數(shù)值分析例題

1、數(shù)數(shù) 值值 分分 析析 第一章第一章 緒論與誤差分析緒論與誤差分析 1 1 緒論：數(shù)值分析的研究內(nèi)容緒論：數(shù)值分析的研究內(nèi)容 2 2 誤差的來源和分類誤差的來源和分類 3 3 誤差的表示誤差的表示 4 4 誤差的傳播誤差的傳播 5 5 算法設(shè)計的若干原則算法設(shè)計的若干原則 例例1-3 1-3 設(shè)設(shè) x*=2.18是由精確值是由精確值x 經(jīng)過四舍五入得到的經(jīng)過四舍五入得到的 近似值。問近似值。問 x的絕對誤差限的絕對誤差限和相對誤差限和相對誤差限各是多少？各是多少？ 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)?x=x * 0.005 ， 關(guān)于近似數(shù)誤差的大小除了用絕對誤差、相對誤差關(guān)于近似數(shù)誤差的大小除了用絕對誤差、相對

2、誤差 度量以外，還可以用有效數(shù)字度量，下面給出有效數(shù)字度量以外，還可以用有效數(shù)字度量，下面給出有效數(shù)字 的概念。的概念。 所以所以絕對誤差限絕對誤差限為為=0.005 %23.0 18.2 005.0 * x 相對誤差限相對誤差限為為 1415926. 3 001. 0 1 14159. 3,142. 3,14. 3 321 三、有效數(shù)字三、有效數(shù)字 一個數(shù)的近似數(shù)往往是通過四舍五入的原則求得，例如一個數(shù)的近似數(shù)往往是通過四舍五入的原則求得，例如 取以下近似數(shù)取以下近似數(shù) 可以發(fā)現(xiàn)每一個近似數(shù)的絕對誤差限都不超過近似數(shù)可以發(fā)現(xiàn)每一個近似數(shù)的絕對誤差限都不超過近似數(shù) 末尾數(shù)位的半個單位。如果一個

3、近似數(shù)滿足這個條件，末尾數(shù)位的半個單位。如果一個近似數(shù)滿足這個條件， 就把這個近似數(shù)從末尾到第一位非零數(shù)字之間的所有數(shù)就把這個近似數(shù)從末尾到第一位非零數(shù)字之間的所有數(shù) 字叫做字叫做有效數(shù)字有效數(shù)字。 0004. 0 2 000002. 0 3 2 10 2 1 005. 0 3 10 2 1 0005. 0 5 10 2 1 000005. 0 則分別得到這些近似數(shù)的絕對誤差則分別得到這些近似數(shù)的絕對誤差 結(jié)論：結(jié)論：通過四舍五入通過四舍五入 原則求得的近似數(shù)，原則求得的近似數(shù)， 其有效數(shù)字就是從末其有效數(shù)字就是從末 尾到第一位非零數(shù)字尾到第一位非零數(shù)字 之間的所有數(shù)字。之間的所有數(shù)字。 則稱

4、近似數(shù)則稱近似數(shù) x* 具有具有 n 位位有效數(shù)字有效數(shù)字。 定義定義1.3 設(shè)數(shù)設(shè)數(shù) x 的近似值可以表示為的近似值可以表示為 m n x10. 0 21 * 其中其中 m 是整數(shù)是整數(shù),i (i=1,2, , n) 是是0到到9 中的一個數(shù)字，中的一個數(shù)字， 而而1 0. 如果如果其絕對誤差限為其絕對誤差限為 例如近似數(shù)例如近似數(shù) x*=2.0004 ，其絕對誤差限為其絕對誤差限為 由科學(xué)計數(shù)法由科學(xué)計數(shù)法 x* = 0.20004101 得到得到 514* 10 2 1 10 2 1 xx 故，該近似數(shù)有五位有效數(shù)字故，該近似數(shù)有五位有效數(shù)字。 *4 1 10 2 xx 是末尾數(shù)是末尾數(shù)

5、 位的半個位的半個 單位，即單位，即 由四舍五由四舍五 入得來入得來 小結(jié)：由科學(xué)計小結(jié)：由科學(xué)計 數(shù)法表示的數(shù)字?jǐn)?shù)法表示的數(shù)字 ，若其絕對誤差，若其絕對誤差 限滿足不等式，限滿足不等式， 則有則有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字 * 1 10 2 m n xx 例例1-4 1-4 下列近似數(shù)是通過四舍五入的方法得到的，試下列近似數(shù)是通過四舍五入的方法得到的，試 判定它們各有幾位有效數(shù)字：判定它們各有幾位有效數(shù)字： 解：我們可以直接根據(jù)近似數(shù)來判斷有效數(shù)字的位數(shù)，解：我們可以直接根據(jù)近似數(shù)來判斷有效數(shù)字的位數(shù)， 也可以通過絕對誤差限來判斷。也可以通過絕對誤差限來判斷。 有有5 5位有效數(shù)字。同理可以寫出

6、位有效數(shù)字。同理可以寫出 可以得出可以得出 x2 , x3 , x4 各具有各具有4、3、4 位有效數(shù)字位有效數(shù)字。 x1* =87540，x2*=875410, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 10-2 11 1 2 xx 5 1 0.87540 10 x 而 55 11 10 2 1 xx所以 1 22 1 10 2 xx 5 2 0.875410 x 54 22 1 10 2 xx 5 33 1 10 2 xx 6 44 1 10 2 xx 2 3 0.34510 x 2 4 0.345010 x -23 33 1 10 2 xx 24 44 1 10 2 xx 已已

7、知知 * 1 1 0 2 mn xx 例例1-4 已知已知 e =2.718281828, 試判斷下面兩個近似試判斷下面兩個近似 數(shù)各有幾位有效數(shù)字?jǐn)?shù)各有幾位有效數(shù)字？ 6 1 10 2 1 0000005. 00000001. 0 ee 718281. 2,718282. 2 21 ee 615 2 10 2 1 10 2 1 000005. 00000008. 0 ee 解解：由于由于 而而 1 1 102718282. 0718282. 2 e 所以所以 716 1 10 2 1 10 2 1 0000005. 00000001. 0 ee e1有有7 7位有效數(shù)字。同理：位有效數(shù)字。同

8、理： e2 只有只有6 6位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 三、絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字的關(guān)系三、絕對誤差、相對誤差、有效數(shù)字的關(guān)系 2 2、絕對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系、絕對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系 x xx xexxxe r * * )(,)( , )( )( x xe xer 得到得到： 1 1、絕對誤差與相對誤差的關(guān)系、絕對誤差與相對誤差的關(guān)系 nm xx 10 2 1 * 可以知道：有效數(shù)字位數(shù)越多，絕對誤差限越小?？梢灾溃河行?shù)字位數(shù)越多，絕對誤差限越小。 由關(guān)系式：由關(guān)系式： )()(xxexe r 或或者者 m n x10. 0* 21 3 3、相對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系、相對誤差與有效數(shù)

9、字的關(guān)系 由近似數(shù)由近似數(shù) 得到相對誤差限得到相對誤差限 nm xx 10 2 1 * 可以看出：可以看出：有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差限越小。有效數(shù)字位數(shù)越多，相對誤差限越小。 及及 12 *0.10m n x 1 12 .10m n 1 1 10m * (1) 1 11 1 10 1 2 ( )10 102 m n n r m xx e x xaa 解解：由于由于 ，則近似值則近似值 x* 可寫可寫 為為 4.420 12 *0.10 n x = = L L04 1 例例 1-5 為了使為了使 的近似值的相對誤差小于的近似值的相對誤差小于 10-3， 問應(yīng)取幾位有效數(shù)字？問應(yīng)取幾位有效數(shù)字？

10、 20 x 根據(jù)根據(jù) )1( 1 1 1 * 10 2 1 10 10 2 1 )( n m nm r x xx xe 3)1( 1010 42 1 n 只要只要即可即可, 解得：解得：n4 ， 故只要取故只要取 n=4 , 就可滿足要求就可滿足要求。 即應(yīng)取即應(yīng)取 4 4 位有效數(shù)字位有效數(shù)字， 472135.420 準(zhǔn)確數(shù)為準(zhǔn)確數(shù)為： 此時此時 x =4.472 . 練習(xí)練習(xí)1.1: 判斷下列近似數(shù)個有幾位有效數(shù)字，用判斷下列近似數(shù)個有幾位有效數(shù)字，用 絕對誤差限表示。絕對誤差限表示。 注意注意：精確值的有效數(shù)字可以認(rèn)為有無限多位。如：精確值的有效數(shù)字可以認(rèn)為有無限多位。如： 50000.

11、0 2 1 x1*=24.67 x2*=385010 3 x3*=0.674210 -2 x4*=0.000374 x5*=0.8400 習(xí)習(xí) 題題 一一 1-1 1-1 下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值。試分下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值。試分 別指出它們的絕對誤差限，相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。別指出它們的絕對誤差限，相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。 a=0.0315, b=0.3015, c=31.50, d=5000 1-2 下列近似值的絕對誤差限都是下列近似值的絕對誤差限都是0.005, a=-1.00031 , b=0.042 , c=-0.00032 試指出它們有幾位有效數(shù)

12、字。試指出它們有幾位有效數(shù)字。 1-3 為了使為了使 的近似值的相對誤差小于的近似值的相對誤差小于0.01%，試，試 問應(yīng)取幾位有效數(shù)字？問應(yīng)取幾位有效數(shù)字？ 10 1-4 求方程求方程 x2-56x+1=0 的兩個根，使它們至少具有四位的兩個根，使它們至少具有四位 有效數(shù)字有效數(shù)字 .964.553132 1-6 設(shè)設(shè) ,假定假定 g 是精確的，而對時間是精確的，而對時間 t 的測的測 量有量有 0.1s 的誤差。證明：當(dāng)?shù)恼`差。證明：當(dāng)t 增大時增大時，S 的絕對誤的絕對誤 差增大而相對誤差減小差增大而相對誤差減小. . 2 2 1 gtS 1-5 若取若取 及初始值及初始值 y0=28

13、,按遞推公式按遞推公式 983.27783 , 2 , 1,783 100 1 1 nyy nn 計算計算 y100，試估計試估計y100 有多大誤差有多大誤差。 第二章第二章 代數(shù)插值代數(shù)插值 求解求解 L1(x)=a1 x+a0 i x i y 0 x 1 x 0 y 1 y 已知已知 使得使得 f(x) L1(x), x x0 , x1. 1 01 0 0 10 1 y xx xx y xx xx 根據(jù)點(diǎn)斜式得到根據(jù)點(diǎn)斜式得到 )()( 0 01 01 01 xx xx yy yxL )( 1 xLy )(xfy 0 x 1 x O x y 如果令如果令 10 1 0 )( xx xx

14、xl 01 0 1 )( xx xx xl 則稱則稱 l0(x) , l1(x)為一次插值多項(xiàng)式的為一次插值多項(xiàng)式的基函數(shù)基函數(shù)。這時。這時 ： 并稱其為一次并稱其為一次Lagrange插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 0)(, 1)( 1000 xlxl 1)(, 0)( 1101 xlxl f(x) L1(x)=y0l0(x)+y1 l1(x) 求解求解 L2(x)=a2x2+a1 x+a0 使得使得 f(x) L2(x), x x0 , x2. 關(guān)于二次多項(xiàng)式的構(gòu)造采用如下方法：令關(guān)于二次多項(xiàng)式的構(gòu)造采用如下方法：令 已知已知 i x i y 0 x 1 x 0 y 1 y 2 x 2 y 并由

15、插值條件并由插值條件 得到得到 )( 2010 0 xxxx y A )( 2101 1 xxxx y B )( 1202 2 xxxx y C L2(x)=A(x-x1)(x-x2)+B(x-x0)(x-x2)+C(x-x0)(x-x1) L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2 于是得到于是得到 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21 2 )( )( )( )( )( )( )(y xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx xL 則有則有 ji ji xl ijij , 0 , 1 )( f(x) L2(x)=y0l0

16、(x)+y1 l1(x)+ y2 l2(x) 2 0 2 0j j ij i ji i y xx xx )( )( )( 2010 21 0 xxxx xxxx xl 如果令如果令 )( )( )( 2101 20 1 xxxx xxxx xl )( )( )( 1202 10 2 xxxx xxxx xl 并稱其為二次并稱其為二次Lagrange 插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 緊湊格式緊湊格式 則稱則稱 l0(x) , l1(x)，l (x)為二次插值多項(xiàng)式的 為二次插值多項(xiàng)式的基函數(shù)基函數(shù)。這時。這時 ： 這樣，就得到二次拉格朗日插值多項(xiàng)式的三種表示形式這樣，就得到二次拉格朗日插值多項(xiàng)式的三種

17、表示形式 2 0 2 0 2 )( j j ij i ji i y xx xx xL 緊湊格式緊湊格式 這樣就得到在區(qū)間這樣就得到在區(qū)間a,b上關(guān)于上關(guān)于 f(x) 的近似計算式的近似計算式 2 0 2 )()( j jj xlyxL 基函數(shù)表示基函數(shù)表示 j j jj y xxx x xL 2 0 3 3 2 )()( )( )( 3(x)表示式表示式 ,),()( 202 xxxxLxf 下面給出下面給出n次拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造次拉格朗日插值多項(xiàng)式的構(gòu)造。 已知已知n+1組離散數(shù)據(jù)組離散數(shù)據(jù) i x i y 0 x 1 x 0 y 1 y n x n y 按照二次按照二次Lagrang

18、e插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，令：插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，令： )()( )()()()()( 110 201210 nn nnn xxxxxxA xxxxxxAxxxxxxAxL 將插值條件將插值條件 Ln( x0 )= y0 代入，得到：代入，得到： )()( 02010 0 0 n xxxxxx y A 同理，由插值條件同理，由插值條件 Ln( x1 )= y1 ，得到：得到： )()( 12101 1 1 n xxxxxx y A ),(),( )!1( )( )()()( 1 )1( bax n f xLxfxR n n nn 對于誤差估計式對于誤差估計式 當(dāng)當(dāng)n=1時時 )( ! 2 )(

19、 )()()( 1011 xxxx f xLxfxR 如果如果)(max , 2 xfM bax 存在，則可以估計誤差限：存在，則可以估計誤差限： )(max)(max 2 1 )( 10 , 1 1010 xxxxxfxR xxxxxx 2 012 2 01 2 )( 8 1 4 )( 2 1 xxM xx M 于是，得到如下于是，得到如下Lagrange插值多項(xiàng)式及其誤差估計插值多項(xiàng)式及其誤差估計 這里這里 f(x) =Ln(x)+Rn(x) 當(dāng)當(dāng) f(x) Ln(x) 時，誤差為時，誤差為Rn(x)。 ),(),( )!1( )( )( 1 )1( bax n f xR n n n n

20、j j ij i n ji i n y xx xx xL 00 )(j n j jnj n n y xxx x xL 0 1 1 )()( )( )( )()()( 2103 xxxxxxx 例例2 已知已知 分別用線性插值和二次插值計算分別用線性插值和二次插值計算 sin0.3367. 352274. 036. 0sin,333487. 034. 0sin,314567. 032. 0sin 解：設(shè)解：設(shè)36.0,34.0,32.0 210 xxx 352274. 0,333487. 0,314567. 0 210 yyy （1）?。┤?x0 ,x1 作線性插值作線性插值 1 01 0 0

21、10 1 1 )(y xx xx y xx xx xL )32. 0( 02. 0 333487. 0 )34. 0( 02. 0 314567. 0 xx 于是于是 330365.0)3367.0(3367.0sin 1 L 關(guān)于誤差，由關(guān)于誤差，由 )( 2 sin )( !2 )( )( 10101 xxxxxxxx f xR 得到：得到： )34. 03367. 0)(32. 03367. 0(333487. 0 2 1 )3367. 0( 1 R 5 10918923. 0 0.320.3250.330.3350.34 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.320.3250.3

22、30.3350.34 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 )(max)(max 2 1 )( 10 , 1 1010 xxxxxfxR xxxxxx （2 2）. .取取 x0 ,x1 ,x2 作二次插值作二次插值 330374.0)3367.0(3367.0sin 2 L 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21 2 )( )( )( )( )( )( )(y xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx xL 得到得到 關(guān)于誤差，由關(guān)于誤差，由 )()( 6 cos )()( ! 3 )( )( 2102102

23、 xxxxxxxxxxxx f xR )()( 6 cos )()( ! 3 )( )( 2102102 xxxxxxxxxxxx f xR 得到得到 )36. 03367. 0)(34. 03367. 0)(32. 03367. 0(1 6 1 )3367. 0( 2 R 6 10107000. 0 0.320.330.340.350.36 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.320.330.340.350.36 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.335 0.34 0.345 0.35 0.355 本節(jié)本節(jié)(2 )要點(diǎn)要點(diǎn) 掌握掌握Lagra

24、nge 插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法及具體結(jié)構(gòu)插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法及具體結(jié)構(gòu) 掌握掌握Lagrange插值多項(xiàng)式誤差分析方法和結(jié)果插值多項(xiàng)式誤差分析方法和結(jié)果 3. 編寫編寫Lagrange插值多項(xiàng)式計算程序進(jìn)行實(shí)際計算插值多項(xiàng)式計算程序進(jìn)行實(shí)際計算 練習(xí)練習(xí) ：已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)的如下離散數(shù)據(jù)的如下離散數(shù)據(jù) x012 y2312 (1). 試用線性插值求函數(shù)在試用線性插值求函數(shù)在 x= 1.5處的近似值。處的近似值。 (2). 試用二次插值求函數(shù)在試用二次插值求函數(shù)在 x= 1.5處的近似值。處的近似值。 1)( 5 xxxf 2,2,2,2,2,2 543210 f2,2,2,2,2,2

25、,2 6543210 f )!1( )( , )1( 10 n f xxxxf n n ! 5 )( 2,2,2,2,2,2 )5( 543210 f f 1 ! 5 ! 5 !6 )( 2,2,2,2,2,2,2 )6( 6543210 f f 0 ,)()( ,)( ,)()()( 10110 21010 1000 nn n xxxfxxxxxx xxxfxxxx xxfxxxfxN )4)(3)(2)(1(5 . 0)3)(2)(1(2 )2)(1(4)1(20)( 4 xxxxxxx xxxxN 28125. 0 32 9 )5 . 1()5 . 1( 4 Nf )5)(4)(3)(2

26、)(1(1 . 0)()( 45 xxxxxxNxN )5 . 1()5 . 1( 5 Nf )55 . 1)(45 . 1)(35 . 1)(25 . 1)(15 . 1(1 . 0)5 . 1( 4 N 328125. 028125. 0 609375. 0 關(guān)于離散數(shù)據(jù)：關(guān)于離散數(shù)據(jù)： 構(gòu)造了構(gòu)造了lagrange插值多項(xiàng)式：插值多項(xiàng)式： ),(),( )!1( )( )( 1 )1( bax n f xR n n n n j j ij i n ji i n y xx xx xL 00 )( Newton插值多項(xiàng)式：插值多項(xiàng)式： ,)()( ,)( ,)()()( 10110 21010

27、 1000 nn n xxxfxxxxxx xxxfxxxx xxfxxxfxN 根據(jù)問題需要，有時還需要構(gòu)造分段插值多項(xiàng)式，下根據(jù)問題需要，有時還需要構(gòu)造分段插值多項(xiàng)式，下 面加以介紹面加以介紹 i x i y 0 x 1 x 0 y 1 y n x n y 4.2 4.2 分段線性插值分段線性插值 為了提高近似程度，可以考慮用分段線性插值來逼近為了提高近似程度，可以考慮用分段線性插值來逼近 原函數(shù)。原函數(shù)。 o x y 1 i x i x 0 x n x 設(shè)設(shè) y=f(x) 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)a = x0 x1 xn= b 處的函數(shù)值為處的函數(shù)值為 yi = f (xi) , i=0,1,2,n

28、 . 這時的插值函數(shù)為分段函數(shù)：這時的插值函數(shù)為分段函數(shù)： , )( , )( , )( )( 1 212 101 nnn xxxxs xxxxs xxxxs xS ni xx xx y xx xx yxS ii i i ii i ii , 2 , 1,)( 1 1 1 1 在區(qū)間在區(qū)間 上的線性函數(shù)為上的線性函數(shù)為, 1ii xx 誤差為：誤差為：)( ! 2 )( )()()( 1ii i ii xxxx f xSxfxR iii xx 1 1 iii xxh, 8 )( 4 1 2 22 1i i ii i h M xx M 則有：則有：)( 2 )( )( 1ii i i xxxx f

29、 xR 令令 1 max( ) , ii i xxx Mfx )(max)(max 2 1 1 , 11 ii xxxxxx xxxxxf iiii 可以按如下的方式考慮：可以按如下的方式考慮： 關(guān)于整體誤差：關(guān)于整體誤差： )()()(xSxfxR 于是于是, ,當(dāng)當(dāng) h 0 時，分段線性插值時，分段線性插值S(x) 收斂于收斂于f(x) 。值值 得注意的是：分段線性插值雖然有很好的收斂性質(zhì)，得注意的是：分段線性插值雖然有很好的收斂性質(zhì)， 但卻不是光滑的。也就是說，但卻不是光滑的。也就是說，S(x)的導(dǎo)數(shù)不一定存在！的導(dǎo)數(shù)不一定存在！ )(max)()()( 1 xRxSxfxR i ni

30、2 11 maxmax 8 1 i ni i ni hM 2 8 h M 若記若記 則對任一則對任一 x a,b 都有都有,max 1 i ni hh ,max 1 i ni MM 下面我們就考慮在節(jié)點(diǎn)處可導(dǎo)的插值多項(xiàng)式的構(gòu)造。下面我們就考慮在節(jié)點(diǎn)處可導(dǎo)的插值多項(xiàng)式的構(gòu)造。 4.3 分段分段Hermite 插值插值 分段線性插值多項(xiàng)式分段線性插值多項(xiàng)式S(x),在插值區(qū)間在插值區(qū)間a,b上只能保上只能保 證連續(xù)性，而不光滑。要想得到在插值區(qū)間上光滑的分證連續(xù)性，而不光滑。要想得到在插值區(qū)間上光滑的分 段插值多項(xiàng)式，可采用分段段插值多項(xiàng)式，可采用分段Hermite插值。插值。 如果已知函數(shù)如果已

31、知函數(shù)y=f(x) 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)a = x0 x1 xn= b 處處 的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值：的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值： 則在小區(qū)間則在小區(qū)間x i-1 , xi 上有四個插值條件：上有四個插值條件： 故能構(gòu)造一個三次多項(xiàng)式故能構(gòu)造一個三次多項(xiàng)式 Hi(x) 并稱其為并稱其為三次埃爾米三次埃爾米 特特(Hermite)插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式。 yk=f(xk), yk=f (xk) , k=0,1, ,n yi-1=f(xi-1), yi=f (xi) , y i-1=f (xi-1), yi=f (xi) , i i iii i i iii i y h xxxxh y h xxxxh xH 3 2 1 1

32、3 2 1 )( 2)( 2 )( 代入下式代入下式 )()()()()( 1111 xyxyxyxyxH iiiiiiiii 得到得到 i i ii i i ii y h xxxx y h xxxx 2 2 1 1 2 2 1 )()()( 這樣，便求出了分段三次這樣，便求出了分段三次Hermite插值多項(xiàng)式：插值多項(xiàng)式： , )( , )( , )( )( 1 212 101 nnn xxxxH xxxxH xxxxH xH 關(guān)于誤差，若關(guān)于誤差，若f(x)在在a,b具有具有4階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可推階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，可推 得得 22 1 )4( )()( ! 4 )( )()()( ii i ii x

33、xxx f xHxfxR iii xx, 1 其中其中 如果記如果記 )(max )4( 1 xfM ii xxx i 則有：則有： 2 1 , )(max !4 )( 1 ii xxx i i xxxx M xR ii 2 2 4! 4 ii hM 4 4 38416! 4 i iii h MhM 即即 ., 2, 1, 384 )( 4 nih M xR i i i 關(guān)于整體誤差，若關(guān)于整體誤差，若 f(x) C4a,b , ,則可按如下方式考慮：則可按如下方式考慮： )(max)()()( 1 xRxHxfxR i ni 4 1 384 max i i ni h M4 11 maxmax

34、 384 1 i ni i ni hM 記記 i ni MM 1 max i ni hh 1 max 則有：則有： 4 384 )(h M xR 于是于是,當(dāng)當(dāng)h 0 時，時，R(x) 0.說明分段說明分段三次三次Hermite插值插值 H(x) 收斂于收斂于f(x) 。 本節(jié)本節(jié)( (4 )4 )問題問題 2.2.分段線性插值有何優(yōu)缺點(diǎn)？如何估計誤差？分段線性插值有何優(yōu)缺點(diǎn)？如何估計誤差？ 4.4.如何分段線性插值算法的程序設(shè)計？如何分段線性插值算法的程序設(shè)計？ 1.1.何為高次插值的何為高次插值的Runge 現(xiàn)象，應(yīng)如何避免？現(xiàn)象，應(yīng)如何避免？ 3.3.分段三次分段三次Hermite插值有

35、何優(yōu)缺點(diǎn)插值有何優(yōu)缺點(diǎn), ,如何估計誤差如何估計誤差 22 1 )4( )()( ! 4 )( )()()( ii i ii xxxx f xHxfxR i x 0 x 1 x 2 x )( i xf 0 y 1 y 2 y )( i x f 0 y 5.5.如何構(gòu)造滿足以下條件的插值多項(xiàng)式并估計誤差？如何構(gòu)造滿足以下條件的插值多項(xiàng)式并估計誤差？ 2. 三次樣條函數(shù)的定義三次樣條函數(shù)的定義 已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x) 在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)a = x0 x1 xn= b 處的函處的函 數(shù)值為數(shù)值為 如果函數(shù)如果函數(shù) S(x) 滿足條件：滿足條件： （2）S(x) 在子區(qū)間在子區(qū)間xi-1 ,xi上是不

36、超過上是不超過三次的多項(xiàng)式；三次的多項(xiàng)式； 則稱則稱S(x) 是三次樣條插值函數(shù)。是三次樣條插值函數(shù)。 （3）S(x) 在在a,b具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)； yk =f( xk) , k=0,1,2, ,n （1） S(xk)=yk ， ， k=0,1,2, ,n； ； 常用的邊界條件有以下幾種：常用的邊界條件有以下幾種： 邊界條件邊界條件1m： 00 (),() nn S xyS xy 00 )(,)( nn yxSyxS 邊界條件邊界條件2M： )0()0( )0()0( )0()0( 0 0 0 n n n xSxS xSxS xSxS 邊界條件邊界條件3：假定函數(shù)假定函數(shù)y=

37、f(x)是以是以b-a 為為周期的周期函周期的周期函 數(shù)，這時要求數(shù)，這時要求S(x) 也是周期函數(shù)，即也是周期函數(shù)，即 這樣我們便可以具體求出樣條函數(shù)來這樣我們便可以具體求出樣條函數(shù)來。 1, 2 , 1,2 11 nigmmm iiiiii 1 1 ii i i hh h 令：令： 1 1 ii i ii hh h i ii i i ii ii h yy h yy g 1 1 1 3 iiiiii xxfxxf,3 11 于是于是 1 1 hh h n n 1 hh h n n n ),(3 110nnnnn xxfxxfg 得到得到 00 , nn mymy 這樣，我們只需要求出這樣，我

38、們只需要求出 m0 ,m1 ,m n 即可即可。 邊界條件邊界條件1： 00 (),() nn SxySxy 這時方程這時方程 11121 232212 121101 2 2 2 nnnnnn gmmm gmmm gmmm 改寫為：改寫為： nnnnnn ygmm gmmm ygmm 11121 232212 011211 2 2 2 或者，表示為矩陣方程或者，表示為矩陣方程 11 2 2 011 1 2 2 1 1 22 22 1 2 2 2 2 nnn n n n n nn yg g g yg m m m m (2.4) 由于由于 k+k =1 , ,方程方程（2.4）的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角

39、占優(yōu)矩的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩 陣，方程陣，方程（2.4）有惟一解，并可用追趕法求解。有惟一解，并可用追趕法求解。 便得到三次樣條函數(shù)：便得到三次樣條函數(shù)： 解出解出m0 ,m1 ,m n 以后，代入下式以后，代入下式 i i iii i i iii i y h xxxxh y h xxxxh xS 3 2 1 1 3 2 1 )( 2)( 2 )( i i ii i i ii m h xxxx m h xxxx 2 2 1 1 2 2 1 )()()( , )( , )( , )( )( 1 212 101 nnn xxxxs xxxxs xxxxs xS nni, 1, 2 , 1 也就

40、是：也就是： 00 (),() nn SxySxy 邊界條件邊界條件2： 00 1 )0(yxS )0( nnn yxS 已知：已知： 故可以得到故可以得到 )( 642 )0( 1 2 1 ii i i i i i ii yy h m h m h xS )( 624 )0( 1 2 1 1 11 1ii i i i i i ii yy h m h m h xS 2 )(3 2 01 1 01 10 yh h yy mm 0 g 2 )( 3 2 1 1 nn n nn nn yh h yy mm n g 將將 11121 232212 121101 2 2 2 nnnnnn gmmm gmm

41、m gmmm 2 )(3 2 01 1 01 10 yh h yy mm 0 g n g 2 )( 3 2 1 1 nn n nn nn yh h yy mm 與前面得到的方程組與前面得到的方程組 結(jié)合，可以給出求解結(jié)合，可以給出求解 m0 ,m1 ,m n 的方程組：的方程組： n n n nnn g g g g m m m m 1 1 0 1 1 0 11 11 21 2 2 12 求解此方程組，也可以求出三次樣條函數(shù)。求解此方程組，也可以求出三次樣條函數(shù)。 nnn nnnnnn gmm gmmm gmmm gmm 2 2 2 2 1 11121 121101 010 (2.5) 或者表示

42、為矩陣方程或者表示為矩陣方程 )0()0( )0()0( )0()0( 0 0 0 n n n xSxS xSxS xSxS 由第一個等式和第二個等式得到由第一個等式和第二個等式得到 y0=yn ,m0=mn 邊界條件邊界條件3：周期邊界條件周期邊界條件 由第三個等式說明由第三個等式說明 )0()0( 0 1 nn xSxS 1 1 hh h n n 1 hh h n n n ),(3 110nnnnn xxfxxfg 令令 得到得到 nnnnn gmmm 11 2 結(jié)合得到結(jié)合得到 與與 11121 232212 121101 2 2 2 nnnnnn gmmm gmmm gmmm 將將 n

43、nnnn gmmm 11 2 nnnn nnnnnn n gmmm gmmm gmmm gmmm 111 11121 232212 11211 2 2 2 2 表示為矩陣方程：表示為矩陣方程： n n n n nn nn g g g g m m m m 1 2 1 1 2 1 11 22 11 2 2 2 2 (2.6) 其系數(shù)矩陣稱作周期三對角矩陣，也是嚴(yán)格對角占其系數(shù)矩陣稱作周期三對角矩陣，也是嚴(yán)格對角占 優(yōu)優(yōu) ，因而方程組有唯一解。，因而方程組有唯一解。 三次樣條函數(shù)三轉(zhuǎn)角算法的實(shí)現(xiàn)流程三次樣條函數(shù)三轉(zhuǎn)角算法的實(shí)現(xiàn)流程 Step1: 輸入節(jié)點(diǎn)輸入節(jié)點(diǎn)x0 ,x1 , xn ,函數(shù)值函數(shù)值

44、y0 ,y1 , yn、 、 邊界條件及 邊界條件及 x. Step3: 根據(jù)邊界條件，求解相應(yīng)的方程組得到根據(jù)邊界條件，求解相應(yīng)的方程組得到 m0 , m1 , , mn Step2: 計算計算 1, 2 , 1 ni 1 1 ii i i hh h 1 1 ii i ii hh h iiiiiii xxfxxfg,3 11 Step4: 判斷判斷 xx i-1 , xi ? Step5: 計算計算 y si(x) Step6: 輸出輸出 y 0)3(, 1)0(, 1)3(, 0)2(, 1) 1 (, 0)0( ffffff 2 1 21 2 1 hh h 例例4 4 已知函數(shù)已知函數(shù)y

45、=f(x) 的如下數(shù)據(jù)的如下數(shù)據(jù), ,試求其在區(qū)間試求其在區(qū)間0,30,3 上的三次樣條插值函數(shù)上的三次樣條插值函數(shù)S(x)。 解解 這里邊界條件是這里邊界條件是0)3(, 1)0( SS 3, 2, 1, 0 3210 xxxx設(shè)設(shè) 1, 0, 1, 0 3210 yyyy 求得求得1 321 hhh 2 1 1 11 2 1 32 3 2 hh h 0),( 3 1012111 xxfxxfg 2 1 1 22 0),( 3 2123222 xxfxxfg 已知已知0, 1 30 mm nnnnnn ygmm gmmm ygmm 11121 232212 011211 2 2 2 由方程組

46、由方程組 及及 1 00 my0 33 my 得到方程組得到方程組 02 2 1 2 1 2 1 2 21 21 mm mm 解得解得 15 1 , 15 4 21 mm 這樣便求得這樣便求得 1 , 0),1( 15 4 ) 1()1( 21 )( 222 1 xxxxxxxxS 0, 15 1 , 15 4 , 1 3210 mmmm i i iii i i iii i y h xxxxh y h xxxxh xS 3 2 1 1 3 2 1 )( 2)( 2 )( i i ii i i ii m h xxxx m h xxxx 2 2 1 1 2 2 1 )()()( 代入表達(dá)式代入表達(dá)

47、式 便得到所求的三次樣條函數(shù)便得到所求的三次樣條函數(shù) 3 , 2)3)(2( 15 1 )2)(3( 21 )( 22 3 xxxxxxS 22 2 )2)(1( 15 4 )2)(1( 21 )( xxxxxS 2 , 1 ),2() 1( 15 1 2 xxx 本節(jié)本節(jié)(5-1、2 )要點(diǎn)要點(diǎn) 什么是三次樣條函數(shù)？什么是三次樣條函數(shù)？ 三次樣條函數(shù)的邊界條件是如何給出的？三次樣條函數(shù)的邊界條件是如何給出的？ 三次樣條函數(shù)的三轉(zhuǎn)角算法是如何構(gòu)造的？三次樣條函數(shù)的三轉(zhuǎn)角算法是如何構(gòu)造的？ 如何設(shè)計程序?qū)崿F(xiàn)三轉(zhuǎn)角算法？畫出流程圖。如何設(shè)計程序?qū)崿F(xiàn)三轉(zhuǎn)角算法？畫出流程圖。 三對角線性方程組和一般線

48、性方程組如何求解？三對角線性方程組和一般線性方程組如何求解？ 完成完成P49習(xí)題習(xí)題2-12、2-13。 2. 三彎矩算法三彎矩算法 只要求出在區(qū)間只要求出在區(qū)間x i-1 , x i 上的三次多項(xiàng)式上的三次多項(xiàng)式 Si (x) i=1 , 2, , n，并滿足前面四類條件并滿足前面四類條件 即可即可。在這里我們采用在這里我們采用 另一種方法進(jìn)行求解，并稱為另一種方法進(jìn)行求解，并稱為三彎矩算法三彎矩算法。 加邊界條件構(gòu)成的三次樣條函數(shù)為分段函數(shù)加邊界條件構(gòu)成的三次樣條函數(shù)為分段函數(shù) , )( , )( , )( )( 1 212 101 nnn xxxxs xxxxs xxxxs xS a =

49、 x0 x1 0 范圍內(nèi)，只需要從范圍內(nèi)，只需要從 2 2 3 12 )( M n ab 2 2 12 )( )(M hab TdxxffR b a nn 則有則有 2 2 3 12 )( M n ab 12 )( 2 3 Mab n 解出中出解出中出 即可。即可。 例例 4.3 4.3 用四點(diǎn)復(fù)化梯形公式計算用四點(diǎn)復(fù)化梯形公式計算 1 0 2 1 4 dx x I 解：四點(diǎn)復(fù)化梯形公式就是將區(qū)間解：四點(diǎn)復(fù)化梯形公式就是將區(qū)間0，1三等分，如圖，三等分，如圖， 于是于是 1 0 2 1 4 dx x I 3 2 2 3 1 2)1()0( 3 1 2 1 ffff 1 1 )(2)()( 2

50、n k k xfbfaf h 9 4 1 4 2 9 1 1 4 224 6 1 01 3 1 3 2 3) 11 4 01 4 ( 2 01 1 4 1 0 2 dx x 而梯形公式的結(jié)果為而梯形公式的結(jié)果為 1230.3 例例 4.4 4.4 用復(fù)化梯形公式計算積分用復(fù)化梯形公式計算積分 ，應(yīng)將區(qū)間，應(yīng)將區(qū)間 0,10,1多少等分，才可以使其截斷誤差不超過多少等分，才可以使其截斷誤差不超過 1 0 dxeI x 4 10 2 1 解：復(fù)化梯形公式的誤差為解：復(fù)化梯形公式的誤差為 )( 12 )( )( 2 3 f n ab TdxxffR b a nn 而而 x exf )( 1 , 0,

51、)( xexf 從而從而 22 3 12 )( 12 )01( n e f n fRn 令令 4 2 10 2 1 12 n e 30.67 6 10 4 e n68 n 于是，只要將區(qū)間至少于是，只要將區(qū)間至少6868等分等分, ,就可以達(dá)到需要的精度要求。就可以達(dá)到需要的精度要求。 二、復(fù)化拋物線二、復(fù)化拋物線（ Simpson ）公式公式 已知定積分的拋物線公式及其誤差為已知定積分的拋物線公式及其誤差為 n k x x b a k k dxxfdxxf 1 1 )()(如果對于積分如果對于積分 )() 2 (4)( 6 )(bf ba faf ab dxxf b a ),(,)( 288

52、0 )( )4( 5 2 baf ab fR 在每個小區(qū)間上都采用在每個小區(qū)間上都采用Simpson公式，則得到復(fù)化公式，則得到復(fù)化 Simpson公式。公式。 于是，我們得到復(fù)化拋物線公式及其誤差為：于是，我們得到復(fù)化拋物線公式及其誤差為： n k n k k k b a bfxfxfaf h dxxf 1 1 1 2 1 )()(2)(4)( 6 )( ),(),( 2880 )( )4( 4 baf hab fRn 這時，做近似計算用：這時，做近似計算用： n k n k k k n bfxfxfaf h S 1 1 1 2 1 )()(2)(4)( 6 四點(diǎn)公式四點(diǎn)公式( (n= =3

53、等分等分) )的節(jié)點(diǎn)如：的節(jié)點(diǎn)如： 4 4 5 2880 )( M n ab fRn b ba 2 1 xx1 2 1 1 xx2 2 1 2 x 做誤差限估計用：做誤差限估計用： 最后，總結(jié)出拋物線公式和復(fù)化拋物線公式最后，總結(jié)出拋物線公式和復(fù)化拋物線公式 1.1.拋物線公式及其誤差拋物線公式及其誤差 )() 2 (4)( 6 )(bf ba faf ab dxxf b a ),(,)( 2880 )( )4( 5 2 baf ab fR 2.2.復(fù)化拋物線公式及其誤差復(fù)化拋物線公式及其誤差 n k n k k k b a bfxfxfaf h dxxf 1 1 1 2 1 )()(2)(4

54、)( 6 )( ),(),( 2880 )( )( 2880 )( )4( 4 5 )4( 4 baf n ab f hab fR n 例例4-5 4-5 試?yán)煤瘮?shù)試?yán)煤瘮?shù) 的數(shù)據(jù)表（表的數(shù)據(jù)表（表4-14-1）分）分 別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化別用復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式計算下列積分的近似公式計算下列積分的近似 值值 。 x x xf sin 1 0 sin dx x x I 表表4-1 4-1 數(shù)據(jù)表數(shù)據(jù)表 015/80.9361556 1/80.99739783/40.9088517 1/40.98961587/80.8771926 3/80.976726710.841471

55、0 1/20.958811 也就是也就是 7 1 8 )(2) 1 ()0( 2 i ihfff h T 945690.0 ) 8 4 (2) 8 3 (2) 8 2 (2) 8 1 (2) 1 ()0( 2 ffffff h ) 8 7 (2) 8 6 (2) 8 5 (2fff 解解: : 兩種復(fù)化公式分別計算如下：兩種復(fù)化公式分別計算如下： 8 1 h 根據(jù)已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)，需要用到九點(diǎn)復(fù)化梯形公式：根據(jù)已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)，需要用到九點(diǎn)復(fù)化梯形公式： 945690.0 sin 1 0 dx x x )1()(2) 2 1 (4)0( 6 3 1 4 1 4 fihfhiff h S ii 以上兩種

56、算法對區(qū)間采用不同等分，計算量大體一致，定以上兩種算法對區(qū)間采用不同等分，計算量大體一致，定 積分精確到小數(shù)點(diǎn)后七位的值是積分精確到小數(shù)點(diǎn)后七位的值是0.9460831，Simpson公式公式 精度要高一些。精度要高一些。 ) 8 7 (4) 8 5 (4) 8 3 (4) 8 1 (4)0( 24 1 fffff 9460833. 0)1() 4 3 (2) 2 1 (2) 4 1 (2 ffff 對于復(fù)化拋物型公式：對于復(fù)化拋物型公式： n k n k k k n bfxfxfaf h S 1 1 1 2 1 )()(2)(4)( 6 4 1 h 在這里在這里n=4 , ,步長步長 例例4

57、-6 4-6 利用復(fù)化梯形公式和復(fù)化利用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式分別求公式分別求 下列定積分下列定積分 ，若要使精度達(dá)到，若要使精度達(dá)到 =10=10-6 -6 ，問各需將區(qū)間 ，問各需將區(qū)間 0,10,1多少等分？多少等分？ 1 0 sin dx x x I 解解 由于由于 1 0 )cos( sin dttx x x xf 從而從而 ,sin 1 0 txdttxf 1 0 33 sintxdttxf 于是有于是有 3 1 cos 1 0 2 dttxtxf 5 1 cos 1 0 44 dttxtxf 1 0 2 costxdttxf 1 0 44 costxdttxf 由復(fù)

58、化梯形公式和復(fù)化由復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式的誤差表示式公式的誤差表示式 )( 12 )( )( 12 )( 2 32 f n ab f hab fRn )( 2880 )( )( 2880 )( )4( 4 5 )4( 4 f n ab f hab fRn 4 4 2880 1 M n fRn 得到得到 2 2 12 1 M n fRn 3 1 2 M 5 1 4 M 根據(jù)上面的估計分別取根據(jù)上面的估計分別取 則只要則只要 6 2 10 3 1 12 1 n 6 4 10 5 1 2880 1 n 可分別解出可分別解出 ，67.166 36 106 n89. 2 14400 10

59、4 6 n 可可 見見 滿滿 足足 同同 樣樣 的的 精精 度度 要要 求求 復(fù)復(fù) 化化 梯梯 形形 公公 式式 需需 將將 區(qū)區(qū) 間間 167 等等 分分 復(fù)復(fù) 化化 拋拋 物物 線線 公公 式式 只只 需需 將將 區(qū)區(qū) 間間 3 等等 分分 本節(jié)本節(jié)( (3)3)小結(jié)小結(jié) 1 1 )()(2)( 2 )( n k k b a bfxfaf h dxxf ),(),( 12 )( 2 baf abh fRn 2.2.復(fù)化拋物線公式及其誤差復(fù)化拋物線公式及其誤差 n k n k k k b a bfxfxfaf h dxxf 1 1 1 2 1 )()(2)(4)( 6 )( ),(),( 2

60、880 )( )( 2880 )( )4( 4 5 )4( 4 baf n ab f hab fRn 1.1.復(fù)化梯形公式及其誤差復(fù)化梯形公式及其誤差 3 Gauss型求積公式 關(guān)于數(shù)值積分公式關(guān)于數(shù)值積分公式 0 ( )()(3.1) n b kk a k f x dxA f x 除了用誤差來分析其精確度以外，還可以用代數(shù)精度來除了用誤差來分析其精確度以外，還可以用代數(shù)精度來 判斷其精度的高低判斷其精度的高低。為了掌握這一方法，下面先給出代為了掌握這一方法，下面先給出代 數(shù)精度的概念。數(shù)精度的概念。 一、代數(shù)精度一、代數(shù)精度 是區(qū)間是區(qū)間-1,1 上關(guān)于權(quán)函數(shù)上關(guān)于權(quán)函數(shù) (x)=1 的正交