無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和

1、 教學(xué)目標(biāo)： 1、理解無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和的定義； 2、掌握無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和的公式，會(huì)應(yīng)用公式 求無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和； 3、理解無(wú)限個(gè)數(shù)的和與有限個(gè)數(shù)的和意義上的區(qū)別； 4、通過(guò)在利用無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和的公式解決一 些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，形成和提高數(shù)學(xué)的應(yīng) 用意識(shí). 教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)： 重點(diǎn)：數(shù)列極限的概念及簡(jiǎn)單數(shù)列的極限的求解. 難點(diǎn)：對(duì)數(shù)列極限的定義的理解. ：講授法、練習(xí)法 多媒體輔助教學(xué) 稱為擺動(dòng)總長(zhǎng)有擺動(dòng)的弧的長(zhǎng)度和 ，求到它停止前所度為第一次擺動(dòng)的弧的長(zhǎng) ，假設(shè)次擺動(dòng)的弧長(zhǎng)的擺動(dòng)的弧長(zhǎng)都是上一 次力，某一類鐘的鐘擺每、由于空氣阻力和摩擦 )( 40 %95 1 cm 的弧長(zhǎng)

2、解：設(shè)鐘擺各次擺動(dòng) n a 1 %9540 n n a）（ %9540%95 12 aa 40 1 a 2 23 %9540%95）（ aa 構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列na ，首項(xiàng)40 1 a%95公比q 一、引入一、引入 項(xiàng)的和這個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列前n 12 %9540%9540%954040 n n S）（）（ %951 %951 40 n ）（ %951 %951 40 limlim n n n n S ）（ 800 %951 40 度和為鐘擺擺動(dòng)的所有弧的長(zhǎng)cm800 S SSn n 和無(wú)限趨近于數(shù)列各項(xiàng)的當(dāng), 0)95.0(lim0lim1 n n n n qq時(shí)， ，首項(xiàng)40 1 a%95公

3、比q 2、如何把、如何把0. 化成分?jǐn)?shù)形式？化成分?jǐn)?shù)形式？ 3 分析：分析：0. =0.3+0.03+0.003+ 3 3000. 0 01個(gè)n 0.3，0.03，0.003， 3000. 0 01個(gè)n 的等比數(shù)列，公比為構(gòu)成首項(xiàng)為 10 1 3 . 0 ) 10 1 1 ( 3 1 1 . 01 ) 10 1 1 ( 3 . 0 n n ) 10 1 1 ( 3 1 limlim3 . 0 n n n n S 3 1 Sn=0.3+0.03+0.003+3000. 0 01 個(gè) n 解： 下面研究無(wú)窮等比數(shù)列下面研究無(wú)窮等比數(shù)列 10 q的各項(xiàng)和的問(wèn)題的各項(xiàng)和的問(wèn)題 對(duì)無(wú)窮等比數(shù)列： ， 1

4、 1 2 111 n qaqaqaa1q q a q q a q qa S n n n n n n 1 )1 (lim 11 )1 ( limlim 111 n n SS lim 無(wú)窮遞縮無(wú)窮遞縮 等比數(shù)列等比數(shù)列 q a 1 1 ，項(xiàng)的和的無(wú)窮等比數(shù)列前我們把 n Snq1 時(shí)的極限叫做當(dāng)n，無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和 二、無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和二、無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和 表示，用符號(hào)S即) 1( 1 1 q q a S 注意：注意：S與與 的不同的不同 n S 定義：定義： 無(wú)限個(gè)數(shù)的和與有無(wú)限個(gè)數(shù)的和與有 限個(gè)數(shù)的和意義是限個(gè)數(shù)的和意義是 不一樣的不一樣的 三、例題舉隅三、例題舉隅 ，求無(wú)窮等比數(shù)

5、列：例 1 ) 3 1 ( 9 1 3 1 11 n 各項(xiàng)的和 解：解： 3 1 1 1 qa， q a S 1 1 4 3 3 1 1 1 3 1 1 ) 3 1 (1 1 )1 ( 1 n n n q qa S 4 3 lim n n SS 求例 1 1 3 1 ) 1( 9 1 3 1 1 2 1 8 1 4 1 2 1 lim2 n n n n 解：解： ) 3 1 (1 1 2 1 1 2 1 原式 3 4 8765432 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 S解： 35721 11111 22222 n () 24682 11111 33333 n ()

6、 9 1 1 9 1 4 1 1 2 1 24 19 8 1 3 2 ，求無(wú)窮數(shù)列例 8765432 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 各項(xiàng)的和 9. 0) 1 (解： 0009. 0009. 009. 09 . 0 1 . 01 9 . 0 1 數(shù)：化下列循環(huán)小數(shù)為分例4 9 . 0) 1 ( 92. 0)2( 134 . 0)3( 92. 0)2( 00000029. 0000029. 00029. 029. 0 01. 01 29. 0 99 29 0000031. 000031. 0031. 04 . 0134 . 0)3( 990 31 4 .0 0

7、1.01 031.0 4 .0 990 427 說(shuō)明：說(shuō)明：化循環(huán)小數(shù)為分化循環(huán)小數(shù)為分 數(shù)，實(shí)際上就是求無(wú)窮數(shù)，實(shí)際上就是求無(wú)窮 等比數(shù)列的各項(xiàng)之和，等比數(shù)列的各項(xiàng)之和， 且有下列結(jié)論：且有下列結(jié)論： (1)純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子就是一 個(gè)循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的，分母的各位數(shù)字均是9， 9的個(gè)數(shù)和一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同. 27 10 999 370 073 . 0 33 4 1 99 12 121 . 1 3 2 9 6 6. 0 如： 結(jié)論： 275 107 5 9900 383890 50938. 5 300 37 900 12123 312. 0 如： (2)混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，

8、這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是小數(shù) 點(diǎn)后及第二個(gè)循環(huán)節(jié)前面的數(shù)字所組成的數(shù)減 去不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字所組成的數(shù)所得的差, 分母 的頭幾個(gè)數(shù)字是9，末幾個(gè)數(shù)字是0，其中9的個(gè) 數(shù)與一個(gè)循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0的個(gè)數(shù)與不循環(huán) 部分的位數(shù)相同. 12 18 1 2 111 qa qaqaa 解： 16 ) 2 1 (1 24 lim n n S )(2 2 1 舍或qq 2 1 24 1 q a ，且，為已知例1815 321 aaaqPGan 項(xiàng)和，的前是數(shù)列，設(shè)naSa nn 12 2 求 n n S lim 的取值范圍求首項(xiàng) ，的各項(xiàng)的和是、已知無(wú)窮等比數(shù)列例 1 46 a an q公比為解：設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的 4 1

9、4 1 11 a q q a ，得由題設(shè)得 10 q又 0 4 11 4 11 11 aa 且 )84()40( 1 ，解得a 1 4 10 1 a 周長(zhǎng)的和與面積的和求所有這些正方形 ；如此無(wú)限的作下去 方形邊中點(diǎn)得到一個(gè)更小正這個(gè)小正方形的各 ；又聯(lián)結(jié)個(gè)小正方形的各邊中點(diǎn)得到一 ，聯(lián)結(jié)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于、如圖正方形例 2222 1111 17 DCBA DCBA ABCD 11 1 a個(gè)正方形的邊長(zhǎng)解：由題設(shè)得第 2 2 1 1 qaan，公比首項(xiàng)是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列， 2 2 2 2 2 12 aa個(gè)正方形的邊長(zhǎng)第 )2( 2 2 1 naan nn 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)第 ，面積的和的和所有

10、這些正方形的周長(zhǎng)2248Sl 所有正方形的面積的和 2 2 1 1 1 S 所有正方形的周長(zhǎng)的和248 2 2 1 4 l 的無(wú)窮等比數(shù)列，公比為為所有周長(zhǎng)組成一個(gè)首項(xiàng) 2 2 4 的無(wú)窮等比數(shù)列，公比為項(xiàng)為又所有面積組成一個(gè)首 2 1 1 aa BC AB a aa 3 2 2 1 1 1 1 ，解得解：由題設(shè)，知 A B C 2 a 3 a 4 a 1 a )2( 3 2 2 1 1 1 naa a aa nn n nn ，得由 為公比的無(wú)窮等比數(shù)列為首項(xiàng)，以是一個(gè)以 3 2 3 2 aan 為公比為首項(xiàng)，以是一個(gè)以 9 4 9 4 , 222 3 2 2 2 1 aaaaa n 的無(wú)窮等比數(shù)列 2 2 5 4 9 4 1 9 4 a a S 內(nèi)有一系列的正方形，、如圖在例ABCRt8 的和，求所有正方形的面積，若aBCaAB2 ，它們的邊長(zhǎng)依次為 n aaaa 321 ， 1432 ) 3 2 (20) 3 2 (20) 3 2 (20) 3 2 (20 3 2 2010 n 為公比的無(wú)窮等比數(shù)列除首項(xiàng)外是一個(gè)以 3 2 )2( 3 2 1 naa nn 高空落下，每次著地后、一籃球從例m109 ，再落下再?gòu)椈卦俾湎聫椈卦叨鹊?3 2 過(guò)的總路程，求籃球直至停止所經(jīng) 程組成數(shù)列為：每次著地籃球所經(jīng)過(guò)路