3[1].3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)PPT課件

1、1 3.3.3函數(shù)的最大函數(shù)的最大 （?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù) 高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修1-1 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 2 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):一、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系一、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系 如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ,則則 為常數(shù)為常數(shù).0)( x f)(xf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x) 在在 某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)， f(x)為為增函數(shù)增函數(shù) f(x)為為減函數(shù)減函數(shù) 3 二、函數(shù)的極值定義二、函數(shù)的極值定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0附近有定義，附近有

2、定義， 如果對如果對X0附近的所有點(diǎn)，都有附近的所有點(diǎn)，都有f(x)f(x0), 則則f(x0) 是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作的一個(gè)極小值，記作y極小值 極小值= f(x0)； ； o x y o x y 0 x 0 x 函數(shù)的函數(shù)的極大值極大值與與極小值極小值統(tǒng)稱統(tǒng)稱 為為極值極值. 使函數(shù)取得極值的使函數(shù)取得極值的 點(diǎn)點(diǎn)x0稱為稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn) 4 求解函數(shù)極值的一般步驟：求解函數(shù)極值的一般步驟： （1）確定函數(shù)的定義域）確定函數(shù)的定義域 （2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x) （3）求方程）求方程f(x)=0的根的根 （4）用方程）用方程f(x)=0的根，順次將函數(shù)的定的根，

3、順次將函數(shù)的定 義域分成若干個(gè)開區(qū)間，并列成表格義域分成若干個(gè)開區(qū)間，并列成表格 （5）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符號，的根左右的符號， 來判斷來判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況在這個(gè)根處取極值的情況 左正右負(fù)極大值，左正右負(fù)極大值， 左負(fù)右正極小值左負(fù)右正極小值 5 在社會生活實(shí)踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，在社會生活實(shí)踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益， 常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高，效益最常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高，效益最 大等問題，這些問題的解決常?？赊D(zhuǎn)化為求一個(gè)大等問題，這些問題的解決常?？赊D(zhuǎn)化為求一個(gè) 函數(shù)的最大值和最小值問題函數(shù)的最大值和最小值問題

4、 函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？他們函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？他們 與函數(shù)極值關(guān)系如何？與函數(shù)極值關(guān)系如何？ 新新 課課 引引 入入 極值是一個(gè)極值是一個(gè)局部局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函 數(shù)值與它數(shù)值與它附近點(diǎn)附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小的函數(shù)值比較是最大或最小, ,并并 不意味不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。 6 知識回顧知識回顧 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)，如果存在實(shí)數(shù) M滿足：滿足： 1最大值最大值: : （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都

5、有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M 那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值: 一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮，如果存在實(shí)，如果存在實(shí) 數(shù)數(shù)M滿足：滿足： （1）對于任意的）對于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M 那么，稱那么，稱M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的的最小值最小值 7 觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的最值嗎？ x o y a x1 b y=f(x) x2x3 x4 x5x6 x o y a x1 b y=f(x) x2x3 x4 x5x6

6、 ),(bax bax, 在開區(qū)間內(nèi)在開區(qū)間內(nèi) 的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù) 不一定有最不一定有最 大值與最小大值與最小 值值. 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上的連續(xù)函上的連續(xù)函 數(shù)必有最大數(shù)必有最大 值與最小值值與最小值 因此：該函數(shù)沒因此：該函數(shù)沒 有最值。有最值。 f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3) 8 x o y a x1 b y=f(x) x2x3 x4 x5x6 如何求出函數(shù)在如何求出函數(shù)在a,b上的最值？上的最值？ 一般的如果在區(qū)間，一般的如果在區(qū)間，a,b上函數(shù)上函數(shù)y=f(x) 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它 必有最大值和最小值。必有最

7、大值和最小值。 9 觀察右邊一個(gè)定義在觀察右邊一個(gè)定義在 區(qū)間區(qū)間a,b上的函數(shù)上的函數(shù) y=f(x)的圖象：的圖象： 發(fā)現(xiàn)圖中發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，是極小值，_是極是極 大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是_，最小值，最小值 是是_。 f(x1)、f(x3)f(x2) f(b) f(x3) 問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎問題在于如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎 樣才能判斷出樣才能判斷出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ x x X X2 2o oa aX X3 3 b b x x1 1 y y y=f(x) 10 (2) 將

8、將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)(端點(diǎn)處端點(diǎn)處) 比較比較,其中最大的一個(gè)為最大值，最小的其中最大的一個(gè)為最大值，最小的 一個(gè)最小值一個(gè)最小值. 求求f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的最值的步驟：上的最值的步驟： (1) 求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值內(nèi)極值(極大值或極小值極大值或極小值)； 新授課新授課 注意注意:1.在定義域內(nèi)在定義域內(nèi), 最值唯一最值唯一;極值不唯一極值不唯一 2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. 11 求函數(shù)的最值時(shí)求函數(shù)的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn)應(yīng)注意以下幾點(diǎn): (1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問

9、題,是一個(gè)局部概念是一個(gè)局部概念, 而函數(shù)的最值是對整個(gè)定義域而言而函數(shù)的最值是對整個(gè)定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論是在整體范圍內(nèi)討論 問題問題,是一個(gè)整體性的概念是一個(gè)整體性的概念. (2)閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間開區(qū)間(a,b)內(nèi)的內(nèi)的 可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值但若有唯一的極值,則此極值必是則此極值必是 函數(shù)的最值函數(shù)的最值. (3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè), 而而 函數(shù)的極值則可能不止一個(gè)函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒有極值也可能沒有極值,并

10、且極大值并且極大值 (極小值極小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值). 12 題型：求函數(shù)的最大值和最小值題型：求函數(shù)的最大值和最小值 2 1233,3fxxx 解： 1、求出所有導(dǎo)數(shù)為、求出所有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；的點(diǎn)； 2、計(jì)算；、計(jì)算； 3、比較確定最值。、比較確定最值。 3 ( )6123 3f xxx例1:求函數(shù)在， 上的最大值與最小值. 0,22fxxx 令解得：或 (2)22( 2)10(3)15,( 3)3ffff 又， 3 ( )6 1233 10. f xxx 函數(shù)在，上的 最大值為22，最小值為 13 例例2:求函數(shù)求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間在區(qū)間-2,2

11、上的最大上的最大 值與最小值值與最小值. 解解: .44 3 xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y 當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), 的變化情況如下表的變化情況如下表:y y , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2 y -0 +0 -0 + y13 4 5 4 13 從上表可知從上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4. 題型：求函數(shù)的最大值和最小值題型：求函數(shù)的最大值和最小值 14 練習(xí)：練習(xí)：函數(shù)函數(shù) y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最大值上的最大值 為為 ,最小值為最小值為 . 分析分析: (1) 由由 f (x)=3x

12、+6x9=0, (2) 區(qū)間區(qū)間4 , 4 端點(diǎn)處的函數(shù)值為端點(diǎn)處的函數(shù)值為 f (4) =20 , f (4) =76 得得x1=3，x2=1 函數(shù)值為函數(shù)值為f (3)=27, f (1)=5 76-5 當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)，變化時(shí)，y 、 y的變化情況如下表：的變化情況如下表： x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4 y+0-0+0 y20 27-5 76 比較以上各函數(shù)值，可知函數(shù)在比較以上各函數(shù)值，可知函數(shù)在4 , 4 上的最大上的最大 值為值為 f (4) =76，最小值為，最小值為 f (1)=5 15 練習(xí)：練習(xí)： 求下列函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值與最小值：求下列函數(shù)在給定區(qū)

13、間上的最大值與最小值： 3 1( )274,4f xxxx 、 3 1 2( )6 12,3 3 f xxxx 、 3 3( )32,3f xxxx、 axxxf 23 62. 4 2, 2x 54-54 22-10 2 -18 aa-40 16 4、函數(shù)、函數(shù)y=x3-3x2，在，在2，4上的最大值為（上的最大值為（ ) (A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20 C C 17 典型例題典型例題 32 2( )262 237 1a2( )2 2 f xxxa f x 例題 ：已知函數(shù)在， 上有最小值 求實(shí)數(shù) 的值；求在， 上的最大值。 反思：本題屬于逆向探究題型：反思：本題屬于逆向

14、探究題型： 其基本方法最終落腳到比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大其基本方法最終落腳到比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大 小上，從而解決問題，往往伴隨有分類討論。小上，從而解決問題，往往伴隨有分類討論。 2 1( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或 ( 240,fa 又） 40373aa 由已知得解得 (2)(1)( )2,2fx由知在的最大值為3. (0),fa(2)8fa 18 拓展提高拓展提高 1、我們知道，如果在閉區(qū)間【、我們知道，如果在閉區(qū)間【a，b】上函數(shù)】上函數(shù)y=f（x） 的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必定有最大值 和最小值；那么把

15、和最小值；那么把閉區(qū)間【閉區(qū)間【a，b】換成開區(qū)間（】換成開區(qū)間（a,b） 是否一定有最值呢？是否一定有最值呢？ 如下圖：如下圖： 不一定不一定 2、函數(shù)、函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。 3、 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間（在開區(qū)間（a,b）上只有一個(gè)極值點(diǎn)，）上只有一個(gè)極值點(diǎn)， 那么這個(gè)極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。那么這個(gè)極值點(diǎn)必定是最值點(diǎn)。 19 有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有無最值情況不定。有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有無最值情況不定。 20 2 1 x40 2 fxx 3 討論函數(shù)（ ）=4x在， 的最值情況。 動手試試動手試試 2 ( )1281(2

16、1)(61)fxxxxx 1 ( )( ) 6 f xf 最大值 沒有最小值 21 1. 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間在區(qū)間1，5內(nèi)的極值與最值內(nèi)的極值與最值 故函數(shù)故函數(shù)f(x) 在區(qū)間在區(qū)間1，5內(nèi)的極小值為內(nèi)的極小值為3，最大值，最大值 為為11，最小值為，最小值為2 解法二解法二: f (x)=2x-4 令令f (x)=0，即，即2x-4=0， 得得x=2 x1（1，2）2（2，5）5 y， ， 0 y -+ 3 112 選做題： 解法一解法一:將二次函數(shù)將二次函數(shù)f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函配方，利用二次函 數(shù)單調(diào)性處理數(shù)單調(diào)性處理 22 2 2、 。 1

17、1 求求f f( (x x) )x xs si in nx x在在區(qū)區(qū)間間 0 0，2 2 上上的的最最值值 2 2 最最小小值值是是0 0. . 是是 , ,函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )的的最最大大值值 xxfcos 2 1 )( 0)( x f 3 4 , 3 2 21 xx )(x f )(xf 3 2 3 4 2 3 4 2 3 2 3 4 3 2 2 3 3 2 3 3 2 解 令 解得 x 0 (0, ) ( , ) + -+ 0 0 ( , ) 0 23 應(yīng)用應(yīng)用 ( 2009年天津（文）21T ) 處的切線的斜率； 設(shè)函數(shù) 其中 ,1 3 1 223 Rxxmxxxf . 0m （1）當(dāng) 時(shí)，求曲線 在點(diǎn) 1m xfy 1, 1 f （2）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值。 xf 答:（1）斜率為1; .1 ,1 ,1,1 內(nèi)是增函數(shù)減函數(shù)，在 內(nèi)是，在 mm mmxf ; 3 1 3 2 23 mmxf 極小 3 1 3 2 23 mmxf 極大 (2) 24 （0404浙江文浙江文2121）（本題滿分）（本題滿分1212分）分） 已知已知a a為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)， （）求導(dǎo)數(shù)）求導(dǎo)數(shù) ； （）若）若 ，求，求 在在-2-2，22上的上的 最大值和最小值；最大值和最小值； （）若）若