二次根式的化簡與計算(講義及答案)

1、二次根式的化簡與計算（講義）課前預習1 .回顧實數(shù)的相關概念，并完成下列各題.（1）二次根式：定義：一般地，形如 的式子叫做二次根式.性質(zhì)：（&）2 = （。，0） ,=（420）.ab =（心0,心0）,= （心0, b0）.乘除法則:yfa-/b= （心0, b2）加減法則：（心0, b0）.先化成最簡二次根式，再合并（2）實數(shù)混合運算順序:先算,再算，最后算.同級運算，從左向右進行.如果 有括號，先算括號里面的.2 .能使式子萬成立的x的取值范圍是（）A.B. x22C. lWx知識點睛1 .二次根式的雙重非負性：對于二次根式有a 0且&0 .2 .二次根式雙重非負性的常見應用：（1）若

2、疝+例 + / = 0,則 a=, b=（2）若&和同時存在，則a=.3 .實數(shù)混合運算處理方法：觀察,劃：有序操作，依;每步推進一點點.做運算時往往需要估計工作量，觀察式子結(jié)構(gòu)，巧用公式，可以大大簡化運算. 4 .二次根式與數(shù)形結(jié)合：被開方數(shù)中出現(xiàn)平方形式，可通過構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題. 精講精練1 .若X, y為實數(shù)，且滿足卜-1|+,1 + 2 =0,則外=.2 .若x, y, z為實數(shù)，且滿足/d+8 + ( 3)2+|2%+4=0,貝I yjx2+3y-z =.3 .若實數(shù)x, y滿足屋十/+2)，+ 1=0則及-4,若實數(shù)小滿足則/+28的平方根為5 .若實數(shù)x, y滿

3、足y = VTF=+斥云-3,則2AA.6 .若實數(shù) x, 丁滿足 y = Jx?-4 +J4-X，+1,則 Jx+2)；=.7 .已知小b為一等腰三角形的兩邊長，且4, 滿足等式2匹N+3WT = -4, 則此等腰三角形的周長為.8 .計算：(2)件2卜(直+府+卓(3)+ (1_&)2。19(1 + 加)2。2。_(冗_啰)。.(4) (3 + 75)(6-275)-(1 -75)2 -12-5/51 ；3(5)+ (百+必3(20-2式)- -V3k 29 .古希臘兒何學家海倫曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫公式：如果一個三角形的三邊長分別為a, b, c,記=i,那么三角形

4、的面積為2s = (- )( _ b)( P _ C)如圖，在A8C中，ZA, ZB, NC所對的邊分別記為小b, c,若=5, /;=6, c=7,則A8C的面積為.10 .數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以 相互轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置 關系結(jié)合起來.通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的 結(jié)合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而優(yōu)化解題思路.（1）【思想應用】已知?，均為正實數(shù)，且什 =4.求冊?+4+1的最小 值.通過分析，愛思考的小明想到了利用下面的構(gòu)造解決此問題：如圖，48=4, A

5、CA.AB, BDA.AB, AC=2, BD=1,點、E 是線段 AB 上的動點，且 不與端點重合，連接CE，DE,設BE=n.用含?的代數(shù)式表示CE=,用含的代數(shù)式表示DE=：據(jù)此求的最小值.（2）【類比應用】根據(jù)上述的方法，代數(shù)式工+J（12-x）5+9的最小值是D11 .如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點.（1）在圖1中以格點為頂點畫一個面積為10的正方形；（2）如果把圖2中的陰影部分圖形剪開，拼接成一個新正方形，那么這個新正方12 .問題背景:在A8C中，AB, BC, AC三邊的長分別為 萬，M, 炳，求ABC的面積. 小明是這樣解決問題的：如圖1

6、所示，先畫一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊 長為1）,再在網(wǎng)格中畫出格點A8C （即A8C三個頂點都在小正方形的頂點 處），從而借助網(wǎng)格就能計算出48C的面積，他把這種解決問題的方法稱為構(gòu)圖法.(1)圖1中A8C的面積為;(2)思維拓展:若。所的三邊長分別為a，25/5, 回，請在圖2的正方形網(wǎng)格(每個小正 方形的邊長為1)中畫出廠,并計算OEF的面積.(3)探索創(chuàng)新：如圖3,已知PQR,以PQ, PR為邊向外作正方形PQA凡PRDE,連接ER若 PQ= 2V2 , PR=屈，QR=g,則六邊形AQROE/7的面積為.廠 1一丁1一丁丁丁丁丁丁 丁 一廠1 卜 + + + + + + + +

7、+ + + -1 卜+T I- + + + + + + + + + + + T 卜+T 1- + + + + + + + + + + + -1 卜+T 1- + + + + + + + + + + + -1 L_L-L -L _L _L _L _L _L _l_ J 備用圖13 .閱讀下列學習材料：已知實數(shù)小h, c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，IIIIbCloc化簡：4（a -b）- -c） + y/c .解：原式-cl+lcl 由題意，得a-b0, a-c0/.原式（-a+c）+c =a-b+a-c+c =2a-b根據(jù)以上學習材料，解決下列問題：（1）已知實數(shù)小b,。在數(shù)軸上對應點的位置如

8、圖所示，則化簡 p/ + c| 4- J（b - c） 的結(jié)果是.1111 Ca ob（2）若y（x-5）3+J（x-5）2 = 0,則X的取值范圍是.（3）若a,匕為實數(shù)，且。0,則化簡尸7的結(jié)果是.（5）若外力0,則使=-外衣成立的條件是（）A. x0, y0B. x0, y0D. x0, y0【參考答案】，課前預習1. (1)疝”2 0)；a, a, ci4b ,巧;一一4b，萬，怖；同類二次根式(2)乘方和開方，乘除，加減2. C知識點睛1. (1) 2, 22. (1) 0,0,02 2) 03 .結(jié)構(gòu)，部分；法則，精講精練1. -22. 33. -24. 65. -156. 2 或。(4) 4 + 逐；(5) 107. 10 /T8. (1) - -； (2) -6-26 (3) -2 +