人教版高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例《幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型》

1、人教版高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型一、教學(xué)任務(wù)分析1函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型是函數(shù)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)而要建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型，不僅就要理解具體函數(shù)的概念和性質(zhì)，還要能區(qū)別它們之間的差異特別是在選擇函數(shù)模型描述實(shí)際問(wèn)題增長(zhǎng)變化的規(guī)律時(shí)，更要能比較各個(gè)函數(shù)在不同范圍的增長(zhǎng)差異這對(duì)進(jìn)一步理解函數(shù)的增減性、增長(zhǎng)（減少）快慢、增長(zhǎng)（衰減）率等性質(zhì)，更好地認(rèn)識(shí)函數(shù)模型都有促進(jìn)作用2本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)目就是能利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異，并結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義利用計(jì)算工具可以通過(guò)函數(shù)解析

2、式、圖象、表格等多元聯(lián)系表示來(lái)比較函數(shù)增長(zhǎng)的差異3本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)是通過(guò)實(shí)例比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異，并從中體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義由于一個(gè)函數(shù)在不同區(qū)間的增長(zhǎng)情況會(huì)有所不同，所以學(xué)生要比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異，特別是要比較指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長(zhǎng)差異，可能會(huì)有困難二、教學(xué)基本流程例1、例2體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義比較y2x、yx2和ylog2x的增長(zhǎng)情況體會(huì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)在不同區(qū)間的增長(zhǎng)差異小結(jié) 三、教學(xué)情景設(shè)計(jì)1通過(guò)例1體會(huì)直線上升和指數(shù)爆炸的不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義（1）提出問(wèn)題問(wèn)

3、題：對(duì)于例1的三種投資方案，你覺(jué)得哪種方案的回報(bào)多？為什么？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：先讓學(xué)生憑直覺(jué)做出判斷，再建立三種方案的函數(shù)模型進(jìn)行準(zhǔn)確地分析這樣，學(xué)生便可通過(guò)對(duì)比，對(duì)直線上升和指數(shù)爆炸有深刻的體會(huì)師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀例1，然后讓學(xué)生憑直覺(jué)嘗試回答問(wèn)題 （2）建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型問(wèn)題：怎樣才能較為準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)三種投資方案？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生交流并回答問(wèn)題問(wèn)題：例1中存在哪些變量？能否分別用函數(shù)描述三種方案中變量間的關(guān)系？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生分別建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型師生活動(dòng)：學(xué)生分析問(wèn)題中的變

4、量關(guān)系，并寫(xiě)出每個(gè)方案的函數(shù)解析式在此過(guò)程中，當(dāng)學(xué)生在分析變量關(guān)系以及求函數(shù)解析式遇到困難時(shí)，教師適時(shí)進(jìn)行指導(dǎo)問(wèn)題：根據(jù)所得到的函數(shù)解析式，能否合理地選擇投資方案？如果不能怎么辦？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：了解學(xué)生對(duì)所學(xué)函數(shù)模型的認(rèn)知情況，并啟發(fā)學(xué)生對(duì)函數(shù)進(jìn)行多元聯(lián)系表示，從而能直觀地進(jìn)行定性和定量分析師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)解析式進(jìn)行分析，并發(fā)表對(duì)方案選擇的觀點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)由解析式表示為數(shù)表和圖象（3）利用計(jì)算工具比較三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，并體會(huì)它們的增長(zhǎng)特點(diǎn)問(wèn)題：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出所得函數(shù)的數(shù)表和圖象，看能否對(duì)選擇投資方案提供幫助？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：利用函數(shù)的數(shù)表和圖象為選擇投資方案提供依據(jù)，

5、引導(dǎo)學(xué)生從局部和整體的角度，對(duì)三種方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況進(jìn)行定量和定性分析師生活動(dòng)：學(xué)生用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出三個(gè)函數(shù)的數(shù)表和圖象教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)的數(shù)表和圖象分析三種方案的增長(zhǎng)情況，并依此對(duì)三種方案作出正確的選擇問(wèn)題：用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)求出三種方案每天的增加量和累計(jì)量，再對(duì)三個(gè)函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況作進(jìn)一步的比較，看對(duì)三種函數(shù)模型是否有更清楚的認(rèn)識(shí)？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上對(duì)三個(gè)函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況作定量分析，為今后進(jìn)一步研究函數(shù)的增長(zhǎng)速度和增長(zhǎng)率奠定基礎(chǔ)師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用增加量來(lái)刻畫(huà)三個(gè)函數(shù)模型的增長(zhǎng)速度問(wèn)題：對(duì)比三個(gè)函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況，重新描述一下三種方案的特點(diǎn)？問(wèn)題設(shè)計(jì)意

6、圖：結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比前后的選擇方案，體會(huì)到直線上升和指數(shù)爆炸的不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系函數(shù)的解析式、數(shù)表和圖象，對(duì)三種方案相應(yīng)的函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況進(jìn)行描述2通過(guò)例2體會(huì)對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)，并進(jìn)一步體會(huì)直線上升和指數(shù)爆炸的不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義（1）提出問(wèn)題問(wèn)題：通過(guò)對(duì)例1的解決，你認(rèn)為應(yīng)該如何選擇例2的三個(gè)函數(shù)模型？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，應(yīng)該從定量和定性的角度對(duì)題目所給的三個(gè)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀例2，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下對(duì)解決問(wèn)題的方法作出選擇問(wèn)題：在例2的解決過(guò)程中，應(yīng)該注意哪些問(wèn)題？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生關(guān)注實(shí)際問(wèn)題的條件對(duì)函數(shù)模型選

7、擇的約束，養(yǎng)成分析問(wèn)題解決問(wèn)題的良好習(xí)慣師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生通過(guò)對(duì)題目的進(jìn)一步分析，得出在選擇函數(shù)模型時(shí)應(yīng)注意：在區(qū)間10，1 000上分析，y不大于5，y與x的比值不大于25%（2）利用計(jì)算工具選擇函數(shù)模型，并體會(huì)三個(gè)函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)問(wèn)題：例2涉及到哪幾類函數(shù)模型？對(duì)它們進(jìn)行選擇的本質(zhì)是什么？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，問(wèn)題的本質(zhì)就是要比較三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)情況是否符合題目的要求師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，題目所涉及到的獎(jiǎng)金是隨利潤(rùn)的增加而增加，所以用以刻畫(huà)這一變化規(guī)律的函數(shù)模型應(yīng)該是增長(zhǎng)型的但題目所提供的三個(gè)模型都是增長(zhǎng)型的，所以問(wèn)題的本質(zhì)就是要對(duì)它們的增長(zhǎng)情況進(jìn)行比較，從中挑選

8、出符合題目要求的模型問(wèn)題：你是如何選擇三個(gè)函數(shù)模型的？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，雖然利用函數(shù)的數(shù)表和圖象都可為選擇投資方案提供依據(jù)，但數(shù)表利于從局部較為準(zhǔn)確地定量反映函數(shù)的變化情況，而圖象則利于從整體定性地描述函數(shù)變化的概貌所以應(yīng)結(jié)合問(wèn)題的具體情況，選擇從局部或整體的角度，對(duì)已知的三個(gè)函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況進(jìn)行定量或定性分析師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出已知的三個(gè)函數(shù)以及y5的圖象，通過(guò)對(duì)圖象的分析，初步選擇函數(shù)ylog7x1作為獎(jiǎng)勵(lì)模型問(wèn)題：你的選擇一定正確嗎？是否需要作進(jìn)一步的說(shuō)明？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，雖然利用計(jì)算工具能簡(jiǎn)捷地作出圖象，并幫助我們直觀地進(jìn)行判斷，但對(duì)所得出的

9、判斷結(jié)果，還需要進(jìn)行嚴(yán)格的證明以此幫助學(xué)生形成良好的思維品質(zhì)師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)計(jì)算和證明，說(shuō)明函數(shù)y0.25x和y1.002x都不符合獎(jiǎng)勵(lì)模型的要求，而只有函數(shù)ylog7x1符合獎(jiǎng)勵(lì)模型的要求問(wèn)題：你對(duì)例1和例2所涉及到的函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)有何認(rèn)識(shí)？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的分析，形成對(duì)其所涉及的各類函數(shù)模型增長(zhǎng)特點(diǎn)的概括性認(rèn)識(shí)，并通過(guò)歸納總結(jié)，加深對(duì)各類函數(shù)模型增長(zhǎng)含義的體會(huì)師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行交流，并歸納出：一次函數(shù)具有直線上升的增長(zhǎng)特點(diǎn)，指數(shù)函數(shù)具有爆炸性上升的增長(zhǎng)特點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)具有平緩上升的增長(zhǎng)特點(diǎn)3通過(guò)比較y2x、yx2和ylog2x的增長(zhǎng)情況，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)、冪

10、函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)在不同區(qū)間的增長(zhǎng)差異問(wèn)題：作出函數(shù)y2x、yx2和ylog2x的數(shù)表和圖象，看它們有何增長(zhǎng)差異？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)作函數(shù)的數(shù)表和圖象，在一定區(qū)間范圍對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)差異形成初步的認(rèn)識(shí)師生活動(dòng)：先讓每個(gè)學(xué)生獨(dú)立地用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出三個(gè)函數(shù)的數(shù)表和圖象，然后大家進(jìn)行交流對(duì)函數(shù)ylog2x分別與函數(shù)y2x、yx2的增長(zhǎng)差異形成統(tǒng)一認(rèn)識(shí)由于不同學(xué)生研究的區(qū)間范圍不同，所以大家對(duì)函數(shù)y2x和yx2增長(zhǎng)差異的認(rèn)識(shí)會(huì)有所不同教師組織學(xué)生對(duì)所得到的不同結(jié)論展開(kāi)討論問(wèn)題：你所作的函數(shù)數(shù)表和圖象是否全面地反映出了這幾個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)差異？通過(guò)例1知道，函數(shù)在不同區(qū)間的增長(zhǎng)情況會(huì)有所不同，這對(duì)分析這

11、幾個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)差異有何啟發(fā)？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在不同的區(qū)間范圍，多角度地對(duì)函數(shù)y2x和yx2的增長(zhǎng)差異進(jìn)行定量和定性分析，從而全面地把握它們的增長(zhǎng)特點(diǎn)師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y2x和yx2在不同區(qū)間的數(shù)表和圖象，并根據(jù)所作的數(shù)表和圖象從多角度地分析兩個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)差異，進(jìn)而形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)問(wèn)題：通過(guò)比較函數(shù)y2x、yx2和ylog2x，你對(duì)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異有何新的認(rèn)識(shí)？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的分析，形成對(duì)其所涉及的各類函數(shù)模型之間的增長(zhǎng)差異的概括性認(rèn)識(shí)師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行交流，并歸納出：盡管指數(shù)函數(shù)yax（a1）、冪函數(shù)yxn（n0）、對(duì)數(shù)函

12、數(shù)ylogax（a1）都是增長(zhǎng)型的函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)情況有很大的差異總體上，隨著x的增大，指數(shù)函數(shù)yax（a1）的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，并遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)另外兩個(gè)函數(shù)；冪函數(shù)yxn（n0）的增長(zhǎng)速度也越來(lái)越快，并超過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax（a1）；對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax（a1）的增長(zhǎng)速度則越來(lái)越慢不過(guò)，在局部區(qū)間，上述情況可能會(huì)有所不同4小結(jié)問(wèn)題：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，你對(duì)過(guò)去所學(xué)過(guò)的函數(shù)模型是否有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，形成對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，加深對(duì)不同函數(shù)類型增長(zhǎng)含義的體會(huì)師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生進(jìn)行交流，并讓學(xué)生對(duì)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)問(wèn)

13、題：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，對(duì)選擇函數(shù)模型刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題有哪些幫助？問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，在選擇函數(shù)模型刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題對(duì)所選函數(shù)模型的增長(zhǎng)情況進(jìn)行分析，根據(jù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)特點(diǎn)作出選擇不同的實(shí)際問(wèn)題對(duì)應(yīng)著不同的變量取值范圍，適宜刻畫(huà)其變化規(guī)律的函數(shù)模型也會(huì)有所不同，有時(shí)可能僅有一個(gè)，有時(shí)可能允許有多個(gè)師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生進(jìn)行交流，學(xué)生將交流情況進(jìn)行匯報(bào)，然后師生一起進(jìn)行總結(jié)四、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1由于與函數(shù)增長(zhǎng)有關(guān)的性質(zhì)，學(xué)生僅學(xué)過(guò)單調(diào)性，而尚未學(xué)過(guò)增長(zhǎng)率和增長(zhǎng)快慢，所以要研究不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型，教學(xué)就應(yīng)該充分結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，建立函數(shù)的解析式與數(shù)表、圖象的聯(lián)系，從不同角度、不同范圍對(duì)函數(shù)進(jìn)

14、行研究這樣設(shè)計(jì)教學(xué)，既符合學(xué)生由具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，又利于向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，還有助于學(xué)生學(xué)會(huì)辯證地看問(wèn)題，形成聯(lián)系的觀點(diǎn)，同時(shí)也加強(qiáng)了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力2教學(xué)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，從學(xué)生熟悉的實(shí)際背景和函數(shù)模型出發(fā)，注重從具體到抽象，不斷地提供給學(xué)生歸納概括的機(jī)會(huì)，既關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，又促使學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上獲取知識(shí)，提高思維能力，保持高水平的思維活動(dòng)，符合學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，讓學(xué)生感到親切自然3教學(xué)設(shè)計(jì)注重引導(dǎo)學(xué)生積極地對(duì)函數(shù)進(jìn)行定性和定量的分析，尊重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方法4由于作相同函數(shù)的圖象和數(shù)表，不同學(xué)生選擇的區(qū)間范圍會(huì)有所不同，所以在比較函數(shù)y2x、yx2和ylo