第一章第一節(jié)11隨機(jī)事件及其運(yùn)算

1、第一章第一章 隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率 1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件及其運(yùn)算 1.1.1 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 兩類現(xiàn)象兩類現(xiàn)象： 確定現(xiàn)象確定現(xiàn)象:在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象在一定條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象 拋一石塊,觀察結(jié)果; 導(dǎo)體通電,考察溫度; 異性電菏放置一起,觀察其關(guān)系 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象:我們事先無法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象我們事先無法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象 某人射擊一次,考察命中情況; 某人射擊一次,考察命中環(huán)數(shù); 擲一枚硬幣,觀察向上的面; 從一批產(chǎn)品中抽取一件,考察其質(zhì)量; 5.將來某日某種股票的價格是多少？將來某日某種股票的價格是多少？ 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 在條件相同的一系列重復(fù)觀察

2、中，會時而出現(xiàn)時 而不出現(xiàn)，呈現(xiàn)出不確定性，并且在每次觀察之前 不能準(zhǔn)確預(yù)料其是否出現(xiàn)，這類現(xiàn)象稱之為隨機(jī)現(xiàn) 象。 隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性 在相同條件下多次重復(fù)某一試驗(yàn)或觀察時，其各 種結(jié)果會表現(xiàn)出一定的量的規(guī)律性，這種規(guī)律性 稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對象概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究對象 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的 一門科學(xué)。隨機(jī)現(xiàn)象的普遍存在性決定了它的廣 泛應(yīng)用性。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)稱為隨機(jī)數(shù)學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)稱為隨機(jī)數(shù)學(xué) 為了對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究，就需對為了對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究，就需對 隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察。我們把對隨機(jī)現(xiàn)

3、象的觀察隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察。我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的觀察 稱為稱為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)，并簡稱為，并簡稱為試驗(yàn)試驗(yàn)，記為，記為E. 例如，觀察某射手對固定目標(biāo)進(jìn)行射擊；拋一 枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)；記錄某市120 急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等均為隨機(jī)試驗(yàn). 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：具有下列特點(diǎn)： 1、可觀察性、可觀察性：試驗(yàn)結(jié)果可觀察，試驗(yàn)結(jié)果可觀察，：試驗(yàn)結(jié)果可觀察，試驗(yàn)結(jié)果可觀察， 結(jié)果結(jié)果 是明確的；是明確的； 2、不確定性、不確定性：每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)：每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù) 知知. 樣本點(diǎn)：樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能的不能再分解的隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能

4、的不能再分解的 結(jié)果常記為結(jié)果常記為. 樣本空間：一個隨機(jī)實(shí)驗(yàn)樣本點(diǎn)的全體樣本空間：一個隨機(jī)實(shí)驗(yàn)樣本點(diǎn)的全體的全體，記為的全體，記為 1.1.2 樣本空間樣本空間 例例1.隨機(jī)試驗(yàn)E：10件產(chǎn)品8件正品2件次品， 無放回的的任一抽取兩件，一次取一件，觀察正品、 次品出現(xiàn)的情況，寫出其樣本空間及其樣本點(diǎn)；若一 次取兩件結(jié)果又如何？ 1（ ）若若一一次次解解：取取一一件件無無放放回回 12 34 樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)為為：（正正，正正），（正正，次次）， （次次，正正），（次次，次次）， 1234 樣本空間為：， 2（ ）若若一一次次取取兩兩件件 12 3 樣樣本本點(diǎn)點(diǎn)為為：（正正，正正），（正正，次次）

5、， （次次，次次）， 123 樣本空間為：， 例例2.一次擲兩顆骰子，（一次擲兩顆骰子，（1）觀察兩顆骰子）觀察兩顆骰子 出現(xiàn)的點(diǎn)子搭配情況，寫出樣本點(diǎn)及樣本空間；（出現(xiàn)的點(diǎn)子搭配情況，寫出樣本點(diǎn)及樣本空間；（2） 若觀察兩顆點(diǎn)子數(shù)之和，寫出樣本點(diǎn)及樣本空間。若觀察兩顆點(diǎn)子數(shù)之和，寫出樣本點(diǎn)及樣本空間。 126 7812 313236 1236 1 1 11 21 6 2 12 22 6 6 16 26 6 （ ）樣本點(diǎn)： （ ， ），（ ，）， ，（ ，）， （ ， ），（ ，）， ，（ ，）， （ ， ），（ ，）， ，（ ，）， 樣本空 解 間為：， ： ， 1211 1211 2231

6、2 （ ）樣本點(diǎn)為：， ， 樣本空間為：， ， ， 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：寫出下列各隨機(jī)事件的樣本空間：寫出下列各隨機(jī)事件的樣本空間： （1）記錄一個小班數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)；）記錄一個小班數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)； （2）10只產(chǎn)品有只產(chǎn)品有3只次品，每次從中取只次品，每次從中取1只（不只（不 放放 回抽樣）直到把回抽樣）直到把3只次品都取出，記錄抽取的次數(shù)；只次品都取出，記錄抽取的次數(shù)； （3）10只產(chǎn)品有只產(chǎn)品有3只次品，每次從中取只次品，每次從中取1只（有只（有 放回抽樣）直到把放回抽樣）直到把3只次品都取出，記錄抽取的次數(shù)；只次品都取出，記錄抽取的次數(shù)； （4）生產(chǎn)產(chǎn)品直到）生產(chǎn)產(chǎn)品直到10件

7、正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的 次數(shù)；次數(shù)； （5）一個小組有）一個小組有A、B、C、D、E5人，要選正、人，要選正、 副組長各一人（一個人不能兼二職），觀察選舉結(jié)果；副組長各一人（一個人不能兼二職），觀察選舉結(jié)果； （6）甲乙二人下棋一局，觀察棋局結(jié)果；）甲乙二人下棋一局，觀察棋局結(jié)果； 0 1100 1, (2)3,4,10, (3)3,4, (4)10,11, (5), , , (6) 答案： （ ） 甲勝乙負(fù)，甲負(fù)乙勝， 平局 n n nn AB AC AD AE BA BC BD BE CA CB CD CE DA DB DC DE EA EB EC ED 隨機(jī)事件（偶然

8、事件）隨機(jī)事件（偶然事件）：隨機(jī)事件總有多種可能的結(jié) 果，我們將隨機(jī)試驗(yàn)E的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果，稱 為隨機(jī)事件，簡稱事件。常用A、B、C表示。 基本事件：基本事件：不能分解為其它事件的組合。 復(fù)合事件：復(fù)合事件：由基本事件組合而成的事件。 必然事件：必然事件：每次試驗(yàn)必然出現(xiàn)的事件 不可能事件：不可能事件：每次試驗(yàn)必然不出現(xiàn)的事件。 記為 記記為為 1.1.3 隨機(jī)事件隨機(jī)事件 引例引例在檢驗(yàn)一批圓柱形產(chǎn)品時，需要產(chǎn)品的長度和 直徑都合格才算合格，于是考察以下事件： “產(chǎn)品合格”，“產(chǎn)品不合格”，“長度合格”， “長度不合格”，“直徑合格”，“直徑不合格”， “長度合格而直徑不合格”，“長度

9、不合格而直徑合 格” 1.1.5 事件間的關(guān)系事件間的關(guān)系 一一、包包含含關(guān)關(guān)系系： ABA BABB A 如如果果事事件件 發(fā)發(fā)生生必必然然導(dǎo)導(dǎo)致致 發(fā)發(fā)生生即即屬屬于于 的的每每一一個個樣樣本本 點(diǎn)點(diǎn)一一定定屬屬于于 ，則則稱稱事事件件 包包含含與與事事件件 ，或或稱稱事事件件 包包 含含事事件件 ， ABBA記記為為或或 有有“長長度度不不合合格格” “產(chǎn)產(chǎn)品品顯顯然然不不合合格格” A B ABAB AB AB 如如果果且且，則則稱稱 試試驗(yàn)驗(yàn) 與與試試驗(yàn)驗(yàn) 相相等等，記記作作 二二、事事件件的的相相等等 A BAB 三三、事事件件 與與 不不能能同同時時發(fā)發(fā)生生 互互不不相相容容事事

10、件件（或或稱稱互互斥斥事事） ，即即 件件 、 AB P5例例1.1.6 P5例例1.1.7 事事件件的的并并一一、（或或和和） ABABAB 事事件件 與與 至至少少有有一一個個發(fā)發(fā)生生，記記作作或或 “長長度度不不合合格格”“直直徑徑不不合合格格”“產(chǎn)產(chǎn)品品 顯顯然然有有 不不合合格格” AB 1.1.6 事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算 事事件件的的積積二二、（或或交交） ABABAB 事事件件 和和 都都發(fā)發(fā)生生，記記作作或或 AB “直直徑徑合合格格”“長長顯顯然然度度合合格格”“：產(chǎn)產(chǎn)品品合合格格” AB,A-B 三三、事事件件 發(fā)發(fā)生生而而事事件件 不不發(fā)發(fā)生生 記記作作事事件件的的差差 A

11、B A A AA四四、事事件件 不不發(fā)發(fā)生生，立立事事件件記記為為 對對 有有限限個個或或可可列列（數(shù)數(shù)）個個事事件件的的并并與與交交（五五、或或和和與與積積） 1 1 212 1 1 2 2 . n nn nn i n n 設(shè)設(shè)有有 個個事事件件，則則稱稱“，至至 少少有有一一個個發(fā)發(fā)生生”這這一一事事件件為為事事件件， 作作 ，的的并并， 記記或或 12 12 1 12 . n nn i n n 記記作作 則則稱稱“，都都發(fā)發(fā)生生”這這一一事事件件為為事事件件 的的交交或或， n 若若可可列列個個就就把把 改改為為 。 事件的運(yùn)算規(guī)律事件的運(yùn)算規(guī)律 由集合的運(yùn)算律，由集合的運(yùn)算律，易給出事

12、件間的運(yùn)算律易給出事件間的運(yùn)算律. 設(shè)設(shè) CBA,為同一隨機(jī)試驗(yàn)為同一隨機(jī)試驗(yàn)E 中的事件，中的事件，則有則有 (1) 交換律交換律 (),ABBAABBA或 ();ABBAABBA或 (2) 結(jié)合律結(jié)合律 ()(), ()(), ABCABC ABCABC 或 ()() (); ABCABC AB CA BC 或（ (3)分配律分配律 ()()() ()()(), ABCACBC AB CACBC 或 ()()() ()()(); ABCACBC ABCACBC (4) 自反自反 律律 ;AA (5)對偶律對偶律 ().ABABABAB或 注注上述各運(yùn)算律可推廣到有限個或可數(shù)個事件的情形上述

13、各運(yùn)算律可推廣到有限個或可數(shù)個事件的情形. (AB)ABA+BAB, 或 事件之間的關(guān)系與運(yùn)算完全和集合之間的關(guān)事件之間的關(guān)系與運(yùn)算完全和集合之間的關(guān) 系與運(yùn)算一致，只是術(shù)語不同而已。系與運(yùn)算一致，只是術(shù)語不同而已。 記號記號 概率論概率論 集合論集合論 樣本空間樣本空間, 必然事件必然事件 空間空間 不可能事件不可能事件 空集空集 樣本點(diǎn)樣本點(diǎn) 元素元素 A B A發(fā)生必然導(dǎo)致發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生發(fā)生 A是是B的子集的子集 AB= A與與B互不相容互不相容 A與與B無相同元素?zé)o相同元素 A B A與與B至少有一發(fā)生至少有一發(fā)生 A與與B的并集的并集 AB A與與B同時發(fā)生同時發(fā)生 A與與B的交

14、集的交集 A B A發(fā)生且發(fā)生且B不發(fā)生不發(fā)生 A與與B的差集的差集 A不發(fā)生、對立事件不發(fā)生、對立事件 A的余集的余集 A .A B5C5 C ABA-BABACC-A AB. 3 擲一枚骰子的試驗(yàn)，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)， 事件 表示 取到的是奇數(shù)點(diǎn)，事件 表示點(diǎn)數(shù)小于 ， 表示小于 的偶數(shù)點(diǎn)，用集合的方法表示下列事件 ， ， ， ， ， 例 S 1 2 3 4 5 6，解，： A1 3 5 ，B1 2 3 4 ， C2 4 ， AB1 2 3 4 5， A-B5 AB1 3 ， ， AC ，C-A2 4 ， B1 2 3 4 6， 例例4甲甲, , 乙乙, , 丙三人各射一次靶丙三人各射一次靶,

15、 , 記記 A “甲種甲種 靶靶”, ,B “乙中靶乙中靶”, ,“丙中靶丙中靶”, , C 則可用上述則可用上述 三個事件的運(yùn)算三個事件的運(yùn)算 (1) (3) (4) (2) “甲未中靶甲未中靶”: :;A ;AB “甲中靶而乙未中靶甲中靶而乙未中靶”: : “三人中只有丙未中靶三人中只有丙未中靶”: :;ABC ;ABCABCABC“三人中恰好有一人中靶三人中恰好有一人中靶”: : (6) (7) (5)“三人中至少有一人中靶三人中至少有一人中靶”: : “三人中至少有一人未中靶三人中至少有一人未中靶”: : “三人中恰有兩人中靶三人中恰有兩人中靶”: : ABC或或 ;ABC ABC 或

16、或 ;ABC ;ABCABCABC 來分別表示下列各事件來分別表示下列各事件: : (10) (9) (8) “三人中至少有兩人中靶三人中至少有兩人中靶”: :;ABACBC “三人中均未中靶三人中均未中靶”: :;ABCABC或或 ;ABCABCABC“三人中至多一人中靶三人中至多一人中靶”: : (11) “三人中至多兩人中靶三人中至多兩人中靶”: :.ABCABC或或 注注: : 用其它事件的運(yùn)算來表示一個事件用其它事件的運(yùn)算來表示一個事件, , 方法往往方法往往 不唯一不唯一, , 如本例中的如本例中的 (6)和和 (11)實(shí)際上是同一事件實(shí)際上是同一事件, , 讀者應(yīng)學(xué)會讀者應(yīng)學(xué)會特

17、別在解決特別在解決 具體問題時具體問題時, , 往往要更具需要往往要更具需要 方法方法. . 用不同方法表達(dá)同一事件用不同方法表達(dá)同一事件, , 選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎具x擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎?例例5.設(shè)設(shè)A、B、C為三個隨機(jī)事件，試用事件的運(yùn)為三個隨機(jī)事件，試用事件的運(yùn) 算表示下列事件：算表示下列事件： 1）A、B、C中至少有一個發(fā)生；中至少有一個發(fā)生； 2）A、B、C都發(fā)生都發(fā)生; 3）只有事件）只有事件A發(fā)生；發(fā)生； 4）A、B都發(fā)生，都發(fā)生，C不發(fā)生；不發(fā)生； 5）A、B、C中恰有一個發(fā)生；中恰有一個發(fā)生； 6）A、B、C都不發(fā)生；都不發(fā)生； 7）A、B、C不都發(fā)生；不都發(fā)生； 8）A、B、C中

18、恰有兩個事件發(fā)生；中恰有兩個事件發(fā)生； 9）A、B、C中至少有兩個事件發(fā)生；中至少有兩個事件發(fā)生； 10）不多于一個事件發(fā)生；）不多于一個事件發(fā)生； 11）不多于兩個事件發(fā)生；）不多于兩個事件發(fā)生； 1BC解解）：， 2ABC）， 3)ABCABC,4)C, 5)ABCABCABC, 6)ABCABC, 7)ABCABC， 8)ABCABCABC 9),ABCABCABCABCABBCCA 10),ABCABCABCABCABBCCA 11) 7 ABCABCABCABCABCABCABC ABC （與與第第 小小題題一一樣樣） ABA(B-A)AAB ABBAB ABAAB 6 ABAB 證

19、證明明：例例 ： AAB B 解：解： 1.設(shè)事件設(shè)事件A=A=甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷 ， 則則A A的對立事件為（的對立事件為（ ） 甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷； 甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷； 甲種產(chǎn)品滯銷；甲種產(chǎn)品滯銷； 甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷。甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷。 2.2.設(shè)設(shè)x x表示一個沿數(shù)軸做隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)位表示一個沿數(shù)軸做隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)位 置，試說明下列各對事件間的關(guān)系置，試說明下列各對事件間的關(guān)系 A=|x-a|A=|x-a|,B=x-a,B=x-a(0(0） A=xA=x2020，B=x

20、20B=x20 A=xA=x2222，B=xB=x1919 課堂練習(xí)課堂練習(xí) A與與B對立對立 A與與B互斥互斥 BA 3.3.已知事件已知事件A A與與B B是對立事件，求證與也是對立事件是對立事件，求證與也是對立事件A B 分析：分析：由A與B是對立事件，有 AB AB ABAB ABAB 4.對對立立事事件件與與互互不不相相容容事事件件的的區(qū)區(qū)別別？聯(lián)聯(lián)系系？ AB ABAB 事事件件 與與 不不能能同同時時發(fā)發(fā)生生，即即 互互不不相相容容事事件件: : 、 AAAA事件 不發(fā)生，記作 ,顯 對立事 然 件: A A 對對立立事事件件一一定定是是互互不不相相容容事事件件， 互互不不相相容

21、容事事件件不不一一定定是是對對立立事事件件， ,ABAB 、 互互不不相相容容，只只有有 ,、 對立，不但有還有ABABAB 注意點(diǎn)注意點(diǎn)(1) 基本事件互不相容，基本事件之并基本事件互不相容，基本事件之并= AAAA AAA AAA A ABAB B 注意點(diǎn)注意點(diǎn)(2) , ()() ABABBABA ABAAB ABABAABAB AABAB 設(shè)為樣本空間，F(xiàn) 是由的子集組成的集合 類，若F 滿足以下三點(diǎn),則稱 F 為事件域 1. F ; 2. 若 AF ，則 F ; A 3. 若 F ，n=1, 2, , 則 F . n A 1 n n A 注：事件域又稱注：事件域又稱 域或域或 代數(shù)代數(shù) 教材教材P9例例1.1.10 1.1.7 事件域事件域 12 1 12 1, ,1,2,; 2), 設(shè) ， ， 是有限個 或可列個事件，如果其滿足： ） 則稱 ， 樣本空間的 樣本空間的一個分 一個分割。 割 n ij i i AAA A Aij i j A AA 1 A 2 A n A 教材教材P10例例1.1.11