傅里葉變換性質(zhì)-傅里葉變換的性質(zhì)證明

1、傅里葉變換的性質(zhì)對(duì)稱性質(zhì)主要內(nèi)容奇偶虛實(shí)性線性性質(zhì) 尺度變換性質(zhì)時(shí)移特性 微分性質(zhì)頻移特性 時(shí)域積分性質(zhì)忌乂傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。 討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系;用性質(zhì)求F（o）;了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用一.對(duì)稱性質(zhì)1 性質(zhì)港/ (z) G 列 則(- 6)豹(f丹偶函數(shù) 則F&21!睛斶2意義若戸形狀與珥)相同， T JBlF(z)的頻譜函數(shù)形狀與/(涉狀相同，&T砒 幅度差2疫線性性質(zhì)1 性質(zhì)若過）分片9）,矗少血）則 cifi “） + 5 fi “） c 9）+勺碼 9）s 勺為 常數(shù)2.例（/）

2、=-+- Sgn（）分歹（6）=打 5（g）+丄22jay奇偶虛實(shí)性證明：由定義Ff卜匸/ (以一佔(zhàn)日再)可以得到F|/(-/)=匸列-論如肛=匸/何戶宀du=F(-四尺度變換性質(zhì)劫*砂,則如捫 2為非零畫數(shù)意義(1) 0al時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)屜倍。說明(3) a=-l歹()T歹(一血 說明3意義JE7(/)(1) 0a時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有頻帶成反比, 有時(shí)為加速信號(hào)的傳遞，要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮，則 要以展開頻帶為代價(jià)。 a = -l 于（f）T子（T）FS）TF（。）=跖（G）S/

3、（z0實(shí)函數(shù)時(shí),戸（-6）=礦（町共輒/渥（m軸偶 礙 X（ob奇爵數(shù)用一毎）=鳳一 e）+jX（毎）=鳳國=礦）五時(shí)移特性W （4宀珥嘰81/ （邙卩何訂;若戸9）=叭呵胃如 則/一即“列叭pmiwl 幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，相移_ar 理區(qū)I左血0時(shí)移加尺度變換仿才伽）=命港/ &心戸 勉f如+方）分占F證明過程六.頻移特性1性質(zhì)若/分叭國則）嚴(yán)（廠叫為常拓注竜土號(hào)2.證明F“）嚴(yán)卜匸“）嚴(yán)汁缶二為尸戸一呦）3說明時(shí)劈乘燈，頻域頻譜撅一一右移碣時(shí)埠乘*5,頻域頻譜搬一一左移碣 4應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。七微分性質(zhì)時(shí)域微分性質(zhì)fir) o 卩9), ujrczj j 窗 頻域

4、微分性質(zhì)蘢f (z)列叭則裁兇分但戸3)但at-jtf何分d列血陽如(-腫“宀啤1時(shí)域微分/(/)分F9),則嚴(yán)分j亦9)一般情況下/何(MGf 9)若已知科/”測則歹(血二件廠卩鞏嚴(yán)=j亦:J幅度乘G(相住增如jT剜1注意如果/中有確定的直流分量，應(yīng)先取出單獨(dú)求傅里 變換，余下部分再用微分性質(zhì)。（t ）分F（血 直流1/ 加5） 余下部分百 = M-| = jsgnM,A &爐分八（工卜死心1, A料占d/2頻域微分性質(zhì)若右分理礎(chǔ)則芽分詛尸9)皿歸或j芽兇分推廣(忒如d B 歹(g)八時(shí)域積分性質(zhì)若兀）分尸（專則呦=附丄/簡-也可以記作：F（d）-丄-+拠i證明 05 4x： = ffjtj

5、 z = , d = d a： 砒3) 2匸衣嚴(yán) at -ai ；z = = 鞏/(&)=計(jì)匚fxa l心丿丨 f 二一i d x= r-|P Jfl Adx= ”卩F綜合上述馬種情況等效耶2中寬度與等效頻霸寬度八八八d/加/（0）F（0%）G）/（Z）dz = /（O）r=2 匸 F（）d兔=竺r=oJ F（6）d = F（0）BF（O）= /0dABf=To等效脈沖寬 度與占有的 等效帶寬成反比。 ?丿例37-1占(好 1, F(z) =1O 171例3-7-2已 Fsgn(z) = -,W2則分 2jrsgn(KTSaEt例3-7-6 （教材例34）已知矩形調(diào)幅信號(hào)/（r） = G0CO

6、S（do譏）其中G0為矩形脈沖，脈沖幅勘脈寬為G試求其頻譜函數(shù)。E（a）矩形調(diào)幅信號(hào)的波形G（d）=ErSaa）Ty幾）=丄G（淤斶+訂如）22 2頻譜圖F（a）=丄G-叫）+ 丄+ ty ）2 2q_U)t26+小2 將包絡(luò)線的頻譜一分為二，向左、右各平移例3-7-5求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù).三角形圏數(shù)方波方波一蘭T沖激函數(shù)8T TJ。 _4E十2E尹球2+r 吃 1F”仙=匚竿+貝-炎）+竽彳* - 滬,?二2E尹 -竺+ 2E亡-弘% = G砧戸何=-亦歹何T%)=厶at_1 2E-G T一嚴(yán)sm4 )8已樹梢 Fg）, 解：唄-2）旳例3-7-8求唄2）旳卜?胡必）-叭）8例3了7廠9

7、解：tn=ri1 2 開（5（g）二 F（at）dot譏g嚀2/d 2開&血例3-7-101 求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換解：已知 (z) = Jr 郭)肛 (5(/) O 11 +7T規(guī)Q)1=丄+打盤國22 求門畫麹7上湫分的頻譜畫數(shù).1解：務(wù)曲戸書血(器)”* Sa(O) = i,知鞏D)hD&ZT）十上 Sil i atOfTT證明關(guān)于的躍函數(shù)衛(wèi)（般）二1?（廚）誅AO是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）羞（。）=/（）smaid關(guān)于。的奇畫數(shù) fJ 天）=-A （-尸（-血二尸（6）已知沖”卜F（-Q）砒（-詐尸（。）證明覽0)=匸和加+恥*肛當(dāng)住証時(shí))設(shè)血+占=x3fJz = - j dr = dX ak(q)=E/w 幻當(dāng)=.：-dx haa? 1Je 11 - dxas設(shè)加+方二心則/=a匕丿dz = rdx=lf/(xka J山池)嚴(yán)證明打匸伽卡理農(nóng))+l7) * 習(xí)二桃）+法續(xù)變上限積分用帶時(shí)移的 單位階躍的無限積分表 示，成為/ 切（”交換積分順序先上后百 即先求時(shí)移的單位階躍 信號(hào)的傅里葉變換對(duì)積分變量T而言為 常數(shù).移到積分外牝）+書女果歹（d）=