專題07 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算（知識精講）（原卷版）

1、專題七 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算 知識精講一 知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi) 容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算復(fù)數(shù)的概念實(shí)部、虛部復(fù)數(shù)相等 實(shí)部、虛部分別相等復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)與點(diǎn)、向量的一一對應(yīng)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算乘法、除法運(yùn)算二.學(xué)法指導(dǎo)1.判斷復(fù)數(shù)概念方面的命題真假的注意點(diǎn)(1)正確理解復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部、復(fù)數(shù)相等的概念,注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系；(2)注意復(fù)數(shù)集與實(shí)數(shù)集中有關(guān)概念與性質(zhì)的不同；(3)注意通過列舉反例來說明一些命題的真假2. 復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵(1)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類,關(guān)鍵是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式求解參數(shù)時,注意考慮問題要全面,當(dāng)條件不滿足代數(shù)形式zabi(a,bR

2、)時應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式(2)注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件設(shè)復(fù)數(shù)zabi(a,bR),則z為實(shí)數(shù)b0,z為虛數(shù)b0,z為純虛數(shù)a0,b0,z0a0,且b0.3.利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)解題的步驟(1)首先確定復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,從而確定復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)(2)根據(jù)已知條件,確定實(shí)部與虛部滿足的關(guān)系4.復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化對應(yīng)：復(fù)數(shù)z與向量是一一對應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化：復(fù)數(shù)的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為向量問題求解解決復(fù)數(shù)問題的主要思想方法有：(一)轉(zhuǎn)化思想：復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化；(二)數(shù)形結(jié)合思想：利用復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合解決；(三)整體化思想：利用復(fù)數(shù)的特征整體處理5.用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義解題的方法技巧(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾

3、何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也可以給予幾何解釋,使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中6常見結(jié)論在復(fù)平面內(nèi),z1,z2對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,z1z2對應(yīng)的點(diǎn)為C,O為坐標(biāo)原點(diǎn),則四邊形OACB為平行四邊形；若|z1z2|z1z2|,則四邊形OACB為矩形；若|z1|z2|,則四邊形OACB為菱形；若|z1|z2|且|z1z2|z1z2|,則四邊形OACB為正方形7.兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法復(fù)數(shù)的乘法可以按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行,注意選用恰當(dāng)?shù)某朔ü竭M(jìn)行簡便運(yùn)算,例如平方差公式、完全平方公式等8.兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟(1)首先將除式寫為分

4、式；(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)；(3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算,并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式三.知識點(diǎn)貫通知識點(diǎn)1 復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念：zabi(a,bR)全體復(fù)數(shù)所組成的集合Cabi|a,bR,叫做復(fù)數(shù)集例題1.給出下列說法：復(fù)數(shù)23i的虛部是3i；形如abi(bR)的數(shù)一定是虛數(shù)；若aR,a0,則(a3)i是純虛數(shù)；若兩個復(fù)數(shù)能夠比較大小,則它們都是實(shí)數(shù)其中錯誤說法的個數(shù)是()A1B2C3D4知識點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)zabi(a,bR),則z為實(shí)數(shù)b0,z為虛數(shù)b0,z為純虛數(shù)a0,b0,z0a0,且b0.例題2：實(shí)數(shù)x分別取什么值時,復(fù)數(shù)z(x22x15)i是(1)實(shí)

5、數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？知識點(diǎn)三 復(fù)數(shù)相等的充要條件復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a,b,c,d都是實(shí)數(shù),那么abicdiac且bd.例題3 .(1)若復(fù)數(shù)z(m1)(m29)i0,則實(shí)數(shù)m的值等于 (2)已知關(guān)于x的方程x2(12i)x(3mi)0有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的值知識點(diǎn)四 復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量的一一對應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義例題4在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)A,B,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為14i,3i,2,O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求向量和對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)知識點(diǎn)五 復(fù)數(shù)的模及其應(yīng)用復(fù)數(shù)zxyi(x,yR),則|z|,例題5.(1)設(shè)(1i)x1yi,其中x,y是實(shí)數(shù),則|x

6、yi|()A1B.C. D2(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z|z|28i,求復(fù)數(shù)z.知識點(diǎn)六 復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則(1)設(shè)z1abi,z2cdi是任意兩個復(fù)數(shù),則z1z2(ac)(bd)i； z1z2(ac)(bd)i.(2)對任意z1,z2,z3C,有z1z2z2z1；(z1z2)z3z1(z2z3)例題6.(1)計(jì)算：(2i)；(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z13i52i,求z.知識點(diǎn)七 復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖所示,設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)向量分別為1,2,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,向量與復(fù)數(shù)z1z2對應(yīng),向量與復(fù)數(shù)z1z2對應(yīng)例題7.如圖所示,平行四

7、邊形OABC的頂點(diǎn)O,A,C對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為0,32i,24i,試求所表示的復(fù)數(shù),所表示的復(fù)數(shù)；對角線所表示的復(fù)數(shù)；對角線所表示的復(fù)數(shù)及的長度知識點(diǎn)八 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則已知z1abi,z2cdi,a,b,c,dR,則z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對于任意z1,z2,z3C,有：（1）交換律：z1z2z2z1（2） 結(jié)合律：(z1z2)z3z1(z2z3) （3）乘法對加法的分配律：z1(z2z3)z1z2z1z3例題8.計(jì)算：(12i)(34i)(2i)；(34i)(34i)；(1i)2.知識點(diǎn)九 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則(abi)(cdi)i(a,b,c,dR,且cdi0)例題9.(1)()A12i B12iC2i D2i(2)若復(fù)數(shù)z滿足z(2i)117i(i是虛數(shù)單位),則z為()A35i B35iC35i D35i五 易錯點(diǎn)分析易錯一 復(fù)數(shù)的虛部例題10.復(fù)數(shù)i2的虛部是( )AiB2C1 D2誤區(qū)警示求復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部,應(yīng)先把復(fù)數(shù)化成zabi(a,bR)的形式,a為實(shí)部,b為虛部。易錯二 復(fù)數(shù)的幾何意義例題11.復(fù)數(shù)z1