連續(xù)性隨機變量詳解PPT學習教案

1、會計學1 連續(xù)性隨機變量詳解連續(xù)性隨機變量詳解 00 01 11 x XF xxx x ,; ( ),; ,. 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量的的分分布布函函數(shù)數(shù) 引例引例 0000( ),( ); xx xf t dtdtF x 當當時時，則則 0 0 0 0 1 01 ( )( )( ) ,( ); xx x xf t dtf t dtf t dt dtdtF xx 當當0 0時時， 則則 01 01 01 01 0101 ( )( )( )( ) ,( ) xx x xf t dtf t dtf t dtf t dt dtdtdtF x 當當1 1時時， 則則 第1頁/共49頁 ., )(, ,d

2、)()(, , )( 簡稱概率密度簡稱概率密度密度函數(shù)密度函數(shù) 的概率的概率稱為稱為其中其中為連續(xù)型隨機變量為連續(xù)型隨機變量則稱則稱 有有使對于任意實數(shù)使對于任意實數(shù)非負函數(shù)非負函數(shù) 存在存在的分布函數(shù)的分布函數(shù)如果對于隨機變量如果對于隨機變量 XxfX ttfxFx xFX x 1.定義定義 xo )(xf 1 1d)( xxfS 1 S xxfS x x d)( 2 1 1 1 x 2 x 第2頁/共49頁 )()()3( 1221 xFxFxXxP ;d)( 2 1 xxf x x xxf x d)( 2 證明證明 .d)( 2 1 xxf x x )()( 1221 xFxFxXxP

3、xxf x d)( 1 性性 質(zhì)質(zhì) ;0)()1( xf ;1d)()2( xxf 證明證明 .d)()(1xxfF 第3頁/共49頁 ).()(,)()4(xfxFxxf 則有則有處連續(xù)處連續(xù)在點在點若若 )(aFaXP ,d)(xxf a 1aXPaXP xxfxxf a d)(d)( )(1aF xxfxxf a d)(d)( .d)(xxf a 同時得以下計算公式同時得以下計算公式 第4頁/共49頁 注意注意 對于任意可能值對于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機變量取連續(xù)型隨機變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即 . 0 aXP 證明證明aXP . 0 由此可得由此可得 xxf xa

4、a x d)(lim 0 連續(xù)型隨機變量取值落在某一連續(xù)型隨機變量取值落在某一 區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān) bXaP bXaP bXaP .bXaP 第5頁/共49頁 1.密度函數(shù) X p(x) ( )( ) x F xp t dt 2. 4. P(X=a) = 0 1.分布列: pn = P(X=xn) 2. F(x) =() i i xx P Xx 3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a). 4. 點點計較 5. F(x)為階梯函數(shù)。 5. F(x)為連續(xù)函數(shù)。 F(a0) = F(a). F(a0) F(a). 第6頁/共49頁 .

5、 0 aXP 若若X是連續(xù)型隨機變量，是連續(xù)型隨機變量， X=a 是不是不 可能事件，則有可能事件，則有 , 0 aXP若若 是是不不可可能能事事件件aX . 0 aXP 若若 X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量, 注意注意 連連 續(xù)續(xù) 型型 離離 散散 型型 是是不不可可能能事事件件則則不不能能確確定定aX 第7頁/共49頁 . 2 7 1)3( ;)2(;)1( ., 0 , 43, 2 2 , 30, )( XP Xk x x xkx xf X 求求 的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求確定常數(shù)確定常數(shù) 其它其它 具有概率密度具有概率密度隨機變量隨機變量設(shè)設(shè) 解解, 1d)()1( xxf由由 例

6、例1 第8頁/共49頁 的概率密度為的概率密度為知知由由Xk 6 1 )2( ., 0 , 43, 2 2 , 30, 6 )( 其它其它 x x x x xf , 1d) 2 2(d 3 0 4 3 x x xkx得得. 6 1 k解之得解之得 第9頁/共49頁 . 4, 1 , 43,d) 2 2(d 6 , 30,d 6 , 0, 0 )( 3 03 0 x xx x x x xx x x xF x x 得得由由 x xxfxFd)()( 第10頁/共49頁 . 4, 1 , 43, 4 23 , 30, 12 , 0, 0 )( 2 2 x x x x x x x xF即即 2 7 1

7、)3( XP )1() 2 7 (FF . 48 41 第11頁/共49頁 ).,( ,),( , 0 , 1 )( baUX baX bxa abxf X 記為記為 區(qū)間上服從均勻分布區(qū)間上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱則稱 其它其它 具有概率密度具有概率密度設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量定義定義 1. 均勻分布均勻分布 x o )(xf a b 概率密度概率密度 函數(shù)圖形函數(shù)圖形 均勻分布概率密度函數(shù)均勻分布概率密度函數(shù)演示演示 第12頁/共49頁 均勻分布的意義均勻分布的意義 ,),(Xba變量變量上服從均勻分布的隨機上服從均勻分布的隨機在區(qū)間在區(qū)間 . ),( 性是相同的性是相同的 內(nèi)

8、的可能內(nèi)的可能中任意等長度的子區(qū)間中任意等長度的子區(qū)間落在區(qū)間落在區(qū)間ba x o )(xf a b ab 1 l ab l p l 第13頁/共49頁 ., 1 , , 0 )( bx bxa ab ax ax xF 分布函數(shù)分布函數(shù) x o )(xF a b 1 均勻分布分布函數(shù)圖形均勻分布分布函數(shù)圖形演示演示 第14頁/共49頁 16 隨機變量, 解解： 依題意， X U ( 0, 30 ) 以7:00為起點0，以分為單位 其它, 0 300, 30 1 )( x xp 某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車， 即 7:00，7:15，7:30, 7:45等時刻有汽車到達此站， 如

9、果乘客到達此站時間X是7:00 到 7:30 之間的均勻 試求他候車時間少于5 分鐘的概率. 從上午7時起， 7:30等時刻有汽車到達汽車站， 每15分鐘來一班車，即 7:00，7:15， 第15頁/共49頁 17 到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達車站. 所求概率為： 10152530PXPX 其它, 0 300, 30 1 )( x xp3 1 30 1 30 1 30 25 15 10 dxdx 即乘客候車時間少于5 分鐘的概率是1/3. 為使候車時間X 少于 5 分鐘，乘客必須在7:10 第16頁/共49頁 1 e0 00 0 1 x X x f x x X ,

10、( ) ,. , .() 定定義義設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量的的概概率率密密度度為為 其其中中為為常常數(shù)數(shù) 則則稱稱服服從從參參數(shù)數(shù)為為 的的指指數(shù)數(shù) 分分布布 2. 指數(shù)分布指數(shù)分布 指數(shù)分布密度指數(shù)分布密度 函數(shù)圖形函數(shù)圖形演示演示 第17頁/共49頁 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例例 如無線電元件的壽命如無線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動物、電力設(shè)備的壽命、動物 的壽命等都服從指數(shù)分布的壽命等都服從指數(shù)分布. 應(yīng)用與背景應(yīng)用與背景 分布函數(shù)分布函數(shù) 1 1e0 0 0 x x F x x , ( ) ,. 指數(shù)分布分布函數(shù)圖形指數(shù)分布分布函

11、數(shù)圖形演示演示 第18頁/共49頁 20 （單位：分鐘）是以間設(shè)打一次電話所用的時X 解： 的密度函數(shù)為X 00 0 10 1 10 x xe xp x 2010XPBP則 令：B= 等待時間為10-20分鐘 20 10 10 10 1 dxe x20 10 10 x e 21 ee 2325. 0 在你機變量如果某人剛好為參數(shù)的指數(shù)分布的隨 10 1 分鐘之間的分鐘到求你需等待前面走進公用電話間，2010 概率 第19頁/共49頁 例例1 15 設(shè)某類日光燈管的使用壽命設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 =2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時小時). (1)任取一只這

12、種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時以小時以 上的概率上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時以小時以 上上,求還能使用求還能使用1000小時以上的概率小時以上的概率. . 0, 0 , 0,e1 )( 2000 1 x x xF x X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解 第20頁/共49頁 1000)1( XP10001 XP )1000(1F .607. 0e 2 1 10002000)2( XXP 1000 1000,2000 XP XXP 1000 2000 XP XP 第21頁/共49頁 10001 20001

13、XP XP )1000(1 )2000(1 F F .607. 0e 2 1 指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性無記憶性”. 第22頁/共49頁 ).,(, ,)0(, ,e 2 1 )( 2 2 )( 2 2 NX X x xf X x 記為記為的正態(tài)分布或高斯分布的正態(tài)分布或高斯分布 服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱為常數(shù)為常數(shù)其中其中 的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量定義定義 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)高斯資料高斯資料 第23頁/共49頁 正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征 ;)1(對稱對稱曲線關(guān)于曲線關(guān)于x ;

14、2 1 )(,)2( xfx取得最大值取得最大值時時當當 ; 0)(,)3(xfx時時當當 ;)4(處有拐點處有拐點曲線在曲線在x 第24頁/共49頁 ; ,)( ,)6( 軸作平移變換軸作平移變換著著 只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變 的大小時的大小時改變改變當固定當固定 x xf ;)5(軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x 第25頁/共49頁 . , )(,)7( 圖形越矮越胖圖形越矮越胖 越大越大圖形越高越瘦圖形越高越瘦越小越小而形狀在改變而形狀在改變不變不變 圖形的對稱軸圖形的對稱軸的大小時的大小時改變改變當固定當固定 xf 正態(tài)分布密度函數(shù)圖形正態(tài)分布密度函數(shù)圖形演示演示

15、第26頁/共49頁 正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù) t xF x t de 2 1 )( 2 2 2 )( 正態(tài)分布分布函數(shù)圖形正態(tài)分布分布函數(shù)圖形演示演示 第27頁/共49頁 正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如 測量誤差測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ; 正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量 高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布. 正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 第28頁/共49頁 正態(tài)分布下的概率計算正態(tài)分布下的概率計算 t xF x

16、t de 2 1 )( 2 2 2 )( xXP ? 原函數(shù)不是原函數(shù)不是 初等函數(shù)初等函數(shù) 方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包計算軟件包計算(演示演示) 方法二方法二:轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布查表計算轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布查表計算 第29頁/共49頁 ).1, 0(, ,1, 0),( 2 N N 記為記為態(tài)分布態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正的正態(tài)分布稱為標準正 這樣這樣時時中的中的當正態(tài)分布當正態(tài)分布 標準正態(tài)分布的概率密度表示為標準正態(tài)分布的概率密度表示為 ,e 2 1 )( 2 2 xx x 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布 標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為 .,de 2 1

17、)( 2 2 xtx x t 第30頁/共49頁 標準正態(tài)分布的圖形標準正態(tài)分布的圖形 第31頁/共49頁 正態(tài)分布的性質(zhì) (1) p(x) 關(guān)于 是對稱的. p(x) x 0 在 點 p(x) 取得最大值. (2) 若 固定, 改變, (3) 若 固定, 改變, 小 大p(x)左右移動, 形狀保持不變. 越大曲線越平坦; 越小曲線越陡峭. 第32頁/共49頁 p(x) x0 1 (1) (0), 2 xx )( x 1( ) x 標準正態(tài)分布N(0, 1) 密度函數(shù)記為 (x), 分布函數(shù)記為 (x). (2)()1( )xx 第33頁/共49頁 (x) 的計算 (1) x 0 時, 查標準

18、正態(tài)分布函數(shù)表. (2) x a) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 則 P(|X|a) = P(aX1.96) , P(|X|1.96) P(|X|1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66 而 (a) = 0.0495 1/2, 所以 a k = PXk, 則 k = ( ).3 課堂練習(1) 第39頁/共49頁 設(shè) X N(, 42), Y N(, 52), 記 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 則( ) 對任意的 ，都有 p1 = p2 對任意的 ，都有 p1 p2 課堂練習(2)

19、第40頁/共49頁 設(shè) X N( , 2), 則隨 的增大， 概率 P| X | ( ) 單調(diào)增大 單調(diào)減少 保持不變 增減不定 課堂練習(3) 第41頁/共49頁 .225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知 解解 225. 1 XP )25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例15 . 0828. 0 第42頁/共49頁 例例8 證明證明).(1)(xx xx x x de 2 1 )( 2 2 x x x de 2 1 2 2 x x de 2 1 2 2 x x x de 2 1 2 2 ).(1x 證明證明 第43頁/共49頁 例17 對某地抽樣調(diào)查，考生的外語

20、成績（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均分為72，且96分以上的考生比率為2.3%，求考生成績在60至84分之間的概率。（答案：0.682） 解：已知2=0.977, 又 1-P（X-72）/（96-72）/=1-（2）=0.023, =12 P（60-72）/（84-72）/=2（1）-1=0.682 關(guān)鍵在于必須記住正態(tài)分布的，2，3分位點及所取得概率值。 第44頁/共49頁 分布函數(shù)分布函數(shù)概率密度概率密度 2. 常見連續(xù)型隨機變量的分布常見連續(xù)型隨機變量的分布 x ttfxFd)()(. 1 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 均勻分布均勻分布 正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯分布) 指數(shù)分布指數(shù)分布 第45頁/共49頁 正態(tài)分布有極