提高例題：相交線與平行線培優(yōu)

1、七年級(jí)數(shù)學(xué)：相交線與平行線一、知識(shí)要點(diǎn)：1. 平面上兩條不重合的直線，位置關(guān)系只有兩種：相交和平行。2. 兩條不同的直線， 若它們只有一個(gè)公共點(diǎn)， 就說它們相交。即，兩條直線相交有且只有一 個(gè)交點(diǎn)。3. 垂直是相交的特殊情況。有關(guān)兩直線垂直，有兩個(gè)重要的結(jié)論：（1）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（2）直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短。4 兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個(gè)角，在那些沒有公共頂點(diǎn)的角中，如果兩個(gè)角分別在兩條直線的同一方，并且都在第三條直線的同側(cè)，具有這種關(guān)系的一對(duì)角叫做 ;如果兩個(gè)角都在兩直線之間，并且分別在第三條直線的兩側(cè)，具有這種關(guān) 系的一對(duì)角叫做 :如果

2、兩個(gè)角都在兩直線之間，但它們?cè)诘谌龡l直線的同一旁，具有這種關(guān)系的一對(duì)角叫做 .5.平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線.推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么 .6 平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 簡(jiǎn)單說成： 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說成：.兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說成：.7.在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線.&平行線的性質(zhì)：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說成： .兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相

3、等.簡(jiǎn)單說成： .兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說成： 。.方法指導(dǎo)：平行線中要理解平行公理， 能熟練地找出“三線八角”圖形中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、 同旁內(nèi)角，并會(huì)運(yùn)用與“三線八角” 有關(guān)的平行線的判定定理和性質(zhì)定理，利用平行公理及其推論證明或求解。、例題精講,/ 2=(5x+22)a例1.如圖（1），直線a與b平行，/ 1 = （3x+70） 求/ 3的度數(shù)。解： a/ b,/ 3 =Z 4 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）/ 1 + Z 3 =/2+Z 4= 180 （平角的定義）/ 1 = / 2 （等式性質(zhì)）則 3x+70 = 5x+22 解得 x=24即/ 1= 142評(píng)注：

4、建立角度之間的關(guān)系，即建立方程（組）圖，是幾何計(jì)算常用的方法。例 2.已知：如圖（2） , AB / EF/ CD EG平分/ BEF, / B+Z / B- / D=24,求/ GEF的度數(shù)。解： AB/ EF/ CD/ B=Z BEF,Z DEF=Z D （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）/ B+Z BED+Z D =192 （已知）即/ B+Z BEF+Z DEF+Z D=192 2 （Z B+Z D） =192 （等量代換）則Z B+Z D=96（等式性質(zhì)）Z B- Z D=24（已知） Z B=60（等式性質(zhì)）即Z BEF=60 （等量代換）/ EG平分Z BEF （已知）GF圖 Z GEF

5、=1 Z BEF=30 （角平分線定義）2例 3.如圖（3）,已知 AB/ CD 且Z B=40,Z D=70,求Z DEB的度數(shù)。解：過E作EF/ AB/ AB/ CD（已知） EF/ CD（平行公理） Z BEF=/ B=40 Z DEF玄 D=70（兩直線平行，內(nèi) 錯(cuò)角相等）Z DEBZ DEF-Z BEFZ DEB =Z D- Z B=30匚，則應(yīng)添出輔助線。評(píng)注：證明或解有關(guān)直線平行的問題時(shí)，如果不構(gòu)成“三線八角 圖（3）例4.已知銳角三角形ABC的三邊長(zhǎng)為a, b, c,而 ha, hb.hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高線長(zhǎng),求證：ha+hb+hcV a+b+c分析：對(duì)應(yīng)邊上的高看作垂線段，

6、而鄰邊看作斜線段 證明：由垂線段最短知，haV c , hbV a, hcV b以上三式相加得 ha+hb+hcV a+b+c研究垂直關(guān)系應(yīng)掌握好垂線的性質(zhì)。1. 以過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線。2. 垂線段最短。例5.如圖（4）,直線 AB與CD相交于 0, EF丿B于F, GHCD于 H,求證EF與GH必相交。分析：欲證EF與GH相交，直接證很困難，可考慮用反證法。 證明：假設(shè)EF與GH不相交。 EF、GH是兩條不同的直線AHFE GDCOBEF/ GHEF_ABGH_AB又因G也CD故AB/ CD (垂直于同一直線的兩直線平行 )圖(4)這與已知AB和CD相交矛盾。所以EF與GH

7、不平行，即EF與GH必相交評(píng)注：本題應(yīng)用結(jié)論：(1) 垂直于同一條直線的兩直線平行。(2) 兩條平行線中的一條直線垂直于第三條直線，那么另一條直線也平行于第三條直線；例6.平面上n條直線兩兩相交且無3條或3條以上直線共點(diǎn)，有多少個(gè)不同交點(diǎn)?解：2條直線產(chǎn)生1個(gè)交點(diǎn)，第3條直線與前面2條均相交，增加2個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上3條直線共有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；第4條直線與前面3條均相交，增加3個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上4條直線共有1+2+3=6個(gè)交 占；八、一 1貝U n條直線共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)2評(píng)注：此題是平面上 n條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情形，需要仔細(xì)觀察，由簡(jiǎn)及繁，深入思考， 從

8、中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例7. 6個(gè)不同的點(diǎn)，其中只有 3點(diǎn)在同一條直線上，2點(diǎn)確定一條直線，問能確定多少條 直線？解：6條不同的直線最多確定：5+4+3+2+1=15條直線，除去共線的3點(diǎn)中重合多算的2條直 線，即能確定的直線為15-2=13條。另法：3點(diǎn)所在的直線外的3點(diǎn)間最多能確定3條直線，這3點(diǎn)與直線上的3點(diǎn)最多有3 X 3=9條直線，加上3點(diǎn)所在的直線共有：3+9+仁13條1評(píng)注：一般地，平面上n個(gè)點(diǎn)最多可確定直線的條數(shù)為：1+2+3+(n-1)=n(n-1)2例8 10條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域?解：2條直線最多將平面分成2+2=4個(gè)不同區(qū)域；3條直線中的第3條直線與另兩條

9、直線相交，最多有兩個(gè)交點(diǎn)，此直線被這兩點(diǎn)分成3段，每一段將它所在的區(qū)域一分為二，則區(qū)域增加3個(gè)，即最多分成2+2+3=7個(gè)不同區(qū)域；同理：4條直線最多分成 2+2+3+4=11個(gè)不同區(qū)域； 10條直線最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個(gè)不同區(qū)域112 一推廣：n條直線兩兩相交， 最多將平面分成 2+2+3+4+n=1+ n(n+1)=(n +n+2)塊不同的22區(qū)域思考：平面內(nèi)n個(gè)圓兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？例9.平面上n條直線兩兩相交，求證所成得的角中至少有一個(gè)角不大于1800n證明：平面上n條直線兩兩相交最多得對(duì)頂角n(n -1) x 2=門-1)對(duì)，

10、即2n(n-1)個(gè)角2平面上任取一點(diǎn) 0,將這n條直線均平行移動(dòng)過點(diǎn)0,成為交于一點(diǎn)0的n條直線，這n條直線將以0為頂點(diǎn)的圓周角分為 2n個(gè)(共n對(duì)) 互不重疊的角：-1 ：-2、3、：-2n由平行線的性質(zhì)知，這2n個(gè)角中每一個(gè)都和原來 n條直線中的某兩條直線的交角中的一個(gè)角相等，即這2n個(gè)角n若這2n個(gè)角均大于0180n貝.l；：1 + ：2+.-；q+ +.空2n0 2nx 8 =360n均是原2n(n-1)個(gè)角中的角。而1+ ：2 + 二3+：2n=360 ,產(chǎn)生矛盾故-力、；2、 芒3、 、：2n中至少有一個(gè)小于180n即原來的2n(n-1)中至少有一個(gè)角不小于0180n評(píng)注：通過平移

11、，可以把原來分散的直線集中交于同一點(diǎn)，從而解決問題。例10. ( a)請(qǐng)你在平面上畫出 6條直線(沒有三條共點(diǎn))，使得它們中的每條直線都恰與另 3條直線相交，并簡(jiǎn)單說明畫法。(b)能否在平面上畫出 7條直線(任意3條都不共點(diǎn))，使得它們中的每條直線都恰 與另3條直線相交，如果能請(qǐng)畫出一例，如果不能請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。解：(a)在平面上任取一點(diǎn) A。過A作兩直線 m與n 1。在n1上取兩點(diǎn) B, C,在 m 上取兩點(diǎn) D, G 過B作m II m,過 C作m3 II m,過 D作n2 / n 1,過 G作 n31 m,這時(shí) m、m、n2、n3交得 E、F、H I 四點(diǎn)，如圖所示。由于彼此平行的直線不相交

12、，所以，圖 中每條直線都恰與另 3條直線相交。(b)在平面上不能畫出沒有 3線共點(diǎn)的7條直線，使得 其中每條直線都恰與另外 3條直線相交。理由如下：3條相交，因兩直線相交只有一3條直線交得的3個(gè)不同的交點(diǎn)。假設(shè)平面上可以畫出 7條直線，其中每一條都恰與其它 個(gè)交點(diǎn)，又沒有3條直線共點(diǎn)，所以每條直線上恰有與另根據(jù)直線去計(jì)數(shù)這些交點(diǎn)，共有3X 7= 21個(gè)交點(diǎn)，但每個(gè)交點(diǎn)分屬兩條直線，被重復(fù)計(jì)數(shù)一次，所以這 7條直線交點(diǎn)總數(shù)為=10.5個(gè)，因?yàn)榻稽c(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)為整數(shù)，矛盾。2所以，滿足題設(shè)條件的 7條直線是畫不出來的。三、鞏固練習(xí)1平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中僅有 3點(diǎn)在同一直線上，過每 2點(diǎn)作一條直線，一共可

13、以作直線 （ ）條A. 6 B. 7 C. 8D. 92 平面上三條直線相互間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A. 3B. 1 或 3C. 1 或 2 或 3D.不一定是 1 , 2, 33. 平面上6條直線兩兩相交，其中僅有3條直線過一點(diǎn)，則截得不重疊線段共有（）A. 36 條B. 33 條C. 24 條D. 21 條4. 已知平面中有n個(gè)點(diǎn)代B,C三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，A,D, F, E四個(gè)點(diǎn)也在一條直線上，除些之外，再?zèng)]有三點(diǎn)共線或四點(diǎn)共線，以這 不同的直線，這時(shí) n等于（）n個(gè)點(diǎn)作一條直線，那么一共可以畫出38條(A) 9( B) 10(C) 11( D) 125若平行直線 AB CD與相交直線EF、G

14、H相交成如圖示的圖形，則共得同旁內(nèi)角(A. 4 對(duì)B. 8 對(duì) C. 12 對(duì)D. 16 對(duì)6.如圖，已知 FD/ BE,則/ 1+Z 2- / 3=()A. 90B. 135C. 150D. 180B第7題E7.如圖，已知 AB/ CD /仁/2，則/ E與/ F的大小關(guān)系 &平面上有5個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)都連一條直線，問除了原有的5點(diǎn)之外這些直線最多還有交點(diǎn)9. 平面上3條直線最多可分平面為 個(gè)部分。10. 如圖，已知 AB/ CD/ EF, PS_LGH于 P,Z FRG=110，則Z PSQ=。11. 已知A、B是直線L外的兩點(diǎn)，則線段 AB的垂直平分線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是。CESl F第10題

15、RHGAPB12. 平面內(nèi)有4條直線，無論其關(guān)系如何，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不會(huì)超過 個(gè)。13.已知：如圖，DE/ CB，求證：Z AED=Z A+Z B14. 已知：如圖， AB/ CD 求證：Z B+Z D+Z F=Z E+Z G文檔FCD第14題第13題15. 如圖，已知 CBAB, CE平分/ BCD DE平分/ CDA/ EDCy ECD =90,求證：DA_AB16. 平面上兩個(gè)圓三條直線，最多有多少不同的交點(diǎn)？17. 平面上5個(gè)圓兩兩相交，最多有多少個(gè)不同的交點(diǎn)？最多將平面 分成多少塊區(qū)域？18. 一直線上5點(diǎn)與直線外3點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)確定一條直線， 最多確定多 少條不同直線？19. 平面上有

16、8條直線兩兩相交，試證明在所有的交角中至少有一個(gè)角小于23 o20. 平面上有10條直線，無任何三條交于一點(diǎn)，欲使它們出現(xiàn)31個(gè)交點(diǎn)，怎樣安排才能辦到？畫出圖形。答案1. 5個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn)，可以作4+3+2+1= 10條直線，在一直線上的 3個(gè)點(diǎn)中任取2點(diǎn)，可 作2+1= 3條，共可作10-3+1 = 8 (條)故選 C2平面上3條直線可能平行或重合。故選D3. 對(duì)于3條共點(diǎn)的直線，每條直線上有4個(gè)交點(diǎn)，截得3條不重疊的線段，3條直線共有9 條不重疊的線段對(duì)于3條不共點(diǎn)的直線，每條直線上有5個(gè)交點(diǎn)，截得4條不重疊的線段，3條直線共有12 條不重疊的線段。故共有21條不重疊的線段。故選 D4.

17、由n個(gè)點(diǎn)中每次選取兩個(gè)點(diǎn)連直線，可以畫出n(n -條直線，若abC三點(diǎn)不在一條2 直線上，可以畫出 3條直線，若 代D, E, F四點(diǎn)不在一條直線上，可以畫出6條直線，也 -3-6 2=38.整理得 n2 - n-90 =0,(n-10)(n 90) = 0.2/ n+9 0 n = 10,選 Bo5.直線EF、GH分別“截”平行直線 AB CD各得2對(duì)同旁內(nèi)角，共4對(duì)；直線AB CD分 別“截”相交直線 EF、GH各得6對(duì)同旁內(nèi)角，共12對(duì)。因此圖中共有同旁內(nèi)角 4+6= 16 對(duì)B第6題E內(nèi)錯(cuò)角相等）/ 仁/26.T FD/ BE/ 2=Z AGF/ AGCM 1- / 3 / 1+ /

18、2- / 3= / AGC+/ AGF=180選 B7.解：T AB/ CD（已知） / BAD=/ CDA（兩直線平行，（已知）EB / BAD+Z 1 = / CDA/ 2 （等式性質(zhì)） 即/ EAD玄 FDA AE/ FD / E=/ F&解：每?jī)牲c(diǎn)可確定一條直線，這5點(diǎn)最多可組成10條直線，又每?jī)蓷l直線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)為9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 （個(gè)） 又因平面上這5個(gè)點(diǎn)與其余4個(gè)點(diǎn)均有4條連線，這四條直線共有3+2+1 = 6個(gè)交點(diǎn)與平面上這一點(diǎn)重合應(yīng)去掉，共應(yīng)去掉5X 6=30個(gè)交點(diǎn)，所以有交點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)為 45-30 = 15 個(gè)9.可分7個(gè)部分1

19、0.解TAB/ CD/ EF / APQ=/ DQG/ FRG=110 同理/ PSQ/ APS / PSQ/ APQ-/ SPQ/ DQG/ SPQ=110 -90 =2011. 0個(gè)、1個(gè)或無數(shù)個(gè)C-Q一DSEF第10題R.HGAPBJb-*1）若線段AB的垂直平分線就是 L,則公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)是無數(shù)個(gè)；2） 若AB_L,但L不是AB的垂直平分線，則此時(shí) AB的垂直平分線與 L是平行的關(guān)系，所以它們沒有公共點(diǎn)，即公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)；3）若AB與L不垂直，那么 AB的垂直平分線與直線 L 一定相交，所以此時(shí)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 1個(gè)12. 4條直線兩兩相交最多有 1+2+3= 6個(gè)交點(diǎn)13. 證明：過

20、E作EF/ BA / 2=/ A （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）DE/ CBEF/ BA /仁/ B （兩個(gè)角的兩邊分別平行，這兩個(gè)角相等） / 1 + / 2=/ B+/ A （等式性質(zhì)）即/ AED/ A+/ B14 .證明：分別過點(diǎn) E、F、G作AB的平行線EH PF、GQ貝U AB/ EH/ PF/ GQ（平行公理）AB/ EH/ABE=/ BEH（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）同理：/ HEF=/ EFP/ PFG=/ FGQ/ QGD=/ GDC/ ABE+/ EFP+Z PFG+/ GDC=Z BEH+Z HEF+/ FGQ# QGD（等式性質(zhì)）即 / B+Z D+Z EFG玄 BEF+Z

21、 GFD15. 證明：T DE 平分Z CDA CE 平分Z BCD，./ Z ECD =Z BCE (角平分線定義)Z CDA +Z BCD=Z EDC+Z ADE+Z ECDZ BCE=2 (Z EDC+Z ECD = 180DA/ CB又 CB_ABDA_AB4個(gè)交點(diǎn)，三條2+4X 3+3=1716. 兩個(gè)圓最多有兩個(gè)交點(diǎn)，每條直線與兩個(gè)圓最多有 直線最多有3個(gè)不同的交點(diǎn)，即最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：17. (1) 2個(gè)圓相交有交點(diǎn) 2X 1= 1個(gè)，第3個(gè)圓與前兩個(gè)圓相交最多增加2X 2= 4個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)共有交點(diǎn) 2+2X 2= 6個(gè)第4個(gè)圓與前3個(gè)圓相交最多增加 2X 3= 6個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)共有交點(diǎn) 2+2X 2+2X 3= 12個(gè) 第5個(gè)圓與前4個(gè)圓相交最多增加 2X 4=8個(gè)交點(diǎn) 5個(gè)圓兩兩相交最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：2+2X 2+2X 3+2 X 4= 20(2) 2個(gè)圓相交將平面分成 2個(gè)區(qū)域3個(gè)圓相看作第3個(gè)圓與前2個(gè)圓相交，最多有 2 X 2 = 4個(gè)不同的交點(diǎn)，這 4個(gè)點(diǎn)將 第3個(gè)圓分成4