數(shù)學(xué)案例：連續(xù)六次摸到白球后的思考

1、連續(xù)六次摸到白球后的思考一、案例背景“可能性”（概率）是新課程中新增加的內(nèi)容，“可能與一定”是學(xué)生學(xué)習(xí)“可能性”的第一節(jié)內(nèi)容。通過教學(xué)要讓學(xué)生初步了解在現(xiàn)實世界中，有些事件在滿足相應(yīng)條件后，一定會發(fā)生（或不可能發(fā)生），而有些事件則可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。比如在一個盒子里放入兩個黃球，任意摸一次，一定能摸到黃球，不可能摸到白球；如果放入一個白球、一個黃球，任意摸一次，則可能摸到白球，也可能摸到黃球（即可能性）。在多次教學(xué)實踐中我感悟到，原有生活經(jīng)驗使學(xué)生對“可能性”有了一定的認識，但學(xué)生的生活經(jīng)驗反過來也會干擾對“可能性”的數(shù)學(xué)化理解。二、情境描述在一個不透明的盒子中，放入一個白球、一個黃球，任

2、意摸一次，結(jié)果會怎樣？這是我在執(zhí)教“可能與一定”一課時提出的問題。學(xué)生的回答是：“可能摸到白球，也可能摸到黃球?！睘榱恕按_認是這樣”，我請一位學(xué)生摸一次，結(jié)果摸到的是白球。接著，我又請一位學(xué)生摸一次，摸之前我請學(xué)生們猜一猜這一次會摸到什么顏色的球，大部分學(xué)生認為應(yīng)該是黃球了！結(jié)果這位學(xué)生摸到的還是白球。第三次請學(xué)生摸，再猜，這時更多的學(xué)生認為一定是黃球了。但第三位學(xué)生摸到的竟然還是白球！這時，教室里一片驚訝聲：“怎么會這樣？”“這怎么可能？”第四位學(xué)生再摸，白球！第五位，還是白球！第六位，依然是白球！我的額頭開始冒汗，心里也暗暗嘀咕：“怎么會這樣？”一個念頭禁不住從腦海中冒了出來：“這課要上砸

3、了！”到了第七位，那位胖胖的小男生終于“爭氣”地摸到了黃球。我終于舒了一口氣，提著的心總算放了下來。教學(xué)順利地轉(zhuǎn)入了下一個環(huán)節(jié)。三、課后反思“可能性”一課我已經(jīng)上過好多次了，但這樣的情形還是第一次發(fā)生。連續(xù)六次摸到白球，怎么會這樣呢？課上，我茫然不知所措，課后，我們進行了反思，結(jié)果為自己額頭冒汗感到羞愧，更為沒有抓住教學(xué)中生成的好材料及時組織學(xué)生討論感到汗顏。第一次摸到了白球，第二次摸到的應(yīng)該是黃球；連續(xù)兩次摸到的都是白球，那么第三次摸到的就一定是黃球了。對一個三年級的小學(xué)生而言，作出這樣的判斷一點兒都不奇怪。在后來一次聽課時，我也看到了類似的情形：這位教師組織摸球活動，也是放一個白球、一個黃

4、球，摸之前要求先猜可能會摸到什么顏色的球，并作好記錄。我正好坐在一個小男生的邊上，第一次他猜摸到黃球，而摸到的也正好是黃球，他興奮地舉了舉握緊的拳頭。猜第二次時他毫不猶豫地在白球一攔里打上了“”，我趕緊和他交流：師：這次你怎么猜是白球了？生：因為剛才這次摸到的是黃球，我想這次一定會摸到白球了。這位小男生迫不及待地進行第二次摸球，果然是白球！他又一次興奮地舉起了拳頭。那么，學(xué)生為什么會作出這樣肯定的判斷呢？顯然，這是因為學(xué)生對隨機現(xiàn)象發(fā)生可能性的模糊理解。對“可能摸到什么顏色的球”這個隨機事件而言，學(xué)生的生活經(jīng)驗足夠支撐他們作出這樣的判斷：要么摸到白球，要么摸到黃球。而且學(xué)生還會直覺地意識到：摸

5、到兩種顏色球的可能性是相等的。但可能性相等是什么意思呢？很多學(xué)生是這樣理解的：如果摸兩次，那么一次摸到白球，另一次摸到黃球。我想，這就是學(xué)生作出上述判斷的原因所在。那么，可能性真可以這樣理解嗎？回答是否定的。數(shù)學(xué)上，對上述摸球這個隨機現(xiàn)象發(fā)生可能性的描述有兩種辦法，一是用數(shù)據(jù)來刻畫（即概率），摸到黃球或白球的可能性各為二分之一；二是用重復(fù)摸球的統(tǒng)計結(jié)果來描述（即頻率），摸一次，可能摸到什么球，這具有隨機性（無法事先確定），但如果重復(fù)不斷地摸，只要摸的次數(shù)“足夠多”，就可以發(fā)現(xiàn)摸到統(tǒng)計結(jié)果呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，即摸到白球和摸到黃球的次數(shù)大致相等。通過以上闡述可以知道，下一次會摸到什么球，這是無法事先

6、確定的，也就是說，每一次摸球，摸到黃球或白球的可能性都存在。但一個人在作出判斷時，往往會有受到自我心理活動的影響，如當連續(xù)多次摸到白球時，就會產(chǎn)生下一次“應(yīng)該摸到黃球了”的心理期望。可見，第一次摸到白球，第二次應(yīng)該摸到黃球，這反映了學(xué)生的生活經(jīng)驗和心理期望對隨機現(xiàn)象的理解產(chǎn)生的干擾。從數(shù)學(xué)角度分析，連續(xù)六次摸到白球（甚至更多）是完全可能發(fā)生的，這反映了隨機現(xiàn)象的可能發(fā)生結(jié)果的隨機性。事實上，連續(xù)六次摸到白球比一次摸到白球、另一次摸到黃球更有利于學(xué)生感悟隨機現(xiàn)象的本質(zhì)。比如，聽課時那個小男孩摸球活動的結(jié)果已經(jīng)給他理解可能性的含義帶來了負面影響。而在我的教學(xué)中，連續(xù)六次摸到白球（這是可遇而不可求的

7、）給教學(xué)生成了精彩的、富有價值的材料，但我沒有把它利用好，錯過了讓學(xué)生感悟隨機現(xiàn)象本質(zhì)的絕佳機會。反思后，我們認為，在七次摸球過程中應(yīng)及時組織討論和反思。如在連續(xù)三次摸到白球后，可以組織討論：怎么會連續(xù)三次摸到白球？你有什么想法？通過討論使學(xué)生感悟到每次摸球的結(jié)果在摸之前是無法確定的，連續(xù)多次摸到白球也是有可能發(fā)生的，前一次摸球的結(jié)果并不會對后一次產(chǎn)生影響，從而初步感悟隨機事件的發(fā)生和人的心理期望沒有任何關(guān)系，進一步理解隨機現(xiàn)象的本質(zhì)。又如當?shù)诹粚W(xué)生依然摸到白球時，可以再次組織討論：真的摸不到黃球嗎？從而使學(xué)生明確：盒子里有黃球，只要不停地摸下去，是一定能摸到黃球的（如果摸的次數(shù)足夠多，那么

8、摸到白球和摸到黃球的次數(shù)大致相等，當然，這已是后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容了）。在第七位學(xué)生摸到黃球后，可以引導(dǎo)學(xué)生反思，讓他們說說對“可能摸到白球，也可能摸到黃球”這句話的認識，從而使學(xué)生深刻地理解可能性的含義。我想，如果再有這樣一次機會，我就能夠這樣處理了，可是這種情況再次發(fā)生的可能性實在是太小了，但這絕對不是不可能發(fā)生的。上述教學(xué)同時引發(fā)了我們對教師自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)思考。概率一直是高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的內(nèi)容，小學(xué)教師在師范的學(xué)習(xí)中并沒有這樣的知識儲備?！翱赡苄浴弊鳛樾抡n程新增加的數(shù)學(xué)內(nèi)容，對大部分教師而言都是比較陌生的。以其昏昏，使人昭昭，顯然要誤人子弟?！翱赡苄浴庇嘘P(guān)內(nèi)容，我上過許多次，也聽過許多次，自己犯過不少錯誤，也看到不少老師犯的錯誤，感觸頗深。新