123_第1課時_角平分線的性質(zhì)[1]

1、第十二章 全等三角形 12.3 角的平分線的性質(zhì) 第1課時 角平分線的性質(zhì) 文理附中 楊香勝 問題1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分 線嗎？ 用量角器度量，也可用對折的方法用量角器度量，也可用對折的方法 問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還 能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？ 問題3：如圖，是一個角平分儀，其中OM=ON,MC= NC.將點(diǎn)O放在角的頂點(diǎn),OM和ON沿著角的兩邊放下,沿 AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理 嗎? O N C A M 其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的 對應(yīng)角相等. B E 問題：如果沒有此儀器，我們用圓規(guī)和直尺，能作一 個角

2、的平分線嗎？ A B O 尺規(guī)作角平分線一 做一做：根據(jù)“角平分儀”原理， 用尺規(guī)作已知 角的平分線. A B M C O 已知:AOB. 求作：AOB的平分線. 作法： 作角平分線是 最基本的尺規(guī)作 圖,大家一定要 掌握噢! （2）分別以點(diǎn)MN為圓心，大于 MN的長為半徑畫弧，兩弧在 AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C. 1 2 （1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng) 長為半徑畫弧，交OA于 點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N. （3）畫射線OC.射線 OC即為所求. 1. PD的長度叫的長度叫P到到OA的的_ 2. PE的長度叫的長度叫P到到OB的的_ 2. 猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，觀察操作結(jié)果，寫出 結(jié)論：_ C O B

3、A PD=PE p D E 實(shí)驗(yàn)：OC是AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的 任意一點(diǎn),PDOA于D,PEOB于E. 猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. 角平分線的性質(zhì)二 距離距離 距離距離 驗(yàn)證猜想 已知：如圖， AOC= BOC,點(diǎn)P在OC上， PDOA,PEOB,垂足分別為D,E. 求證：PD=PE. P A O B C D E 證明： PDOA,PEOB， PDO= PEO=90 . 在PDO和和PEO中， PDO= PEO， AOC= BOC， OP= OP， PDO PEO(AAS). PD=PE. 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等

4、一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可 以按照以下的步驟進(jìn)行，即： 1.明確命題中的條件和結(jié)論； 2.根據(jù)題意，畫出圖形，并寫出已知和求證； 3.經(jīng)過分析，寫出證明過程. 方法歸納 u 性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. 定理的作用： 證明線段相等. 符號語言： OP 是AOB的平分線， PD = PE 知識要點(diǎn) PDOA,PEOB， B A D O P E C 證明線段相等的方法有： 全等三角形對應(yīng)邊相等、全等三角形對應(yīng)邊相等、 三角形中線、三角形中線、 角平分線的性質(zhì)定理等角平分線的性質(zhì)定理等 判一判：判一判：（1） 如下左圖，AD平分BAC（已知）， = ， ( ) 在角

5、的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等 BD CD B A D C (2) 如上右圖， DCAC，DBAB （已知）. = , ( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等 BD CD B A D C 例1:如圖，AM是BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PDAB， PEAC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=_cm. B A C P M D E 4 溫馨提示：溫馨提示：存在兩條垂線段存在兩條垂線段直接應(yīng)用直接應(yīng)用 典例精析 A A B B C C P P 變式：如圖，在RtABC中,C90，AP平分 BAC交BC于點(diǎn)P，若PC4, AB=14. （1）則點(diǎn)P到AB的距離為_. D D

6、4 溫馨提示：溫馨提示：存在一條垂線段存在一條垂線段作另一條垂線段作另一條垂線段 (2)若E為AB上一點(diǎn)，則EP的最小值為_. 4 （3）求APB的面積. 由角平分線的性質(zhì)可知，PD=PC=4， 1 2 PDB S ABPD=28. 例2：已知：如圖，在ABC中，AD是它的角平分線， 且BD=CD,DEAB, DFAC.垂足分別為E,F. 求證：EB=FC. A BC D E F 證明： AD是BAC的角平分線， DEAB, DFAC， DE=DF, DEB=DFC=90 . 在RtBDE 和 RtCDF中， DE=DF， BD=CD， RtBDE RtCDF(HL). EB=FC. 典例精析

7、 1.有關(guān)角平分線添輔助線的方法： 2.角平分線性質(zhì)的用途： 知識與方法知識與方法 相等線段、求線段長、求面積。相等線段、求線段長、求面積。 過角平分線上一點(diǎn)作角兩邊的垂線段過角平分線上一點(diǎn)作角兩邊的垂線段 3.題目條件告訴了角平分線，我們應(yīng)該聯(lián)想到 角相等、角相等、 角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì) 如圖：在如圖：在ABC中中C=90 AD是是BAC的平分線，的平分線，DEAB 于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF； 求證：求證：CF=EB A CD E B F 分析分析:要證要證CF=EB,首先我們想到的是要證它首先我們想到的是要證它 們所在的兩個三角形全等們所在的兩個三角形全等,即即RtCD

8、F RtEDB. 現(xiàn)已有一個條件現(xiàn)已有一個條件BD=DF(斜邊相等斜邊相等),還需還需 要我們找什么條件要我們找什么條件 DC=DE (因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì)因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì)) 再用再用HL證明證明. 試試自己寫試試自己寫 證明。你一證明。你一 定行！定行！ 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 角平分 線 尺 規(guī) 作 圖 屬于基本作圖，必須熟練掌握 性 質(zhì) 定 理 一個點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)； 二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離； 兩相等：兩條垂線段相等 輔 助 線 添加 過角平分線上一點(diǎn)向兩 邊作垂線段 當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí) 2.ABC中, C=90,AD平分CAB,且 BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離 是 . AB

9、C D3 E 1. 如圖，DEAB，DFBG，垂足 分別是E，F(xiàn)， DE =DF， EDB= 60，則 EBF= 度， BE= . 60 BF E B D F A C G 3.如圖，AD是ABC的角平分線，DEAB，垂足為 E，SABC7，DE2，AB4，則AC的長是() A6 B5 C4 D3 D B C E A D 解析：過點(diǎn)D作DFAC于F， AD是ABC的角平分線， DEAB， DFDE2， 解得AC3. F 11 4 227, 22 ABC SAC 方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角 形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是 常用的方法 E E D D C C B B A A 6 8 10 4.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，則： (1)哪條線段與DE相等？為什么？ (2)若AB10，BC8，