邏輯函數(shù)的卡諾圖表示及卡諾圖化簡(jiǎn)法

1、2021/6/161 邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法 周冬微 2021/6/162 ACBBACCBAABC)( 1.3邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法邏輯函數(shù)卡諾圖化簡(jiǎn)法 一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 1相鄰最小項(xiàng)的概念相鄰最小項(xiàng)的概念 如果兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反變量，其余如果兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反變量，其余 變量均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)為變量均相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)為邏輯相鄰邏輯相鄰，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱相鄰相鄰 項(xiàng)項(xiàng)。CBA例如，最小項(xiàng)例如，最小項(xiàng)ABC和和 就是相鄰最小項(xiàng)。就是相鄰最小項(xiàng)。 若兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)出現(xiàn)在同一個(gè)邏輯函數(shù)中，可以若兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)出現(xiàn)在同一個(gè)

2、邏輯函數(shù)中，可以 合并為一項(xiàng)合并為一項(xiàng)，同時(shí)消去互為反變量的那個(gè)變量。如，同時(shí)消去互為反變量的那個(gè)變量。如 2 . 用卡諾圖表示最小項(xiàng)用卡諾圖表示最小項(xiàng) 變量有個(gè)最小項(xiàng)，用一個(gè)小方格代表一個(gè)最變量有個(gè)最小項(xiàng)，用一個(gè)小方格代表一個(gè)最 小項(xiàng)，變量的全部最小項(xiàng)就與個(gè)小方格對(duì)應(yīng)。小項(xiàng)，變量的全部最小項(xiàng)就與個(gè)小方格對(duì)應(yīng)。 n n 2 n 2n 2021/6/163 ABCCABCBACBA BCACBACBACBA 小方格的排列小方格的排列 美國工程師卡諾（美國工程師卡諾（Karnaugh）將邏輯上相鄰的將邏輯上相鄰的 最小項(xiàng)幾何上也相鄰地排列起來最小項(xiàng)幾何上也相鄰地排列起來 卡諾圖卡諾圖（K- map

3、）。）。 如三變量、有個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)個(gè)小方格如三變量、有個(gè)最小項(xiàng)，對(duì)應(yīng)個(gè)小方格 CABABCCBACBA CBABCACBACBA 原變量和反變量各占圖形的一半原變量和反變量各占圖形的一半 這樣排列，才能使這樣排列，才能使邏輯上相鄰邏輯上相鄰的最小項(xiàng)的最小項(xiàng)幾何上也幾何上也 相鄰相鄰地表現(xiàn)出來。地表現(xiàn)出來。 2021/6/164 2、圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)、圖形法化簡(jiǎn)函數(shù) 卡諾圖（卡諾圖（K圖）圖） 圖中的圖中的一小格一小格對(duì)應(yīng)真值表中的對(duì)應(yīng)真值表中的一行一行， 即對(duì)應(yīng)一個(gè)即對(duì)應(yīng)一個(gè)最小項(xiàng)最小項(xiàng)，又稱真值圖，又稱真值圖 A B 0 0 0 1 1 0 1 1 m0 m1 m2 m3 A A BB AB

4、BA AB AB A B 10 1 0 m0 m1 m2 m3 mi A BC 0 1 00011110 00011110 00 01 11 10 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11 AB CD 二二 變變 量量 K 圖圖 三三 變變 量量 K 圖圖 四四 變變 量量 K 圖圖 2021/6/165 （2）三變量卡諾圖）三變量卡諾圖 (b) 0 m ABC m ABC 1 m3m ABCABC 2 65 m ABC 74 ABC mmm ABCABC 0 (a) (b) 13

5、2 4576 10011100 BC A 0 1 B C A （1）二變量卡諾圖）二變量卡諾圖(b) 卡諾圖結(jié)構(gòu)卡諾圖結(jié)構(gòu) “1”原變量原變量；“0”反變量；反變量； “mi” 最小項(xiàng)最小項(xiàng) 2021/6/166 （3）四變量卡諾圖）四變量卡諾圖(b) 仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，卡諾圖實(shí)際上是按仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，卡諾圖實(shí)際上是按格雷碼格雷碼排列，排列， 具有很強(qiáng)的相鄰性：具有很強(qiáng)的相鄰性： m0 ABCD ABCD m1 ABCD m3m ABCD 2 m5 67 mm ABCDABCD m ABCD 4 ABCD ABCD mm13 ABCD ABCD 1412 m 15 m ABCDABCD AB

6、CD m ABCD 8 m10 11 m 9 m ABCD A B C D 0132 7654 13141512 981110 AB CD 00 00 01 01 11 11 10 10 (a) (b) 2021/6/167 4、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)、用卡諾圖表示邏輯函數(shù) 101101 0 A 00 BC 0 1 00 0 1 111 L 解：解：該函數(shù)為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后根據(jù)該函數(shù)為三變量，先畫出三變量卡諾圖，然后根據(jù) 真值表將真值表將8個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)L的取值的取值0或者或者1填入卡諾圖中對(duì)應(yīng)填入卡諾圖中對(duì)應(yīng) 的的8個(gè)小方格中即可。個(gè)小方格中即可。 （1）從真值表到卡諾圖）從

7、真值表到卡諾圖 例例1 某邏輯函數(shù)的真值表如下，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。某邏輯函數(shù)的真值表如下，用卡諾圖表示該邏輯函數(shù)。 2021/6/168 例例1:圖中給出輸入變量圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數(shù)的卡的真值表，填寫函數(shù)的卡 諾圖諾圖 ABCF 000 0 0 1 010 011 100 101 110 111 0 0 1 1 1 0 0 0 A BC 0 1 00011110 1 1 1 0 0 0 0 0 0101 1100 1110 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 2021/6/169 （2）從邏輯表達(dá)式到卡諾圖）從邏輯表達(dá)式到卡諾圖 ABCCABBCACBAF

8、7630 mmmmF解：解： 寫成簡(jiǎn)化形式：寫成簡(jiǎn)化形式： 然后填入卡諾圖：然后填入卡諾圖： 如果表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，則可直接填入卡諾圖。如果表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，則可直接填入卡諾圖。 例例2 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù): 2021/6/1610 例例3 畫出畫出 的卡諾圖的卡諾圖 ACCDADCBAY 解解:直接填入直接填入 AB CD 0001 1110 00 01 11 10 0010 0010 0011 0111 AB CD 0001 1110 00 01 11 10 2021/6/1611 例：例：將將F(AF(A、B B、C C、D)D) ACBCADCBABDCA

9、 化為最簡(jiǎn)與非化為最簡(jiǎn)與非與非式。與非式。 解：解： 01 00011110 00 11 10 CD AB AB 1 1 1111 B CD 1 1 ACD ABC 11 AC 11 11 m14,m15 兩次填兩次填1 0 0 00 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 2021/6/1612 （1）2個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，項(xiàng)可以而合并為項(xiàng)，項(xiàng)可以而合并為項(xiàng)， 并消去并消去1個(gè)不同的變量。個(gè)不同的變量。 1卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的原理卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的原理 : : 具有相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，并消去不同的因子，具有相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，并消去不同的因子， 合并的結(jié)果為這

10、些項(xiàng)的合并的結(jié)果為這些項(xiàng)的公因子公因子 （2）4個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合， 項(xiàng)可以而合并為項(xiàng)，項(xiàng)可以而合并為項(xiàng)， 并消去并消去2個(gè)不同的變量。個(gè)不同的變量。 （3）8個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合， 項(xiàng)可以而合并為項(xiàng)，項(xiàng)可以而合并為項(xiàng)， 并消去并消去3個(gè)不同的變量。個(gè)不同的變量。 二、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法二、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法 n 2總之，個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合，總之，個(gè)相鄰的最小項(xiàng)結(jié)合， 項(xiàng)可以而合并為項(xiàng)可以而合并為 項(xiàng)，可以消去項(xiàng)，可以消去n個(gè)不同的變量。個(gè)不同的變量。 n 2 2021/6/1613 2n項(xiàng)相鄰，并組成一個(gè)項(xiàng)相鄰，并組成一個(gè)矩形組矩形組， 2n項(xiàng)可

11、以而合并為項(xiàng)可以而合并為 項(xiàng)項(xiàng)，消去，消去n個(gè)個(gè)因子，合并的結(jié)果為這些項(xiàng)的因子，合并的結(jié)果為這些項(xiàng)的公因子公因子。 化簡(jiǎn)依據(jù)化簡(jiǎn)依據(jù) 2021/6/1614 利用卡諾圖化簡(jiǎn)的規(guī)則利用卡諾圖化簡(jiǎn)的規(guī)則 相鄰單元格的個(gè)數(shù)必須是相鄰單元格的個(gè)數(shù)必須是2n個(gè)個(gè)，并組成，并組成矩矩 形組形組時(shí)才可以合并。時(shí)才可以合并。 AB CD 00011110 00 01 11 10 AD AB CD 00011110 00 01 11 10 2021/6/1615 2用卡諾圖合并最小項(xiàng)的原則（圈用卡諾圖合并最小項(xiàng)的原則（圈“”的原則）的原則） （1）圈能大則大；（并項(xiàng)多，消變量多）圈能大則大；（并項(xiàng)多，消變量多）

12、但每個(gè)圈內(nèi)但每個(gè)圈內(nèi) 只能含有只能含有2n（n=0,1,2,3）個(gè)相鄰項(xiàng)。）個(gè)相鄰項(xiàng)。 （2）圈數(shù)能少則少；（與或式中乘積項(xiàng)少）圈數(shù)能少則少；（與或式中乘積項(xiàng)少） （3）不能漏圈；）不能漏圈；卡諾圖中所有取值為卡諾圖中所有取值為1的方格均要被的方格均要被 圈過，即不能漏下取值為圈過，即不能漏下取值為1的最小項(xiàng)。的最小項(xiàng)。 （4）可重復(fù)圈。）可重復(fù)圈。但在新畫的包圍圈中至少要含有但在新畫的包圍圈中至少要含有1個(gè)個(gè) 末被圈過的末被圈過的1方格，否則該包圍圈是多余的。方格，否則該包圍圈是多余的。 2021/6/1616 （1）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。）畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。 （2）合并相鄰的最小項(xiàng)，即

13、根據(jù)前述原則圈）合并相鄰的最小項(xiàng)，即根據(jù)前述原則圈“”。 （3）寫出化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。每一個(gè)圈寫一個(gè)最簡(jiǎn)與）寫出化簡(jiǎn)后的表達(dá)式。每一個(gè)圈寫一個(gè)最簡(jiǎn)與 項(xiàng)，項(xiàng)，規(guī)則是規(guī)則是，取值為的變量用原變量表示，取值為，取值為的變量用原變量表示，取值為 0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所 有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得有與項(xiàng)進(jìn)行邏輯加，即得最簡(jiǎn)與最簡(jiǎn)與或表達(dá)式或表達(dá)式。 3用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟： 2021/6/1617 例：例：將將F(AF(A、B B、C C、D)D) ACBCADCBABDCA 解：解： 01 0001111

14、0 00 11 10 CD AB 1 1 1111 1 1 11 11 AC AD BC BD A B C 化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得： CBADBADBCACF 圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)圖形法化簡(jiǎn)函數(shù) 2021/6/1618 例：圖中給出輸入變量例：圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數(shù)的卡的真值表，填寫函數(shù)的卡 諾圖諾圖 ABCF 000 0 0 1 010 011 100 101 110 111 0 0 1 1 1 0 0 0 A BC 0 1 00011110 1 1 1 0 0 0 0 0 AB ABC F= ABC + AB 得：得： 圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)圖形法化簡(jiǎn)函數(shù) 2021/6/1619 利用卡諾

15、圖化簡(jiǎn)利用卡諾圖化簡(jiǎn) A BC 00011110 0 1 ABC BCA BC BCAABC 該方框中邏輯函數(shù)的取值與變量該方框中邏輯函數(shù)的取值與變量A無關(guān)，當(dāng)無關(guān)，當(dāng) B=1、C=1時(shí)取時(shí)取“1”。 例例1： 2021/6/1620 A BC 00011110 0 1AB BC F=AB+BC 化簡(jiǎn)過程：化簡(jiǎn)過程： 卡諾圖適用于輸入變量為卡諾圖適用于輸入變量為3、4個(gè)的邏輯代數(shù)式的個(gè)的邏輯代數(shù)式的 化簡(jiǎn)；化簡(jiǎn)過程比公式法簡(jiǎn)單直觀。化簡(jiǎn)；化簡(jiǎn)過程比公式法簡(jiǎn)單直觀。 2021/6/1621 例例3：用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯代數(shù)式 首先：首先： 邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式卡諾圖卡諾圖 C AB 0 1 00011110 1 1 1 1 1 1 0 00 00 0 0 0 AB 1 1 CBACBAABY CBABY CB 2021/6/1622 例例2：化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)F(A,B,C,D)= (0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15) A