61工程問題題庫教師版doc

1、工程問題 教學目標 1. 熟練掌握工程問題的基本數量關系與一般解法； 2. 工程問題中常出現(xiàn)單獨做，幾人合作或輪流做，分析時一定要學會分段處理； 3. 根據題目中的實際情況能夠正確進行單位“1”的統(tǒng)一和轉換； 4. 工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術方法在其他類型題目中的應用 知識精講 工程問題是小學數學應用題教學中的重點，是分數應用題的引申與補充，是培養(yǎng)學生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應用題，它具有抽象性，學生認知起來比較困難。在教學中，讓學生建立正確概念是解決工程應用題的關鍵。一 工程問題的基本概念定義 ： 工程問題是指用分數來解答有關工作總量、工

2、作時間和工作效率之間相互關系的問題。工作總量：一般抽象成單位“1”工作效率：單位時間內完成的工作量三個基本公式：工作總量工作效率工作時間， 工作效率工作總量工作時間， 工作時間工作總量工作效率；二、為了學好分數、百分數應用題，必須做到以下幾方面： 具備整數應用題的解題能力，解決整數應用題的基本知識，如概念、性質、法則、公式等廣泛應用于分數、百分數應用題； 在理解、掌握分數的意義和性質的前提下靈活運用； 學會畫線段示意圖線段示意圖能直觀地揭示“量”與“百分率”之間的對應關系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間的隱蔽條件，可以幫助我們在復雜的條件與問題中理清思路，正確地進行分析、綜合、判斷和推理； 學會多角度、多

3、側面思考問題的方法分數、百分數應用題的條件與問題之間的關系變化多端，單靠統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法因此，在解題過程中，要善于掌握對應、假設、轉化等多種解題方法，不斷地開拓解題思路三、利用常見的數學思想方法： 如代換法、比例法、列表法、方程法等 拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數量關系，轉化出與所求相關的工作效率，最后再利用先前的假設“把整個工程看成一個單位”，求得問題答案一般情況下，工程問題求的是時間 例題精講模塊一、工程問題基本題型【例 1】 （難度等級 ）一項工程，甲單獨 做需要 28 天時 間，乙單獨 做需要 21 天時 間，如果甲 、 乙合作需 要

4、多少時間 ？ 1 1【解析】 將整個工程的工作量看作“1”個單位，那么甲每天完成總量的 ，乙每天完成總量的 ，兩 28 21 1 1 1 1 人合作每天能完成總量的 ，所以兩人合作的話，需要 1 天能夠完成 12 28 21 12 12【例 2】 （難度等級 ）一項工程，甲單獨做需要 30 天時間，甲、乙合作需要12 天時間，如果乙單獨 做需要多少時間？ 1【解析】 將整個工程的工作量看作“1”個單位，那么甲每天完成總量的 ，甲、乙合作每天完成總量的 30 1 1 1 1 1 ，乙單獨做每天能完成總量的 ，所以乙單獨做 1 天能完成 20 12 12 30 20 20【鞏固】 （難度等級 ）一

5、項工程，甲單獨做需要 21 天時間，甲、乙合作需要12 天時間，如果乙單獨 做需要多少時間？ 1【解析】 將整個工程的工作量看作“1”個單位，那么甲每天完成總量的 ，甲、乙合作每天完成總量的 21 1 1 1 1 ，乙單獨做每天能完成總量的 ，所以乙單獨做 28 天能完成 12 12 21 28【例 3】 （難度等級 ）甲、乙兩人共同加工一批零件，8 小時可以完成任務如果甲單獨加工，便 2 需要 12 小時完成現(xiàn)在甲、乙兩人共同生產了 2 小時后，甲被調出做其他工作，由乙繼續(xù)生 5 產了 420 個零件才完成任務問乙一共加工零件多少個 1 1 1 2 1 1 84【解析】 乙單獨加工，每小時加

6、工 甲調出后，剩下工作乙需做 1 2 時所 8 12 24 5 8 24 5 84 2 2 以乙每小時加工零件 420 個，則 2 小時加工 25 2 25 60 個，所以乙一共加工 5 5 5 零件 42060480個【鞏固】 （難度等級 ）一件工作，甲、乙兩人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲離開了， 由乙繼續(xù)做了 40 天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？【解析】 共做了 6 天后，原來，甲做 24 天，乙做 24 天， 現(xiàn)在，甲做 0 天，乙做 40（2416）天.這說 可由乙做 16 天來代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的 16/242/3。 明原來甲

7、 24 天做的工作， 3 2 如果甲獨做，所需時間是 30 30 天如果乙獨做，所需時間是 30 30 天；甲或 75 50 2 3 乙獨做所需時間分別是 75 天和 50 天.【鞏固】 （難度等級 ）某工程先由甲獨做 63 天，再由乙單獨做 28 天即可完成；如果由甲、乙兩人 合作，需 48 天完成.現(xiàn)在甲先單獨做 42 天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？【解析】 先對比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天.就知道甲少做 63-4815（天），乙 3 要多做 48-2820（天），由此得出乙的工作效率是甲的 ，甲先單獨做 42 天，比 63 天少

8、做了 4 4 63-4221（天），相當于乙要做 21 天因此，乙還要做 2828 56 （天） 28 ，乙還需要做 56 3 天.【例 4】 （難度等級 ）一項工程，甲、乙合作需要 20 天完成，乙、丙合作需要 15 天完成，由乙單 獨做需要 30 天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成這項工程需要多少天？ 1 1【解析】 如果將整個工程的工作量看做單位“1” 從條件中我們很容易看出： 甲 乙 ， ， 乙 丙 ， 20 15 1 1 1 1 1 1 1 乙 因此不難得到丙的工作效率為 ，因此三個人的工作效率之和為 ， 30 15 30 30 20 30 12 也就是說，三個人合作需要 12 天

9、可以完成。 本題也可以分別求出甲和丙的工作效率，再將三人的工作效率相加，得到三人合作的總工效但 是這樣做比較麻煩，事實上只要將甲乙工效和加上丙的工效就可以了【鞏固】 （難度等級 ）一項工程，甲、乙合作需要 9 天完成，乙、丙合作需要12 天，由丙單獨做需 要 36 天完成，那么如果甲、丙合作，完成這項工程需要多少天？ 1 1 1【解析】 法一：和上題類似，我們可以有：甲 乙 ， 乙丙 ， 丙 不難求得，乙的工作效率 9 12 36 1 1 1 1 1 1 1 1 1 為 ，因此甲的工作效率為 ，從而甲丙合作的工作效率為 ， 12 36 18 9 18 18 36 18 12 即甲丙合作 12

10、天能完成。 法二：仍然觀察上面那三個等式，我們能否不求出每個人的工作效率，而同過整體的運算直接得 到“甲 丙”的值呢？ 2 不難發(fā)現(xiàn)，我們只要把乙消掉就可以了；因此我們有： 甲乙丙乙丙甲丙 ，也就 1 1 1 1 是說： 甲丙 2 ，所以甲丙合作12 天能完成。 9 36 12 12【鞏固】 （難度等級 ）一件工作，甲、乙兩人合作 36 天完成，乙、丙兩人合作 45 天完成，甲、丙 兩人合作要 60 天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？ 1 1【解析】 設這件工作的工作量是 1。甲乙兩人合作每天完成 ，甲丙兩人合作每天完成 ，乙丙兩人合 36 60 1 1 1 1 6 1 作每天完成 ，甲、乙

11、、丙三人合作每天完成 2 減去乙、丙兩人 45 36 45 60 180 30 1 1 1 1 每天完成的工作量，甲每天完成 ，甲獨做需要 1 天 答：甲一人獨做需 90 30 45 90 90 要 90 天完成.【鞏固】 （難度等級 ）一件工程，甲、乙兩人合作 8 天可以完成，乙、丙兩人合作 6 天可以完成， 丙、丁兩人合作 12 天可以完成那么甲、丁兩人合作多少天可以完成 11 1 .對于工作效率有甲，乙丙，丁【解析】 甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 、 、 128 6 1 1 1 1 1 乙，丙甲，丁即 ，甲、丁合作的工作效率為 所以，甲、丁兩人 8 12 6 24 24 合

12、作 24 天可以完成這件工程【鞏固】 （難度等級 ）一項工作，甲、乙兩人合做 8 天完成，乙、丙兩人合做 9 天完成，丙、甲兩 人合做 18 天完成那么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天 1 1 1 13【解析】 方法一：對于工作效率有：甲，乙乙，丙丙，甲2 乙，即 為兩倍乙的 8 9 18 72 13 工作效率，所以乙的工作效率為 而對于工作效率有，乙，丙乙丙，那么丙的工作效 144 1 13 1 1 率為 那么丙一個人來做，完成這項工作需 1 48 天。 9 144 48 48 1 1 1 21 21 方法二： 2甲，乙， 丙甲乙乙 、丙甲、 丙 所 乙 ， 以 甲， ，丙 8 9 18

13、 72 72 21 21 21 1 2 ，即甲、 乙、丙 3 人合作的工作效率為 那么丙單獨工作的工作效率為 144 144 144 8 1 ，那么丙一個人來做，完成這項工作需 48 天 48【例 5】 （難度等級 ）一池水，甲、乙兩管同時開，5 小時灌滿；乙、丙兩管同時開，4 小時灌 滿現(xiàn)在先開乙管 6 小時，還需甲、丙兩管同時開 2 小時才能灌滿乙單獨開幾小時可以灌滿？【解析】 由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根據“現(xiàn)在先開乙管 6 小時，還需甲、丙兩管同 時開 2 小時灌滿”，我們可以把乙管的 6 小時分成 3 個 2 小時，第一個 2 小時和甲同時開，第二 個 2 小時和丙同

14、時開，第三個 2 小時乙管單獨開這樣就變成了甲、乙同時開 2 小時，乙、丙同 時開 2 小時，乙單獨開 2 小時，正好灌滿一池水可以計算出乙單獨灌水的工作量為 1 1 1 1 1 1 2 2 ，所以乙的工作效率為： 6 2 2 ，所以整池水由乙管單獨灌水， 5 4 10 10 20 1 需要 1 （小時） 20 20【例 6】 （難度等級 ）2007 年四中考題某水池可以用甲、乙兩個水管注水，單開甲管需 12 小 時注滿，單開乙管需 24 小時注滿，若要求 10 小時注滿水池，且甲、乙兩管同時打開的時間盡 量少，那么甲、乙最少要同時開放 小時【解析】 要想同時開的時間最小，則根據工效，讓甲“滿

15、負荷”地做，才可能使得同時開放的時間最小所 1 1 以，乙開放的時間為 1 10 4 小時，即甲、乙最少要同時開放 4 小時 12 24【例 7】 （難度等級 ）一個蓄水池，每分鐘流入 4 立方米水.如果打開 5 個水龍頭，2 小時半就 把水池水放空，如果打開 8 個水龍頭，1 小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開 13 個水龍頭，問要 多少時間才能把水放空？【解析】 先計算 1 個水龍頭每分鐘放出水量.2 小時半比 1 小時半多 60 分鐘，多流入水 4 60 240（立 方米）.時間都用分鐘作單位，1 個水龍頭每分鐘放水量是 240 （ 5 150- 8 90） 8（立 ， 其 方米） 8 個水

16、龍頭 1 個半小時放出的水量是 8 8 90， 中 90 分鐘內流入水量是 4 90， 因此原來水池中存有水 8 8 90-4 90 5400（立方米）.打開 13 個水龍頭每分鐘可以 放出水 813，除去每分鐘流入 4，其余將放出原存的水，放空原存的 5400，需要 5400 （8 13- 4）54（分鐘）.所以打開 13 個龍頭，放空水池要 54 分鐘.水池中的水，有兩部分，原存有 水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關鍵是先求出池中原存有的水.這在題目中卻是隱 含著的.【例 8】 （難度等級 ）有 10 根大小相同的進水管給 a 、 b 兩個水池注水，原計劃用 4 根進水 管給 a

17、水池注水，其余 6 根給 b 水池注水，那么 5 小時可同時注滿因為發(fā)現(xiàn) a 水池以一定的 速度漏水，所以改為各用 5 根進水管給水池注水，結果也是同時注滿1如果用 10 根進水管 給漏水的 a 水池注水，需要多少分鐘注滿2如果增加 4 根同樣的進水管， a 水池仍然漏水， 并且要求在注水過程中每個水池的進水管的數量保持不變，那么要把兩個水池注滿最少需要多 少分鐘結果四舍五入到個位 ，那【解析】 設每只進水管的工效為“1” 么 a 池容量為 4520，b 池容量為 6530當用 5 根進水管給 b 池灌水時需 3056 小時，而在 6 小時內 5 只其水管給 a 池也是灌有 30 的水，所以漏

18、了 30 5 2010 ， 因 此 漏 水 的 工 效 為 10 6 . 1 用 10 根 進 水 管 給 漏 水 的 a 池 灌 水 ， 那 么 需 3 5 20 10 小時144分鐘. 2.4 2 設 a 池 需 x 根 ， 那 么 b 池 需 14 x 根 ， 有 3 5 x : 14 x 3 所以有 28 2 x 3 x 5 化簡解得 x 6.6. 所以 a 池用 7 根或 6 根進水管， 2: 3 此時對應所需時間，分別為： 5 3 當 a 池用 7 根進水管時：a：7 根水管，需時間 20 7 小時225 分鐘；b：7 根水管， 3 3 4 30 需時間 30 7 小時 257 分鐘此時要把兩個水池注滿最少需要 257 分鐘； 7 5 60 當 a 池用 6 根進水管時：a：6 根水管，需時間 20 6 小時 277 分鐘；b：8 根水管， 3 13 1