代數方程解法

1、代數方程-解法作者: 日期:代數方程解法化歸思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，換元分式化整式：化整式的方法：去分母，換元 無理化有理：化有理方程的方法：平方法，換元 多元化一元：代入和加減消元1. 一元一次方程和一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要有四種：(1) 直接開平方法：適用于(mx+n) =h (h0)的一元二次方程。(2) 配方法：適用于所有化為一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次項系數為1，一次項系數為偶 數特點的一元二次方程，用配方法解才較簡便。配方法是通過配方將一元二次方程化成(mx+n) =h (hO)的形式，再利用直接開平方法求 解，這種解一元二次方程的方法叫

2、配方法。其基本步驟是： 首先在方程兩邊同除以二次項系數，把二次項系數化為1: 把常數項移到等式的右邊： 方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方： 方程左邊寫成完全平方式，右邊化簡為常數； 利用直接開平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，當二次項系數不為1時，一泄要化為1，然后才能方程兩 邊同時加上一次項系數一半的平方(3) 公式法：適用于解一般形式的一元二次方程。利用公式工=_ 土乂 _皿 2 _仏 巴0)可以解 所有的一元二次方程。注意：當bMacO時，方程才有實數解：當bMac0時，原方程無實數解。(4)因式分解法：/適用于方程右邊是0,左邊是易于分解成兩個一次因式乘積的一元二次方程。

3、2. 含字母系數的整式方程的解法3. 特殊的高次方程的解法(1)二項方程“x +b = 0(“ # 0,方豐0)的解法二項方程的定義：如果一元n次方程的一邊只有含未知數的一項和非零的常數項，另外一邊是零，那么這樣的 方程叫做二項方程。關于x的一元n次二項方程的一般形式是ax +b = 0(“ H上 0,”是正整數)二項方程的解法及根的情況：一般地，二項方程or+ = 0(心0,2 0)可變形為x =_?可見，解一元n次二項方程，可以轉化為求一個已知數的n次方根，運用開方運算可以求出 這個方程的根。二項方程的根的情況；對于二項方程“x + = 0(“工0#豐0),當n為奇數時，方程只有且只有一個

4、實數根。當n為偶數時，如果“0.那么方程沒有實數根。(3)因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，對有些高次方程，可以用因式分解的方法降 次。用因式分解的方法時要注意：一立要使方程的一邊為零，列一邊可以因式分解。例題解下列方程：(1) 2x5+7x=-4x=0(2) x-2x2+x-2=0解：(1)方程左邊因式分解，得x (2x*+7x-4)=0 x (x+4)(2x-l)=0得 x=0 或 x+4=0 或 2x-l=0慮換元法，便可達到轉化的目的，找到思路對于解題過程的每一個步驟都不能疏忽，才能 正確求解.三.無理方程的解法 解無理方程的基本思路是把無理方程化為有理方程

5、，通常采用“兩邊平方”的方法解。對有 些特殊的無理方程，可以用“換元法”解。解無理方程一左要驗根！ 在初中階段，我們主要學習下而兩種無理方程的解法。1. 只有一個含未知數根式的無理方程當方程中只有一個含未知數的二次根式時，可先把方程變形，使這個二次根式單獨在一邊: 然后方程的兩邊同時平方，將這個方程化為有理方程。例題解下列方程：(1) 2Jx 3 = x 6(2) 3 !lx 3 = x解：(1)兩邊平方，得 4 (x-3) =(x-6)s 整理，得x：-16x+48二0解這個方程，得xf4, x：=12經檢驗，昨4是增根，舍去：x二12是原方程的根。所以，原方程的根是x=12(2)原方程可變

6、形為3-x = yj2x-3兩邊平方，得 (3-x)J2x-3整理，得x-8x+12=0 解得xl2, xf6經檢驗.x二2是原方程的根：x二6是增根，舍去。所以，原方程的根是x=22. 有兩個含未知數根式的無理方程當方程中有兩個含未知數的二次根式時，可先把方程變形，使乙個二次根式單獨在一邊，另 外一個二次根式在方程的另一邊：然后方程的兩邊同時平方，將這個方程化為有理方程。例題解下列方程：(1) 2-2-J2x + 1 =0解：(1)原方程可變形為 心一2 = 竝 + 1兩邊平方，得-2二2x+l整理，得 x-2x-3=0 解得 Xi=l, Xc=3經檢驗，X1是增根，舍去；滬3是原方程的根。

7、所以，原方程的根是X二33. 適宜用換元法解的無理方程如果無理方程中，二次根式里而的未知項和二次根式外而的未知項相同，可以使用換元法來 解C 例題解方程 2ylx2 2x + 4 =3x2 6x + 4練習1在方程3-5 + J/-1=中,若設宀-1 =兒 則原方程化為關于y的方程“ + 3+丄=o2當 m二時，關于x的分式方程27 6 X + 2 沒有實數解.答案：4或63若關于x的方程圧二一J后 =有實數根,則a的取值范圍是答案：a-24用換元法解方程空+ 5 = 0X + 1時，可設=y,這時原方程變?yōu)?答案：宀宀35.方程依=的根是是: = x的根是答案：0： 0和1； 0長=_x的根

8、答案：&若 a+b=l,且 a ： b=2 ： 5,則 2a-b=丄答案：x + a小=0 時，方程匕7-2無實數根答案:-2, 1x + =x-10 若x，貝 ijx答案：211 下列方程中既不是分式方程.也不是無理方程的有（）-z-2x = 3A. JxTB.2-V3 r86 無理方程J/+6 的根為土羽,貝Ija的值為11 _2ab 1 , ,7若a, b都是正實數，且。b a + b 9則/一慶x2 -3x- = 0 C.x如-5 =xD. 3E yflx + y/y = y5x + = 3x - 2F. 2答案：A1_2x12.方程2(3)23(a + 3)(x-3) 4(3)的最簡

9、公分母是()A.24 (x+3) (x-3)B.(x+3)(x-3)2C.24 (x+3) (x-3)2D2 (x+3) (x-3)2 答案：D13觀察下列方程.經分析判斷得知有實數根的是(),+3 = 0B*+lx(x + 3) _0C. x + 2廣 7 + 2=0D. I答案:C16 8+ 114如果2=0,那么*的值是(A.lB.-lC.iD.4答案：A15方程2x-U4x + l= 1的解是()A.OB.2C.O 或 2D. 2答案：B16設 y=x2+x+ljij 方程X2+x + =X-+X可變形為(A.y2-y-2=0C.y2+y-2=0C.a 2丄DAW2 答案：DB. y2

10、+y+2=0D.y2-y+2=0 答案：A17.若yl-4a + r = -2at則a的取值范圍是()A 全體實數B.aOU = S + SH。)18 已知RS,則相等關系成立的式子是()V = R + S A.SUv= slJ B.R + Sv= su CR_sv = R-sD.SU 答案：B19關于x的方程2 2x+=a+xA.x=aB.x=-aD.Xj=a： x2= a答案：D20個數和它的算術平方根的4倍相等,A.OB6那么這個數是（）C. 0 或 16D.4 或 16答案：Cx+1x+521. x-x 3x 3x-3 .解 3(x +1) - (x -1) = x(x + 5),3x + 3 - x +1 =疋 + 5x,x2 +3x_