第一章狀態(tài)空間表達式-第2講

1、控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 2010年 4月15日 2 1.狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)空間描述常用的基本概念： 1. 狀態(tài)變量 足以完全表征運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。 2. 狀態(tài)矢量 如果n個狀態(tài)變量 表示，并把這 些狀態(tài)變量看作是矢量 的分量，則 就稱為狀態(tài)矢量。 3. 狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量 為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的n維空間。 4. 狀態(tài)方程 由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組。 5. 輸出方程 在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函 數(shù)關(guān)系式。 6. 狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)方程和輸出方程總合起來，構(gòu)成對一個系 統(tǒng)完整的動態(tài)描述。 12

2、( ) ( ) .( ) n x tx tx t、 ( )x t 12 . n xxx、 、 3 1.1 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 1di RiLidtu dtC 1 C yuidt C 狀態(tài)變量應(yīng)該是相互獨立的，且其個數(shù)應(yīng)等于微分方 程的階數(shù)。 一般的，狀態(tài)變量的個數(shù)等于系統(tǒng)儲能元件的個數(shù)。 例題1-1，用圖1-1所示的R-L-C網(wǎng)絡(luò)電路，說明如何用 狀態(tài)空間表達是來描述這一系統(tǒng)。 圖1-1 R-L-C電路 電路輸出量為 1）設(shè)狀態(tài)變量 則狀態(tài)方程為 輸出方程為 12 , C xi xu 112 21 11 1 R xxxu LLL xx C 2 yx 根據(jù)電路定律可

3、列寫如下方程： 其向量-矩陣形式為： 11 22 1 1 1 00 R xx LL uL xx C 1 2 01 x y x xAxbu 簡記為： ycx 2）選擇狀態(tài)變量 則有 12 ,xi xidt 11 22 11 010 R xx uLLCL xx 1 2 1 0 x y xC 3）選擇狀態(tài)變量 則 12 11 ,xidtRi xidt CC 11 22 11 11 0 R R xx RCLRC uL xx RCRC 1 2 01 x y x 121 , di xxRi Lxu dt 12121 1 ()() diR xxRxxxu dtRCL 212 11 ()xixx CRC 2

4、yx 其向量-矩陣形式為： 6 由上可見，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式不具有唯一性。 選取不同的狀態(tài)變量，便會有不同的狀態(tài)空間表達式， 但它們都描述了同一系統(tǒng)?？梢酝茢?，描述同一系統(tǒng) 的不同狀態(tài)空間表達式之間一定存在著某種線性變換 關(guān)系。 理論上講，并不要求狀態(tài)變量在物理上是一定可 以測量的量，但在工程實踐上，仍以選取那些容易測 量的量作為狀態(tài)變量為宜，因為在最優(yōu)控制中，往往 需要講狀態(tài)變量作為反饋量。 要點：1.狀態(tài)空間描述是時域法。注重系統(tǒng)的內(nèi)在特性 （通過狀態(tài)變量） 。 2.狀態(tài)方程是向量微分方程，輸出方程是向量代數(shù) 方程，聯(lián)合描述了系統(tǒng)的動態(tài)特性。 3.系統(tǒng)的維數(shù)=狀態(tài)變量的個數(shù)=一階微分方程

5、的個數(shù) =儲能元件的個數(shù)。 4.狀態(tài)變量的不唯一，狀態(tài)方程也不唯一。 狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)方塊圖 可以用方塊圖表示系統(tǒng)信號傳遞的關(guān)系。對于上面表 示的系統(tǒng)，其方塊圖可表示如下 9 1.2 狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖 模擬結(jié)構(gòu)圖的必要性：采用模擬結(jié)構(gòu)圖來反映系 統(tǒng)和狀態(tài)變量之間的信息傳遞關(guān)系，對建立系統(tǒng) 的狀態(tài)空間表達式很有幫助。 模擬結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟：1.積分器的數(shù)目應(yīng)等于 狀態(tài)變量數(shù)，將他們畫在適當(dāng)?shù)奈恢茫?.每個積 分器的輸出表示相應(yīng)的某個狀態(tài)變量，然后根據(jù) 所給的狀態(tài)方程和輸出方程，畫出相應(yīng)的加法器 和比例器；3.用箭頭將這些元件連接起來。 210 xa xa

6、xa xbu 例1-2，系統(tǒng)的三階微分方程為 例1-3，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 12 23 3123 12 632 xx xx xxxxu yxx 則該系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖繪制如下 12 3 狀態(tài)空間表達式的建立（1） 3.1從系統(tǒng)方塊圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 在系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖的基礎(chǔ)上，把每個積分器的輸出選作 狀態(tài)變量 , 其輸出便是相應(yīng)的 ；直接寫出系統(tǒng)的狀態(tài) 方程和輸出方程 i x i x 例1-4 系統(tǒng)方塊圖如下所示，求出系統(tǒng)的狀態(tài) 空間表達式。 狀態(tài)表達式可表示為： 1323 222232 331141111 1 xKxT xxTKx T xx TK Kx TKu T yx 1 1 1 1

7、 1 1 1 1 1 1 KKs TsT s T K s T s T 2）含輸入導(dǎo)數(shù)項：()TyyKuu 1 11 ( )(1)1 1111 ( )1 11 Y sKsKsKs U sTsTT ssss TTTT 方塊圖： ( )Y S( )U S K T 1 S 1 T 一路 一路 1 ( ) ( ) ( ) ( ) Y S S E S Y S E S u 1 x 1 x y ( )E S 11 1K xxu TT 11111 (1) KK yxxxxuxu TTTT 由狀態(tài)變量圖可寫出方程式： 1）不含輸入導(dǎo)數(shù)項： 1 1 1 2 112222 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ( )

8、: 1 ( )21 1 2 1 s s s Y sKKsK T L ssU sT sTsTT s T T s s T T 2、二階系統(tǒng)： 方塊圖： ( )U S 2 K T 1 1 2 1 S S T 1 S 2 1 T ( )Y S ( )U S ( )Y S 1 S 1 S 2 1 T 2 K T 2 T u 1 x 2 x y 2）含輸入一階導(dǎo)數(shù)項： 21 222 1212 22 ( )(1) 2121 ( )21 11 Y sKsKss U sT sTsT ssss TTTT 與前一項比 換成 1 s 方塊圖： ( )U S ( )Y S 1 S 1 S 2 1 T 2 K T 2 T

9、 u 2 x 1 x y ux 1 Sa xaxu xaxu x x 1 S a u sd sc 環(huán)節(jié) 1 Sddc ScSc ux u x dc 1 S c 1 x 1 x 一階慣性環(huán)節(jié)： 2 10 K Sa Sa u x0 2 010 aK aSa Sa ux 1 0 K a 0 1 () a S Sa u x x u 0 K a 0 a S1 1 Sa 1 ux 1 1 S 1 S 0 K a 0 a 1 a 3.2從系統(tǒng)機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 一般常見的控制系統(tǒng)，可以根據(jù)物理規(guī)律，建立系統(tǒng) 的狀態(tài)方程。 例1-5 電路網(wǎng)絡(luò)如下所示，輸入量為電流源，并指定一電容C1和 C2上的電壓作

10、為輸出，求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。 1 1 2 1 11 3 2 22 4 1 12 2 0 0 0 C C C uLiRi uL iR i uLiL i 有四個儲能元件，故選擇四個狀態(tài)變量 即 對該電路分別利用節(jié)點法和支路 法列寫電流和電壓方程如下： 12 12 , , CC uui i 2 1 2 312 112 224 0 0 0 C C C iiiC u C uii C uii 12 121324 , CC ux ux ix ix 消去非獨立變量 ，得到 34 ,i i 20 4 狀態(tài)空間表達式的建立（2） 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式 傳遞函數(shù)或運動方程式 實現(xiàn) 問題：考慮一個單變量線性定常系

11、統(tǒng)，它的運動方程是 一個n階線性常系數(shù)微分方程 ( )(1)()(1) 110110 . nnmm nmm yaya ya yb ububub u ()(1) 110 ( )(1) 110 .( ) ( ) ( ). mm mm nn n b ububub uY s W s U syaya ya y , T xAxbu yC x 相應(yīng)的傳遞函數(shù)為 實現(xiàn)問題就是根據(jù)以上兩個式子求出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式。 實現(xiàn)問題存在的條件是 ，實現(xiàn)是非唯一的，但是只 要原系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子和分母沒有零級點對消現(xiàn)象，則 n階系統(tǒng)必有n個獨立狀態(tài)變量，必有n個一階微分方程與 之等效，系統(tǒng)矩陣A的元素取值雖然各有不同，

12、但是既為 同一系統(tǒng)的實現(xiàn)，其特征根必是相同的。 mn (1) 12 ,., n n xy xyxy 4.1 傳遞函數(shù)中沒有零點時的實現(xiàn) ( )(1) 1100 . nn n yaya ya yb u 如果系統(tǒng)沒有零點，則系統(tǒng)的微分方程為： 相應(yīng)的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 0 1 110 ( ) ( ) ( ). nn n by s W s u ssasa sa 可以選取n個狀態(tài)變量為 ，于 是系統(tǒng)還可以表示為： 1 2 3 (1)n n xy xy xy xy 此時，可以選取狀態(tài)變量為： 12 23 34 01121 . nnn xx xx xx xa xa xaxu 011 01000 00100

13、 0 0001 1 n xxu aaa , T xAxbu yC x 1 2 1 01210 010.00 1 001.00 0 .,.,. . 000.10 0 . n nn x x xAbC x xaaaa 其向量-矩陣形式為 24 ( )(1) 110 ()(1) 110 . . nn n mm mm yaya ya y b ububub u 如果傳遞函數(shù)有零點，則系統(tǒng)的微分方程為： 相應(yīng)地系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 1 110 1 110 .( ) ( ); ( ). mm mm nn n b sbsbsby s W smn u ssasa sa 4.2 傳遞函數(shù)中有零點時的實現(xiàn) 實現(xiàn)策略：包

14、含輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)項的實現(xiàn)問題，主要是 選取合適的結(jié)構(gòu)，使得狀態(tài)方程中不包含輸入函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)項。 25 1 110 1 110 .( ) ( ); ( ). mm mm nn n b sbsbsby s W smn u ssasa sa 4.2 傳遞函數(shù)中有零點時的實現(xiàn) 實現(xiàn)策略：包含輸入函數(shù)導(dǎo)數(shù)項的實現(xiàn)問題，主要是 選取合適的結(jié)構(gòu)，使得狀態(tài)方程中不包含輸入函數(shù)的 導(dǎo)數(shù)項。 ( )(1) 110 ()(1) 110 1 . (.) nn n mm mm yu sasa sa yb sbsbsb y 1 110 1 110 . . mm mm nn n b sbsbsb yu sasa sa ( )

15、(1) 110 ()(1) 110 . . nn n mm mm yaya yau yb ybyb yb y 1 (1) 2 (2) 3 (1)n n xy xy xy xy 12 23 34 01121 . nnn xx xx xx xa xa xaxu 111201 . mmmm yb xbxb xb x 011 10 01000 00100 0 0001 1 00 n mm xxu aaa ybbbx 寫成向量-矩陣的形式為 1 110 1 110 . . nn nn nn n b pbpb pb yu papa pa 1 111100 1 110 ().()() . n nnnnn n

16、 nn n bb apbb a pbb a ybu papa pa m=n時 ( )(1) 110 1 111100 1 . ().()() nn n n nnnnnn yu papa pa ybb apbb a pbb ayb u 1 (1) 2 (2) 3 (1)n n xy xy xy xy 12 23 34 01121 . nnn xx xx xx xa xa xaxu 對上式若選取狀態(tài)變量組為 4.3 多輸入-多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn) 以雙輸入-雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)的微分方程為 2 1111 1222132 22 111 1213222 2 111 1213222 2324142 ()