四邊形證明題及綜合題.doc

1、四邊形證明題及綜合題1、已知：如圖，在正方形 ABCD 中，點 E、F 分別在邊 BC 和 CD 上， BAE =DAF（1）求證： BE = DF ；（2）聯結 AC 交 EF 于點 O，延長 OC 至點 M，使 OM = OA，聯結 EM、FM求證：四邊形 AEMF 是菱形2、如圖 8，已知梯形 中， ， 、 分別是 、的中點，點 在邊 上，且 （1）求證：四邊形 是平行四邊形；（2）聯結 , 若 平分 ，求證：四邊形 是矩形3、如圖，在等腰梯形 ABCD中， C=60，ADBC，且AD=AB=D C，E、F 分別在 AD、DC的延長線上，且 DE=C，F A F、BE交于點 P。（1）求

2、證： AF=BE；（2）請猜測 BPF的度數，并證明你的結論。4、如圖，在矩形 ABCD中，BMAC，D NAC，M、N是垂足 .（1）求證： AN=C M；（2）如果 AN=MN=2，求矩形 ABCD的面積 .5. 如圖 . 在平行四邊形 中， 為對角線的交點，點 為 線 段 延 長 線 上 的 一 點 ， 且. 過點 作 ，交 于點 ，聯結 .（1）求證： ；（2）如果梯形 是等腰梯形，判斷四邊形 的形狀，并給出證明 .6、如圖，在正方形 ABCD中，點 E、F 分別是邊 AB、AD 的中點， DE與 CF相交于 G，D E、C B的延長線相交于點 H，點 M是 CG的中點求證：（ 1）B

3、M/GH；（2）BMC F7已知：如圖， AEBF，A C平分 BAD，交 BF于點 C，B D平分 ABC，交 A E于點 D，聯結C D. 求證：四邊形 ABCD是菱形8如圖，在正方形 中，點 、分別是邊 、 的中點， 與 相交于 ， 、 的延長線相交于點 ，點 是 的中點 .求證：（1） (2)9已知：如圖，在梯形 ABCD 中，AD /BC，AB=CD，點 E、F 在邊 BC 上， BE= CF，EF =AD求證：四邊形 AEFD 是矩形10如圖， 在ABCD 中，E、F分別為邊 ABCD的中點， BD是對角線，過 A點作 AG/ DB交 CB的延長線于點 G（1）求證： DEB F；

4、（2）若 G ，求證：四邊形 DEBF是菱形11 已知： 如圖，在梯形 ABCD 中，AD / BC，BC=2AD，ACAB，點 E是 AC的中點， DE的延長線與邊 B C相交于點 F求證：四邊形 AFCD是菱形12 （本題共 2 小題，每小題 6 分，滿分 12 分）已知：如圖，在梯形 ABCD中，AD/ BC，點 E、F 在邊 BC上，DE/ AB，A F/ C D，且四邊形 AEFD是平行四邊形（1）試判斷線段 A D與 BC的長度之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論；（2）現有三個論斷： AD = AB； B +C= 90； B = 2C請從上述三個論斷中選擇一個論斷作為條件，證明四

5、邊形 AEFD是菱形13已知：如圖，矩形紙片 ABCD 的邊 AD =3，CD =2，點 P是邊 CD 上的一個動點（不與點C 重合，把這張矩形紙片折疊，使點 B 落在點 P 的位置上，折痕交邊 AD 與點 M，折痕交邊 BC 于點 N .（1）寫出圖中的全等三角形 . 設 CP= ，AM= ，寫出 與 的函數關系式；（2）試判斷 BM P是否可能等于 90. 如果可能， 請求出此時 CP的長； 如果不可能， 請說明理由 .14、已知邊長為 1 的正方形 ABCD 中， P 是對角線 AC 上的一個動點 （與點 A、C 不重合） ，過點 P 作 PEPB ，PE 交射線 DC 于點 E，過點

6、E作 EFAC，垂足為點 F.（1）當點 E 落在線段 CD 上時（如圖 10）， 求證： PB=PE ； 在點 P 的運動過程中， PF的長度是否發(fā)生變化？若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由；（2）當點 E 落在線段 DC 的延長線上時，在備用圖上畫出符合要求的大致圖形，并判斷上述（ 1）中的結論是否仍然成立（只需寫出結論，不需要證明）；（3）在點 P 的運動過程中， PEC 能否為等腰三角形？如果能，試求出 AP 的長，如果不能，試 說明理由15、如圖，直線 與 軸相交于點 ，與直線 相交于點 .(1) 求點 的坐標 .(2) 請判斷 的形狀并說明理由 .(3) 動點 從原點

7、出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度沿著 的路線向點 勻速運動（ 不與點 、 重合），過點 分別作 軸于 ， 軸于 . 設運動 秒時，矩形 與 重疊部分的面積為 . 求 與 之間的函數關系式 .16已知：如圖，梯形 中， ， ， ， 是直線 上一點，聯結 ，過點 作 交直線 于點 聯結 （1）若點 是線段 上一點（與點 、 不重合），（如圖 1 所示）求證： 設 ， 的面積為 ，求 關于 的函數解析式，并寫出此函數的定義域（2）直線 上是否存在一點 ，使 是 面積的 3 倍，若存在， 直接寫出的長，若不存在，請說明理由17已知： O 為正方形 ABCD 對角線的交點，點 E在邊 C B的延長線上，聯

8、結 EO，OFOE交 BA延長線于點 F，聯結 EF（如圖 4）。（1） 求證： EO=FO；（2） 若正方形的邊長為 2， OE=2OA，求 B E的長；（3） 當 OE=2OA時，將 FOE 繞點 O 逆時針旋轉到F1OE1，使得 BOE1= 時，試猜想并證明 AOE1 是什么三角形。18（本題滿分 10 分，第（ 1）小題 3 分，第（ 2）小題 4 分，第（ 3）小題 3 分）如圖，在正方形 ABCD 中，點 E、F 分別在 BC、A D的延長線上，且 EAC F，垂足為 H，AE與 C D相交于點 G（1）求證： AG=C F；（2）當點 G為 C D的中點時（如圖 1），求證： F

9、C=FE；（3）如果正方形 ABCD 的邊長為 2，當 EF=EC時（如圖 2），求 D G的長答案1證明：（ 1）正方形 ABCD，AB=AD，B=D=90（ 2 分）BAE = DAFABEADF（ 1 分）BE = DF （ 2 分）（2）正方形 ABCD ， BAC=DAC（ 1 分）BAE =DAF EAO=FAO（ 1 分）ABEADF AE = AF （ 1 分）EO=FO，AOEF（ 2 分）OM = OA 四邊形 AEMF 是平行四邊形 （1 分）AOEF 四邊形 AEMF 是菱形（ 1 分）2（1）證明：聯結 EG， 梯形 中， ，且 、 分別是 、 的中點， EG/ BC

10、，且 ，（ 2 分）又 EG=B F（ 1 分） 四邊形 是平行四邊形（ 2 分）（2）證明：設 AF與 E G交于點 O， EG/ AD， DAG=AGE 平分 ， DAG=GAOGAO=AGE AO=GO （ 2 分）四邊形 是平行四邊形， A F=EG，四邊形 是矩形（ 2 分）3證明：（ 1）梯形 ABCD是等腰梯形， ADBC BAE= ADF （ 1 分）AD= DC AE=DF （ 1 分）BA=AD BAEADF ， （ 1 分）BE=AF （ 1 分）（2）猜想 BPF= 120（ 1 分）由（ 1）知 BAEADF ， ABE= DAF （ 1 分）BPF= ABE+ BA

11、P= BAE（ 1 分）而 ADBC，C= ABC= 60，= 120BPF=BAE = 120（ 1 分）4、證：（ 1）四邊形 ABCD是矩形，ADBC，AD=BC. DAC=BCA.又 D NAC，BMAC， DNA=BMC. DAN BCM, -（3 分） AN=C M.- （1 分）（2）聯結 BD交 A C于點 O，AN= NM=2,AC= BD=6,又四邊形 ABCD是矩形，AO=D O=3，在 ODN中， OD=3，ON=1， OND= ,D N= ,- （2分）矩形 ABCD的面積 = .- （1 分）5. 解：（ 1 ）方法 1 ：延長 交 于 （如 圖1）. 1 分在平行

12、四邊形 中， ， . ， ，四邊形 是平行四邊形 . . 1 分又 ， ， . 1 分 ， .在 和 中， ， ， ， （A.A.S ）. . 1 分四邊形 是平行四邊形， . . 1 分方法 2：將線段 的中點記為 ，聯結 （如圖2）. 1 分四邊形 是平行四邊形， . . 1 分 . ， . ， ， .在 和 中， ， ， ， （A.S.A ）. 1 分 .又 ，四邊形 是平行四邊形 . 1 分 . 1 分其他方法，請參照上述標準酌情評分 .（2）如果梯形 是等腰梯形，那么四邊形 是矩形 . 1 分 ， ，四邊形 是平行四邊形 . . 1 分又梯形 是等腰梯形， . .（備注：使用方法 2

13、 的同學也可能由 找到解題方法；使用方法 1 的同學也可能由四邊形 是平行四邊形找到解題方法） .四邊形 是平行四邊形， ， . . 1 分平行四邊形 是矩形 . 1 分6證明：（ 1）在正方形 ABCD中， AD/ BC， A=HBE，ADE=H，（ 1 分）AE=BE， ADEBHE（ 1 分）BH=AD=BC（ 1 分）C M=G M， BM/ GH（ 1 分）（2）在正方形 ABCD中， AB=AD=C D，A=ADC=90o，又D F= AD，AE= AB， AE=DF AEDDFC（ 1 分）ADE=DCF（ 1 分）ADE+GDC=90o， DCF+GDC=90o DGC=90o

14、（ 1 分）BM/ GH， BMG=DGC=90o，即 BMC F（ 1 分）7、證明： A C平分 BAD， BAC= CAD.又 AEB F， BCA= CAD. -1 分BAC= BCA. AB=BC . -1 分同理可證 AB= AD. AD=BC . -1 分又 ADBC， 四邊形 ABCD是平行四邊形 . -1 分又 AB=BC ，ABCD是菱形 . -1 分8. 證明：（ 1）正方形 1 是 的中點 1 1 1 是 的中點 1(2) 證 1 1 19證法一： 在梯形 ABCD中，AD/ BC，又 EF=AD四邊形 AEFD是平行四邊形（ 1 分）AD/ D F， AEF=DFC（

15、 1 分）AB=C D， B=C（ 1 分）又 BE=CF， ABEDCF（ 1 分） AEB=DFC，（ 1 分） AEB=AEF（ 1 分） AEB+AEF=180o， AEF=90o（ 1 分）四邊形 AEFD是矩形（ 1 分）證法二： 聯結 A F、D E（ 1 分）在梯形 ABCD中， AD/ BC，又 EF=AD，四邊形 AEFD是平行四邊形（ 1 分）AB=C D， B=C（ 1 分）BE=C F， BE+EF=C F+EF，即 B F=C E，（ 1 分） ABF DCE（ 1 分）A F=D E，（ 2 分）四邊形 AEFD是矩形（ 1 分）10、證明：（ 1）ABCD ，A

16、 BC D，ABC D-1分1 1E、F分別為 AB、CD的中點， D F2D C，BE2AB DF BE ， DF BE-1 分四邊形 DEBF為平行四邊形 DE BF-1 分(2) 證明： AGBD， GDBC90， DBC為直角三角形 -1 分1又F為邊 CD的中點 B F2D CD F-1分又四邊形 DEBF為平行四邊形，四邊形 DEBF是菱形 -1 分11證明：在梯形 ABCD中，AD/ BC， DAE=FAE， ADE=CFE（ 1 分）又AE=EC， ADE CFE（ 1 分） AD=FC，（ 1 分）四邊形 AFCD是平行四邊形（ 1 分）BC=2AD，FC=AD= BC（ 1

17、 分）ACAB，A F= BC（ 1 分）A F=FC，（ 1 分）四邊形 AFCD是菱形（ 1 分）12（ 1）解：線段 AD與 B C的長度之間的數量為： （ 1 分）證明： A D/ BC，DE/ AB， 四邊形 ABED是平行四邊形 A D= BE（ 2 分）同理可證，四邊形 AFCD是平行四邊形即得 A D= FC（ 1 分）又 四邊形 AEFD是平行四邊形， A D= E F（ 1 分） AD= BE= EF= FC （ 1 分）（2）解：選擇論斷作為條件（ 1 分）證明： D E/ AB， B= DEC（ 1 分） B +C = 90， DEC+C = 90即得 EDC= 90（

18、 2 分）又 EF= FC， DF= E F（ 1 分） 四邊形 AEFD是平行四邊形， 四邊形 AEFD是菱形（ 1 分）13（1） MBN MPN 1MBN MPNMB=MP ,矩形 ABCDAD=CD (矩形的對邊相等 )A=D=90(矩形四個內角都是直角 ) 1AD=3, CD=2, CP=x, AM=yDP=2-x, MD=3-y 1RtABM 中，同理 1 1 1（3） 1當 時，可證 1 AM=CP，AB=DM 1 1當 CM=1 時，14（1） 證：過 P作 MNAB，交 AB于點 M，交 CD于點 N正方形 ABCD ， PM=AM，MN=AB，從而 MB=PN （ 2 分）

19、 PMBPNE，從而 PB=PE（ 2 分） 解：PF 的長度不會發(fā)生變化，設 O為 A C中點，聯結 PO，正方形 ABCD ， BOAC，（ 1 分）從而 PBO=EPF，（ 1 分） POBPEF， 從而 PF=BO （ 2 分）（2）圖略，上述（ 1）中的結論仍然成立；（ 1 分）（ 1 分）（3）當點 E 落在線段 CD 上時， PEC是鈍角，從而要使 PEC 為等腰三角形，只能 EP=EC，（ 1 分）這時， PF=FC ， ，點 P 與點 A 重合，與已知不符。（ 1 分）當點 E 落在線段 DC 的延長線上時， PCE是鈍角，從而要使 PEC 為等腰三角形，只能 CP=C，E

20、（ 1 分）設 AP=x，則 ， ，又 ， ，解得 x=1. （ 1 分）綜上， AP=1 時， PEC 為等腰三角形15. 解：（ 1） 解得： 1 點 P 的坐標為（ 2， ） 1（2）當 時， 點 A 的坐標為（ 4，0） 1 1 是等邊三角形 1（3）當 0 4 時， 1 1當 4 8 時， 1 116（ 1）證明：在 上截取 ，聯結 . .又 A90， AAGEAEG180.AGE45.BGE135. .CD180.又 C45.D135.BGED. 1 分 ， . . 1 分 .BEF90.又 AABEAEB180，AEBBEFDEF180，A90.ABEDEF. 1 分BGEEDF. 1 分 .（1）關于 的函數解析式為： . 1 分此函數的定義域為： . 1 分（2）存在 . 1 分當點 在線段 上時， （負值舍去） . 1 分當點 在線段 延長線上時， （負值舍去） . 1 分當點 在線段 延長線上時， . 1分 的長為 、 或 .17、（ 1）證明： ABCD 是正方形，對角線交于點 O，AO=BO ，ACBD ，-1 分 OAB= OBA , OAF