理學工程力學學習資料動能定理PPT學習教案

1、會計學1 理學工程力學學習資料動能定理理學工程力學學習資料動能定理 F t v m d d rFr dd d d t v m 21-3 動能定理動能定理 一質(zhì)點的動能定理：一質(zhì)點的動能定理： d = d v mvdt t 左邊 =mdv v 2 11 () 22 dv vd v vdv Fam Wmv 2 1 2 )d( 22 11 22 mdvdmv 第1頁/共38頁 l質(zhì)點在運動的過程中，其動能改變量等于質(zhì)點在運動的過程中，其動能改變量等于 作用在質(zhì)點上的力在此過程中所作的功。作用在質(zhì)點上的力在此過程中所作的功。 12 2 1 2 2 2 1 2 1 Wmvmv 積分形式積分形式 21-3

2、 動能定理動能定理 質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點動能的增量等于作用在 質(zhì)點上力的元功質(zhì)點上力的元功 Wmv 2 1 2 )d( 微分形式微分形式 第2頁/共38頁 iii Wvm 2 1 2 )(d 二質(zhì)點系的動能定理二質(zhì)點系的動能定理 iii Wvm 2 1 2 )d( iii Wvm 2 1 d 2 設(shè)質(zhì)點系由設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，第個質(zhì)點組成，第i個質(zhì)點的質(zhì)量為個質(zhì)點的質(zhì)量為mi， 速度為速度為vi ，根據(jù)質(zhì)點的動能定理的微分形式，有，根據(jù)質(zhì)點的動能定理的微分形式，有 dT i W 21-3 動能定理動能定理 第3頁/共38頁 質(zhì)點系在某一段運動過程中，其質(zhì)點系在某一段運動過程中，其

3、動能改變量等于作用在質(zhì)系上的所動能改變量等于作用在質(zhì)系上的所 有力在運動過程中所作功的和有力在運動過程中所作功的和 i WTT 12 積分形式積分形式 i WdT 質(zhì)點系動能的增量等于作用在質(zhì)點系動能的增量等于作用在 質(zhì)點系上所有力的元功之和質(zhì)點系上所有力的元功之和 微分形式微分形式 21-3 動能定理動能定理 第4頁/共38頁 三三. 理想約束及內(nèi)力作功理想約束及內(nèi)力作功 （2）可動鉸支座、固定鉸支座可動鉸支座、固定鉸支座 )d(0drFrFW NN （1）光滑固定面約束光滑固定面約束 1 1、理想約束：、理想約束： FN AxF AyF NF 其約束力作元功為零的約束。其約束力作元功為零的

4、約束。 21-3 動能定理動能定理 第5頁/共38頁 （3 ) 中間鉸鏈中間鉸鏈 （4 ) 柔索約束（不可伸長的繩索）柔索約束（不可伸長的繩索） rFrFWAA dd 0ddrFrFAA FT AF AF rd 0rdFWT 21-3 動能定理動能定理 第6頁/共38頁 FN FS （5 ) 純滾動純滾動 純滾動的接觸點為理想約束純滾動的接觸點為理想約束 rd 0drFW N drFW s dtvF Ps 0 P 21-3 動能定理動能定理 第7頁/共38頁 O x y zA B rA rB drBA F F 一般情況下，內(nèi)力作功之和不為零。一般情況下，內(nèi)力作功之和不為零。 2、 內(nèi)力做功內(nèi)力

5、做功 FF BA rdFrdFW BA rdFrdF BABA rdFrdrdF)( 剛體：剛體： ，內(nèi)力作功之和為零。，內(nèi)力作功之和為零。 0 BA rd 21-3 動能定理動能定理 第8頁/共38頁 例題：例題：均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤A A：m m，r r, ,滑塊滑塊B B：m m；桿；桿ABAB： 質(zhì)量不質(zhì)量不計，平行于斜面。斜面傾角計，平行于斜面。斜面傾角 ，摩擦，摩擦 系數(shù)系數(shù)f f，圓盤，圓盤A A作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求：作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求： 當圓盤當圓盤A A沿斜面下滑距離沿斜面下滑距離S S時，滑塊時，滑塊B B的加速的加速 度。度。 第9頁/共38頁 解：選系統(tǒng)為研究

6、對象解：選系統(tǒng)為研究對象 運動學關(guān)系：運動學關(guān)系： BA vv 2 2 2 22 2 2 1 ) 2 1 ( 2 1 2 1 B B B mv r v mrmvT 圓盤圓盤A作平面運動作平面運動 滑塊滑塊B作平移作平移 初始時刻： 22 2 2 1 2 1 AA JmvT 2 2 1 B mv r vA 圓盤圓盤A作純滾動作純滾動 r vB 2 4 5 B mv 0 1 T 時：下滑距離S NAF NBF A F B F 第10頁/共38頁 Smgsin gfaB)cos 5 2 sin 5 4 ( )cossin2(fmgs 由動能定理由動能定理： )cossin2(0 4 5 2 fmgS

7、mvB 對對求導，得求導，得 WTT 12 dt ds fmg dt dv vm B B )cossin2(2 4 5 B B a dt dv BA vv dt ds NAF NBF Smgsin W Sfmgcos 第11頁/共38頁 例題例題: :均質(zhì)圓柱質(zhì)量為均質(zhì)圓柱質(zhì)量為m, ,半徑為半徑為r，繩，繩 繞在圓柱體上，固定于繞在圓柱體上，固定于A A點，若圓柱體點，若圓柱體 與斜面的摩擦系數(shù)與斜面的摩擦系數(shù) , ,求質(zhì)心求質(zhì)心C C 沿斜面沿斜面 下落的加速度。下落的加速度。 C A B f 第12頁/共38頁 S C A B 解：選圓柱體為研究對象解：選圓柱體為研究對象 mg NF S

8、F TF 圓柱體作平面運動圓柱體作平面運動 初始時刻： 0 1 T 時：下滑距離S 22 2 2 1 2 1 cc JmvT 2 22 2 1 2 1 2 1 r v mrmvT c c D為圓柱體的速度瞬心為圓柱體的速度瞬心 D r vc 2 4 3 c mv 第13頁/共38頁 S C A B mg NF SF TF D WSmgsin rdFWs f f W Sfmgcos2 )cos2(sinfmgSW WTT 12 動能定理： 2 3 (sin2cos ) 4 c mvmgSf 將上式兩端對時間求一階導數(shù)得到：將上式兩端對時間求一階導數(shù)得到： dt ds fmg dt dv vm c

9、 c )cos2(sin2 4 3 cc c v dt ds a dt dv , cos2sin 3 2 f g ac c a rd (cos ) () B fmgv dt dtvfmg c 2cos 第14頁/共38頁 例題例題: :長同為長同為 l 的兩根均質(zhì)桿用鉸鏈的兩根均質(zhì)桿用鉸鏈B B 相連，相連，C C端沿光滑鉛直墻壁下滑，當端沿光滑鉛直墻壁下滑，當ABAB 由水平位置到達鉛直位置時，由水平位置到達鉛直位置時，BCBC到達到達 水平位置，求該瞬時水平位置，求該瞬時C C點的速度，系統(tǒng)點的速度，系統(tǒng) 初始靜止。初始靜止。 B C B A C 第15頁/共38頁 B C B A C 2

10、 12 2 1 B JT vB vC BC桿速度瞬心為桿速度瞬心為B點，即點，即 0 B v 則則AB桿瞬時靜止，桿瞬時靜止， 0 解解：取整個系統(tǒng)為研究對象取整個系統(tǒng)為研究對象 0 1 T初始時刻： 22 21 11 22 AP BC TJJ 到達水平時： AB桿作定軸轉(zhuǎn)動桿作定軸轉(zhuǎn)動 BC作平面運動作平面運動 2 2 2 6 1 ) 3 1 ( 2 1 c c mv l v ml mg mg AxF AyF NcF NBF 第16頁/共38頁 B C B A C vB vC W mglmvc20 6 1 2 glvc32 WTT 12 由由 得得 AxF AyF mg mg2 l mg N

11、cF NBF 2 3l mg mgl 2 第17頁/共38頁 例：例： 在對稱連桿的在對稱連桿的A點，作用一鉛垂方向的常點，作用一鉛垂方向的常 力力F，開始時系統(tǒng)靜止，如圖。求連桿，開始時系統(tǒng)靜止，如圖。求連桿OA運動運動 到水平位置時的角速度。設(shè)連桿長均為到水平位置時的角速度。設(shè)連桿長均為l，質(zhì)量，質(zhì)量 均為均為m，均質(zhì)圓盤質(zhì)量為，均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m1，且作純滾動。，且作純滾動。 O a A F B vB 第18頁/共38頁 解：以系統(tǒng)為研究對象解：以系統(tǒng)為研究對象,受力如圖受力如圖 0 1 T初始時刻： O a A F B OA桿定軸轉(zhuǎn)動，桿定軸轉(zhuǎn)動，AB、圓盤、圓盤B平面運動平面運動 ox

12、F oyF mgmg NF SF 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 222 02 BBB AB Jvm JmvJT 運動學關(guān)系運動學關(guān)系： 點桿的速度瞬心為BAB 0 B v 0 B l l l vA AB lv 2 1 22 3 1 ml gm1 OA運動到水平位置時：運動到水平位置時： vB vA O A B 第19頁/共38頁 在運動過程中所有的力所作的功為在運動過程中所有的力所作的功為 12 2(sin)sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a 22 1 () sin 3 mlmgF la 解得解得 3()sinmgF lm a 1212 WTT

13、由由 得得 vB oyF mgmg NF SF O a A F B 12 2 (1 2) WmhMhf mgh Mfm hg 12 2(sin )sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a oxF mg 12 2(sin)sin 2 () sin l WmgFl mgF l aa a 第20頁/共38頁 作業(yè)：作業(yè)：2111，15，16 第21頁/共38頁 質(zhì)點系動量定理的投影形式質(zhì)點系動量定理的投影形式 (e)(e)(e) d dd ddd y xz p pp XYZ ttt )(e F dt Pd 質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系動量定理 (e) C m aF 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動

14、定理 動力學普遍定理綜合應用動力學普遍定理綜合應用 第22頁/共38頁 質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理 定軸轉(zhuǎn)動微分方程定軸轉(zhuǎn)動微分方程 )( d d )(e iO O FM t L )( d d )(e ix x FM t L )( d d )(e iz z FM t L )( d d )(e iy y FM t L )(FMJ zz a ( ) , () e CCC maFJmF 剛體的平面運動剛體的平面運動 微分方程微分方程 )(FMJ cC a 質(zhì)點系動量矩定理投影式質(zhì)點系動量矩定理投影式 第23頁/共38頁 質(zhì)點系的動能定理：質(zhì)點系的動能定理： 微分形式微分形式 i WdT i W

15、TT 12 積分形式積分形式 第24頁/共38頁 動量定理和動量矩定理是矢量動量定理和動量矩定理是矢量 形式形式，因質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變，因質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變 系統(tǒng)的動量和動量矩，應用時只系統(tǒng)的動量和動量矩，應用時只 需考慮質(zhì)點系所受的外力；需考慮質(zhì)點系所受的外力；動能動能 定理是標量形式定理是標量形式，在很多問題中，在很多問題中 約束力不作功，因而應用它分析約束力不作功，因而應用它分析 系統(tǒng)速度變化是比較方便的。系統(tǒng)速度變化是比較方便的。 第25頁/共38頁 下面就只用一個定理就能求解的題目，如下面就只用一個定理就能求解的題目，如 何選擇定理，說明如下：何選擇定理，說明如下： (1 1 )

16、與路程有關(guān)的問題用動能定理，與路程有關(guān)的問題用動能定理，與時與時 間有關(guān)的問題用動量定理或動量矩定理。間有關(guān)的問題用動量定理或動量矩定理。 (2 2 )已知主動力求質(zhì)點系的運動用動能定已知主動力求質(zhì)點系的運動用動能定 理，理，已知質(zhì)點系的運動求約束力用動量定理或已知質(zhì)點系的運動求約束力用動量定理或 質(zhì)心運動定理或動量矩定理。質(zhì)心運動定理或動量矩定理。 第26頁/共38頁 (3) 如果問題是要求加速度或角加速如果問題是要求加速度或角加速 度，度，可用動能定理求出速度可用動能定理求出速度(或角速或角速 度度) ，然后再對時間求導，求出加速，然后再對時間求導，求出加速 度度(或角加速度或角加速度)

17、。也可用動量定理或。也可用動量定理或 動量矩定理求解。動量矩定理求解。在用動能定理，不在用動能定理，不 作功的未知力在方程中不出現(xiàn)，給問作功的未知力在方程中不出現(xiàn)，給問 題的求解帶來很大的方便。題的求解帶來很大的方便。 (4)(4) 對于定軸轉(zhuǎn)動問題，可用定軸轉(zhuǎn)動對于定軸轉(zhuǎn)動問題，可用定軸轉(zhuǎn)動 的微分方程求解。的微分方程求解。對于剛體的平面運對于剛體的平面運 動問題，可用平面運動微分方程求解動問題，可用平面運動微分方程求解 。 第27頁/共38頁 例題例題: 如圖均質(zhì)桿質(zhì)量為如圖均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長為，長為l，可繞，可繞 距端點距端點l/3的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動，求桿由水平位置轉(zhuǎn)動，求桿由水平位置

18、靜止開始轉(zhuǎn)動到任一位置時的角速度、角靜止開始轉(zhuǎn)動到任一位置時的角速度、角 加速度以及加速度以及O處處的約束力。的約束力。 j C O mg 第28頁/共38頁 1 :0T 初始時刻 轉(zhuǎn)動到任一位置時的動能為轉(zhuǎn)動到任一位置時的動能為 22222 2 18 1 ) 32 ( 12 1 2 1 2 1 ml ll mmlJT O 在此過程中所有的力所作的功為在此過程中所有的力所作的功為 jsin 6 1 mglmghW 解法解法1：用動能定理求運動：用動能定理求運動 FOy FOx 以桿為研究對象。以桿為研究對象。 作定軸轉(zhuǎn)動作定軸轉(zhuǎn)動 j C O mg 第29頁/共38頁 22 11 0sin 1

19、86 mlmglj 2 3 sin g l j 將前式兩邊對時間求導，得將前式兩邊對時間求導，得 d3d 2cos dd g tlt j j 3 cos 2 g l aj 3 sin g l j j C O mg j a dt d dt d , WTT 12 由 得 第30頁/共38頁 解法解法2：用微分方程求運動：用微分方程求運動 C O() OO JMa F mg 由定軸轉(zhuǎn)動微分方程由定軸轉(zhuǎn)動微分方程 00 3 dcosd 2 g l j j j 即即 j j 00 2 sin 2 3 2 1 l g 所以所以jsin 3 l g 2 1 cos 96 l mlmgaj3 cos 2 g

20、l aj 即即 dddd ddddtt j a jj d3 cos d2 g l j j 所所 以以 FOy FOx a dddd ddddtt j a jj 第31頁/共38頁 由質(zhì)心運動定理由質(zhì)心運動定理 , CxCy maXmaY 求約束力求約束力 j C O a aCx aCy at C an C C O mg FOy FOx tn 3 sincossincos 4 CxCC g aaajjjj a 6 l acjjcos 4 cos 2 3 6 g l gl 6 2 l a n c j j sin 26 cos3gl l g )sin31 ( 4 2 j g x y tn 3 sin

21、cossincos 4 CxCC g aaajjjj jj sincos n cccy aaa 第32頁/共38頁 C O mg x y aCx aCy FOy FOx 3 sincos 4 Ox mg Fjj 得：得： 解得：解得： 3 sin2 8 Ox mg Fj , CxCy maXmaY mgF mg oy )sin31 ( 4 2 j )sin1 ( 4 3 2 j mg Foy )sin31 ( 4 2 j g acyjjcossin 4 3g acx 第33頁/共38頁 例例 均質(zhì)細桿長為均質(zhì)細桿長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，靜止直，靜止直 立于光滑水平面上。當桿受微小干擾而立于光滑水平面上。當桿受微小干擾而 倒下時，求桿剛剛到達地面時質(zhì)心倒下時，求桿剛剛到達地面時質(zhì)心C的的 速度和桿的角速度以及地面約束力。速度和桿的角速度以及地面約束