《結(jié)構動力學》-第六章-多自由度系統(tǒng)振動PPT課件

1、1 第六章多自由度系統(tǒng)振動第六章多自由度系統(tǒng)振動( (一一) ) 6-1 用剛度法與柔度法列運動微分方程用剛度法與柔度法列運動微分方程 1剛度法剛度法 1 x m1 m2mimn k2i x m2mn k11 k21 ki1 m1 k1i mi kii kn1 kni 1 圖示簡支梁，剛度系數(shù)圖示簡支梁，剛度系數(shù)kij定義為：定義為： 使質(zhì)量使質(zhì)量mj的位移的位移xj1而其余質(zhì)量位移而其余質(zhì)量位移xi0(ij)時在時在xi 處所需要（施加）的力。處所需要（施加）的力。 2 一般情況下，若各質(zhì)量均有位移一般情況下，若各質(zhì)量均有位移x1、x2、.、xn， 則在則在xi 處所需力的總和為：處所需力的

2、總和為： n j jiji nixkF 1 ), 2 , 1( 設每一質(zhì)量設每一質(zhì)量mi上作用的外力為上作用的外力為Fi(t)，對每一質(zhì)量運用牛頓，對每一質(zhì)量運用牛頓 第二定律，可得運動微分方程：第二定律，可得運動微分方程： )( 1121211111 tFxkxkxkxm nn )( 2222212122 tFxkxkxkxm nn )( 2211 tFxkxkxkxm nnnnnnnn 用矩陣符號可寫成：用矩陣符號可寫成： )(tFXKXM 3 例求圖示五自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。例求圖示五自由度系統(tǒng)的剛度矩陣。 2 m 3 m 4 m 5 m 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 1 x

3、2 x 3 x 4 x 5 x 1 m 解：首先用力使解：首先用力使m1產(chǎn)生單位位移，并用力使其余質(zhì)量不動，產(chǎn)生單位位移，并用力使其余質(zhì)量不動， 則需要給則需要給m1的力為的力為k1與與k2的彈性力和，即的彈性力和，即k11k1+k2。此時。此時 m2需加力為需加力為k2，沿，沿x的負方向，即的負方向，即k21- -k2，其余質(zhì)量不必，其余質(zhì)量不必 施加任何力，即施加任何力，即k31k41k510。 用類似方法可得其余剛度系數(shù)，于是有：用類似方法可得其余剛度系數(shù)，于是有： 555554535251 54554444434241 35434433333231 25243233222221 151

4、4132122111 000 00 00 00 000 kKkKKKK kKkkKkKKK KkKkkKkKK KKkKkkKkK KKKkKkkK 4 利用功的互等原理可知，剛度矩陣是對稱陣，即有利用功的互等原理可知，剛度矩陣是對稱陣，即有kijkji， 于是上述剛度矩陣為：于是上述剛度矩陣為： 55 5544 4433 3322 221 000 00 00 00 000 kk kkkk kkkk kkkk kkk K 5 柔度法柔度法 柔度系數(shù)柔度系數(shù)aij定義為：定義為： 在第在第j個質(zhì)量上作用單位力時在第個質(zhì)量上作用單位力時在第i個質(zhì)量上產(chǎn)生的位移。個質(zhì)量上產(chǎn)生的位移。 (c) (b)

5、 yn yj yi y1 mnmjmi(a)m1 i j ji 1 1 jjij j i ii nnjjii ymymymym 11 6 于是：于是： 若在第若在第j個質(zhì)量上作用有力個質(zhì)量上作用有力F，則在第，則在第i個質(zhì)量上產(chǎn)個質(zhì)量上產(chǎn) 生的位移將是生的位移將是aij*F； 若在第若在第j個質(zhì)量上作用的是慣性力個質(zhì)量上作用的是慣性力 ，方向與坐標相，方向與坐標相 反，則在第反，則在第i個質(zhì)量上產(chǎn)生的位移將是個質(zhì)量上產(chǎn)生的位移將是 ； jj xm jjij xma 若所有質(zhì)量都有慣性力，則：若所有質(zhì)量都有慣性力，則： (c) (b) yn yj yi y1 mnmjmi(a)m1 i j ji

6、 1 1 jjij j i ii nnjjii ymymymym 11 7 若所有質(zhì)量都有慣性力，則：若所有質(zhì)量都有慣性力，則： nnn xmaxmaxmax 1221211111 nnn xmaxmaxmax 2222211212 nnnnnnn xmaxmaxmax 222111 0 0 0 0 00 00 00 2 1 2 1 21 22221 11211 2 1 nnnnnn n n n x x x m m m aaa aaa aaa x x x 寫成矩陣形式為：寫成矩陣形式為： 或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?0XMAX 8 在剛度矩陣在剛度矩陣K非奇異條件下，柔度矩陣非奇異條件下，柔度矩陣A與剛

7、度矩與剛度矩 陣陣K存在如下的互逆關系：存在如下的互逆關系： 1 KA 與剛度矩陣類似，有與剛度矩陣類似，有aijaji。 9 例求圖示三自由度簡支梁柔度矩陣。已知梁的例求圖示三自由度簡支梁柔度矩陣。已知梁的EI、L。 解：利用簡支梁在單位集中力作用下的撓度公式解：利用簡支梁在單位集中力作用下的撓度公式 其他柔度影響系數(shù)：其他柔度影響系數(shù)： mm2m 4/L4/L 4/L4/L 1 y 2 y 3 y P L xa )( 6 222 axL EIL ax 4 3 , 4 11 L a L xa，有對于 EI L a 256 3 3 11 ) 2 , 4 ( 768 11 3 12 L a L

8、x EI L a ) 4 , 4 ( 768 7 3 13 L a L x EI L a ) 2 , 2 ( 48 3 22 L a L x EI L a 1221233211331331 aaaaaaaa 10 柔度矩陣為：柔度矩陣為： 9117 111611 7119 768 3 EI L A 問題：問題：A中元素是否一定為正？中元素是否一定為正？ 11 例求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。例求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。 2 m 3 m 1 k 2 k 3 k 1 x 2 x 3 x 1 m 解：易得剛度矩陣為：解：易得剛度矩陣為： 53 3322 221 0 0 kk

9、kkkk kkk K m1上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為：上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為： 113121 1 11 1 aaa k a m2上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為：上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為： 21 2232 21 22 1 12 11111 kk aa kk a k a 12 例求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。例求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。 2 m 3 m 1 k 2 k 3 k 1 x 2 x 3 x 1 m m3上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為：上加單位力，各質(zhì)量的位移分別為： 柔度矩陣為：柔度矩陣為： 321 33 21 23 1 13 111111 kk

10、k a kk a k a 321211 21211 111 111111 11111 111 kkkkkk kkkkk kkk A 13 例求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。例求圖示三自由度系統(tǒng)的剛度矩陣和柔度矩陣。 2 m 3 m 1 k 2 k 3 k 1 x 2 x 3 x 1 m 對彈性系統(tǒng)來說，總存在剛度矩陣，但不一對彈性系統(tǒng)來說，總存在剛度矩陣，但不一 定存在柔度矩陣，當系統(tǒng)中存在剛體位移（模態(tài)）定存在柔度矩陣，當系統(tǒng)中存在剛體位移（模態(tài)） 時，就是這種情況，此時，剛度矩陣是奇異的，時，就是這種情況，此時，剛度矩陣是奇異的， 矩陣行列式等于零，因而不存在逆矩陣。矩陣行列式等于

11、零，因而不存在逆矩陣。 如本例中的如本例中的k1=0 1 53 3322 221 1 321211 21211 111 0 0 111111 11111 111 kk kkkk kkk K kkkkkk kkkkk kkk A可以驗證 14 拉格朗日方程在建立多度系統(tǒng)動力學微分方程時是非常有拉格朗日方程在建立多度系統(tǒng)動力學微分方程時是非常有 效的。效的。 設廣義坐標設廣義坐標qj，則拉格朗日方程可表為：，則拉格朗日方程可表為： 6-2 用拉格朗日方程列振動微分方程用拉格朗日方程列振動微分方程 NjQ q T q T dt d j jj , 2 , 1 式中：式中：Qj為對應于廣義坐標為對應于廣

12、義坐標qj的廣義力。的廣義力。 對于保守系統(tǒng)，對于保守系統(tǒng)，LTU，有，有(T為系統(tǒng)動能，為系統(tǒng)動能，U為勢能，為勢能， L稱為拉氏函數(shù)稱為拉氏函數(shù)) 0 jj q L q L dt d 15 例求圖示三自由度系統(tǒng)的運動微分方程。例求圖示三自由度系統(tǒng)的運動微分方程。 2 m 3 m 1 k 2 k 3 k 1 x 2 x 3 x 1 m 解：系統(tǒng)動能為：解：系統(tǒng)動能為： 2 33 2 22 2 11 2 1 2 1 2 1 xmxmxmT 勢能為：勢能為： 2 233 2 122 2 11 )( 2 1 )( 2 1 2 1 xxkxxkxkU 拉氏函數(shù)：拉氏函數(shù)： 2 233 2 122 2

13、 11 2 33 2 22 2 11 )( 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xxkxxkxkxmxmxmUTL 16 例求圖示三自由度系統(tǒng)的運動微分方程。例求圖示三自由度系統(tǒng)的運動微分方程。 2 m 3 m 1 k 2 k 3 k 1 x 2 x 3 x 1 m 2 233 2 122 2 11 2 33 2 22 2 11 )( 2 1 )( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xxkxxkxkxmxmxmUTL 11 1 xm x L dt d 2212112211 1 )()(xkxkkxxkxk x L 0)( 2212111 xkxkkx m 同樣可以求出另

14、外兩個微分方程：同樣可以求出另外兩個微分方程： 00 3322 x L x L dt d x L x L dt d 17 例求圖示兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程。例求圖示兩自由度系統(tǒng)的運動微分方程。 解：質(zhì)量解：質(zhì)量m的位置坐標為的位置坐標為 系統(tǒng)動能為：系統(tǒng)動能為： 一般來說，拉格朗日方程對于剛度矩陣或柔度矩陣不一般來說，拉格朗日方程對于剛度矩陣或柔度矩陣不 易求出的振動系統(tǒng)更能顯示其優(yōu)越性。易求出的振動系統(tǒng)更能顯示其優(yōu)越性。 L m M k x x cossinLyLxx mm )sin()cos( 2 1 2 1 2 1 2 1 222222 LLxmxMyxmxMT mm 系統(tǒng)勢能為：系統(tǒng)

15、勢能為： )cos1 ( 2 1 2 mgLkxU 18 x )sin()cos( 2 1 2 1 2 1 2 1 222222 LLxmxMyxmxMT mm )cos1 ( 2 1 2 mgLkxU 系統(tǒng)拉氏函數(shù)為：系統(tǒng)拉氏函數(shù)為： )sincos( 2 LLxmxM x L dt d kx x L 22 22 sincoscos sin)cos)(cos( LLxLxLLxm dt d LLLxm dt dL dt d )cos1 ( 2 1 cos2 2 1 2 1 )cos1 ( 2 1 )sin()cos( 2 1 2 1 22222 2222 mgLkxLxLxmxM mgLkx

16、LLxmxMUTL sinsinmgLxmL L 19 x )sincos( 2 LLxmxM x L dt d kx x L 22 22 sincoscos sin)cos)(cos( LLxLxLLxm dt d LLLxm dt dL dt d sinsinmgLxmL L 0)sincos(0 2 kxLLxmxM x L x L dt d 0sinsin)sincos(0 2 mgLxmLLLxLxm LL dt d 鄒經(jīng)湘老師書鄒經(jīng)湘老師書P52“動能動能T與廣義坐標無關與廣義坐標無關(因質(zhì)量是常數(shù)因質(zhì)量是常數(shù))” 說法是存疑的。說法是存疑的。 20 在上一章，我們已討論了二自由度

17、系統(tǒng)的固有頻率與主振在上一章，我們已討論了二自由度系統(tǒng)的固有頻率與主振 型，現(xiàn)在我們來討論型，現(xiàn)在我們來討論n自由度系統(tǒng)的情況。自由度系統(tǒng)的情況。 n自由度系統(tǒng)自由振動微分方程為：自由度系統(tǒng)自由振動微分方程為： 6-3 固有頻率與主振型（特征值與特征向量）固有頻率與主振型（特征值與特征向量） 0XKXM )sin(tux設 (*)0 2 uMK則 非零解條件為：非零解條件為： 0 2 MK 21 非零解條件為：非零解條件為： 0 2 MK 此式稱為系統(tǒng)的頻率方程或特征方程，對于正定或半此式稱為系統(tǒng)的頻率方程或特征方程，對于正定或半 正定實對稱矩陣正定實對稱矩陣M與與K，它有，它有n個正的實根個

18、正的實根i(i 1,2,.,n)， 特征值特征值i等于固有頻率等于固有頻率i的平方，即的平方，即 2 ii 將將i代入代入(*)式即可得到式即可得到n個主振型個主振型(特征向量特征向量) ui 22 對任意對任意j，同樣有，同樣有 6-4 主振型（特征向量）的正交性主振型（特征向量）的正交性 特征對特征對 滿足特征矩陣方程：滿足特征矩陣方程： i i u與 2 0 2 ii uMK )( 2 auMuK iii 或 )( 2 buMuK jjj 將將(a)式兩邊轉(zhuǎn)置后右乘式兩邊轉(zhuǎn)置后右乘uj，得，得 )( 2 cuMuuKu j T iij T i ，得式左乘對 T i ub)( )( 2 d

19、uMuuKu j T ijj T i 23 (c)(d)兩式相減，得：兩式相減，得： )( 2 cuMuuKu j T iij T i )( 2 duMuuKu j T ijj T i 0)( 22 j T iji uMu 若若ij，則，則ij，于是，于是 0 j T i uMu 0 j T i uKu因而 說明各個主振型關于說明各個主振型關于M與與K存在加權正交性。存在加權正交性。 i T iii T ii uMuMuKuK記 i i i M K 則 Mi與與Ki分別稱為第分別稱為第i階模態(tài)質(zhì)量與模態(tài)剛度。階模態(tài)質(zhì)量與模態(tài)剛度。 24 0 j T i uMu 0 j T i uKu mm k

20、kk 1 x 2 x 用前面兩自由度例子說明用前面兩自由度例子說明 kk kk k 2 2 m m M 0 0 1 1 1 1 11 21 1 1 X X u 1 1 1 1 12 22 2 2 X X u 0 1 1 1 1 2 2 11 kkkk kk kk 0 1 1 1 1 0 0 11 mmmm m m 25 1 1 1 1 11 21 1 1 X X u 1 1 1 1 12 22 2 2 X X u kkkkk kk kk 2 1 1 1 1 2 2 11 mmmmm m m 2 1 1 1 1 0 0 11 m k m k M K 2 2 1 1 1 2 1 kkkkk kk

21、kk 633 1 1 33 1 1 2 2 11 mmmmm m m 2 1 1 1 1 0 0 11 m k m k M K3 2 6 2 2 2 2 2 26 有時，系統(tǒng)的頻率方程或特征方程會出現(xiàn)重根的情況，有時，系統(tǒng)的頻率方程或特征方程會出現(xiàn)重根的情況， 此時，按前面的方法就不能唯一確定特征向量。此時，按前面的方法就不能唯一確定特征向量。 6-5 等固有頻率（重特征值）的情況等固有頻率（重特征值）的情況 設設12r，u1與與u2是對應的特征向量，即有是對應的特征向量，即有 11 2 11 uMuMuK r 2 2 2 22 uMuMuK r 則則u1與與u2的線性組合的線性組合ur（au

22、1bu2）也是特征）也是特征 值值r的特征向量。事實上，有的特征向量。事實上，有 21 ubuaKuK r r rr rr uMubuaM uMbuMauKbuKa 21 2121 27 另外，由特征向量的正交性，有另外，由特征向量的正交性，有 由此即可求出重特征值的特征向量由此即可求出重特征值的特征向量u1和和u2。 具有重特征值的系統(tǒng)，有時又稱為具有重特征值的系統(tǒng)，有時又稱為“簡并簡并” 系統(tǒng)或系統(tǒng)或“退化退化”系統(tǒng)。系統(tǒng)。 0 21 uMu T 28 例求圖示三自由度系統(tǒng)的特征對（固有模態(tài)）。例求圖示三自由度系統(tǒng)的特征對（固有模態(tài)）。 解：特征矩陣方程為：解：特征矩陣方程為： m m k

23、 k k 1 x2 x 3 x m k k k 0 2 uMK 頻率方程為：頻率方程為： 0 2 MK kkk kkk kkk K m m m M 3 3 3 00 00 00 式中 29 0 2 MK kkk kkk kkk K m m m M 3 3 3 00 00 00 m k m k4 2 3 2 2 2 1 解得： 將代入特征矩陣方程，將代入特征矩陣方程， 求出：求出： 0 2 uMK 2 1 T 1 111u 將代入特征矩陣方程，求出：將代入特征矩陣方程，求出： 2 3 2 2 和 0 0 332313 322212 uuu uuu 先求，它有兩個元素可任選，取先求，它有兩個元素可

24、任選，取 T 3222122 uuuu 21 322212 uuu則 T 2 211u即 30 0 332313 uuu現(xiàn)在剩下 再求再求,它滿足關于它滿足關于M與與K的正交的正交 性條件：性條件： T 3323133 uuuu 0 3 T 2 uMu 02 332313 uuu得 取取u131，則，則u330，u231 T 3 011u即 可以檢驗特征向量關于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性可以檢驗特征向量關于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性 各階振型物理意義描述如何？各階振型物理意義描述如何？ 021 111 111 U振型矩陣為： 31 振動微分方程振動微分方程 6-6 主振型矩陣與標準振型矩陣主振

25、型矩陣與標準振型矩陣 通常既是靜力耦合的又是動力耦合的，在二自由度系統(tǒng)通常既是靜力耦合的又是動力耦合的，在二自由度系統(tǒng) 時曾經(jīng)采用主坐標變換，得以解耦，所采用的變換矩陣時曾經(jīng)采用主坐標變換，得以解耦，所采用的變換矩陣 Uu1 u2我們稱為主振型矩陣，對我們稱為主振型矩陣，對n自由度系統(tǒng)，自由度系統(tǒng)， 主振型矩陣為：主振型矩陣為： ui為系統(tǒng)的第為系統(tǒng)的第i階主振型或模態(tài)向量。階主振型或模態(tài)向量。 0XKXM n uuuU 21 32 利用主坐標變換：利用主坐標變換： xUy 代入到振動微分方程，并前乘，有代入到振動微分方程，并前乘，有 T U 0 TT yUKUyUMU 利用振型的正交性，不難證明利用振型的正交性，不難證明 都是對角陣。實際上，按分塊矩陣乘法，有都是對角陣。實際上，按分塊矩陣乘法，有 UKUUMU TT 與 n n uuuM u u u UMU 21 T T 2 T 1 T n nnnn n n M M M uMuuMuuMu uMuuMuuMu uMuuM