函數(shù)的圖像知識點及題型歸納總結(jié)

1、函數(shù)的圖像知識點及題型歸納總結(jié)知識點精講-、掌握基本初等函數(shù)的圖像(1) 一次函數(shù)；(2)二次函數(shù)；(3)反比例函數(shù)；(4)指數(shù)函數(shù)；(5)對數(shù)函數(shù)；(6)三角函數(shù)二、函數(shù)圖像作法1 .直接畫確定定義域；化簡解析式；考察性質(zhì)：奇偶性(或其他對稱性)、單調(diào)性、周期性、凹凸性；特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；特殊線(對稱軸、漸近線等)2 .圖像的變換(1)平移變換函數(shù)y f(x a)(a 0)的圖像是把函數(shù) y f (x)的圖像沿x軸向左平移a個單位得到的；函數(shù)yf (x a)(a 0)的圖像是把函數(shù) yf (x)的圖像沿x軸向右平移a個單位得到的；函數(shù)yf (x) a(a 0)的圖像是把函數(shù)

2、yf(x)的圖像沿y軸向上平移a個單位得至ij的;函數(shù)yf (x) a(a 0)的圖像是把函數(shù) yf(x)的圖像沿y軸向下平移a個單位得至ij的;(2)對稱變換i:函數(shù)y f (x)與函數(shù)yf ( x)的圖像關(guān)于y軸對稱;ii：函數(shù)y f (x)與函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于x軸對稱;iii:函數(shù)y f (x)與函數(shù)yf( x)的圖像關(guān)于坐標原點(0,0)對稱;i：若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x a對稱，則對定義域內(nèi)的任意x都有f(a x) f(a x)或f(x) f (2a x)(實質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線xa對稱的兩點連線的中點橫(a x) (a x)a為常數(shù))；ii：若函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(

3、a,b)對稱，則對定義域內(nèi)的任意x都有f (x) 2b f (2a x)或f(a x) 2b f (a x)yf(x)的圖像是將函數(shù) f(x)的圖像保留x軸上方的部分不變，將 x軸下方的部分關(guān)于 x軸對稱翻折上來得到的(如圖 2-21 (a)和圖2-21 (b)所示y f(x)的圖像是將函數(shù) f(x)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像關(guān)于y軸對稱得到函數(shù)y f(x)左邊的圖像即函數(shù) y f(x)是一個偶函數(shù)(如圖 2-21 (c)所示)圖 2-21注：f(x)的圖像先保留f (x)原來在x軸上方的圖像，做出x軸下方的圖像關(guān)于 x軸對稱圖形，然后擦去x軸下方的圖像得到；而f(x)的圖

4、像是先保留f(x)在y軸右方的圖像，擦去 y軸左方的圖像，然后做出y軸右方的圖像關(guān)于 y軸的對稱圖形得到.這兩變換又叫翻折變換.函數(shù)y f 1(x)與y f(x)的圖像關(guān)于y x對稱.(3)伸縮變換yAf(x)(A0)的圖像，可將yf (x)的圖像上的每一點的縱坐標伸長(A1)或縮短(0 A 1)到原來的A倍得到.yf( x)(0)的圖像，可將yf(x)的圖像上的每一點的橫坐標伸長(01)或縮短(1)到，1原來的一倍得到.題型歸納及思路提示題型1由式選圖(識圖)思路提示利用函數(shù)的性質(zhì)(如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、特殊點等)排除錯誤選項，從而篩選出正確答案x 2例2.70 函數(shù)y 2

5、 x的圖像大致是()分析觀察四個選項給出的圖像，區(qū)別在于函數(shù)零點的個數(shù)及單調(diào)性不同解析解法一：當x 0時，函數(shù)y 2x單調(diào)遞增，同時函數(shù) yx2單調(diào)遞增，故函數(shù) f (x)在 ,0上單調(diào)遞增，排除C,D;當x 0時，f(x)存在兩個零點x1 2,x2 4,所以排除選項B.故選A.解法二：如圖2-22所示，有圖像可知，函數(shù) y 2x與函數(shù)y x2的交點有3個，說明函數(shù)y 2x x2的零點有3個，故排除選項B,C ;當x xo時，x2 2x成立，即y 2x x2 0,故排除選項D ,故選A.變式1 函數(shù)y lnc0sx x 的圖像是（）22變式2在同一坐標系中畫出函數(shù) y log a x, y a

6、x, y x a的圖像，可能正確的是（）ABCd變式3 函數(shù)y ax2 bx與y log臼x, ab 0,|ab|在同一直角坐標系中的圖像可能是（）a1變式4 (2012新課標全國卷10)已知函數(shù)f(x) 1,則y f(x)的圖像大致為()ln(x 1) xABCD題型2 函數(shù)圖像的應用思路提示1利用函數(shù)圖像判斷方程解的個數(shù).由題設(shè)條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解的個例2.71函數(shù)f (x)2x lOgo.5 x 1的零點個數(shù)為()A.1B.2C.3D,4xx-Y11. 一 ,，. 一斛析 v f (x) 2 10g0.5 x 1 0 可得 log o.5 x .t g(x

7、) log 0.5 x , h(x)-,在同一坐標系下分別畫出函數(shù) g(x),h(x)的圖像，如圖2-23所示.可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)一定有 2個交點，因此函數(shù) f(x)有變式1已知函數(shù)f (x)一，x 2 x(x 1)3,x,若關(guān)于x的方程f(x) k有兩個不同的實根，則實數(shù) k的取2值范圍是變式2直線y 1與曲線yx2x a有4個交點，則a的取值范圍是變式3 函數(shù)f(x) 21nx的圖像與函數(shù)g(x) x2 4x 5的圖像的交點個數(shù)為()A.3B.2C.1 D.0變式4設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x) 1gx 1(x 1),則關(guān)于x的方程 0(x 1)2f (x) bf (x) c0有7個不同實數(shù)解的

8、充要條件是()Ab 0且 c 0 B.b 0且 c 022f (x) 2mxf (x) m 0求出它們的交點，根據(jù)題意C.(,2)U(0,)D.(, 1)U(1,)分析作出函數(shù)y“乂)與丫 1的圖像，由圖像得不等式的解集解析作出函數(shù) y f(x)與y 1的圖像，如圖2-24所示，得 f (x0) 1所對應的x0的取值范圍是C.b 0且c 0 Db 0且c 0、,5x 11 i(x 0)_,、，變式5設(shè)定義域為R的函數(shù)f(x) 51(x )，若關(guān)于x的方程x 4x 4(x 0)有7個不同實數(shù)解，則 m思路提示2利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍.先作出所研究對象的圖像，結(jié)合圖像寫出答案

9、2 x 1(x 0)例2.72設(shè)函數(shù)f(x) i，若f(x0) 1,則x0的取值范圍是()x2 (x 0)A( 1,1)B.( 1,)(,1)U(1,)，故選 D.圖2 24變式1 (2010新課標全國卷理24)設(shè)函數(shù)f x 2x 4 1,若不等式f x ax的解集非空，求a的取值范圍.變式2已知函數(shù)f xx 4x x 0 42一2，若不等式f 2 a2 fa,則實數(shù)a的取值范圍是4x x x 0A、, 12,B、1,2 C、2,1 D、, 21,2,aab a b變式3 (2012福建理15)對于實數(shù)a和b,定義運算“*： a*b=2, ，設(shè)bab,a b2x 1 * x 1 ,且關(guān)于x的方

10、程f x mm R恰有3個互不相等的實數(shù)根 x1?2?3,則 Xx2x3的取值范圍是 變式4 （ 2010新課標全國卷理11）已知函數(shù)fxlgx(0 x1 小x 6 x210）,若a,b,c互不相等，且A、1,10B、 5,6C、10,12D、20,2410 f a f b f c,則abc的取值范圍是思路提示3利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先做出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對函數(shù)的要求，從圖像上尋找取 得最值的位置，計算出結(jié)果，這體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的思想。2,10 x例2、73用min a,b,c表示a, b,c三個數(shù)中的最小值，設(shè) f x min 2x,xx 0 ,則f x的最大值為A、 4B、

11、5C、6D、7分析題設(shè)中白函數(shù)yf x min2x,x 2,10 x實際上是一個定義在0,上的分段函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想即可作答.解析如圖225所示,圖像（實線）的最高點，即直線y x 2與直線y10 x的交點A, A的縱坐標即為所求.由A 4,6,得函數(shù)f x的最大值為6.故選C .0圖 2-25變式 1 設(shè) f x 1 2x2, g x2x,若 F x，則F x的最大值變式2 （2012湖南理8）已知兩條直線l1 : y m 和8l2: y 2m 10 , l1與函數(shù)y log2 x的圖像從左到右相交于點 A, B , 與丫 log2x的圖像從左到右相交于點 C,D,記線段AC和BD在x軸

12、上的投影長度分別為a,b.當m變化時，b的最小值為（） aA、16 2B、C、834D、43 4最有效訓練題1、若點a,b在y lgx圖像上,a 1,則下列點中也在此圖像上的是A、-,b aB、10a,1 bC、10 d,b 1 a2D、 a ,2b2、為得到函數(shù)y log 2 &1的圖像，可將函數(shù) ylog 2 X的圖像上所有點的A、縱坐標縮短到原來的B、縱坐標縮短到原來的C、橫坐標伸長到原來的D、橫坐標伸長到原來的1 .,橫坐標不變，再向右平移 1個單位長度.21 .1橫坐標不變，再向左平移 1個單位長度.2,2倍，縱坐標不變，再向左平移 1個單位長度2倍，縱坐標不變，再向右平移 1個單位

13、長度3、函數(shù)y f X的圖像如圖226所示，則函數(shù) ylog 1 f x的圖像大致是24、函數(shù)y xln X與y xlnx的圖像關(guān)于()A、直線y x對稱B、x軸對稱5、若函數(shù)y f x x R滿足f x 2C、y軸對稱 D、原點對稱1,1時，f x x .則函數(shù)y f x的圖像與函數(shù)y log4 x的圖像的交點個數(shù)為()A、3B、4 C、6 D、8y f x與函數(shù)y g x的圖像分別如圖227 ( a) ( b)所示.則函數(shù)y f x g x的圖像可6、函數(shù)7、把函數(shù)y log22x 3的圖像向左平移1個單位長度得到函數(shù) 的圖像.x b28、指數(shù)函數(shù) y 的圖像如圖 228所示，則二次函數(shù)y ax bx的頂點的橫坐標取值范圍a是O X 圖 2-2*9、若a 1,則函數(shù)f x ax x 4的零點為m，11g x log a x x 4的手點為n ,則一 一的取值范圍是 m n10、若直角坐標平面內(nèi)的兩點P,Q滿足條件：1P,Q都在函數(shù)y f x的圖像上；23P,Q關(guān)于原點對稱,則稱函數(shù)對 P,Q是函數(shù)y f x的一對友好點對”(點對P