數(shù)列通項(xiàng)的求法

1、數(shù)列通項(xiàng)的求法【知識(shí)點(diǎn)精講】求數(shù)列的通項(xiàng)方法1、由等差等比定義寫出通項(xiàng)公式2、利用迭加an-an-i =f(n)、迭乘an/an-i=f(n)、迭代p an A看成bn的等比3、一階遞推an i pan q,我們通常將其化為a.i A數(shù)列4、利用換元思想5、先猜后證：根據(jù)遞推式求前幾項(xiàng)，猜出通項(xiàng)，用歸納法證明6、對(duì)含an與Sn的題，進(jìn)行熟練轉(zhuǎn)化為同一種解題【例題選講】例1、設(shè)an的首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且 的通項(xiàng)公式。解:由題意 31=1 ,ano,(n=1,2,3,.)a n . an 1 a n 0有 12n 1 an 12 “n a n卩門0 n 1,2,3,an 1 ann 1 amna

2、n求它an an 132 31 Sian町 1 an21ann變式：已知數(shù)列an,ai=2,an+i=an+3n+2,求 an,解：an= ( an-an-1) + ( an-1-an-2)+(an-2an-3)+ .+( a2-ai) +ai點(diǎn)評(píng)根據(jù)數(shù)列遞推公式，利用迭加 an-an-1 =f(n)、迭乘(an/an-i=f(n)、迭代(2例 2、已知數(shù)列an, ai=1,an+i=-an 1,求 an32呂寸1(詢解法一 ：an 1 3n 1(1) an3設(shè)bn 3n 3n 1則數(shù)列為等比數(shù)列由得：am3n2(3n3n 1)322 n 1/2、nheHeac q(3332,2nA n1A

3、n久3 32法一：設(shè)an i Aan A解得：3設(shè)bn an 3,則數(shù)列bn為等比數(shù)列2A 3即原式化為an i 3 an 33n 12bn 3,n 32)33n32222法=:a?-a r1.A21333n 12彳2a小q133點(diǎn)評(píng)注意嘉列解題中的換元思箱,如bn3n3n233222.922 .1a*ao1 .-133333n99133P an看成bn的對(duì)數(shù)列遞推式an 1panq,我們通常將其化為比數(shù)列練習(xí):數(shù)列(an)中,ai=1,2an=ani2(n2),求 an1解方法同上：an2n(2)數(shù)列an中，2an3n 222解:原式化為1，利用換元思想。利用上法得an2n 2an 1例3、

4、(猜證)已知數(shù)列an滿足ai=1,an3n 1 an 1 n 2 (1)求 a2,a3 ,a4(2)證明:3n 1 an 2a3 二 13C),a2,a3 ,a4由前可知成立假設(shè)n=k時(shí)也成立，即ak34=40k 31kn=k+1 時(shí)，3k i 3 3k 3ck 1丿31也成立綜上，3n練習(xí)：設(shè)正數(shù)數(shù)列(an)前n項(xiàng)和sn,存在正數(shù)t,使得對(duì)所有自然數(shù)n,有血？則通過歸納猜想得到Sn并證明？解：n=1 時(shí)，得 ai=t，n=2 時(shí)得 a2=3t n=3 時(shí)得 a2=5t,猜測(cè) 3n=(2n-1 )t證明：n=1,2,3時(shí)，已經(jīng)成立 假設(shè)n=k時(shí)也成立即ak=(2k-1)t,則Sk二k1 t a

5、n=k+1 時(shí)，.、tSki口，4t(k2t aki) (taki)222223k 1 2tSk 1(4k1)t0 aki(2k1)t 2(k1)-1t 也成立綜上 an=(2 n-1)t, Sn= n2tF2,3,4,5得證點(diǎn)評(píng)用數(shù)學(xué)歸納法，由n=k證明n=k+1成立時(shí)，從遞推式入手例4、設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為1, 前n項(xiàng)和為Sn,滿足尖系3tSn 2t 3 Sn 1 3t t0, n 2,n N(D 求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；1(2) 設(shè)數(shù)列an的公比為f(t)，作數(shù)列bn,使b1=1,bn=f(n=2,3,4,求b nbn1的通項(xiàng)公式z2t 3 解(1)由 S-i 3i 1 , S2 3i

6、321 32 323ta2 2t 3ai 3t3tSn3tSn 12t2t3Sm3t.n 13Sn 2 3t(2)3tan2t3an 1an 13t力321k 12O f /+hnfh3t3tbn13221hn 1n 1n333點(diǎn)評(píng)對(duì)an與Sn進(jìn)行熟練轉(zhuǎn)化解題練習(xí):設(shè)數(shù)列(an)為正項(xiàng)數(shù)列，若對(duì)任意正整數(shù)n, an與2得等差中項(xiàng)等于其前n項(xiàng)和Sn與2的等比中項(xiàng)，求an的通項(xiàng)公式-.2Sn,Snan當(dāng) n 2,ansn sn1 1anan 1anan an13n4n備用補(bǔ)充：求下列數(shù)列i n11anyn0 ,ai0,前三項(xiàng)和X0,3n 1 Sn*211答案 11 n 1 2n 22n 2n 或3n 3n32n【課堂小結(jié)】求數(shù)列的通項(xiàng)方法1 由等差，等比定義，寫出通項(xiàng)公式2. 利用迭加 an-an-i=f(n)、迭乘 an/an-i =f(n)、迭代3. 一階遞推an 1 pan