初中生解分式方程疏忽檢驗(yàn)步驟的成因與對(duì)策研究

1、 解分式方程的典型失誤及分析江西省贛州市會(huì)昌縣教研室（342600） 劉 鑫2010年江西省中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題第18題是解分式方程，其分值為7分,試題如下：解方程：其正確解答應(yīng)為：解：方程兩邊同乘以，得 .化簡(jiǎn)得 解得 .檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí).所以，是原分式方程的解.筆者在閱卷過程中，發(fā)現(xiàn)考生的答題有以下八種典型的失誤：1漏乘不含分母的整式項(xiàng)解：方程兩邊同乘以，得 . 此方程無解，所以原方程無解.【分析】本解答的錯(cuò)誤之處為：并不是方程兩邊的每一項(xiàng)同乘以最簡(jiǎn)公分母，只有方程左邊的分式項(xiàng)乘以了最簡(jiǎn)公分母，而方程右邊的整式項(xiàng)“1”卻沒有乘以最簡(jiǎn)公分母，造成漏乘.產(chǎn)生此類錯(cuò)誤的原因是考生斷章取義地理解“去

2、分母”這一步驟，而對(duì)其算理卻沒有深刻理解.一般來說，解分式方程的基本思路是運(yùn)用化歸思想把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，其方法是方程的兩邊同乘以各分母的最簡(jiǎn)公分母，其依據(jù)是等式的性質(zhì).2所乘因式不是最簡(jiǎn)公分母解：方程兩邊同乘以，得 . 【分析】本解答的錯(cuò)誤之處為：方程兩邊所乘的整式不是最簡(jiǎn)公分母，而是機(jī)械地把各分式分母拼奏而成的積，這就產(chǎn)生一個(gè)較復(fù)雜的整式方程，導(dǎo)致后面的解答更加繁瑣，造成不必要的麻煩.為了把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，須將方程的兩邊乘以同一個(gè)整式，約去分母，這個(gè)整式通常取方程中各分式的最簡(jiǎn)公分母，這樣既能約去各分式的分母，又能保證約分后的商式最簡(jiǎn)單，從而產(chǎn)生一個(gè)最簡(jiǎn)單的整式方程，便于化簡(jiǎn)

3、、求根.對(duì)于分母都是多項(xiàng)式的分式方程，找最簡(jiǎn)公分母時(shí)應(yīng)先將各分母分解因式，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母才是最簡(jiǎn)公分母.3先通分,再去分母解：由原方程得 . .檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí).所以，是原分式方程的解.【分析】本解答的錯(cuò)誤之處為：受分式運(yùn)算的干擾和思維定勢(shì)的影響，考生首先對(duì)方程進(jìn)行通分，然后再去分母，此類考生去分母的根據(jù)可能有兩個(gè)，其一是兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，其二是利用“兩個(gè)分式相等，若分母相等，則分子必相等” 的道理，不管是哪個(gè)根據(jù)，都是多此一舉，增加解方程的步驟.說明該考生對(duì)解分式方程的算理理解不深刻，對(duì)解分式方程的步驟不熟練.對(duì)于分式方程，有時(shí)也確實(shí)可以采

4、用通分的方法求解，但必須把所有的項(xiàng)移到一邊進(jìn)行通分，如果分子、分母有公因式時(shí)必須約去，利用“分?jǐn)?shù)的值為零，分母不等于零而分子必等于零”的性質(zhì)進(jìn)行求解，采用此法可以避免產(chǎn)生增根，可以不必驗(yàn)根，但運(yùn)算與書寫較麻煩.4隨意漏括號(hào)解：方程兩邊同乘以，得 . 解得.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)0.所以，是原分式方程的解.【分析】粗略一看，本解答好象沒有錯(cuò)誤，但進(jìn)行深層次的分析，還是可以發(fā)現(xiàn)其中的不足之處：最簡(jiǎn)公分母不是以因式分解后的形式呈現(xiàn).考生可能是認(rèn)為試題太簡(jiǎn)單，口算就能確立最簡(jiǎn)公分母，不必寫得那么詳細(xì).這雖然是個(gè)不扣分的錯(cuò)誤，但是,這樣書寫有兩個(gè)危險(xiǎn)，其一是難以準(zhǔn)確確立最簡(jiǎn)公分母，其二是約分時(shí)容易出錯(cuò)，這說明此類考

5、生的解題習(xí)慣不好.解：方程兩邊同乘以， 【分析】本解答的錯(cuò)誤之處有二：其一是最簡(jiǎn)公分母不是以因式分解后的形式呈現(xiàn)；其二，最簡(jiǎn)公分母是多項(xiàng)式，但未加括號(hào)，乘以公因式后，原分式的分子也沒有括號(hào)，這樣書寫，下一步運(yùn)算要么無法進(jìn)行，要么運(yùn)算出錯(cuò).產(chǎn)生的原因是沒有整體意識(shí)、沒有充分認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)線有除法和括號(hào)的雙重作用.【糾正】如果考生確實(shí)要呈現(xiàn)去分母的詳細(xì)過程，可以如下呈現(xiàn)：解：方程兩邊同乘以， 5胡亂添等號(hào)解：方程兩邊同乘以，.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí).所以，是原分式方程的解.【分析】本解答的錯(cuò)誤之處為：也是受分式運(yùn)算的干擾和思維定勢(shì)的影響，未能區(qū)分分式加減運(yùn)算是恒等變形，而解方程是根據(jù)等式的性質(zhì)，每一次運(yùn)算只是保持等

6、式的兩邊相等，但前后兩個(gè)等式形式上一般不相同、前后兩個(gè)等式的左（或右）邊不一定相等.6解題過程不換行解：方程兩邊同乘以，得.解得.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí).所以，是原分式方程的解.【分析】本解答的書寫象寫純文字的文章一樣，從左至右，寫滿一行再換行，這雖然不是什么錯(cuò)誤，但也有不足之處不美觀、與教科書上的例題格式不同，在考試時(shí)這樣書寫解題過程，不便于學(xué)生進(jìn)行檢查，也不利于閱卷教師進(jìn)行快速閱卷.7沒有驗(yàn)根解：方程兩邊同乘以，得 . 化簡(jiǎn)得解得.【分析】本解答的錯(cuò)誤之處為：缺少驗(yàn)根這個(gè)步驟.為什么要驗(yàn)根？解分式方程時(shí)，兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，這是一個(gè)含有未知數(shù)的式子，而不是一個(gè)確切的非零常數(shù)，因當(dāng)初不知道未知數(shù)的取值，

7、也就無法確定所乘最簡(jiǎn)公分母的值是否為零，因此，將分式方程化為整式方程后，未知數(shù)允許值的范圍擴(kuò)大了，不能保證新方程與原分式方程同解.新方程的解若不使原分式方程的分母為零，它才是原分式方程的解；新方程的解若使原分式方程的分母為零，它就不是原分式方程的解，是原方程的增根，應(yīng)舍去.所以解分式方程必須驗(yàn)根怎樣驗(yàn)根？驗(yàn)根的方法有二，其一是把解整式方程求出的根簡(jiǎn)便地代入去分母時(shí)所乘的最簡(jiǎn)公分母.其二是把求得的根分別代入原分式方程的左邊與右邊，分別計(jì)算其值，不適合的根是增根，應(yīng)舍去，此法較繁.對(duì)于本題的驗(yàn)根，最起碼應(yīng)表述為“經(jīng)檢驗(yàn),是原分式方程的解”.8沒有結(jié)論解：方程兩邊同乘以，得 . 化簡(jiǎn)得解得.檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí).【分析】本解答的錯(cuò)誤之處為：缺少結(jié)論，最后應(yīng)該加一句話“所以，是原分式方程的解”.【教學(xué)反思與建議】我們進(jìn)行分式和分式方程的教學(xué)時(shí)，不但要讓學(xué)生明白分式方程的特殊之處，還要讓學(xué)生深刻理解公分母、最簡(jiǎn)公分母等概念，掌握如何確立最簡(jiǎn)公分母；通過舉例，讓學(xué)生歸納驗(yàn)根的必要性