最新考研數(shù)學(xué)二公式高數(shù)線代(費(fèi)了好大的勁)技巧歸納.doc

1、精品文檔高等數(shù)學(xué)公式一、常用的等價(jià)無窮小當(dāng) x 0 時(shí)xsinxtan xax-1 x ln a(1+x ) -1 xx1x 21-cos2增加x -sin x1 x 36tan x x 1 x 33arcsinxarctan xln（ 1+ x ） ex -1( 為任意實(shí)數(shù)，不一定是整數(shù))對(duì)應(yīng)xx1x 3arcsin6對(duì)應(yīng)x - arctan x 1 x 33二、利用泰勒公式ex= 1 + x + x2o（ x2 ）2！x33sin x xo（ x ）3!精品文檔精品文檔xx22）cos = 1o（ x2！導(dǎo)數(shù)公式：(tgx)sec2 x( ctgx)csc2 x(secx)secx tgx

2、(cscx)cscx ctgx( ax )a x ln a1(log a x)x ln a基本積分表：ln（ 1+ x ） = x x2o（ x2 ）21(arcsin x)x21(arccos x)1x211(arctgx )1 x21(arcctgx )x21tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx22axdx22xadx22axdx22axln cosxCln sin xCln secxtgxCln cscxctgxC1 arctg x Caa1 ln xaC2a xa1 ln a x C 2a a xarcsin xCadxsec2 xdxtgx Ccos2 xdxcsc2

3、xdxctgxCsin 2 xsecx tgxdxsecxCcsc xctgxdxcscxCaxdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a2 )Cx2a22sin n xdx2cosnI nxdx00x2a2 dxxx2a22x2a2 dxxx2a22a2x2 dxxa2x22三角函數(shù)的有理式積分：n 1 I n 2na2ln( xx2a 2 )C2a2ln xx2a 2C2a2arcsinxC2a2u1u2x2dusin x2， cos xu2，u tg ， dx1 u21 u12精品文檔精品文檔一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限：雙曲正弦: shxexe x2雙曲

4、余弦: chxexe x2雙曲正切: thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x21xlim sin x1x 0xlim (1 1 )xe 2.718281828459045.x xxx三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式：函數(shù)角 Asincostgctg- sin cos- tg -ctg 90-cossin ctg tg 90+cos-sin - ctg -tg 180-sin -cos- tg -ctg 180+- sin -costg ctg 270- cos-sin ctg tg 270+- cossin - ctg -tg 36

5、0- sin cos- tg -ctg 360+sin costg ctg 和差角公式：和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22sinsin2 cossintg ()tgtg1 tgtg22coscos2 coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22倍角公式：精品文檔精品文檔sin 22 sincoscos22 cos2112 sin2cos2sin2sin 33sin4sin3ctg 2ctg 21cos34 cos33 cos2ctg3tgtg 3tg32tg1 3tg 2t

6、g 21tg 2半角公式：sin1coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos21cossin1 cos2正弦定理：abc2R222sin A sin Bsin C余弦定理： cab2ab cosC反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin xarccos xarctgx2arcctgx2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：n(uv) ( n)Cnku (n k ) v(k)k 0u ( n) vnu (n 1) vn( n1)u( n 2 )vn(n1)(nk 1)u( nk )v( k)uv (n)2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中

7、值定理：f (b)f ( a)f ()(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()當(dāng) F( x)x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx, 其中 y tg平均曲率：K.: 從 M 點(diǎn)到 M 點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；s： M M 弧長。sM 點(diǎn)的曲率： Klimdy.sds23s0(1y)直線： K0;半徑為 a的圓： K1 .a精品文檔精品文檔定積分的近似計(jì)算：bba ( y0 y1矩形法： f ( x)yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1an2bba( y0拋物線法： f (

8、 x)yn )2( y2y4yn 2 ) 4( y1 y3yn 1 )a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： W F s水壓力： FpA引力： Fk m1m22, k為引力系數(shù)rb函數(shù)的平均值： y1bf ( x) dxa ab均方根：1f 2 (t )dtba a多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計(jì)算：z dz f x (x, y) xf y ( x, y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf u(t), v(t )dzzuzvdtutvtzf u( x, y), v( x, y)zzuzvxuxvx當(dāng)u，vv(x, y)時(shí)，u( x, y)

9、duu dxu dydvv dxv dyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dyFx ，d 2 yFxFxdy0dxFydx2()()x Fyy Fydx隱函數(shù)F ( x, y, z)， zFx ，zFy0xFzyFz精品文檔精品文檔F ( x, y,u,v) 0(F,G)FFFuFvuv隱函數(shù)方程組：JGGGuGvG ( x, y,u,v) 0(u, v)uvu1(F,G)v1(F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F,G)v1(F ,G)yJ( y, v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應(yīng)用：方向?qū)?shù)與梯度：多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) f x ( x0 , y0

10、 )f y ( x0 , y0 )0，令： f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) CACB2A 0, (x0 , y0 )為極大值0時(shí)，B 2A 0, (x0 , y0 )為極小值則： AC0時(shí)，無極 值A(chǔ)CB 20時(shí) ,不確定重積分及其應(yīng)用：f (x, y)dxdyf ( r cos , r sin )rdrdDD22曲面 zf (x, y)的面積 AM平面薄片的重心：xMzzdxdy1yDxx ( x, y)dM yy ( x, y)dxD,D( x, y)dy(x, y) dMDD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 對(duì)于 x軸

11、 I xy 2(x, y)d,對(duì)于 y軸 I yx2( x, y) dDD平面薄片（位于xoy平面）對(duì) z軸上質(zhì)點(diǎn) M (0,0,a),(a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：Fx f( x, y)xdf( x, y) yd，F(xiàn)zfa(x, y) xd3，F(xiàn)y33D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y2a2 ) 2D (x 2y 2a 2 ) 2精品文檔精品文檔微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程： yf ( x, y)或P( x, y)dxQ(x, y)dy0可分離變量的微分方程 ：一階微分方程可以化 為g( y)dy的形式，解法：f (x)dxg ( y) dyf ( x)

12、dx得： G( y)F ( x) C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫成 dy，即寫成 y 的函數(shù)，解法：f (x, y)( x, y)xdx設(shè)uy ，則 dydu，du， dxdu分離變量，積分后將y 代替 ，xuxu(u)x(u)uudxdxdxx即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程： dyP( x) yQ ( x)dx當(dāng) Q( x)0時(shí), 為齊次方程， yCeP( x) dx當(dāng) Q( x)0時(shí)，為非齊次方程，y( Q (x)eP( x) dxdxP ( x) dxC )e、貝努力方程： dyP( x) yQ (x) yn，2dx(n 0,1)全微分方程：如果

13、 P(x, y)dx Q ( x, y)dy 0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：du (x, y)P(x, y) dxQ( x, y) dy0，其中： uP( x, y)， uQ ( x, y)xyu( x, y)C應(yīng)該是該全微分方程的通解。二階微分方程：2ydy， f ( x)時(shí)為齊次d0dx2P(x) dx Q( x) y f ( x)時(shí)為非齊次f ( x)0二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy 0，其中 p, q為常數(shù)；求解步驟：、寫出特征方程：2pr q，其中2，的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中的系數(shù)；1( )r0rry , y , y2、求出 ()式的兩個(gè)根 r1

14、 ,r23、根據(jù) r1 ,r2的不同情況，按下表寫出(*) 式的通解：(*) 式的通解r1， r2的形式( p24q0)r1 xr2 x兩個(gè)不相等實(shí)根y c1 ec2 e精品文檔精品文檔兩個(gè)相等實(shí)根( p一對(duì)共軛復(fù)根( p224q0)y(c1c2 x)er1 x4q0)ye x(c1 cos x c2 sin x)r1i ，r2ip ，4q p 222二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqyf ( x)， p,q為常數(shù)f ( x)e x Pm ( x)型，為常數(shù)；f ( x)e x Pl ( x) cosxPn ( x)sinx型1、行列式1. n 行列式共有 n2 個(gè)元素，展開后有 n! 項(xiàng)，

15、可分解為 2n 行列式；2. 代數(shù)余子式的性質(zhì)：、 Aij 和 aij 的大小無關(guān)；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A ；3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M ij( 1)i j AijAij(1)ij M ij4.設(shè) n 行列式 D ：將 D 上、下翻轉(zhuǎn)或左右翻轉(zhuǎn)，所得行列式為n( n 1)D1，則 D1 ( 1)2D ；n ( n1)將 D 順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，所得行列式為D2 ，則 D2(1)2D ；將 D 主對(duì)角線翻轉(zhuǎn)后（轉(zhuǎn)置），所得行列式為D3 ，則 D3D ；將 D 主副角線翻轉(zhuǎn)后，所得行列式為D4，則 D

16、4 D ；5. 行列式的重要公式：、主對(duì)角行列式：主對(duì)角元素的乘積；n ( n 1)、副對(duì)角行列式：副對(duì)角元素的乘積(1)2；、上、下三角行列式（）：主對(duì)角元素的乘積；n( n1)、 和 ：副對(duì)角元素的乘積(1)2；、拉普拉斯展開式：AOACAB、CAOA( 1)m n A BCBOBBOBC、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積；、特征值；精品文檔精品文檔n6. 對(duì)于 n 階行列式A，恒有： E An( 1)k Skn k ，其中 Sk 為 k 階主子式；k17. 證明 A 0 的方法：、AA；、反證法；、構(gòu)造齊次方程組Ax0 ，證明其有非零解；、利用秩，證明r( A)n ；、證明 0 是其

17、特征值；2、矩陣1. A 是 n 階可逆矩陣：A 0 （是非奇異矩陣）；r ( A)n （是滿秩矩陣）A 的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組 Ax 0 有非零解；b Rn ， Ax b 總有唯一解；A 與E等價(jià)；A 可表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積；A 的特征值全不為 0； AT A 是正定矩陣；A 的行（列）向量組是Rn 的一組基；A 是 Rn 中某兩組基的過渡矩陣；2.對(duì)于 n 階矩陣 A ： AA*A* AA E 無條件恒 成立；3.(A 1)*(A*) 1(A 1)T(AT) 1(A*)T(AT )*(AB)TBT AT(AB )*B* A*(AB) 1B1A14. 矩陣是表格，推導(dǎo)符號(hào)

18、為波浪號(hào)或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；5. 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：A1若 AA2，則：As、 AA1 A2As ；A11、A1A21；As1A1A 1OO；（主對(duì)角分塊）、BOB 1O精品文檔精品文檔OA1B 1O；（副對(duì)角分塊）、OA 1OBAC11A1CB1A、BOB 1；（拉普拉斯）OAO1A1O；（拉普拉斯）、BB1CA1CB 13、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一 個(gè) m n 矩陣 A ， 總 可經(jīng) 過 初 等 變換 化 為 標(biāo) 準(zhǔn) 形， 其 標(biāo) 準(zhǔn) 形 是唯 一 確 定 的：E rO；FO O m n等價(jià)類： 所有與 A 等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合， 稱為一

19、個(gè)等價(jià)類； 標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最簡(jiǎn)單的矩陣；對(duì)于同型矩陣A 、 B ，若 r(A)r(B)AB ；2. 行最簡(jiǎn)形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個(gè)非 0 元素必須為 1；、每行首個(gè)非 0 元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應(yīng)用： （初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）r、若 (A,E)(E , X)，則 A可逆，且XA 1；、對(duì)矩陣 ( A, B) 做初等行變化， 當(dāng) A 變?yōu)?E 時(shí)，B 就變成 A 1B ，即：(A,B)c(E, A 1B) ；、求解線形方程組： 對(duì)于 n 個(gè)未知數(shù) n 個(gè)方程，如果rAxb( , )(,)，則A可逆，A bEx且 xA 1b ；4.

20、初等矩陣和對(duì)角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；1、2，左乘矩陣A ， i 乘 A 的各行元素；右乘，i 乘 A 的各列元n素；111、對(duì)調(diào)兩行或兩列， 符號(hào) E (i , j ) ，且 E (i,j ) 1 E (i,j )，例如： 11；11 、 倍 乘 某 行 或 某 列 ， 符 號(hào) E ( i ( k ) ，)且 E ( i( k )1 )E1 (i (， )例)如 ：k精品文檔精品文檔1111k( k0) ；k11 、 倍 加 某 行 或 某 列 ， 符 號(hào) E (ij ( k), 且 E (ij (k) 1E (ij ( k

21、 ) ， 如 ：11k1k11(k0) ；115. 矩陣秩的基本性質(zhì)：、 0 r( Am n ) min( m, n) ；、 r ( AT ) r ( A) ；、若 A B ，則 r( A) r( B) ；、若 P 、 Q 可逆，則 r (A)r( PA)r (AQ)r(PAQ) ；（ 可逆矩陣不影響矩陣的秩）、 max(r ( A), r( B) r ( A, B)r( A)r( B) ；（ ）、 r ( A B)r ( A) r (B) ；（ ）、 r ( AB)min(r ( A), r( B) ；（ ）、如果 A 是 m n 矩陣， B 是 ns 矩陣，且 AB 0，則：（ ）、 B

22、的列向量全部是齊次方程組AX0 解（轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論）；、 r (A) r (B) n、若 A 、 B 均為 n 階方陣，則 r( AB) r( A)r( B)n ；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為 1 的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量） 的形式，再采用結(jié)合律；1ac、型如 01b 的矩陣：利用二項(xiàng)展開式；001二項(xiàng)展開(a b)nCn0 anCn1a n 1b1Cnm a n m bmCnn 1a1bn 1 Cnnbn注：、 (a b)n展開后有 n1 項(xiàng)；、 Cnmn(n 1)(nm1)n!Cn0Cnn11 2 3mm!(nm)!、組合的性質(zhì)： CnmCnnmCnm1 Cn

23、mCnm 1、利用特征值和相似對(duì)角化：7. 伴隨矩陣：nr ( A)n、伴隨矩陣的秩：r (A* )1r ( A)n1 ；0r ( A)n1式：nCnm a m bn m ；m 0nCnr2nrC nrnCnr 11 ；r0精品文檔精品文檔、伴隨矩陣的特征值：A (AXX,A*A A 1A* XA X)；、 A*AA1、 A*n 1A8. 關(guān)于 A 矩陣秩的描述：、 r ( A) n ， A 中有 n 階子式不為 0， n 1 階子式全部為 0；（兩句話）、 r ( A) n ， A 中有 n 階子式全部為 0；、 r ( A) n ， A 中有 n 階子式不為 0；9. 線性方程組： Ax

24、b ，其中 A 為 m n 矩陣，則：、 m 與方程的個(gè)數(shù)相同，即方程組Axb 有 m 個(gè)方程；、 n 與方程組得未知數(shù)個(gè)數(shù)相同，方程組Axb 為 n 元方程；10. 線性方程組 Ax b 的求解：、對(duì)增廣矩陣 B 進(jìn)行初等行變換（ 只能使用初等行變換 ）；、齊次解為對(duì)應(yīng)齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由 n 個(gè)未知數(shù) m 個(gè)方程的方程組構(gòu)成 n 元線性方程：a11 x1a12 x2a1n xnb1、 a21 x1a22 x2a2n xnb2；am 1 x1am 2 x2anm xn bna11a12a1nx1b1、 a21a22a2nx2b2（向量方程， A 為 mn

25、矩陣， m 個(gè)方程，Ax bam1am 2amnxmbmn 個(gè)未知數(shù)）x1b1、 a1a2anx2（全部按列分塊，其中b2 ）；xnbn、 a1 x1a2 x2an xn（線性表出）、有解的充要條件：r ( A)r ( A,) n （ n 為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1. m 個(gè) n 維列向量所組成的向量組A ：1,2 ,m 構(gòu)成 n m 矩陣 A(1,2, m ) ；T11T ,2T ,mT 構(gòu)成 m n 矩陣 BTm 個(gè) n 維行向量所組成的向量組B ：,2；Tm含有有限個(gè)向量的有序向量組與矩陣一一對(duì)應(yīng)；2. 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)Ax0 有、無非零解； （齊次線性方程組

26、）、向量的線性表出Axb 是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示AXB 是否有解；（矩陣方程）精品文檔精品文檔3.矩陣m n 與l n 行向量組等價(jià)的充分必要條件是：齊次方程組Ax 0 和 Bx0 同解；AB( P101 例 14)4. r ( AT A) r (A) ； ( P101 例 15)5. n 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān)0 ；、,線性相關(guān),坐標(biāo)成比例或共線（平行）；、,線性相關(guān),共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若1,2 ,s線性相關(guān)，則1 ,2 ,s, s 1 必線性相關(guān)；若1,2 ,s線性無關(guān)，則1 ,2 ,s 1 必線性無關(guān)；（向量的個(gè)數(shù)加加減減，二者為

27、對(duì)偶）若 r 維向量組A 的每個(gè)向量上添上nr 個(gè)分量，構(gòu)成n 維向量組B ：若 A 線性無關(guān)，則B 也線性無關(guān)；反之若B 線性相關(guān)，則A 也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡(jiǎn)言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；7.向量組 A （個(gè)數(shù)為r ）能由向量組B （個(gè)數(shù)為s ）線性表示， 且 A 線性無關(guān)， 則 rs (二版 P74 定理 7)；向量組 A 能由向量組B 線性表示，則r (A)r (B) ；（ P86 定理 3）向量組 A 能由向量組B 線性表示AXB 有解；r( A)r( A, B) （ P85 定理 2）向量組 A 能由向量組 B 等價(jià)r ( A) r (B) r ( A,

28、B) （P85定理 2推論）8.方陣 A可逆存在有限個(gè)初等矩陣12l，使1 2l ；P,P , PAPPPr、矩陣行等價(jià)：A BPAB （左乘， P 可逆）Ax0 與 Bx0 同解c、矩陣列等價(jià)：A BAQB （右乘， Q 可逆）；、矩陣等價(jià)：ABPAQB（P、Q可逆）；9.10. 對(duì)于矩陣 Am n 與 Bl n ：、若 A 與 B 行等價(jià)，則 A 與 B 的行秩相等；、若 A 與 B 行等價(jià)，則Ax0 與 Bx0 同解，且A 與 B 的任何對(duì)應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣A 的行秩等于列秩；11.若 Am s Bs nCm n ，則：精品文檔精品文

29、檔、 C 的列向量組能由A 的列向量組線性表示，B 為系數(shù)矩陣；、 C 的行向量組能由B 的行向量組線性表示，AT 為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）12.13.齊次方程組 Bx 0 的解一定是 ABx 0 的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、 ABx0只有零解Bx 0只有零解；、 Bx0有非零解ABx0一定存在非零解；14.15.設(shè)向量組 Bn r: b1 , b2 , br 可由向量組 An s : a1 , a2 , as 線性表示為：（ P110 題 19 結(jié)論 ）(b1, b2 , , br ) (a1, a2, as) K （ B AK ）其中 K 為 s r ，且 A 線性無關(guān)， 則 B 組線性無關(guān)r (K )r ；（ B 與 K 的列向量組具有相同線性相關(guān)性 ）（必要性：r r (B)r (AK ) r (K ), r( K)r , r (K ) r ；充分性：反證法）注：當(dāng) rs 時(shí)， K 為方陣，可當(dāng)作定理使用；16.17.、對(duì)矩陣 Am n ，存在 Qn m ， AQEmr( A)m 、 Q 的列向量線性無關(guān)； （