優(yōu)質課一等獎選修4-4第二講-參數(shù)方程(圓錐曲線的參數(shù)方程)[共48頁]

1、1 第二講第二講 參數(shù)方程參數(shù)方程 2 圓錐曲線的參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程 3 橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 4 為為參參數(shù)數(shù)） ( sin cos ry rx 為為參參數(shù)數(shù)） ( sin cos rby rax 復習復習圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程 1.圓心在原點圓心在原點,半徑為半徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程: 2.圓心為圓心為(a, b),半徑為半徑為r的圓的參數(shù)方程的圓的參數(shù)方程: 1 2 2 2 2 b y a x 3.橢圓的標準方程：橢圓的標準方程： 它的參數(shù)方程是什么樣的？它的參數(shù)方程是什么樣的？ 5 如圖如圖,以原點為圓心以原點為圓心,分別以分別以a, b(ab0)為半徑作

2、兩個圓為半徑作兩個圓, 點點B是大圓半徑是大圓半徑OA與小圓的交點與小圓的交點, 過點過點A作作ANOx,垂足為垂足為N, 過點過點B作作BMAN,垂足為垂足為M, )( sin cos 為參數(shù)為參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 by ax M 0,2 ) 6 O A M x y N B 橢圓的標準方程橢圓的標準方程: : 1 b y a 2 2 2 2 x 橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的幾何意義: : )( sinby cosa 為為參參數(shù)數(shù) x x y O 圓的標準方程圓的標準方程: : 圓的參數(shù)方程圓的參數(shù)方程: : x2+y2=r2 )( siny cos 為為參參數(shù)

3、數(shù) r rx 的幾何意義是的幾何意義是AOP= P A 橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程: : 是是AOX=, 不是不是MOX=. 7 1 2 2 2 2 b y a x sin cos by ax 2 , 0 1 2 2 2 2 a y b x sin cos ay bx 8 練習練習 把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. 22 1 49 xy (1) 2 2 1 16 y x (2) 3 cos 5 sin x y (3) 8 cos 10 sin x y (4) 把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程 2 cos (1) 3sin x y cos (2) 4s

4、in x y 2 2 64100 (4)1 y x 2 2 925 (3)1 y x 9 )( sin2 cos3 為參數(shù)為參數(shù) y x 9 32 2 33 1 tan 6 sin2 cos3 y x )1, 2 33 ( 10 x y O M(3cos ,2sin) 3cos y2sin x 5 min d 1 49 22 yx 11 1 49 22 yx 12 1 49 22 yx 例例1、已知橢圓、已知橢圓 上點上點M(x, y)，(2)求求2x+3y 的最大值和最小值；的最大值和最小值； 13 例例2、如圖，在橢圓如圖，在橢圓x2+8y2=8上求一點上求一點P，使，使P到直線到直線 l

5、：x-y+4=0的距離最小的距離最小. x y O P 分析分析1： ),y,y( 2 88P設設 2 88 2 |4yy| d則則 分析分析2： ),sin,cos(P 22設設 2 22|4sincos| d則則 分析分析3：平移直線平移直線 l 至首次與橢圓相切，切點即為所求至首次與橢圓相切，切點即為所求. 14 y XO A2A1 B1 B2 F1F2 A B C D Y X 22 1 10064 xy 例例3、已知橢圓、已知橢圓 有一內接矩形有一內接矩形ABCD， 求矩形求矩形ABCD的最大面積。的最大面積。 15 練習練習 已知已知A,B兩點是橢圓兩點是橢圓 與坐標軸正與坐標軸正

6、半軸的兩個交點半軸的兩個交點,在第一象限的橢圓弧上求一點在第一象限的橢圓弧上求一點P,使四邊使四邊 形形OAPB的面積最大的面積最大. 16 )sincos( baA，) 2 0( abab22sin2 22 4ba 22 max 4baL )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x sincos4|4baEAFAS 4 a，abS2 max sin4cos4|)|(|4baEAFAL 17 1 169 22 yx 18 ， cos8 2 1 1 0 2 1 cos12 2 1 1 2 1 BA xx x 3sin4 2 1 1 9 2 1 sin6 2 1 1 2 1 BA yy y

7、1 36144 22 yx 2 1 MB AM sin6cos12， 3sin4 cos8 y x 1 16 )3( 64 22 yx 19 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )sincos( ba， aa b kAP cos 0sin ， cos sin a b kOP 1 cos 0sin cos sin aa b a b 0coscos)( 22222 baba 22 2 cos ba b 1cos 1cos1 11 22 2 ba b 1 1 1 2 2 e e 2 1 2 e 1 2 2 e 20 B 設中點設中點M (x, y) x=2sin-2cos y=3cos

8、+3sin 2 9 y 4 22 x 練習練習: 1 取一切實數(shù)時，連接取一切實數(shù)時，連接 A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)兩點的線段兩點的線段 的中點軌跡是的中點軌跡是 . A. 圓圓 B. 橢圓橢圓 C. 直線直線 D. 線段線段 _?_)( , 0cos3sin2cos42 222 通方程為通方程為，那么圓心的軌跡的普，那么圓心的軌跡的普為參數(shù)為參數(shù) 、已知圓的方程為、已知圓的方程為 yxyx 1)sin()cos2( 22 yx化化為為)( sin cos2 為為參參數(shù)數(shù) y x 1 4 2 2 y x 化化為為普普通通方方程程是是 21 中中點點軌軌跡跡方方程

9、程。 上上各各點點連連線線的的為為參參數(shù)數(shù)和和橢橢圓圓、求求定定點點)( sin cos )0 ,2(3 by ax a 1 44 )( 2 2 2 2 b y a ax 得得上述的方程消去參數(shù)，上述的方程消去參數(shù)， ),(yxM點連線的中點為點連線的中點為解：設定點與橢圓上的解：設定點與橢圓上的 )( 2 sin 2 cos2 為參數(shù)為參數(shù)則則 b y aa x 22 的坐標為的坐標為，則點，則點的傾斜角為的傾斜角為為原點為原點 ，上一點，且在第一象限上一點，且在第一象限為參數(shù)為參數(shù)是橢圓是橢圓、 POOP y x P 3 )( )( sin32 cos4 4 )15 5 4 ,5 5 4

10、( 、B )3 , 4( 、D ( ) B ),3 , 2( 、A ),3,32( 、C 5 154 sin32, 5 54 cos4 yx 3 3 tan 3 OP kOP的的傾傾斜斜角角為為解解： 3 cos4 sin32 x y kOP又又 cos2sin 在第一象限在第一象限且點且點又又P, 1cossin 22 5 52 sin, 5 5 cos 23 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 24 )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 25 , 1上 上在在圓圓因因為為點點CA ,sin,cos baA的的坐坐標標為為 ,sin,cos baOA 所所以以 sin,cos

11、aaxAA , AAOA 因因為為 從從而而所所以以, 0 AAOA . 0sincoscos 2 aaxa 記記解解得得. cos a x .sec,sec cos 1 ax 則則 ,的終邊上的終邊上在角在角因為點因為點 B .tan,tan by b y 即即由由三三角角函函數(shù)數(shù)定定義義有有 的軌跡的參數(shù)方程為的軌跡的參數(shù)方程為點點所以所以M, , 1 cos sin cos 1 2 2 2 因為因為 , 1tansec 22 即即 ,的軌跡的普通方程為的軌跡的普通方程為后得到點后得到點從消去參數(shù)從消去參數(shù)所以所以M ,這這是是中中心心在在原原點點.軸軸上上的的雙雙曲曲線線焦焦點點在在x

12、. 2 3 , 2 ,2 , 0 且且的的范范圍圍為為通通常常規(guī)規(guī)定定參參數(shù)數(shù) 由圓的參數(shù)方程得點由圓的參數(shù)方程得點 .tan ,sec by ax 為參數(shù)為參數(shù) 26 b a o x y ) M B A B A OBBy在中， ( , )M x y設 | | tanBBOBtan .b OAAx在中， | | cos OA OA cos a sec ,a sec () tan xa M yb 所所以以的的軌軌跡跡方方程程是是為為參參數(shù)數(shù) 2 a 2 22 2 2 2 x xy y 消消去去參參數(shù)數(shù)后后，得得- -= =1 1, , b b 這這是是中中心心在在原原點點，焦焦點點在在x x軸軸

13、上上的的雙雙曲曲線線。 27 1.已知參數(shù)方程 1 1 xt t yt t (t 是參數(shù)是參數(shù), t 0) 化為普通方程化為普通方程, 畫出方程的曲線畫出方程的曲線. 2.參數(shù)方程 sec tan xa yb (,) 22 是 參 數(shù) 表示什么曲線表示什么曲線?畫出圖形畫出圖形. 練習練習: 的的兩兩個個焦焦點點坐坐標標。、求求雙雙曲曲線線 tan34 sec32 3 y x ( 2 15,0) 1 3 yx 3sec 2()_ tan x y 、雙曲線為參數(shù) 的漸近線方程為4 28 ? ,., , ,0,12 2 2 2 2 以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結結論論 由由此此可可的的面面積積探探求求平平

14、行行四四邊邊形形兩兩點點近近線線交交于于 分分別別與與兩兩漸漸行行線線作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平過過點點為為原原點點 上上任任意意一一點點為為雙雙曲曲線線，設設如如圖圖例例 MAOBBA MO ba b y a x M A M B Ox y 29 A M B Ox y .x a b y 雙曲線的漸近線方程為雙曲線的漸近線方程為解解 ,tan,sec ba )sec(tan ax a b by 代代入入把把x a b y )tan(sec 2 a xA )tan(sec 2 a xB B 點點橫橫坐坐標標同同理理 aAOx 設設 a b tan 2sin|OBOAS MAOB 平平

15、行行四四邊邊形形 2sin coscos BA xx 2sin cos4 tansec 2 222 a . 22 tan 2 22 ab a baa 30 sec () tan xa yb 為參數(shù) 22 22 -1(0,0) xy ab ab 的參數(shù)方程為： 3 0,2 ) 22 通常規(guī)定且，。 22 22 1 xy ab 22 sec1tan 31 2 22 222 min min (sec ,tan ) sec(tan2) tan1tan4tan42(tan1)3 5 tan1,3 44 31 Q OQ OQ PQ 解：設雙曲線上點的坐標為 先求圓心到雙曲線上點的最小距離 當即或時 22

16、22 1:(2)1 1 OxyP xyQPQ 例 、已知圓上一點與雙曲線 上一點，求 、兩點距離的最小值 例例3 32 ),tan,sec( aaB)tan,sec( aaA 則則 222 ayx , sec tan , sec tan 2 2 aa a k aa a k BA AA 1 2 2 BAAA kk 33 )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0 ,( 0 x a ba x 22 0 | )tan,sec( ba )tan,sec( ba )tan(tan 2 b )sec(sec 2 ( a )sec(sec 2)tan(tan )sec(sec )tan(t

17、an 2 a x b ab y )0( ,0 xP)sec(sec 2 22 0 a ba x a ba x 22 0 | 2|secsec| 34 35 222222 22 300 4 .(,),Pb xa ya b ab P ab PR 例例 設設 是是雙雙曲曲線線上上任任意意一一點點 過過點點 作作雙雙曲曲線線兩兩漸漸近近線線的的平平行行線線, ,分分別別與與兩兩漸漸近近線線相相交交 于于點點Q Q和和R,R,求求證證:PQ:PQ 36 37 ) 1000 0( 2 1 500 100 2 g tt gty tx 為為參參數(shù)數(shù)，且且 pxy2 2 38 ) 2 , 2 ( tan x y

18、 pxy2 2 tan 2 tan 2 2 p y p x 39 tan 1 t), 0()0 ,( t pty ptx 2 2 2 tan 2 tan 2 2 p y p x ),( t pty ptx 2 2 2 40 2121 2121 2121 21 2 1 , 1 , )(, )( 2 2 1 tt D tt CttBttA MMtt MMt pty ptx 、，、 所在直線的斜率是所在直線的斜率是則弦則弦所對應的參數(shù)分別是所對應的參數(shù)分別是 ，上異于原點的不同兩點上異于原點的不同兩點為參數(shù)為參數(shù)、若曲線、若曲線 21 2 2 2 1 21 2 1 22 22 1 ttptpt pt

19、pt k MM 的軌跡方程。的軌跡方程。的中點，求點的中點，求點為線段為線段點點 ，上的動點，給定點上的動點，給定點為拋物線為拋物線、設、設 PMMP MxyM 0 0 2 )0 , 1(22 C 練習練習 ，和和別別是是兩兩點點對對應應的的參參數(shù)數(shù)方方程程分分解解：由由于于 2121, ttMM 的的坐坐標標分分別別為為和和則則可可得得點點 21 MM ，)2 ,2(),2 ,2( 2 2 221 2 11 ptptMptptM 41 )0(2 2 ppxy 1, 0)2()2( 2121 22 21 ttttptpt所所以以即即 ),(,yxBAM的坐標分別為的坐標分別為解：設點解：設點

20、)0,)(2 ,2(),2 ,2( 21212 2 21 2 1 ttttptptptpt且且 )2 ,2(),2 ,2(),( 2 2 21 2 1 ptptOBptptOAyxOM 則則 )(2),(2( 12 2 1 2 2 ttpttpAB , 0, OBOAOBOA所以所以因為因為 三點共線，三點共線，且且BMAyptxptMB,)2 ,2( 2 2 2 , 0, OBOMABOM所所以以由由0)(2)(2 12 2 1 2 2 ttpyttpx , 0)( 21 yttx)0( 21 x x y tt即即),2,2( 1 2 1 ptyptxAM 42 的的軌軌跡跡方方程程這這就就

21、是是點點即即Mxpxyx)0(02 22 )2)(2()2)(2( 1 2 22 2 1 ptyxptyptptx 02)( 2121 xtpttty化化簡簡，得得02)( xp x y y .4 2 pAOB的面積最小，最小值為的面積最小，最小值為 12)2()2( 2 11 2 1 22 1 ttpptptOA 12)2()2( 2 22 2 2 22 2 ttpptptOB )1()1(2 2 2 2 121 2 ttttpS AOB 22 2 2 2 1 2 ttp 4)(2 2 21 2 ttp 2 4p 軸對稱時，軸對稱時，關于關于，即當點，即當點當且僅當當且僅當xBAtt, 21

22、 43 ）點）點）為半徑的圓（除去（為半徑的圓（除去（為圓心，為圓心， ）的軌跡方程是以（的軌跡方程是以（另一個交點另一個交點 的兩根，的兩根， 為方程為方程即即 為直徑的圓的方程為為直徑的圓的方程為以以 為直徑的圓的方程為為直徑的圓的方程為則以則以 （）設）設（法（法 0 , 0 0 , )0(02 1 2 )( 022, 022 022 )2 ,2(),2 ,22 22 22 21 222 21 2 2 2 22 1 2 1 22 2 2 21 2 1 p pQ xpxyx px yx tt yxpytpxttt yptxptyx OB yptxptyx OA ptptBptptA 44 練習練習 已知橢圓已知橢圓C1: 及拋物及拋物 線線C2: y2=6(x-3/2)；若；若C1C2，求，求m的取值范圍。的取值范圍。 )( sin3 cos2 為為參參數(shù)數(shù) y mx 代入得代入得 cos2+4cos +2m-1=0 所以所以 t2+4t+2m-1=0 在在-1, 1內有解；內有解； 45 。平平分分線線段段所所以以拋拋物物線線的的頂