理學(xué)工程力學(xué)學(xué)習(xí)資料動(dòng)能定理PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 理學(xué)工程力學(xué)學(xué)習(xí)資料動(dòng)能定理理學(xué)工程力學(xué)學(xué)習(xí)資料動(dòng)能定理 F t v m d d rFr dd d d t v m 21-3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理： d = d v mvdt t 左邊 =mdv v 2 11 () 22 dv vd v vdv Fam Wmv 2 1 2 )d( 22 11 22 mdvdmv 第1頁(yè)/共38頁(yè) l質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，其動(dòng)能改變量等于質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，其動(dòng)能改變量等于 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在此過(guò)程中所作的功。作用在質(zhì)點(diǎn)上的力在此過(guò)程中所作的功。 12 2 1 2 2 2 1 2 1 Wmvmv 積分形式積分形式 21-3

2、 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在 質(zhì)點(diǎn)上力的元功質(zhì)點(diǎn)上力的元功 Wmv 2 1 2 )d( 微分形式微分形式 第2頁(yè)/共38頁(yè) iii Wvm 2 1 2 )(d 二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 iii Wvm 2 1 2 )d( iii Wvm 2 1 d 2 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi， 速度為速度為vi ，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的微分形式，有，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的微分形式，有 dT i W 21-3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 第3頁(yè)/共38頁(yè) 質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其

3、動(dòng)能改變量等于作用在質(zhì)系上的所動(dòng)能改變量等于作用在質(zhì)系上的所 有力在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所作功的和有力在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所作功的和 i WTT 12 積分形式積分形式 i WdT 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用在 質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功之和質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功之和 微分形式微分形式 21-3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 第4頁(yè)/共38頁(yè) 三三. 理想約束及內(nèi)力作功理想約束及內(nèi)力作功 （2）可動(dòng)鉸支座、固定鉸支座可動(dòng)鉸支座、固定鉸支座 )d(0drFrFW NN （1）光滑固定面約束光滑固定面約束 1 1、理想約束：、理想約束： FN AxF AyF NF 其約束力作元功為零的約束。其約束力作元功為零的

4、約束。 21-3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 第5頁(yè)/共38頁(yè) （3 ) 中間鉸鏈中間鉸鏈 （4 ) 柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索） rFrFWAA dd 0ddrFrFAA FT AF AF rd 0rdFWT 21-3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 第6頁(yè)/共38頁(yè) FN FS （5 ) 純滾動(dòng)純滾動(dòng) 純滾動(dòng)的接觸點(diǎn)為理想約束純滾動(dòng)的接觸點(diǎn)為理想約束 rd 0drFW N drFW s dtvF Ps 0 P 21-3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 第7頁(yè)/共38頁(yè) O x y zA B rA rB drBA F F 一般情況下，內(nèi)力作功之和不為零。一般情況下，內(nèi)力作功之和不為零。 2、 內(nèi)力做功內(nèi)力

5、做功 FF BA rdFrdFW BA rdFrdF BABA rdFrdrdF)( 剛體：剛體： ，內(nèi)力作功之和為零。，內(nèi)力作功之和為零。 0 BA rd 21-3 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 第8頁(yè)/共38頁(yè) 例題：例題：均質(zhì)圓盤(pán)均質(zhì)圓盤(pán)A A：m m，r r, ,滑塊滑塊B B：m m；桿；桿ABAB： 質(zhì)量不質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角計(jì)，平行于斜面。斜面傾角 ，摩擦，摩擦 系數(shù)系數(shù)f f，圓盤(pán)，圓盤(pán)A A作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求： 當(dāng)圓盤(pán)當(dāng)圓盤(pán)A A沿斜面下滑距離沿斜面下滑距離S S時(shí)，滑塊時(shí)，滑塊B B的加速的加速 度。度。 第9頁(yè)/共38頁(yè) 解：選系統(tǒng)為研究

6、對(duì)象解：選系統(tǒng)為研究對(duì)象 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： BA vv 2 2 2 22 2 2 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 B B B mv r v mrmvT 圓盤(pán)圓盤(pán)A作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng) 滑塊滑塊B作平移作平移 初始時(shí)刻： 22 2 2 1 2 1 AA JmvT 2 2 1 B mv r vA 圓盤(pán)圓盤(pán)A作純滾動(dòng)作純滾動(dòng) r vB 2 4 5 B mv 0 1 T 時(shí)：下滑距離S NAF NBF A F B F 第10頁(yè)/共38頁(yè) Smgsin gfaB)cos 5 2 sin 5 4 ( )cossin2(fmgs 由動(dòng)能定理由動(dòng)能定理： )cossin2(0 4 5 2 fmgS

7、mvB 對(duì)對(duì)求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 WTT 12 dt ds fmg dt dv vm B B )cossin2(2 4 5 B B a dt dv BA vv dt ds NAF NBF Smgsin W Sfmgcos 第11頁(yè)/共38頁(yè) 例題例題: :均質(zhì)圓柱質(zhì)量為均質(zhì)圓柱質(zhì)量為m, ,半徑為半徑為r，繩，繩 繞在圓柱體上，固定于繞在圓柱體上，固定于A A點(diǎn)，若圓柱體點(diǎn)，若圓柱體 與斜面的摩擦系數(shù)與斜面的摩擦系數(shù) , ,求質(zhì)心求質(zhì)心C C 沿斜面沿斜面 下落的加速度。下落的加速度。 C A B f 第12頁(yè)/共38頁(yè) S C A B 解：選圓柱體為研究對(duì)象解：選圓柱體為研究對(duì)象 mg NF S

8、F TF 圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)圓柱體作平面運(yùn)動(dòng) 初始時(shí)刻： 0 1 T 時(shí)：下滑距離S 22 2 2 1 2 1 cc JmvT 2 22 2 1 2 1 2 1 r v mrmvT c c D為圓柱體的速度瞬心為圓柱體的速度瞬心 D r vc 2 4 3 c mv 第13頁(yè)/共38頁(yè) S C A B mg NF SF TF D WSmgsin rdFWs f f W Sfmgcos2 )cos2(sinfmgSW WTT 12 動(dòng)能定理： 2 3 (sin2cos ) 4 c mvmgSf 將上式兩端對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得到：將上式兩端對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得到： dt ds fmg dt dv vm c

9、 c )cos2(sin2 4 3 cc c v dt ds a dt dv , cos2sin 3 2 f g ac c a rd (cos ) () B fmgv dt dtvfmg c 2cos 第14頁(yè)/共38頁(yè) 例題例題: :長(zhǎng)同為長(zhǎng)同為 l 的兩根均質(zhì)桿用鉸鏈的兩根均質(zhì)桿用鉸鏈B B 相連，相連，C C端沿光滑鉛直墻壁下滑，當(dāng)端沿光滑鉛直墻壁下滑，當(dāng)ABAB 由水平位置到達(dá)鉛直位置時(shí)，由水平位置到達(dá)鉛直位置時(shí)，BCBC到達(dá)到達(dá) 水平位置，求該瞬時(shí)水平位置，求該瞬時(shí)C C點(diǎn)的速度，系統(tǒng)點(diǎn)的速度，系統(tǒng) 初始靜止。初始靜止。 B C B A C 第15頁(yè)/共38頁(yè) B C B A C 2

10、 12 2 1 B JT vB vC BC桿速度瞬心為桿速度瞬心為B點(diǎn)，即點(diǎn)，即 0 B v 則則AB桿瞬時(shí)靜止，桿瞬時(shí)靜止， 0 解解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 0 1 T初始時(shí)刻： 22 21 11 22 AP BC TJJ 到達(dá)水平時(shí)： AB桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) BC作平面運(yùn)動(dòng)作平面運(yùn)動(dòng) 2 2 2 6 1 ) 3 1 ( 2 1 c c mv l v ml mg mg AxF AyF NcF NBF 第16頁(yè)/共38頁(yè) B C B A C vB vC W mglmvc20 6 1 2 glvc32 WTT 12 由由 得得 AxF AyF mg mg2 l mg N

11、cF NBF 2 3l mg mgl 2 第17頁(yè)/共38頁(yè) 例：例： 在對(duì)稱連桿的在對(duì)稱連桿的A點(diǎn)，作用一鉛垂方向的常點(diǎn)，作用一鉛垂方向的常 力力F，開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，如圖。求連桿，開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，如圖。求連桿OA運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 到水平位置時(shí)的角速度。設(shè)連桿長(zhǎng)均為到水平位置時(shí)的角速度。設(shè)連桿長(zhǎng)均為l，質(zhì)量，質(zhì)量 均為均為m，均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為，均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為m1，且作純滾動(dòng)。，且作純滾動(dòng)。 O a A F B vB 第18頁(yè)/共38頁(yè) 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力如圖受力如圖 0 1 T初始時(shí)刻： O a A F B OA桿定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，AB、圓盤(pán)、圓盤(pán)B平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng) ox

12、F oyF mgmg NF SF 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 222 02 BBB AB Jvm JmvJT 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： 點(diǎn)桿的速度瞬心為BAB 0 B v 0 B l l l vA AB lv 2 1 22 3 1 ml gm1 OA運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)：運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)： vB vA O A B 第19頁(yè)/共38頁(yè) 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有的力所作的功為在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有的力所作的功為 12 2(sin)sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a 22 1 () sin 3 mlmgF la 解得解得 3()sinmgF lm a 1212 WTT

13、由由 得得 vB oyF mgmg NF SF O a A F B 12 2 (1 2) WmhMhf mgh Mfm hg 12 2(sin )sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a oxF mg 12 2(sin)sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a 第20頁(yè)/共38頁(yè) 作業(yè)：作業(yè)：2111，15，16 第21頁(yè)/共38頁(yè) 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的投影形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的投影形式 (e)(e)(e) d dd ddd y xz p pp XYZ ttt )(e F dt Pd 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理 (e) C m aF 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)

14、定理 動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用 第22頁(yè)/共38頁(yè) 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 )( d d )(e iO O FM t L )( d d )(e ix x FM t L )( d d )(e iz z FM t L )( d d )(e iy y FM t L )(FMJ zz a ( ) , () e CCC maFJmF 剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng) 微分方程微分方程 )(FMJ cC a 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理投影式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理投影式 第23頁(yè)/共38頁(yè) 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理： 微分形式微分形式 i WdT i W

15、TT 12 積分形式積分形式 第24頁(yè)/共38頁(yè) 動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量 形式形式，因質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變，因質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變 系統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩，應(yīng)用時(shí)只系統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩，應(yīng)用時(shí)只 需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力；需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力；動(dòng)能動(dòng)能 定理是標(biāo)量形式定理是標(biāo)量形式，在很多問(wèn)題中，在很多問(wèn)題中 約束力不作功，因而應(yīng)用它分析約束力不作功，因而應(yīng)用它分析 系統(tǒng)速度變化是比較方便的。系統(tǒng)速度變化是比較方便的。 第25頁(yè)/共38頁(yè) 下面就只用一個(gè)定理就能求解的題目，如下面就只用一個(gè)定理就能求解的題目，如 何選擇定理，說(shuō)明如下：何選擇定理，說(shuō)明如下： (1 1 )

16、與路程有關(guān)的問(wèn)題用動(dòng)能定理，與路程有關(guān)的問(wèn)題用動(dòng)能定理，與時(shí)與時(shí) 間有關(guān)的問(wèn)題用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理。間有關(guān)的問(wèn)題用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理。 (2 2 )已知主動(dòng)力求質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)用動(dòng)能定已知主動(dòng)力求質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)用動(dòng)能定 理，理，已知質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)求約束力用動(dòng)量定理或已知質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)求約束力用動(dòng)量定理或 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理或動(dòng)量矩定理。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理或動(dòng)量矩定理。 第26頁(yè)/共38頁(yè) (3) 如果問(wèn)題是要求加速度或角加速如果問(wèn)題是要求加速度或角加速 度，度，可用動(dòng)能定理求出速度可用動(dòng)能定理求出速度(或角速或角速 度度) ，然后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，求出加速，然后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，求出加速 度度(或角加速度或角加速度)

17、。也可用動(dòng)量定理或。也可用動(dòng)量定理或 動(dòng)量矩定理求解。動(dòng)量矩定理求解。在用動(dòng)能定理，不在用動(dòng)能定理，不 作功的未知力在方程中不出現(xiàn)，給問(wèn)作功的未知力在方程中不出現(xiàn)，給問(wèn) 題的求解帶來(lái)很大的方便。題的求解帶來(lái)很大的方便。 (4)(4) 對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，可用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，可用定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 的微分方程求解。的微分方程求解。對(duì)于剛體的平面運(yùn)對(duì)于剛體的平面運(yùn) 動(dòng)問(wèn)題，可用平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解動(dòng)問(wèn)題，可用平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解 。 第27頁(yè)/共38頁(yè) 例題例題: 如圖均質(zhì)桿質(zhì)量為如圖均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l，可繞，可繞 距端點(diǎn)距端點(diǎn)l/3的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，求桿由水平位置轉(zhuǎn)動(dòng)，求桿由水平位置

18、靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的角速度、角靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的角速度、角 加速度以及加速度以及O處處的約束力。的約束力。 j C O mg 第28頁(yè)/共38頁(yè) 1 :0T 初始時(shí)刻 轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的動(dòng)能為轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的動(dòng)能為 22222 2 18 1 ) 32 ( 12 1 2 1 2 1 ml ll mmlJT O 在此過(guò)程中所有的力所作的功為在此過(guò)程中所有的力所作的功為 jsin 6 1 mglmghW 解法解法1：用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)：用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng) FOy FOx 以桿為研究對(duì)象。以桿為研究對(duì)象。 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) j C O mg 第29頁(yè)/共38頁(yè) 22 11 0sin 1

19、86 mlmglj 2 3 sin g l j 將前式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得將前式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 d3d 2cos dd g tlt j j 3 cos 2 g l aj 3 sin g l j j C O mg j a dt d dt d , WTT 12 由 得 第30頁(yè)/共38頁(yè) 解法解法2：用微分方程求運(yùn)動(dòng)：用微分方程求運(yùn)動(dòng) C O() OO JMa F mg 由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 00 3 dcosd 2 g l j j j 即即 j j 00 2 sin 2 3 2 1 l g 所以所以jsin 3 l g 2 1 cos 96 l mlmgaj3 cos 2 g

20、l aj 即即 dddd ddddtt j a jj d3 cos d2 g l j j 所所 以以 FOy FOx a dddd ddddtt j a jj 第31頁(yè)/共38頁(yè) 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 , CxCy maXmaY 求約束力求約束力 j C O a aCx aCy at C an C C O mg FOy FOx tn 3 sincossincos 4 CxCC g aaajjjj a 6 l acjjcos 4 cos 2 3 6 g l gl 6 2 l a n c j j sin 26 cos3gl l g )sin31 ( 4 2 j g x y tn 3 sin

21、cossincos 4 CxCC g aaajjjj jj sincos n cccy aaa 第32頁(yè)/共38頁(yè) C O mg x y aCx aCy FOy FOx 3 sincos 4 Ox mg Fjj 得：得： 解得：解得： 3 sin2 8 Ox mg Fj , CxCy maXmaY mgF mg oy )sin31 ( 4 2 j )sin1 ( 4 3 2 j mg Foy )sin31 ( 4 2 j g acyjjcossin 4 3g acx 第33頁(yè)/共38頁(yè) 例例 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，靜止直，靜止直 立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而 倒下時(shí)，求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)質(zhì)心倒下時(shí)，求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)質(zhì)心C的的 速度和桿的角速度以及地面約束力。速度和桿的角速度以及地面約束