第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 對(duì)于一個(gè)控制系統(tǒng)，在一定的輸 入作用下有些什么運(yùn)動(dòng)規(guī)律，我們不 僅希望了解其穩(wěn)態(tài)情況，更重要的是 了解其動(dòng)態(tài)過程。如果能將物理系統(tǒng) 在信號(hào)傳遞過程中的這一動(dòng)態(tài)特性用 數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來，就得到了組成 物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ) 上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是控制工 程的基本方法。 建立數(shù)學(xué)模型必須明確時(shí)域模型、復(fù)數(shù) 域模型及頻域模型的表現(xiàn)形式及相互之間 的關(guān)系。 時(shí)域：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程 頻域：頻率特性 復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、方框圖 2-1 拉氏變換及反變換 是分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法 是聯(lián)系時(shí)域模型和復(fù)數(shù)域模型的紐帶 是一

2、種解線性微分方程的簡(jiǎn)便方法 復(fù)習(xí)復(fù)變量和復(fù)變函數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)有實(shí)部和虛部，兩部分都是常數(shù)。 如： 復(fù)變量復(fù)變量指復(fù)數(shù)的實(shí)部或虛部中含有變量。 如： 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 是 s 的函數(shù)，也有實(shí)部和虛 部。如： 52j js sF sFsFjsF FFyx F F FF x y yx sF sF arctan 22 其中：其中： 例如： 2 : 22 2 rs rjsssG其中其中 Gx Gy j G(s)平面 4 0 一、拉氏變換定義： 對(duì)于函數(shù) ，滿足下列條件 tx 正實(shí)數(shù)正實(shí)數(shù)，其中，其中、 dttx e t 0 2 續(xù)續(xù)。在在每每個(gè)個(gè)有有限限區(qū)區(qū)間間分分段段連連時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，、當(dāng)當(dāng) txt

3、 txt 0 ;001 dttxtxLSX SXtx e st 0 的的拉拉氏氏變變換換為為則則可可定定義義 象函數(shù) 原函數(shù) 復(fù)變量 量綱 1 t 二、簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換 1. 單位階躍函數(shù) t1 0 0 1 0 1 t t t ss dtttL ee stst1 0 1 11 0 0t 1 2 .指數(shù)函數(shù) t e t 1 ss dtdtttL e eeee ts tssttt 1 0 1 11 00 0t 1 sincos sincos j j e e j j 根據(jù)歐拉公式：根據(jù)歐拉公式： 的的結(jié)結(jié)果果?？煽衫糜胻L e t 1 tt tt 1cos 1sin3 和和余余弦弦函函數(shù)數(shù) 、

4、正正弦弦函函數(shù)數(shù) 2 cos 2 sin ee ee jj jj j 則則 22 11 2 1 1 2 1sin sjsjsj t j LttL ee tjtj 于是：于是： 22 11 2 1 1 2 1cos s s jsjs tLttL ee tjtj 同理：同理： 應(yīng)記住的一 些簡(jiǎn)單函數(shù) 的拉氏變換 s 1 s 1 22 s 22 s s 1 ! n s n t1 te t 1 tt 1sin tt 1cos tt n 1 原函數(shù)象函數(shù) 三、拉氏變換的性質(zhì) 1. 疊加性質(zhì) sbSatbta FF ff L 21 21 0 fssFtf dt d L 2. 微分定理 0000 1221n

5、nnnn n n fsffsfssFs dt tfd L sFs dt tfd L ffff n n n nn 00000 12 若：若： 兩個(gè)重要推論： 0 1 21 0 000 t n n n n nnn n n dttff s f s f s f s sF dttfL 式中，符號(hào)式中，符號(hào) 3 積分定理 dttftf s f s sF dttfL 1 1 0 其中其中 n n n n s sF dttfL fff 0000 21 若若 兩個(gè)推論： 4 位移定理 sFtfL e t 2 2 22 cos cos : cos s s tL s s tL tL e e t t 已知已知解解 求

6、求例：例： 5 延時(shí)定理 sFttfL e s 1 00 ttf1 ttf1 6 初值定理 ssFtf s t limlim 0 0sin 22 0 limlim s st s t 求求 例：例： 7 終值定理 ssFtf st limlim 0 平面。平面。的極點(diǎn)全在左半的極點(diǎn)全在左半即即 有穩(wěn)態(tài)解，有穩(wěn)態(tài)解，的終值存在，即的終值存在，即使用條件：使用條件： s sF tftf 無無終終值值。 平平面面。在在虛虛軸軸上上，而而不不在在左左半半 的的極極點(diǎn)點(diǎn) 求求例例： sin s sin sin 22 lim t js s tL t t 四、拉氏反變換 dssF j tf e st j j

7、2 1 :公式公式 sFLtf 1 簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為： 拉氏反變換方法： 1. 利用拉氏變換表（P36 表2-1） 2. 利用部分分式展開法，然后再 利用已知函數(shù)的拉氏變換和拉 氏變換的性質(zhì) 控制系統(tǒng)象函數(shù)的一般形式： 將分母因式分解后，包括三種不 同的極點(diǎn)情況，采用部分分式法進(jìn)行 拉氏反變換 mn s s sF aasas bbsbsb n1n 1n 1 n m1m 1m 1 m 0 使分子為零的S值稱為 函數(shù)的零點(diǎn) 使分母為零的S值稱為函 數(shù)的極點(diǎn) 1、只含有不同單極點(diǎn)情況： n n 1n 1n 21 1 n21 m1m 1m 1 m 0 n1n 1n 1 n m1m 1m 1 m 0 ps

8、 c ps c ps c ps c sss s mn s s sF ppp bbsbsb aasas bbsbsb 2 p pssFcpsc k s kkkk 上上的的留留數(shù)數(shù)，為為極極點(diǎn)點(diǎn) t1cccsFLtf eee tp n tp 2 tp 1 1n21 23 3 2 ss s sX 21 21 3 1 1 s s ss s c 2 1 1 2 ss sX teetx tt 12 2 12 21 3 2 2 s s ss s c 21 3 ss s 21 21 s c s c 的拉氏反變換的拉氏反變換求求例例 23 3 2 ss s sX 2、含有共扼復(fù)極點(diǎn)情況： s a ss asa

9、sss s sss s 3 2 21 223 11 11 11 2 321 sssasasa 通分、比較系數(shù) 1 0 12 aa 1-10 1 1 1 223 sss s sss s 1 1 0 3 32 31 a aa aa有： 1 332 2 31 sasaasaa sss s L 23 1 1 例例 s s s sss s1 2 3 2 1 3 3 2 3 2 1 1 1 2 2 2 )(11 2 3 sin 3 3 2 3 cos)( 2 1 2 1 ttttf ee tt s ss s 1 2 3 2 1 2 3 3 3 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 3、含有多重極點(diǎn)情況：

10、 l l 21 1 1 1 1 1 l21 m1m 1m 1 m 0 n1n 1n 1 n m1m 1m 1 m 0 pspspspsps pspsps bsbsbsb mn asasas bsbsbsb sF 2 其中 的求法： 1 1 1 1 ps 1 1 1 1 ps 1 j j j ps 11 ps1 pssF ds d !1 1 pssF ds d ! j 1 pssF ds d pssF k 1111 32 1 2 2 3 3 3 2 ssss ss sF 21 1 32 1 3 3 2 3 s s s ss 其中： ttf s s sF eet tt 1 1 1 1 22 3 即

11、：即： 02232 1 1 2 2 s s sss ds d 122 2 1 32 ! 2 1 1 1 2 2 2 1 s s s ds d ss ds d 3 2 11 1 32 : 4 s ss LsFL求求例例 s 6 sY60yssY50y0sysYs 2 解：解： 五、用拉氏變換解常系數(shù)線性微 分方程 3s 4 2s 5 s 1 3s2ss 6s12s2 sY 20y,2 2 代入，并整理，得代入，并整理，得將將0y t3t2 e4e51ty 20, 20y 665 y yyy 其中：其中： 解方程解方程例例 用拉氏變換解微分方程的步驟： 1. 對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換； 2. 作因變

12、量的拉氏反變換，求出微 分方程的時(shí)間解。 一、傳遞函數(shù)定義： 在零初始條件下，線性定常 系統(tǒng)輸出象函數(shù) 與輸入象函 數(shù) 之比。 sXo sXi 2-2 傳遞函數(shù) sX sX sG i o sG sXi sXo txbtxbtxbtxb txatxatxatxa imim m i m i onon n o n o 1 1 10 1 1 10 設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為： sXbsbsbsb sXasasasa imm mm onn nn 1 1 10 1 1 10 ，得得拉拉氏氏變變換換且且零零初初始始條條件件 nn nn mm mm i o asasasa bsbsbsb sX sX sG 1

13、 1 10 1 1 10 則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為： 二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)： 1. 傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)上，以系 統(tǒng)本身參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入 量和輸出量的關(guān)系式，是 s 的有理真 分式，它表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性， 與輸入量無關(guān)； 2. 傳遞函數(shù)有無量綱，根據(jù)輸入、輸出 量綱而定； 3. 傳遞函數(shù)不表明系統(tǒng)物理特性和物理 結(jié)構(gòu)。 三、傳遞函數(shù)的優(yōu)點(diǎn) sXsGsX io 2 數(shù)數(shù)有有一一定定關(guān)關(guān)系系： 其其輸輸出出與與傳傳遞遞函函、當(dāng)當(dāng)輸輸入入典典型型信信號(hào)號(hào)時(shí)時(shí)， 域域分分析析； ，可可進(jìn)進(jìn)行行頻頻率率、令令傳傳遞遞函函數(shù)數(shù)中中 3 js 動(dòng)態(tài)過程。動(dòng)態(tài)過程。 分布，決定系統(tǒng)

14、分布，決定系統(tǒng)、傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)、傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn) 4 數(shù)數(shù)運(yùn)運(yùn)算算；、比比微微分分方方程程簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單，代代1 在控制工程領(lǐng)域，人們習(xí)慣于用 方塊圖說明和討論問題，方塊圖是系 統(tǒng)中各個(gè)元件功能和信號(hào)流向的圖解 表示，它清楚地表明系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié) 間的相互關(guān)系，便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析 和研究。 2-3 方塊圖及其變換 1. 方塊圖單元 sX i sX o - sXsXsE oi sG sXi sXo sX o sX o 2. 比較點(diǎn) 3.引出點(diǎn) 4串聯(lián) sGsGsG sX sX sX sX sX sX sX sX sG o ii o 321 21 21 sXo sX2 sX1 sXi sG 3 sG

15、 2 sG 1 sG sXi sXo 5并聯(lián) sGsG sX sXsX sX sX sG ii o 21 21 sX i sX o sG sG 1 sG2 sX i sX 2 sX o sX1 6反饋 sBsHsX sXsGsE sEsBsX o o i sHsG sG sX sX s i o 1 sXi sXo s sXi sXo sG sH sB sE - + - 聯(lián)立并削去 中間變量 + 7方塊圖變換法則 方塊圖變換法則如下： （1）各前向通路傳遞函數(shù)的 乘積不變； （2）各回路傳遞函數(shù)的乘積 不變。 8方塊圖化簡(jiǎn) - - sG 1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sX

16、i sX o - - sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sX i sX o sG4 1 - - sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sX i sX o sG4 1 - - sG1 sG5 sG2 sG7 sX i sX o sGsGsG sGsG 643 43 1 - sG1 sG7 sX i sX o sGsGsGsGsGsG sGsGsG 643532 432 1 sGsGsGsGsGsGsGsGsGsGsG sGsGsGsG 74321643532 4321 1 sXi sXo - - sG 1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 s

17、X i sX o sX i - - sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sX o sG2 1 - - sG 1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sX i sXo - - sG 1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sX i sX o sG 2 2-4 系統(tǒng)信號(hào)流圖及梅遜公式 信號(hào)流圖是控制系統(tǒng)的另一種圖 形表示，與方塊圖有類似之處，可以 將系統(tǒng)函數(shù)方塊圖轉(zhuǎn)化為信號(hào)流圖， 并據(jù)此采用梅遜公式求出系統(tǒng)的傳遞 函數(shù)。 混合節(jié)點(diǎn)混合節(jié)點(diǎn) sXi sXo sG sH sE - 信號(hào)流圖中的網(wǎng)絡(luò)是由 一些支路將一些節(jié)點(diǎn)連接起 來組成的。 輸入節(jié)點(diǎn) （源點(diǎn)）

18、 輸出節(jié)點(diǎn) （阱點(diǎn)） sXi sXo sG sH sE sXo 11 節(jié)點(diǎn)代表物理量，具體為： （1）輸入量和輸出量； （2）信號(hào)分支點(diǎn)的物理量； （3）信號(hào)比較點(diǎn)輸出端的物理量。 支路上的箭頭表明了信 號(hào)的流向，各支路上還標(biāo)明 了增益，即支路上的傳遞函 數(shù)。 沿支路箭頭方向穿過各相連支路 的路徑稱為通路。從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出 節(jié)點(diǎn)的通路上通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一 次的通路稱為前向通路，起點(diǎn)與終點(diǎn) 重合且與任何節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的 通路稱為回路。 k k kP P 1 從輸入變量到輸出變量的系統(tǒng)傳 遞函數(shù)可由梅遜公式求得： 第k條前向通路 的傳遞函數(shù) 系統(tǒng)總傳遞函數(shù) 為流圖特征式 fed fedc c

19、b b a aLLLLLL , 1 所有不同回路的 傳遞函數(shù)之和 每?jī)蓚€(gè)互不接觸回路 傳遞函數(shù)乘積之和 每三個(gè)互不接觸回路 傳遞函數(shù)乘積之和 k k kP P 1 k k k k 即為余下的路傳遞函數(shù)代以零值， 條前向通路相接觸的回，將與第流圖的特征式 因子，即對(duì)于條前向通路特征式的余為第 i U o U 1 1 R 1 1 sC 1 1 1 1 1 1 2 1 R sC2 1 k k kP P 1 sCRsCRsCRsCRsCR 2211221211 11111 1 sCRsCRsCRsCRsCR sCRsCR sU sU i o 2211221211 2211 11111 1 1111 s

20、CRsCRsCRsCRsCR 2211221211 11111 1 sCRsCR P 2211 1 1111 1 1 i X o X 2 G 2 H 1 G 5 G 4 G 3 G 1 H 6 G 7 G k k kP P 1 1427225432254627214 1HGHGGHGGGGHGGGHGGHG 1427225432254627214 14721546154321 1 1 HGHGGHGGGGHGGGHGGHG HGGGGGGGGGGGGG sX sX i o 543211 GGGGGP 54612 GGGGP 7213 GGGP 1 1 1 2 143 1HG 142722543

21、2254627214 1 HGHGGHGGGGHGGGHGGHG 控制系統(tǒng)在工作中會(huì)受到兩類信號(hào)控制系統(tǒng)在工作中會(huì)受到兩類信號(hào) 的作用的作用, ,常稱外作用。一類是常稱外作用。一類是有用信號(hào)有用信號(hào)， 或稱輸入信號(hào)、給定值、指令及參考或稱輸入信號(hào)、給定值、指令及參考 輸入輸入 r(t)；另一類則是；另一類則是擾動(dòng)，或稱干擾擾動(dòng)，或稱干擾 n(t)。參考輸入通常加在控制裝置輸入。參考輸入通常加在控制裝置輸入 端，也就是系統(tǒng)的輸入端。而干擾一端，也就是系統(tǒng)的輸入端。而干擾一 般是作用在受控對(duì)象上，但也可能出般是作用在受控對(duì)象上，但也可能出 現(xiàn)在其他元部件上?，F(xiàn)在其他元部件上。 2-5 閉環(huán)系統(tǒng)的傳

22、遞函數(shù) 一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可用圖一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)可用圖1 1所示。所示。 參考輸入?yún)⒖驾斎?擾動(dòng)信號(hào)擾動(dòng)信號(hào) 圖圖1 1 閉環(huán)控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)閉環(huán)控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu) ( )B s 1 ( )Gs )(sC )(sR )(sE )(sH 2 ( )Gs ( )N s ( (一一) )系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)(Open-Loop Transfer Function)是是前向通前向通 道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。 在圖在圖1 1中，將中，將H(s)的輸出通路斷開，得到反饋信號(hào)的輸出通路斷開，得到反饋信號(hào)

23、B(s)與偏與偏 差信號(hào)差信號(hào) E(s)之比。之比。 12 ( ) ( )( )( )( ) ( ) B s G sG s G s H s E s 開環(huán)傳遞函數(shù)并不是開環(huán)開環(huán)傳遞函數(shù)并不是開環(huán) 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是指閉系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是指閉 環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)時(shí)的傳遞函數(shù)。環(huán)系統(tǒng)在開環(huán)時(shí)的傳遞函數(shù)。 （二）（二） r r( (t t) )作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) ( )R s 令令 ( )0N s 圖圖2 2 作用下的方框圖作用下的方框圖 ( )r t ( )R s ( )B s 1( ) G s 2( ) G s ( ) R Cs ( )H s 輸出輸出 對(duì)輸入對(duì)輸入 的

24、傳遞函數(shù)的傳遞函數(shù) ( ) R Cs( )R s 12 12 ( )( )( ) ( ) ( )1( )( )( ) R CsG s Gs s R sG s Gs H s R 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函 數(shù)數(shù)(Closed-Loop Transfer Function)。 輸入信號(hào)輸入信號(hào) 作用下得到的輸出作用下得到的輸出 ( )r t 12 12 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1( )( )( ) R G s G s Css R sR s G s G s H s R 當(dāng)反饋系統(tǒng)為單位反饋時(shí)當(dāng)反饋系統(tǒng)為單位反饋時(shí),方框圖演變?yōu)閳D方框圖演變?yōu)閳D3 3所示，所示， 則開環(huán)傳遞函數(shù)

25、和前向通道傳遞函數(shù)一致則開環(huán)傳遞函數(shù)和前向通道傳遞函數(shù)一致,它的閉環(huán)傳它的閉環(huán)傳 遞函數(shù)為遞函數(shù)為 ( )( ) ( ) ( )1( ) RK K CsGs s R sGs R 圖圖3 3 單位反饋系統(tǒng)方框圖單位反饋系統(tǒng)方框圖 ( )R s ( )B s 1( ) G s 2( ) G s ( ) R Cs 令令 擾動(dòng)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)為擾動(dòng)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)為( )0R s 2 12 ( )( ) ( ) ( )1( )( )( ) N N CsG s s N sG s G s H s 擾動(dòng)信號(hào)擾動(dòng)信號(hào) 作用下得到的輸出作用下得到的輸出 ( )n t 2 12 ( ) ( )( )( )

26、( ) 1( )( )( ) NN G s Css N sN s G s G s H s （三）（三） n( (t t) )作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 圖圖4 4 n( (t t) )作用下系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖作用下系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 1( ) Gs )(sC N ( )N s )(sH 2 ()Gs -1-1 （四）系統(tǒng)的總輸出（四）系統(tǒng)的總輸出 當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到R(s)R(s)和和 N(s)N(s)作用時(shí)，由疊加原理可知，系作用時(shí)，由疊加原理可知，系 統(tǒng)總輸出為它們單獨(dú)作用于系統(tǒng)的輸出之和，則總的輸出統(tǒng)總輸出為它們單獨(dú)作用于系統(tǒng)的輸出之和，則總的輸出 122 1212

27、( )( )( ) ( )( )( )( )( ) 1( )( )( )1( )( )( ) RN G s G sG s C sCsCsR sN s G s G s H sG s G s H s 如果系統(tǒng)中控制裝置的參數(shù)設(shè)置，能滿足如果系統(tǒng)中控制裝置的參數(shù)設(shè)置，能滿足 12 ( )( )( )1G s G s H s 1( ) ( )1G s H s 則系統(tǒng)的總輸出表達(dá)式可近似為則系統(tǒng)的總輸出表達(dá)式可近似為 1 ( )( )0( ) ( ) C sR sN s H s 即即 ( )( ) ( )( )( )( )0R sH s C sR sB sE s 采用反饋控制的系統(tǒng)，適當(dāng)?shù)仄ヅ湓捎梅答?/p>

28、控制的系統(tǒng)，適當(dāng)?shù)仄ヅ湓?部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)，有可能獲得較高的工作部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)，有可能獲得較高的工作 精度和很強(qiáng)的抑制干擾的能力，同時(shí)又具精度和很強(qiáng)的抑制干擾的能力，同時(shí)又具 備理想的復(fù)現(xiàn)、跟隨指令輸入的性能。備理想的復(fù)現(xiàn)、跟隨指令輸入的性能。 例例1 1 試確定圖試確定圖5 5所示系統(tǒng)的輸出所示系統(tǒng)的輸出 。 ( ) c s 解解： （1 1）當(dāng)僅考慮當(dāng)僅考慮 作用于系統(tǒng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)作用于系統(tǒng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) r 2 1 2212 2 22121 11 22 ( )1 ( ) ( )1 1 1 c r G G sG HGG s G sG HGG H G H G H r 圖圖5 5

29、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 r 1 G 1 N 2 N 2 G 2 H 1 H 3 N c （2 2）當(dāng)僅考慮當(dāng)僅考慮N N1 1作用于系統(tǒng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)作用于系統(tǒng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 2 222 2 122121 11 22 ( )1 ( ) ( )1 1 1 c G sG HG s G N sG HGG H G H G H 1 N （3 3）當(dāng)僅考慮當(dāng)僅考慮 N N2 2 作用于系統(tǒng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)作用于系統(tǒng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 22 22212122121 ( ) ( ) ( )11 c sGG s NsG HGG HG HGG H 2 N （4 4）當(dāng)僅考慮）當(dāng)僅考慮N N3 3

30、作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖6 6所示所示。 圖圖6 6 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 + 3 N 1 H1 1 G 2 G 2 H c 閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 2 11 22121 322121 2 11 22 ( )1 ( ) ( )1 1 1 c G H G sG HGG H s N sG HGG HG H G G H 3 N （5 5）系統(tǒng)的總輸出為系統(tǒng)的總輸出為 123 122 1 2212122121 2121 23 2212122121 1221221213 22121 ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 11 11 1 cr

31、r r ssss N ss Nss N s GGG N G HGG HG HGG H GGG H NN G HGG HG HGG H GGG NG NGG H N G HGG H r123 NNN （五）閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)（五）閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 控制誤差的大小，直接反映了系統(tǒng)工作的精度?？刂普`差的大小，直接反映了系統(tǒng)工作的精度。 1. 1. 作用下的誤差傳遞函數(shù)作用下的誤差傳遞函數(shù)( )R s 圖圖7 7 作用下的誤差輸出結(jié)構(gòu)圖作用下的誤差輸出結(jié)構(gòu)圖 ( )R s ( )H s 2( ) G s 1( ) G s ( )E s ( )R s 誤差傳遞函數(shù)為誤差傳遞函數(shù)為 令令 時(shí)，時(shí)

32、， 與與 之間的結(jié)構(gòu)圖可由圖之間的結(jié)構(gòu)圖可由圖1 1轉(zhuǎn)換而轉(zhuǎn)換而 來，如圖來，如圖7 7所示。所示。 ( )0N s ( )R s ( )E s 12 ( )1 ( ) ( )1( )( )( ) E s s R sG s G s H s ER 2.2. 作用下的誤差傳遞函數(shù)作用下的誤差傳遞函數(shù)( )N s 令令 時(shí)，時(shí)， 與與 之間的結(jié)構(gòu)圖可表示為圖之間的結(jié)構(gòu)圖可表示為圖8 8 所示所示。 ( )0R s ( )N s( )E s 圖圖8 8 作用下的誤差輸出結(jié)構(gòu)圖作用下的誤差輸出結(jié)構(gòu)圖 + 1 1 ( )N s ( )N s 2( ) G s( )H s 1( ) G s ( )E s 誤

33、差傳遞函數(shù)為誤差傳遞函數(shù)為 2 12 ( )( )( ) ( ) ( )1( )( )( ) G s H sE s s N sG s G s H s EN 3.3.系統(tǒng)的總誤差，根據(jù)疊加原理可得系統(tǒng)的總誤差，根據(jù)疊加原理可得 ( )( ) ( )( )( )E ss R ss N s EREN （六）閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程（六）閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程 傳遞函數(shù)的分母體現(xiàn)了系統(tǒng)與外界無關(guān)的固有特性。傳遞函數(shù)的分母體現(xiàn)了系統(tǒng)與外界無關(guān)的固有特性。 令令 12 ( )1( )( )( )0D sG s Gs H s 稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。稱為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程。 2-6 2-6 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立控

34、制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的建立 微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)（或者元件）動(dòng)態(tài)微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)（或者元件）動(dòng)態(tài) 特性的數(shù)學(xué)模型特性的數(shù)學(xué)模型 。 一般來說，建立元件或系統(tǒng)的微分方程可依據(jù)以下步驟進(jìn)行：一般來說，建立元件或系統(tǒng)的微分方程可依據(jù)以下步驟進(jìn)行： （1 1）確定系統(tǒng)或者元件的輸入量、輸出量。確定系統(tǒng)或者元件的輸入量、輸出量。 （2 2）按照信號(hào)的傳遞順序，從系統(tǒng)的輸入端開始，依據(jù)各按照信號(hào)的傳遞順序，從系統(tǒng)的輸入端開始，依據(jù)各 變量所遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，列寫出在運(yùn)動(dòng)過程中的各個(gè)環(huán)節(jié)的動(dòng)變量所遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，列寫出在運(yùn)動(dòng)過程中的各個(gè)環(huán)節(jié)的動(dòng) 態(tài)微分方程。態(tài)微分方程。 （4 4）整理所得微分方整

35、理所得微分方程程,進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即輸出在左，輸進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即輸出在左，輸 入在右，降階排列。入在右，降階排列。 （3 3）消去所列各微分方程組的中間變量，從而得到描述系消去所列各微分方程組的中間變量，從而得到描述系 統(tǒng)的輸入、輸出量的微分方程。統(tǒng)的輸入、輸出量的微分方程。 一、系統(tǒng)的微分方程一、系統(tǒng)的微分方程 （一）機(jī)械系統(tǒng)（一）機(jī)械系統(tǒng) 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng) 在實(shí)際的機(jī)械平移系統(tǒng)中，經(jīng)常按集中參數(shù)建立系統(tǒng)的物在實(shí)際的機(jī)械平移系統(tǒng)中，經(jīng)常按集中參數(shù)建立系統(tǒng)的物 理模型，然后進(jìn)行性能分析。在這種物理模型中，有三個(gè)基本理模型，然后進(jìn)行性能分析。在這種物理模型中，有三個(gè)基本 的無源元件：質(zhì)量的無源

36、元件：質(zhì)量 m，彈簧，彈簧 k，阻尼器，阻尼器 c。 質(zhì)量體現(xiàn)系統(tǒng)的慣性力質(zhì)量體現(xiàn)系統(tǒng)的慣性力 m Fma my 是系統(tǒng)中的儲(chǔ)是系統(tǒng)中的儲(chǔ) 能元件，存儲(chǔ)能元件，存儲(chǔ) 平動(dòng)動(dòng)能。平動(dòng)動(dòng)能。 彈簧體現(xiàn)彈性力彈簧體現(xiàn)彈性力 k Fky 也屬于儲(chǔ)能元件，也屬于儲(chǔ)能元件， 存儲(chǔ)彈性勢(shì)能。存儲(chǔ)彈性勢(shì)能。 阻尼器產(chǎn)生粘性摩擦的阻尼力阻尼器產(chǎn)生粘性摩擦的阻尼力 c F cy 大小與阻尼器中活塞和缸體的相大小與阻尼器中活塞和缸體的相 對(duì)運(yùn)動(dòng)速度成正比，是一種耗能對(duì)運(yùn)動(dòng)速度成正比，是一種耗能 元件，主要用來吸收系統(tǒng)的能量，元件，主要用來吸收系統(tǒng)的能量， 并轉(zhuǎn)換成熱能耗散掉。并轉(zhuǎn)換成熱能耗散掉。 y t ( )f

37、t c k M 圖圖1 1 彈簧彈簧- -質(zhì)量質(zhì)量- -阻尼器系統(tǒng)阻尼器系統(tǒng) 例例1 1 設(shè)彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)如圖設(shè)彈簧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)如圖1 1所示。圖中，所示。圖中，c為阻尼為阻尼 系數(shù)，系數(shù)，k為彈簧的彈性系數(shù)。試求外力為彈簧的彈性系數(shù)。試求外力f(t)與質(zhì)量塊位移與質(zhì)量塊位移y(t)之之 間的微分方程。間的微分方程。 解：（解：（1 1）確定輸入量為）確定輸入量為f(t) ，輸出量為，輸出量為 y(t)。 （2 2）對(duì)于質(zhì)量塊）對(duì)于質(zhì)量塊m而言，根據(jù)牛頓第二定律而言，根據(jù)牛頓第二定律 （3 3）整理，得微分方程的一般形式整理，得微分方程的一般形式 ( )( )( )( )my tcy t

38、ky tf t ( )( )( )( )f tky tcy tmy t 例例2 2 列寫圖列寫圖2 2所示機(jī)械網(wǎng)絡(luò)之間的運(yùn)動(dòng)微分方程。所示機(jī)械網(wǎng)絡(luò)之間的運(yùn)動(dòng)微分方程。 其中，其中，f為輸入力為輸入力，y為輸出位移。為輸出位移。 m1 m2 f x y c2 c1 k 圖圖2 2 機(jī)械網(wǎng)絡(luò)機(jī)械網(wǎng)絡(luò) 解：解： （1 1）確定輸入量為力）確定輸入量為力f, ,輸出量為位移輸出量為位移y。 （2 2）設(shè)中間變量）設(shè)中間變量x, ,且假設(shè)且假設(shè)xy。 （3 3）對(duì)于質(zhì)量塊）對(duì)于質(zhì)量塊m1, ,列寫平衡方程列寫平衡方程 11( )m xcxykxf 對(duì)于質(zhì)量塊對(duì)于質(zhì)量塊m2, 列寫平衡方程列寫平衡方程 2

39、21( )m yc ycxy （4 4）聯(lián)立以上兩個(gè)方程，消去中間變量）聯(lián)立以上兩個(gè)方程，消去中間變量， 整理得整理得 121222 122 1111 ()()() m mm ckmkc ymmycyk yf cccc RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng) 電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型中，通常電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)模型中，通常包含三種線性雙向的無源元件包含三種線性雙向的無源元件： R、電感、電感 L 、電容電容 。 C 電感是一種儲(chǔ)存磁能的元件；電感是一種儲(chǔ)存磁能的元件； 電容是儲(chǔ)存電能的元件；電容是儲(chǔ)存電能的元件； 電阻是一種耗能元件，電阻是一種耗能元件， 將電能轉(zhuǎn)換成熱能耗散掉。將電能轉(zhuǎn)換成熱能耗散掉。 由它們的組合，可構(gòu)成

40、各種網(wǎng)絡(luò)電路。由它們的組合，可構(gòu)成各種網(wǎng)絡(luò)電路。 電阻電阻 例例3 3 圖圖3 3為為RLCRLC串聯(lián)串聯(lián) 電路，其輸入電壓為電路，其輸入電壓為 Ur，輸出電壓為，輸出電壓為Uc。試。試 寫出寫出 Ur和和Uc之間的微分之間的微分 方程。方程。 R ur uc i C C L 圖圖3 3 RLC RLC 電路電路 解：解： （1 1）確定輸入電壓為）確定輸入電壓為 Ur ，輸出電壓為，輸出電壓為 Uc 。 （2 2）設(shè)中間變量電流）設(shè)中間變量電流 i 。 （3 3）根據(jù)）根據(jù)基爾霍夫基爾霍夫定律，有定律，有 （4 4）消去中間變量，整理得）消去中間變量，整理得 1 c uidt C cr di

41、 iRLuu dt 2 2 cc cr d udu LCRCuu dtdt R ur uc i C C L 例例4 4 如圖如圖4 4為由兩級(jí)形式相同的為由兩級(jí)形式相同的RCRC電路串聯(lián)組成的濾波網(wǎng)絡(luò)。電路串聯(lián)組成的濾波網(wǎng)絡(luò)。 試列寫出輸入與輸出之間的微分方程。試列寫出輸入與輸出之間的微分方程。 圖圖4 4兩級(jí)兩級(jí)RCRC濾波網(wǎng)絡(luò)濾波網(wǎng)絡(luò) 1 R 2 R r u c u 2 C 1 C 1 i 2 i 1 l 2 l A B （1 1）確定輸入電壓為）確定輸入電壓為ur r，輸出電壓為輸出電壓為uc解：解： （2 2）設(shè)中間變量電流）設(shè)中間變量電流i1和和i2 （3 3）對(duì)）對(duì)L L1 1回路

42、，可列寫方程回路，可列寫方程 1211 1 1 () r ii dti Ru C 對(duì)對(duì)L L2 2回路，可列寫方程回路，可列寫方程 22212 21 11 i dti Riidt CC 2 2 1 c i dtu C （4 4）聯(lián)立式以上式子，消去中間變量，得）聯(lián)立式以上式子，消去中間變量，得 2 1212112212 2 cc cr d udu R R CCRCR CRCuu dtdt 二、非線性微分方程的線性化二、非線性微分方程的線性化 非線性函數(shù)的線性化，一般有兩種方法非線性函數(shù)的線性化，一般有兩種方法： 1.1.直接略去非線性因素直接略去非線性因素 。 只有在非線性因素只有在非線性因素

43、 對(duì)對(duì)系統(tǒng)系統(tǒng)的影響很小的影響很小 時(shí)才可以。時(shí)才可以。 2.2.切線法，或微小偏差法。切線法，或微小偏差法。 控制系統(tǒng)整個(gè)調(diào)節(jié)過程中有一個(gè)控制系統(tǒng)整個(gè)調(diào)節(jié)過程中有一個(gè) 平衡的工作狀態(tài)和相應(yīng)的工作點(diǎn)，平衡的工作狀態(tài)和相應(yīng)的工作點(diǎn)， 所有的變量與其平衡點(diǎn)之間只產(chǎn)所有的變量與其平衡點(diǎn)之間只產(chǎn) 生足夠微小的偏差或攝動(dòng)。生足夠微小的偏差或攝動(dòng)。 若若非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其各階導(dǎo)數(shù)均存在，非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其各階導(dǎo)數(shù)均存在， 則由級(jí)數(shù)理論可知，可在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性則由級(jí)數(shù)理論可知，可在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性 函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階及二階以上的各項(xiàng)，函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階及二階以上的各項(xiàng)， 用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。這種線用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。這種線 性化的方法叫性化的方法叫偏微法偏微法。 設(shè)一非線性元件的輸入為設(shè)一非線性元件的輸入為x,輸出為輸出為y， 如圖如圖2 2所示，所示， 相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 x y (a)(a)折線現(xiàn)象折線現(xiàn)象 x y (b) (b) 跳躍現(xiàn)象跳躍現(xiàn)象 o oo o 圖圖1 1 本質(zhì)非