有限元有限元動力學(xué)基本原理PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 有限元有限元動力學(xué)基本原理有限元有限元動力學(xué)基本原理 在前面的介紹中，我們均假設(shè)作用在彈性體（或結(jié)在前面的介紹中，我們均假設(shè)作用在彈性體（或結(jié) 構(gòu)）上的載荷與時間無關(guān)，與此相應(yīng)的，位移、應(yīng)力構(gòu)）上的載荷與時間無關(guān)，與此相應(yīng)的，位移、應(yīng)力 及應(yīng)變等也都和時間無關(guān)，即前面介紹的全部內(nèi)容皆及應(yīng)變等也都和時間無關(guān)，即前面介紹的全部內(nèi)容皆 稱結(jié)構(gòu)靜力學(xué)有限元方法。但工程實際中還存在著另稱結(jié)構(gòu)靜力學(xué)有限元方法。但工程實際中還存在著另 外一類載荷與時間有關(guān)的動載荷作用于結(jié)構(gòu)或彈性體外一類載荷與時間有關(guān)的動載荷作用于結(jié)構(gòu)或彈性體 ，此時，相應(yīng)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等都與時間有關(guān)，此時，相應(yīng)的位移、應(yīng)力、

2、應(yīng)變等都與時間有關(guān)， 而且必須考慮慣性力和加速度等因素，這類分析或問而且必須考慮慣性力和加速度等因素，這類分析或問 題，成為動力學(xué)分析。題，成為動力學(xué)分析。 對于質(zhì)點對于質(zhì)點彈簧系統(tǒng)的振動，大家比較熟悉，例如彈簧系統(tǒng)的振動，大家比較熟悉，例如 一個自由度為一個自由度為n n的質(zhì)點的質(zhì)點彈簧振系，其動平衡方程為彈簧振系，其動平衡方程為 PKCM & 第五章第五章 有限元動力學(xué)分析基本原有限元動力學(xué)分析基本原 理理 第1頁/共48頁 上式中每一項的含義不同上式中每一項的含義不同 為彈性力K 為阻尼力 C ? & M 對于單元體而言，可以得到類似的上述方程對于單元體而言，可以得到類似的上述方程 ee

3、eeeee pkcm & 第五章第五章 有限元動力學(xué)分析基本原有限元動力學(xué)分析基本原 理理 第2頁/共48頁 單元質(zhì)量矩陣根據(jù)其形成過程分為一致質(zhì)量陣和單元質(zhì)量矩陣根據(jù)其形成過程分為一致質(zhì)量陣和 集中質(zhì)量陣，各有自身的優(yōu)點和缺點。集中質(zhì)量陣，各有自身的優(yōu)點和缺點。 1.1.一致質(zhì)量矩一致質(zhì)量矩 陣陣 一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 在離散后的結(jié)構(gòu)中，取出一個單元，根據(jù)達(dá)朗貝在離散后的結(jié)構(gòu)中，取出一個單元，根據(jù)達(dá)朗貝 爾原理，單位體積上作用的慣性力為：爾原理，單位體積上作用的慣性力為： 慣性力是分布力，按分布力向節(jié)點等效的原則和慣性力是分布力，按分布力向節(jié)點等效的原則和 實施過程，

4、有：實施過程，有： ee t NN tt q 2 2 2 2 2 2 第3頁/共48頁 一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 1.1.一致質(zhì)量矩一致質(zhì)量矩 陣陣 于是，令于是，令 e V T V e T T V e q dVNN dV t NN dVqNR 2 2 V T e dVNNm 第4頁/共48頁 一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 1.1.一致質(zhì)量矩一致質(zhì)量矩 陣陣 的計算式是通式，并因為計算質(zhì)量矩陣和剛度的計算式是通式，并因為計算質(zhì)量矩陣和剛度 矩陣使用的形狀函數(shù)一致，因此被稱為一致質(zhì)量陣矩陣使用的形狀函數(shù)一致，因此被稱為一致質(zhì)量陣 。 e m 2.2.集中質(zhì)量矩

5、集中質(zhì)量矩 陣陣 在工程實際中，為了求解方便，有人把單元質(zhì)量在工程實際中，為了求解方便，有人把單元質(zhì)量 平均分到單元的各個節(jié)點上，如平面三角形單元的平均分到單元的各個節(jié)點上，如平面三角形單元的 質(zhì)量可分配為：質(zhì)量可分配為： V kji dVmmm 3 第5頁/共48頁 一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 2.2.集中質(zhì)量矩集中質(zhì)量矩 陣陣 單元質(zhì)量矩陣為單元質(zhì)量矩陣為 ： kkjjii e mmmmmmdiagm 3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量矩陣 一次桿單元一次桿單元 21 12 6 2 221 21 2 1 21 2 1 l dxA dxAdxNNAm l l

6、T l e 第6頁/共48頁 一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量矩陣 二次桿單元二次桿單元 1688 841 814 30 4 2 2 4 2 2 21 2 2 2 1 2 1 21 2 2 2 1 2 1 Al dxAdxNNAm T l T l e 第7頁/共48頁 一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量矩陣 三次梁單元三次梁單元 22 22 422313 221561354 313422 135422156 420 llll ll llll ll Al me 第8頁/共48

7、頁 一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量矩陣 三角形平面問題單元三角形平面問題單元 2 02 102 0102 10102 010102 12 稱對 t me 第9頁/共48頁 一、單元質(zhì)量矩陣的計算一、單元質(zhì)量矩陣的計算 3.3.常用單元的一致質(zhì)量矩陣常用單元的一致質(zhì)量矩陣 矩形平面問題單元矩形平面問題單元 4 04 204 0204 10204 010204 2010204 02010204 9 稱對 abt me 第10頁/共48頁 二、單元阻尼矩陣的計算二、單元阻尼矩陣的計算 阻尼矩陣非常復(fù)雜，主要是阻尼本身的復(fù)雜性引阻尼矩陣非

8、常復(fù)雜，主要是阻尼本身的復(fù)雜性引 起的，一般均為假設(shè)，如阻尼力正比于單元的運動起的，一般均為假設(shè)，如阻尼力正比于單元的運動 速度，此時得到的阻尼矩陣正比于單元質(zhì)量矩陣；速度，此時得到的阻尼矩陣正比于單元質(zhì)量矩陣； 也可以假設(shè)阻尼力正比于單元的應(yīng)變速度，此時得也可以假設(shè)阻尼力正比于單元的應(yīng)變速度，此時得 到的阻尼矩陣則正比于單元剛度矩陣，還有一些其到的阻尼矩陣則正比于單元剛度矩陣，還有一些其 他類型的假設(shè)，如上述兩者的組合，分別有：他類型的假設(shè)，如上述兩者的組合，分別有： eee ee ee kmc kc mc 第11頁/共48頁 二、單元阻尼矩陣的計算二、單元阻尼矩陣的計算 對于組合阻尼，如已

9、知結(jié)構(gòu)的阻尼比及結(jié)構(gòu)的固對于組合阻尼，如已知結(jié)構(gòu)的阻尼比及結(jié)構(gòu)的固 有頻率，其計算方法有：有頻率，其計算方法有： 2222 )(2)(2 ij iijj ji ij ijji 如果如果 jiji ji 2 2 ji 則則 第12頁/共48頁 1.1.結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的運動方程結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的運動方程 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動固有頻率和振型問題，在有限元機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動固有頻率和振型問題，在有限元 方法求解釋，對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題既是矩陣的特征值和方法求解釋，對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題既是矩陣的特征值和 特征向量問題。關(guān)于矩陣的特征值及特征向量問題特征向量問題。關(guān)

10、于矩陣的特征值及特征向量問題 ，是矩陣?yán)碚撝斜容^熱門的研究領(lǐng)域，下面我們僅，是矩陣?yán)碚撝斜容^熱門的研究領(lǐng)域，下面我們僅 簡單地羅列以下常見方法的名稱，具體的方法求解簡單地羅列以下常見方法的名稱，具體的方法求解 步驟，可以參考有關(guān)書籍，有大量的軟件保重均包步驟，可以參考有關(guān)書籍，有大量的軟件保重均包 含求解特征值和特征向量的軟件程序。含求解特征值和特征向量的軟件程序。 結(jié)構(gòu)在無外力作用時，得到的是自由振動，此時結(jié)構(gòu)在無外力作用時，得到的是自由振動，此時 阻尼影響不大，結(jié)構(gòu)的自由振動可簡化為：阻尼影響不大，結(jié)構(gòu)的自由振動可簡化為： 0KM 第13頁/共48頁 1.1.結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動的運動方程結(jié)

11、構(gòu)無阻尼自由振動的運動方程 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 設(shè)結(jié)構(gòu)作簡諧運動設(shè)結(jié)構(gòu)作簡諧運動 tsin 0 代入無阻尼振動方程，可得代入無阻尼振動方程，可得 0 0 2 MK 上式解存在的條件為上式解存在的條件為 0 2 MK 這是計算方法中最典型的特征值問題。這是計算方法中最典型的特征值問題。 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 這種方法用于求解基頻或最高階頻是很有效的，并這種方法用于求解基頻或最高階頻是很有效的，并 且能得到相應(yīng)的特征向量。且能得到相應(yīng)的特征向量。 0 2 0 MK將無阻尼自由振動方程改寫將無阻尼自由振動方程改寫 為為 第14頁/共48頁 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有

12、頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 0 2 0 1 KM 即有即有 0 2 0 S 迭代步迭代步 驟驟 )0( 令令 )1( 2 )1( )0( S 代入代入 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 ）（ 和 1 2 )1( 求得求得 )2( 2 )2( 1 ）（ S 再代入再代入 )1( 2 )1( i i i S ）（ 以此類以此類 推推 )1(kk）（ 收斂條收斂條 件件第15頁/共48頁 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 330 352 023 300 020 001 KM 例題：已知一振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣用迭例題：已知一振動系統(tǒng)的

13、質(zhì)量矩陣、剛度矩陣用迭 代法計算其最高階固有頻率和振型。代法計算其最高階固有頻率和振型。 3/100 02/10 001 1 M 解解 ： 第16頁/共48頁 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 110 5 . 15 . 21 023 1 SMS 在開始迭代時，需選取初始迭代向量，可以按經(jīng)在開始迭代時，需選取初始迭代向量，可以按經(jīng) 驗估計，也可以用靜力學(xué)特性的位移值，選得合適驗估計，也可以用靜力學(xué)特性的位移值，選得合適 可以減少迭代時間。先假設(shè)：可以減少迭代時間。先假設(shè)： T 111 )0( 于是有于是有 0 0 1 1 1 1 110 5 .

14、 15 . 21 023 )0( S 第17頁/共48頁 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 T 0011 )1( 2 )1( 推推 得得 0 3 1 1 3 0 0 1 110 5 . 15 . 21 023 )1( S 繼續(xù)迭代繼續(xù)迭代 T 03/113 )2( 2 )2( 推推 得得 1 . 0 5 . 0 1 6 . 3 0 3/1 1 110 5 . 15 . 21 023 )2( S 繼續(xù)迭代繼續(xù)迭代 第18頁/共48頁 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 如此繼續(xù)迭代，經(jīng)過如此繼續(xù)

15、迭代，經(jīng)過1010次迭代，可得次迭代，可得 20467. 0 69300. 0 1 386. 4 2047. 0 693. 0 1 110 5 . 15 . 21 023 )10( S 2047. 0 6930. 0 1 20467. 0 69300. 0 1 )10()11( 推推 得得 T 205. 0693. 01386. 4 )11( 2 )11( 2 于于 是是 第19頁/共48頁 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 得到的固有頻率是最高階頻率，因為振型的變化是：得到的固有頻率是最高階頻率，因為振型的變化是： 205. 0693. 0

16、1 符號變化兩次，振系是符號變化兩次，振系是3 3自由度，因此，得到的是第自由度，因此，得到的是第 3 3階頻率和振型。階頻率和振型。 在工程實際中，人們一般關(guān)心的主要是結(jié)構(gòu)的低階在工程實際中，人們一般關(guān)心的主要是結(jié)構(gòu)的低階 頻率。因此，在進(jìn)行迭代過程中作適當(dāng)?shù)淖儞Q，使頻率。因此，在進(jìn)行迭代過程中作適當(dāng)?shù)淖儞Q，使 矩陣不按矩陣不按 為特征值進(jìn)行迭代，而是按為特征值進(jìn)行迭代，而是按 為特為特 征值進(jìn)行迭代，從而得到征值進(jìn)行迭代，從而得到 的最大值，也是的最大值，也是 的最小值。的最小值。 2 2 /1 2 /1 2 第20頁/共48頁 KM MK 0 1 MK 1 兩邊同左乘兩邊同左乘 ，得到，

17、得到 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 在計算過程中，引入?yún)?shù)在計算過程中，引入?yún)?shù) 2 1 將其代入無阻尼自由振動運動方程，則有將其代入無阻尼自由振動運動方程，則有 1 K T MKT 1 令 第21頁/共48頁 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 依次類推依次類推 采用前述的迭代步驟，用采用前述的迭代步驟，用 代替代替 ，即可得到，即可得到 值值 T S ) 1 ( ) 1 ( )0( T ) 1( 1 )( i i i T ）（ 直直 到到 ）（1)( - kk 停止迭代停止迭代 ）（

18、1 2 1 i 得得 到到 ) 1( i 此時為低階特性此時為低階特性 第22頁/共48頁 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 330 352 023 300 020 001 KM 例題：已知一振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣用迭例題：已知一振動系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣用迭 代法計算其最高階固有頻率和振型。代法計算其最高階固有頻率和振型。 6/115 . 11 5 . 15 . 11 111 1 K 解解 ： 第23頁/共48頁 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 5 . 531 5 . 431 3

19、21 1 MKT 于于 是是 6 . 1 4 . 1 1 6 1 1 1 5 . 531 5 . 431 321 )0( T 仍仍 選選 T 111 )0( 第24頁/共48頁 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 2.2.矩陣迭代法矩陣迭代法 6287. 1 4433. 1 1 773. 8 629. 1 443. 1 1 768. 8 628. 1 442. 1 1 6 . 8 繼續(xù)迭代繼續(xù)迭代 從而得到從而得到 T 629. 1443. 11114. 0 1 )4( 4 2 ）（ 第25頁/共48頁 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 3.3.用濾波

20、法計算最低用濾波法計算最低n n階特征對階特征對 工程中關(guān)心的不僅是最低階特征對，而是最低階工程中關(guān)心的不僅是最低階特征對，而是最低階 的的n n階特征對，這是僅用迭代法不行，可用濾波法階特征對，這是僅用迭代法不行，可用濾波法 。 4.4.行列式搜索法行列式搜索法 這一方法利用特征值分離定理，通過對稱矩陣的這一方法利用特征值分離定理，通過對稱矩陣的 三角分解計算矩陣的行列式值，用加速割線法求出三角分解計算矩陣的行列式值，用加速割線法求出 靠近下一個未知特征值的移動，然后用移位逆迭代靠近下一個未知特征值的移動，然后用移位逆迭代 求特征向量。求特征向量。 第26頁/共48頁 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與

21、振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 5.5.廣義雅克比法廣義雅克比法 廣義雅克比法通過廣義雅克比旋轉(zhuǎn)矩陣把剛度廣義雅克比法通過廣義雅克比旋轉(zhuǎn)矩陣把剛度 矩陣和質(zhì)量矩陣同時變換成對角矩陣，然后求得矩陣和質(zhì)量矩陣同時變換成對角矩陣，然后求得 特征值和特征向量，當(dāng)矩陣階數(shù)不高時，求解速特征值和特征向量，當(dāng)矩陣階數(shù)不高時，求解速 度較快。度較快。 6.6.子空間迭代法法子空間迭代法法 子空間迭代法是瑞利子空間迭代法是瑞利- -李茲法和同時逆迭代法結(jié)李茲法和同時逆迭代法結(jié) 合的產(chǎn)物，用于僅求解工程問題的低階固有特征合的產(chǎn)物，用于僅求解工程問題的低階固有特征 對，求解速度非?？?。對，求解速度非常快。 第27

22、頁/共48頁 三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振三、機(jī)械結(jié)構(gòu)固有頻率與振 型型 7.7.蘭索斯法蘭索斯法 蘭索斯法也是迭代法的一種，這是目前求解低蘭索斯法也是迭代法的一種，這是目前求解低 階特征值和特征向量速度最快的一種，有興趣的階特征值和特征向量速度最快的一種，有興趣的 同學(xué)可以參閱同學(xué)可以參閱振動與沖擊振動與沖擊雜志雜志19871987年第年第3 3期期 上吳立系老師的文章上吳立系老師的文章“求解大型稀疏對稱矩陣廣求解大型稀疏對稱矩陣廣 義特征值問題的義特征值問題的LanczosLanczos方法及通用程序方法及通用程序”。 8.8.奇異剛度矩陣的處理奇異剛度矩陣的處理 采用移軸技術(shù)，在彈性位能中加

23、入部分給定的采用移軸技術(shù)，在彈性位能中加入部分給定的 動能，以便使剛度矩陣成為正定矩陣，關(guān)鍵在移動能，以便使剛度矩陣成為正定矩陣，關(guān)鍵在移 軸系數(shù)的確定。軸系數(shù)的確定。 第28頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 機(jī)械結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)計算是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的另一個主機(jī)械結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)計算是結(jié)構(gòu)動力學(xué)的另一個主 要問題，最常用的方法有振型疊加法和直接積分法要問題，最常用的方法有振型疊加法和直接積分法 。 1.1.振型疊加法振型疊加法 設(shè)結(jié)構(gòu)的運動方程為設(shè)結(jié)構(gòu)的運動方程為 )(tPKCM 并設(shè)已求得其無阻尼自由振動的頻率和振型，記并設(shè)已求得其無阻尼自由振動的頻率和振型，記

24、為第為第i i階固有振型，則有振型的線性疊加來表示運動階固有振型，則有振型的線性疊加來表示運動 狀態(tài)的結(jié)構(gòu)位移為狀態(tài)的結(jié)構(gòu)位移為 i0 )()()( 0220110 tztztz nn 第29頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 1.1.振型疊加法振型疊加法 令令 n020100 )()()( 21 tztztzz n 則則 z 0 z 0 z& & & 0 )( 000 tPzKzCzM )( 0000000 tPzKzCzM TTTT IM T 00 22 2 2 100n T diagK nn T diagC222 221100 第30頁/共48頁 四、機(jī)

25、械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 1.1.振型疊加法振型疊加法 于是，振動方程解耦為于是，振動方程解耦為 )(2 )(2 )(2 0 2 202 2 22222 101 2 11111 tpzzz tpzzz tpzzz T nnnnnnn T T & M & & )()()( 21 tztztz n ， 依次用求解常微分方程的方法可以得到解：依次用求解常微分方程的方法可以得到解： 再代回再代回 z 0 可以得到問題的解可以得到問題的解 。 第31頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 1.1.振型疊加法振型疊加法 通常情況下，高階振型對動力響應(yīng)影

26、響較小，通常情況下，高階振型對動力響應(yīng)影響較小， 因此，只取最低的因此，只取最低的3 35 5階（階（1010）階振型就可以）階振型就可以 得到滿意精度的動力響應(yīng)。得到滿意精度的動力響應(yīng)。 2.2.直接積分法直接積分法 對于動力學(xué)方程對于動力學(xué)方程 )(tPKCM 假設(shè)已知其初始條假設(shè)已知其初始條 件件 000 如果將求解時間如果將求解時間T T等分成等分成n nT T個時間區(qū)間個時間區(qū)間 ，并能，并能 通過前若干個時刻的解來確定下一時刻的解，就通過前若干個時刻的解來確定下一時刻的解，就 可獲得問題的解，直接積分法可以解決這一問題可獲得問題的解，直接積分法可以解決這一問題 。 t 第32頁/共

27、48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 2.2.直接積分法直接積分法 直接積分中對動力學(xué)方程是逐步地進(jìn)行數(shù)值積分的直接積分中對動力學(xué)方程是逐步地進(jìn)行數(shù)值積分的 ，“直接直接”的意思是指：進(jìn)行數(shù)值積分前沒有進(jìn)行把的意思是指：進(jìn)行數(shù)值積分前沒有進(jìn)行把 方程變?yōu)榱硪环N形式的變換。方程變?yōu)榱硪环N形式的變換。 直接積分有兩個假設(shè)，一個是動力學(xué)方程的解只在直接積分有兩個假設(shè)，一個是動力學(xué)方程的解只在 相隔相隔 的一些離散時間區(qū)間上滿足方程，而不要求的一些離散時間區(qū)間上滿足方程，而不要求 在任意時刻都滿足方程；另一個是假設(shè)位移速度和加在任意時刻都滿足方程；另一個是假設(shè)位移速度和加 速

28、度在每一個時間區(qū)間速度在每一個時間區(qū)間 內(nèi)按一定的規(guī)律變化。內(nèi)按一定的規(guī)律變化。 t t 直接積分法有中心差分法、直接積分法有中心差分法、HouboltHoubolt法、法、Wilson- Wilson- 法、法、NewmarkNewmark和龍格和龍格- -庫塔法。庫塔法。 第33頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 2.2.直接積分法直接積分法 中心差分法中心差分法 對于加速度對于加速度 tttttt t 2 1 2 上式的誤差為上式的誤差為 高階小量高階小量2t 對于速度對于速度 ttttt t 2 1 方程在方程在t t時刻時刻 為為 tttt PKCM

29、 將速度和加速度的差分格式代入方程，可以得到將速度和加速度的差分格式代入方程，可以得到 第34頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 2.2.直接積分法直接積分法 tt tttt C t M t M t KPC t M t ) 2 11 ( ) 2 () 2 11 ( 2 22 中心差分法中心差分法 顯然，求解顯然，求解 ，需要，需要2 2個初始條件個初始條件 和和 tt tt t 我們有初始條件我們有初始條件 ，根，根 據(jù)據(jù) 000 、 tt tt t t -0 0 2 0 2 1 2 1 第35頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算

30、算 2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法 可以解得可以解得 0 2 00 2 t t t 注意，有注意，有 0 2 00 2 t t t 于是，可以求得方程的解。歸納起來后，中心差分于是，可以求得方程的解。歸納起來后，中心差分 法的計算步驟為法的計算步驟為2 2大步，大步，9 9小步。小步。 第36頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法 第一步：初始計算第一步：初始計算 23021 2 0 12211aaaatata 1.1.形成形成 CKM、 2.2.計算初始值計算初始值 000 、 3.3.選取時間

31、步長選取時間步長 , ,并計算積分常數(shù)并計算積分常數(shù) cr ttt , 4.4.計算計算 0300- at t 5.5.形成有效質(zhì)量陣形成有效質(zhì)量陣: : CaMaM 10 6.6.做三角分解做三角分解: : T LDLM 第37頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法 第二步：對每一時間步長第二步：對每一時間步長 ttttt CaMaMaKPP )()( 102 7.7.計算在時刻計算在時刻t t的有效載的有效載 荷荷 8.8.求解在時刻求解在時刻 的位移的位移 tt ttt T PLDL 9.9.如果需要，計算時

32、刻如果需要，計算時刻 的速度和加速度的速度和加速度 tt )( )2( 1 0 ttttt tttttt a a 第38頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法 說明說明 ： 1. 1. 的取的取 值值 t 是結(jié)構(gòu)最高頻率對應(yīng)的周期，是最小周期是結(jié)構(gòu)最高頻率對應(yīng)的周期，是最小周期 。 cr t ncr Ttt 2.2.求解方程是顯式差分，對于對角線質(zhì)量陣和求解方程是顯式差分，對于對角線質(zhì)量陣和 無阻尼振動求解很方便，可以直接求解，不需無阻尼振動求解很方便，可以直接求解，不需 進(jìn)行三角分解。進(jìn)行三角分解。 第39頁/共

33、48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法 例題：一個二自由度振動系統(tǒng)，其動力方程為例題：一個二自由度振動系統(tǒng)，其動力方程為 ： 10 0 42 26 10 02 2 1 2 1 & & 已知該系統(tǒng)的自由振動周期為已知該系統(tǒng)的自由振動周期為 ，試用中心差，試用中心差 分法求解步長為分法求解步長為 和和 時，方程的解時，方程的解 。 8 . 2 2 T 10 2 Tt 2 10Tt 解：取解：取1212個步長的系統(tǒng)響應(yīng)，假設(shè)個步長的系統(tǒng)響應(yīng)，假設(shè) 0,0 00 10 0 0 0 42 26 10 02 2 1 計算計算 0 第

34、40頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法 考慮考慮 ，有，有 0392. 0 1 ,5 .252 79. 1 28. 02 1 ,8 .12 )28. 0( 1 2 302 120 a aaa aa 10 0 0 28. 0t 因而有因而有 392. 0 0 10 0 0392. 0 0 0 28. 0 0 0 t 第41頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 2.2.直接積分法直接積分法中心差分法中心差分法 8 .120 05 .25 00 00 79. 1 10 02 8 .12 M tttt P 8 .120 05 .25 5 .212 245 10 0 對每個時刻步長求解方程對每個時刻步長求解方程 ttt P 8 .120 05 .25 時間時間 t2t3t4t5t6t7t8t9t10t11t12t 100.030.170.491.021.702.402.913.072.772.041.02 20.391.452.834.145.025.264.904.173.372.782.542.60 第42頁/共48頁 四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計四、機(jī)械結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的計 算算 2.2.直接積分法直接積分法 HouboltHoubolt法法 )291811( 6 1