點運動的角量 相同。相同。 , , 第第5章章

4、 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 7 3. 剛體繞定軸的勻速和勻變速轉動剛體繞定軸的勻速和勻變速轉動 剛體繞定軸轉動時，若剛體繞定軸轉動時，若 ， 剛體繞定軸勻速轉動。剛體繞定軸勻速轉動。 0,常數 常數若若 ，剛體繞定軸的勻變速轉動。，剛體繞定軸的勻變速轉動。 )(2 2 1 0 2 0 2 2 00 0 tt t 勻速轉動勻速轉動 t 0 勻變速轉動勻變速轉動 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 8 4. 繞定軸轉動剛體內各點的速度和加速度繞定軸轉動剛體內各點的速度和加速度 rv 2 ran r t a d dv 任意點都繞同一軸作圓周運動任意點都繞同一軸作圓周運動

5、, 且且 ， 都相同。都相同。 M , 剛體剛體 z O rM v 角量與線量關系角量與線量關系 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 9 角速度角速度 的方向由右手定則確定。的方向由右手定則確定。 規(guī)定：規(guī)定： 逆時針轉動逆時針轉動, 0, 沿轉軸向上沿轉軸向上, 0 。 順時針轉動順時針轉動, 0, 沿轉軸向下沿轉軸向下, 0 0 設設1 ,2 同向，同向，= 2 -1 。 加速轉動加速轉動 2 角加速度角加速度與角速度與角速度同號時加速同號時加速 1 2 0 0 加速轉動加速轉動 1 0 m2, 繩與滑輪間無相對滑動。繩與滑輪間無相對滑動。 設輪軸光滑無摩擦設輪軸光滑無摩擦

6、, 滑輪的初角速度為零?；喌某踅撬俣葹榱?。 求求:滑輪轉動角速度隨時間滑輪轉動角速度隨時間 變化的規(guī)律。變化的規(guī)律。 1 m 2 m m r 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 34 解解:以以m1 ,m2 ,m 為研究對象為研究對象,受力分析受力分析 1111 amTgm 2222 amgmT 2 21 2 1 mrJrTrT raaa 21 t 0 滑輪滑輪 m： m1： m2： 1 m 2 m m r gm 1 1 T gm2 2 T 1 T 2 T rmmm gtmm 2 1 21 21 聯立各式聯立各式 解得解得： 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩

7、 35 例例3一根長為一根長為l、質量為、質量為 m 的均勻細直棒的均勻細直棒, 其一其一 端有一固定的光滑水平軸端有一固定的光滑水平軸, 因而可以在豎直平因而可以在豎直平 面內轉動。最初棒靜止在豎直位置面內轉動。最初棒靜止在豎直位置, 由于微小由于微小 擾動擾動, 在重力作用下由在重力作用下由 靜止開始轉動。靜止開始轉動。 求求:它由此下擺角它由此下擺角 時的時的 角加速度。角加速度。 P l /2 O l 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 36 解解: 棒下擺為加速過程棒下擺為加速過程, 外力矩外力矩 為重力對為重力對O的力矩。重力作用在的力矩。重力作用在 棒重心棒重心,

8、 當棒處在下擺當棒處在下擺 角時角時, 重重 力矩大小為：力矩大小為： 棒繞軸棒繞軸O的轉動慣量為：的轉動慣量為： 2 3 1 mlJ J sin 2 1 mglM P l /2 O l l g ml mgl J M 2 sin3 3 1 sin 2 1 2 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 37 一、一、 定軸轉動剛體的動能定軸轉動剛體的動能 z Ok r k v k m Nk mmmm, 21 Nk rrrr , ,21 Nk vvvv , 21 的動能為的動能為 k m 2 2 1 kkk mEv 2 2 2 1 kkr m P 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動

9、量矩動量矩 38 2 2 2 1 kkk rmEE 2 2 2 1 kk rm 2 2 1 J 繞定軸轉動剛體的動能等于剛體對轉軸的轉繞定軸轉動剛體的動能等于剛體對轉軸的轉 動慣量與其角速度平方乘積的一半。動慣量與其角速度平方乘積的一半。 剛體的總動能剛體的總動能 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 39 二、力矩的功二、力矩的功 O r F r d d 根據功的定義根據功的定義 sFAdcosddrF drF （力矩做功的微分形式）（力矩做功的微分形式） 對一有限過程對一有限過程 2 1 d MA 若若 M = C )( 12 MA dM 力的累積過程力的累積過程 力矩的空間

10、累積效應。力矩的空間累積效應。 . P r 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 40 (2) 力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。 (3) 內力矩作功之和為零。內力矩作功之和為零。 (1) 合力矩的功合力矩的功 i i i i i i AMMMA 2 1 2 1 2 1 d)d(d 討論討論 (4) 力矩的功率力矩的功率 M t M t A p d d d d 力矩的功率可以寫成力矩與角速度的乘積。力矩的功率可以寫成力矩與角速度的乘積。 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 41 三、繞定軸剛體的動能定理三、繞定軸剛體的動能定理 （合力矩功的效果）（合力矩功的

11、效果） k EJd) 2 1 d( 2 ddMA dd d d )d d d (J t J t J ddMA元功元功 t JJM d d 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 42 對于一有限過程對于一有限過程 2 1 2 1 ) 2 1 d(d 2 JAA 2 1 2 2 2 1 2 1 JJ 繞定軸轉動剛體在任一過程中動能的增量繞定軸轉動剛體在任一過程中動能的增量, 等于在該過程中作用在剛體上所有外力矩所作等于在該過程中作用在剛體上所有外力矩所作 功的總和。功的總和。-繞定軸轉動剛體的繞定軸轉動剛體的動能定理動能定理。 12kk EEA即即 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基

12、礎 動量矩動量矩 43 (3) 剛體動能的增量，等于外力的功。剛體動能的增量，等于外力的功。 (2) 剛體的內力做功之和為零。剛體的內力做功之和為零。 (1) 質點系動能變化取決于所有外力做功質點系動能變化取決于所有外力做功 及內力做功。及內力做功。 討論討論 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 44 剛體重力勢能剛體重力勢能 2 c 1 2 EJmgh pii Em gh ii mh mg m 定軸轉動剛體的機械能定軸轉動剛體的機械能 質心的勢能質心的勢能 對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機械對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機械 能守恒定律仍成立。能守恒定律仍成立。 c h p

13、0E C i m i h 四、四、 剛體的機械能剛體的機械能 c mgh 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 45 例例1 一長為一長為l、質量為質量為m的均質細桿，繞通過的均質細桿，繞通過A 端的端的Z軸在鉛垂平面內轉動，見圖?，F將桿從軸在鉛垂平面內轉動，見圖?，F將桿從 水平位置釋放，試求轉到鉛垂位置的過程中，水平位置釋放，試求轉到鉛垂位置的過程中， 桿的重力所作的功。桿的重力所作的功。 解解 取桿為研究對象取桿為研究對象 sin 2 l mgM z A C y p h x 當桿與鉛垂方向的夾角為當桿與鉛垂方向的夾角為 時，重力對時，重力對Z軸的力矩軸的力矩 B 第第5章章

14、剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 46 力矩元做功力矩元做功 dsin 2 d l mgA A C y p h x B 2 dsin 2 d 0 2/ l mg l mg AA 也可用保守力作功和勢能增量的關系求解也可用保守力作功和勢能增量的關系求解 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 47 例例2 一長為一長為l、質量為質量為m均質細桿均質細桿AB，用摩擦可，用摩擦可 忽略的柱鉸鏈懸掛于忽略的柱鉸鏈懸掛于A處，見圖。欲使靜止的桿處，見圖。欲使靜止的桿 AB自鉛垂位置恰好能轉至水平位置，求必須給自鉛垂位置恰好能轉至水平位置，求必須給 桿的最小初角速度。桿的最小初角速度。

15、解解 設給桿的最小初速度設給桿的最小初速度 0 桿的初動能桿的初動能 2 01 2 1 zk JE 桿到達水平位置時桿到達水平位置時 0 2 k E B A C p 1 C 2 C 根據動能定理根據動能定理 2 0 2 1 0JA 2 3 1 mlJ l g3 0 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 48 練習練習 長為長為 l ,質量為質量為 m 的均勻細直棒，可繞軸的均勻細直棒，可繞軸 O 在豎直平面內轉動在豎直平面內轉動, 初始時它在水平位置。初始時它在水平位置。 解解 求求 它由此下擺它由此下擺 角時的角時的 。 O lm C x mg 設初位置為重力勢能零點設初位置為

16、重力勢能零點 由機械能守恒定律由機械能守恒定律 sin 22 1 0 2 lmg J 2 3 1 mlJ 2/ 1 ) sin3 ( l g 也可用動能定理求解也可用動能定理求解 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 49 h 例例3 一個質量為一個質量為M , 半徑為半徑為 R 的定的定 滑輪滑輪 (當作均勻圓盤當作均勻圓盤 ) 上面繞有細上面繞有細 繩繩, 繩的一端固定在滑輪邊上，另繩的一端固定在滑輪邊上，另 一端掛一質量為一端掛一質量為m的物體而下垂。的物體而下垂。 忽略軸處摩擦。忽略軸處摩擦。 O R m M 求求 物體物體 m 由靜止下落高度由靜止下落高度 h 時時 的

17、速度。的速度。 圓盤對中心軸的轉動慣量圓盤對中心軸的轉動慣量 2 2 MR J 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 50 2 0 2 2 1 2 1 d 0 JJRF T 繩與圓盤間無相對滑動繩與圓盤間無相對滑動 v = R 0 0 v0 0 利用剛體的動能定理利用剛體的動能定理, 得得 圓盤受力矩圓盤受力矩 FTR 作用作用 解解 h O R m M T F T F 由質點的動能定理：由質點的動能定理： 2 0 2 2 1 2 1 d 0 vvmmFRmgh T gh RJm m 2 / 2 v mM mgh 2 2 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 51

18、解法解法2. 根據機械能守恒定律根據機械能守恒定律 h O R m M T F T F Rv 22 2 1 2 1 vmJmgh mM mgh 2 2 v 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 52 例例5 可視為均質圓盤的滑輪，質量為可視為均質圓盤的滑輪，質量為M，半徑，半徑 為為R，繞在滑輪上的輕繩一端系一質量為，繞在滑輪上的輕繩一端系一質量為m 的的 物體，如圖物體，如圖 （a），在其重力矩作用下，滑輪，在其重力矩作用下，滑輪 加速轉動。設開始時系統(tǒng)處于靜止加速轉動。設開始時系統(tǒng)處于靜止, 試求物體試求物體 下降距離下降距離 s 時，滑輪的加速度和角加速度。時，滑輪的加速度

19、和角加速度。 m M R （a） 解解 分別取滑輪和物體分別取滑輪和物體 為研究對象，它們各為研究對象，它們各 自受力如圖自受力如圖（b）， 設物體下降距離設物體下降距離s時，時， 滑輪的角速度為滑輪的角速度為 T mg Mg T N （b） 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 53 物體下降距離物體下降距離s時，物體的速度為時，物體的速度為 對兩者分別應用動能定理，有對兩者分別應用動能定理，有 Rv T AJ0 2 1 2 T Amgsm0 2 1 2 v Mm mgs R 2 2 聯立求聯立求 ，得，得 )2( 2 d d MmR mg t 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學

20、基礎 動量矩動量矩 54 力矩的時間累積效應力矩的時間累積效應 力的時間累積效應力的時間累積效應 沖量、動量、動量定理。沖量、動量、動量定理。 沖量矩、動量矩、動量矩定理。沖量矩、動量矩、動量矩定理。 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 55 常數v mr 動量矩的引入：動量矩的引入： vm vm vm vm vm r L vm L r vm L r vm L r vm L r vm r L 但是但是 在質點的勻速圓周運動中在質點的勻速圓周運動中, ,動量動量 不守恒。不守恒。v m 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 56 1 p 2 p v r vm r L

21、 L vm r 例子例子: 開普勒行星運動定律的面積定律開普勒行星運動定律的面積定律: sin 2 1 sin 2 1 21 tr pprS v 常數 sin 2 1 vr t S 常數v mr 實例都說明實例都說明 是一個獨立的物理量。是一個獨立的物理量。 v mr 再考慮到行星的質量再考慮到行星的質量m為恒量，為恒量， 行星在相等的時間內掃過相等的面積。行星在相等的時間內掃過相等的面積。 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 57 開普勒第二定律開普勒第二定律(面積定律面積定律): 行星在相等的時間內掃過相等的面積。行星在相等的時間內掃過相等的面積。 第第5章章 剛體力學基礎

22、剛體力學基礎 動量矩動量矩 58 在描述行星的軌道運動在描述行星的軌道運動, 自轉運自轉運 動動,衛(wèi)星的軌道運動及微觀粒子的運動中都具衛(wèi)星的軌道運動及微觀粒子的運動中都具 有獨特作用。有獨特作用。 因此因此, 必須引入一個新的物理必須引入一個新的物理 量量 動量矩動量矩 L, 來描述這一現象。來描述這一現象。 v mr 衛(wèi)星衛(wèi)星 地球地球+ 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 59 一、動量矩一、動量矩 1. 質點的動量矩質點的動量矩( 對對O點點 ) v mrprL 質量為質量為 的質點以的質點以 速度速度 在空間運動在空間運動, 某時某時 刻相對原點刻相對原點O的位矢為的位

23、矢為 , 質點相對于原點的動量矩質點相對于原點的動量矩 m r v v v r L L r x y z o m sinvrmL 大?。捍笮。?方向方向: 符合右手螺旋法則。符合右手螺旋法則。 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 60 討論討論 (1) 質點的動量矩與質點的動量及位矢質點的動量矩與質點的動量及位矢 有關有關 (取決于固定點的選擇取決于固定點的選擇) 。 (2) 在直角坐標系中的分量式在直角坐標系中的分量式 kzjyixr kmjmimm zyx vvvv zyx mmm zyx kji L vvv yzx zpypL zxy xpzpL xyz ypxpL 第第5

24、章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 61 vmrrpL Jmr 2 L r p m o (3) 當質點作圓周運當質點作圓周運 動時：動時： 質點以角速度質點以角速度 作半徑為作半徑為r 的圓運動，相的圓運動，相 對圓心的動量矩的大小對圓心的動量矩的大小 kgm2/s (5) 單位單位: (4) 動量矩的定義并沒有限定質點只能作曲動量矩的定義并沒有限定質點只能作曲 線運動而不能作直線運動。線運動而不能作直線運動。 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 62 2. 剛體繞定軸轉動的動量矩剛體繞定軸轉動的動量矩 r v O 質點對質點對 z 軸的動量矩軸的動量矩 2 mrrm

25、Lzv m 剛體上任一質量元對剛體上任一質量元對 z 軸軸 的動量矩為的動量矩為 2 i iizi mr rmL v L i m i r i v O i L z 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 63 剛體上任一質量元對剛體上任一質量元對 z 軸的軸的 動量矩具有相同的方向。動量矩具有相同的方向。 i 2 iir m Z J (所有質元對所有質元對 z 軸的角動量之和軸的角動量之和) i iiiz rmLv r v O m L i m i r i v O i L z 說明說明 動量矩與質點動量動量矩與質點動量 對比對比: Jz m， v 。 v mP 第第5章章 剛體力學基礎

26、剛體力學基礎 動量矩動量矩 64 v mr tt L d d d d v v m t r t m r d d d )d( 0 vv m 二、二、 質點的質點的動量矩動量矩定理和動量矩守恒定律定理和動量矩守恒定律 ,PrL 已知已知 v mP Fr M 1.質點的動量矩（角動量）定理質點的動量矩（角動量）定理 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 65 t L M d d LtM dd 質點動量矩定理的微分形式。質點動量矩定理的微分形式。 作用在質點上的力矩等于質點動量矩對時間的作用在質點上的力矩等于質點動量矩對時間的 變化率。此即質點對固定點的動量矩定理。變化率。此即質點對固定點

27、的動量矩定理。 12 d 2 1 LLtM t t 質點動量矩定理的積分形式。質點動量矩定理的積分形式。 積分，得積分，得 沖量矩沖量矩 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 66 質點所受合力矩的沖量質點所受合力矩的沖量矩矩等于質點的角動等于質點的角動 量的增量。量的增量。 (2) 質點動量矩的變化是力矩對時間的積質點動量矩的變化是力矩對時間的積 累結果。累結果。 說明說明 12 d 2 1 LLtM t t (1) 沖量矩是力矩的時間積累沖量矩是力矩的時間積累,是質點動量是質點動量 矩變化的原因。矩變化的原因。 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 67 2.

28、質點動量矩守恒定律質點動量矩守恒定律 t L M d d 質點動量矩定理質點動量矩定理 ，若 0 M 常矢量L 質點動量矩守恒定律。質點動量矩守恒定律。 則則 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 68 (3) 自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。 (2) 向心力的角動量守恒。向心力的角動量守恒。點過OF (4) 質點對軸的動量矩守恒定律質點對軸的動量矩守恒定律: 若若 Mz=0, 則則Lz =常數。即若力矩在某軸上的分量為零常數。即若力矩在某軸上的分量為零 (或力對某軸的力矩為零或力對某軸的力矩為零)，則質點對該軸的，則質點對該軸的 動量矩守恒。動量矩守

29、恒。 0M (1) 守恒條件守恒條件 討論討論 0F 點過OF 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 69 三、三、 剛體繞定軸轉動下的剛體繞定軸轉動下的動量矩動量矩定理和定理和 動量矩守恒定律動量矩守恒定律 t L M d d 質點的動量矩定理質點的動量矩定理 內外 i M i M i M 剛體內任一質量元所受力矩剛體內任一質量元所受力矩 i i i t L i M d d 剛體內所有質量元所受力矩剛體內所有質量元所受力矩 i ii i i MMM)( 內外 iij ij MM 外 1. 動量矩定理動量矩定理 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 70 對定軸轉動

30、的剛體對定軸轉動的剛體, Jz 為常量為常量, ZZ Z J t J t L d d d d z Z M t L d d JLtMzddd z 剛體定軸轉動的動量矩定理微分形式。剛體定軸轉動的動量矩定理微分形式。 而內力矩的代數和為而內力矩的代數和為0 t L MM z d d 外z zz JL z M 或或 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 71 剛體定軸轉動中剛體定軸轉動中, 動量矩定理與轉動定律的關系動量矩定理與轉動定律的關系 )( d d d d J tt L M J t J d d 剛體定軸轉動的轉動定律實質是動量矩剛體定軸轉動的轉動定律實質是動量矩 定理沿固定軸方

31、向分量式的一種特殊形式。定理沿固定軸方向分量式的一種特殊形式。 JM 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 72 定軸轉動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其定軸轉動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其 動量矩的增量。動量矩的增量。 剛體定軸轉動動量矩定理積分形式剛體定軸轉動動量矩定理積分形式: 2 1 2 1 dd JtM t t z LLLJJ 1212 12 JJLJ 不變時不變時 J 改變時改變時1122 JJL 討論討論 LtM t t z 2 1 d 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 73 0 z M0 z L常常量量J 2. 剛體繞定軸轉動的動量矩守恒定律剛體

32、繞定軸轉動的動量矩守恒定律 對對定軸轉動剛體定軸轉動剛體 0L即即若若 動量矩動量矩L不變的含義不變的含義: 剛體剛體: J 不變不變 , 則則 不變。不變。 非剛體非剛體:因因 J 可變可變,則則 J 乘積不變。乘積不變。 變形體繞某軸轉動時變形體繞某軸轉動時, 若若0 z M k r mk z 則變形體對該軸的動量矩則變形體對該軸的動量矩CJL k kkz 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 74 動量矩守恒舉例動量矩守恒舉例 花樣滑冰、花樣滑冰、跳水跳水、芭蕾舞等、芭蕾舞等. 常量tJ tJ tJ 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 75 求求: 此時質點

33、對三個參考點的動量矩的大小。此時質點對三個參考點的動量矩的大小。 vmdLA 1 vmdLB 1 0 C L m d1 d2 d3 A BC v 解解: 例例1一質點一質點m,速度為速度為 ,如圖所示如圖所示,A、B、C 分別為三個參考點分別為三個參考點,此時此時m 相對三個點的距相對三個點的距 離分別為離分別為d1 、d2 、 d3 。 v 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 76 例例2半徑為半徑為R 的光滑圓環(huán)上的光滑圓環(huán)上A點有一質量為點有一質量為m 的的 小球小球, 從靜止開始下滑從靜止開始下滑, 若不計摩擦力。若不計摩擦力。 解解: 依題意，地球、小球系統(tǒng)機械能守恒

34、依題意，地球、小球系統(tǒng)機械能守恒 sin 2 1 0 2 mgRmv 求求: 小球到達小球到達B點時對點時對O的動量矩和角速度。的動量矩和角速度。 A B R O N F P v 以以A為重力勢能零點為重力勢能零點 sin2RL 3 gRmmv RgRv/sin2/ 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 77 求求: 發(fā)射角發(fā)射角及著陸滑行時的速度及著陸滑行時的速度v 多大？多大？ ? m R MO 0 v 0 r ?v 例例3 發(fā)射一宇宙飛船去考察一發(fā)射一宇宙飛船去考察一 質量為質量為 M , 半半 徑為徑為R的行星。當飛船靜止于空間距行星中心的行星。當飛船靜止于空間距行星中心

35、 4 R 時時, 以速度以速度 v0發(fā)射一質量為發(fā)射一質量為 m 的儀器。的儀器。 要要 使該儀器恰好掠過行星表面。使該儀器恰好掠過行星表面。 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 78 解解: 引力場（有心力）引力場（有心力） 質點的動量矩守恒質點的動量矩守恒 系統(tǒng)的機械能守恒系統(tǒng)的機械能守恒 Rmsrmvv )in( 00 R GMm m r GMm m 2 0 2 0 2 1 2 1 vv 2/1 2 0 0 2 3 1 v vv R GM 2/1 2 0 2 3 1 4 1 sin vR GM ? m R MO 0 v 0 r ?v 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎

36、動量矩動量矩 79 例例4 設人造地球衛(wèi)星引力作用下沿著平面橢圓軌設人造地球衛(wèi)星引力作用下沿著平面橢圓軌 道運動，地球中心可以看著固定點，且為橢圓軌道運動，地球中心可以看著固定點，且為橢圓軌 道的焦點道的焦點,如圖所示。衛(wèi)星的近地點如圖所示。衛(wèi)星的近地點A離地面的距離地面的距 離為離為439km, 遠地點遠地點B離地面的距離為離地面的距離為2384km。 已知衛(wèi)星在近地點的速度為已知衛(wèi)星在近地點的速度為vA=8.12kms-1, 求衛(wèi)星求衛(wèi)星 在遠地點在遠地點B的速度大小。設地球的平均半徑為的速度大小。設地球的平均半徑為 R=6370km。 解解 以衛(wèi)星為研究對象，根據以衛(wèi)星為研究對象，根據

37、質點動量矩守恒定律，有質點動量矩守恒定律，有 AABB rmrmvvB v B 1 O o R A r B r A v 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 80 因為因為 km68094396370 A r km875423846370 B r 故有故有 A B A B r r vv km/s32. 6 8754 12. 86809 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 81 例例5 如圖，質量為如圖，質量為m的小球系在繩子的一端，的小球系在繩子的一端， 繩穿過一繩穿過一 鉛直套管，使小球以速度鉛直套管，使小球以速度v0繞管心繞管心 作半徑為作半徑為r0的圓周運動

38、的圓周運動, 然后向下拉繩然后向下拉繩, 使小使小 球運動的軌跡最后成為半徑為球運動的軌跡最后成為半徑為r1的圓。的圓。 求求（1）小球距管心為）小球距管心為r1時速度時速度v的大小；的大小； （ 2）由）由r0縮短到縮短到r1過程中，力過程中，力F 所做的功。所做的功。 解解 小球受到的是有心力，根據小球受到的是有心力，根據 質點的動量矩守恒，故有質點的動量矩守恒，故有 100 rmrmvv 1 r 0 r 0 v F o 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 82 100 rmrmvv 所以所以)( 1 0 0 r r vv 根據動能定理，力根據動能定理，力 F 做的功為做的

39、功為 1)( 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 0 2 0 2 0 2 1 0 2 0 r r m m r r mA v vv 1 r 0 r 0 v F o 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 83 y 例例6 一均質棒一均質棒,長度為長度為 L,質量為質量為M,現有一子彈現有一子彈 在距軸為在距軸為 y 處水平射入細棒處水平射入細棒,子彈的質量為子彈的質量為 m , 速度為速度為 v0 。 求求: 子彈細棒共同的角速度子彈細棒共同的角速度 。 解解: ym 0 v 其中其中 0 v m 22 3 1 myMLJJJ 子棒 22 0 3 1 myML ym v 子彈、細棒

40、系統(tǒng)的動量矩守恒子彈、細棒系統(tǒng)的動量矩守恒 J 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 84 例例7 如圖所示如圖所示,一質量為一質量為m的子彈以水平速度射的子彈以水平速度射 入一靜止懸于頂端長棒的下端入一靜止懸于頂端長棒的下端, 穿出后速度損穿出后速度損 失失3/4, 已知棒長為已知棒長為 l, 質量為質量為M 。 m M 解解: 選取子彈和棒為系統(tǒng)選取子彈和棒為系統(tǒng), 其動量矩守恒其動量矩守恒 Jlmlm 00 4 1 vv Ml m J lm 4 9 4 3 00 vv 2 3 1 MlJ 因為因為 求求: 子彈穿出后棒的角速度子彈穿出后棒的角速度 。 v 0 v l 所以所

41、以 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 85 例例8 質量分別為質量分別為 M1、M2 , 半徑分別為半徑分別為R1 、R2的的 兩均勻圓柱兩均勻圓柱,可分別繞它們本身的軸轉動可分別繞它們本身的軸轉動,二軸平二軸平 行。原來它們沿同一轉向分別以行。原來它們沿同一轉向分別以10 ,20 的角速的角速 度勻速轉動度勻速轉動, 然后平移二軸使它們的邊緣相接觸然后平移二軸使它們的邊緣相接觸, 如圖所示。如圖所示。 求求: 最后在接觸處無相對滑動時最后在接觸處無相對滑動時, 每每 個圓柱的角速度個圓柱的角速度 1 和和 2 。 R1 M1 R2 M2 R1 M1 R2 M2 第第5章章

42、剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 86 2211 RR 二圓柱系統(tǒng)動量矩守恒：二圓柱系統(tǒng)動量矩守恒： 對上述問題有以下的解對上述問題有以下的解 法法: 在接觸處無相對滑動在接觸處無相對滑動 時時, 二圓柱邊緣的線速度二圓柱邊緣的線速度 一樣一樣, 故有：故有： 2211220110 JJJJ 2 222 2 111 2 1 , 2 1 RMJRMJ 由以上二式就可解出由以上二式就可解出 1， 2 。 其中其中 這種解法對嗎這種解法對嗎? ? R1 M1 R2 M2 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 87 原解認為系統(tǒng)的總動量矩為二圓柱各自對自原解認為系統(tǒng)的總動量矩為二圓

43、柱各自對自 己的軸的角動量之和是錯誤的己的軸的角動量之和是錯誤的, 因為系統(tǒng)的總因為系統(tǒng)的總 動量矩只能對同一個軸進行計算。當兩柱體邊動量矩只能對同一個軸進行計算。當兩柱體邊 緣沒有相對滑動時緣沒有相對滑動時1，2方向相反方向相反, 所以應為所以應為 2211 RR(1) 應對兩圓柱分別使用動量矩應對兩圓柱分別使用動量矩定理定理, 由于兩柱由于兩柱 接觸時摩擦力大小相等、方向相反接觸時摩擦力大小相等、方向相反, 力矩和沖力矩和沖 量矩的大小正比于半徑量矩的大小正比于半徑,方向相同方向相同: )(dd 202222 JtfRtfR )(dd 101111 JtfRtfR 第第5章章 剛體力學基礎

44、剛體力學基礎 動量矩動量矩 88 :d tf消消去去 )( )( 2022 1011 2 1 J J R R (2) 解解(1)(2)式式, 得得: )( )( 212 222111 2 12 2 21 1222111 1 MMR RMRM RJRJ RJRJR 2 222 2 111 2 1 , 2 1 RMJRMJ其其中中 )( )( 211 111222 2 12 2 21 2111222 2 MMR RMRM RJRJ RJRJR 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 89 例例9 如圖所示如圖所示, 一質量為一質量為 m 的子彈以水平速的子彈以水平速 度射入一靜止懸于頂

45、端長棒的度射入一靜止懸于頂端長棒的 a 處處, 使棒偏使棒偏 轉轉 30o, 已知棒長為已知棒長為 l , 質量為質量為 M 。 解解: 將子彈和棒看作一個系將子彈和棒看作一個系 統(tǒng)統(tǒng), 在極短時間內系統(tǒng)動量在極短時間內系統(tǒng)動量 矩守恒。矩守恒。 22 0 3 1 maMlamv 求求: 子彈的初速度子彈的初速度 v0 。 v0m M l a 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 90 子彈射入棒后子彈射入棒后,以子彈、棒、地球為一以子彈、棒、地球為一 系統(tǒng)系統(tǒng), 機械能守恒。機械能守恒。 cos1 2 cos1 3 1 2 1 222 l Mgmga maMl 6/3232 1 2 0 gmaMlmaMl ma v 初速度初速度 v0m M l a 第第5章章 剛體力學基礎剛體力學基礎 動量矩動量矩 91 例例10 長為長為 l、質量為、質量為M的均質桿的均質桿, 一端懸掛，桿一端懸掛，桿 可繞懸掛軸在鉛直平面內自由轉動。桿開始處可繞懸掛軸在鉛直平面內自由轉動。桿開始處 于靜止狀態(tài)，在桿的中心作用一沖量于靜止狀態(tài)，在桿的中心作用一沖量 I ，其方，其方 向垂直于桿，如圖。求沖量結束時，桿獲得的向垂直于桿，如圖。求沖量結束時